50 方法专题十四 “费马点”与“主从联动”最值问题（Word练习）-【智乐星中考·学考传奇】2025年山东省济南市中考数学全练本

1.如图,矩形ABCD的边AB=,BC=3,E为AB上一点,且AE=1,点F为AD边(含A,D两点)上的一个动点,连接EF.若以EF为边向右侧作等腰直角三角形EFG,EF=EG,连接CG,则CG的最小值为 (　　) 　　　　　　　　　　　　　　　 A. B. C.3 D.2 2.(2024·临沂模拟)如图,在矩形ABCD中,AB=5,BC=5,点P在线段BC上运动(含B,C两点),连接AP,以点A为中心,将线段AP逆时针旋转60°到AQ,连接DQ,则线段DQ的最小值为　　 (　　) A. B.5 C. D.3 3.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=5,BC=12,D是以点A为圆心,3为半径的圆上一点,连接BD,点M是BD的中点,则线段CM长度的最小值为 (　　) A.3 B.4 C.5 D.6 4.如果P是△ABC内一点,且它到三角形的三个顶点距离之和最小,则点P叫作△ABC的费马点.已经证明:在三个内角均小于120°的△ABC中,当∠APB=∠APC=∠BPC=120°时,点P就是△ABC的费马点.若点P是腰长为的等腰直角三角形DEF的费马点,则PD+PE+PF=　　　　.  5.如图,已知点A是第一象限内的一个定点,点P是以点O为圆心、1个单位长度为半径的圆上的一个动点,连接AP,以AP为边在AP右侧作等边三角形APB.当点P在☉O上运动一周时,点B运动的路径长是　　　　.  6.如图,菱形ABCD的边长为4,∠ABC=60°,在菱形ABCD内部有一点P,当PA+PB+PC值最小时,PB的长为　　　　.  学科网（北京）股份有限公司 $$ 方法专题十四　“费马点”与“主从联动”最值问题 1.B　【解析】 如图,过点G作GH⊥AB于点H,过点G作MN∥AB. ∵四边形ABCD是矩形, AB=,BC=3, ∴∠B=90°,CD=,AD=3. ∵AE=1,∴BE=. ∵∠GHE=∠A=∠GEF=90°, ∴∠GEH+∠EGH=90°,∠GEH+∠FEA=90°, ∴∠EGH=∠FEA. 又∵GE=EF,∴△GEH≌△EFA(AAS),∴GH=AE=1, ∴点G在平行于AB且到AB距离为1的直线MN上运动, ∴当点F与点D重合时,CG有最小值,此时AF=EH=3, ∴CG的最小值==. 故选B. 2.A　【解析】 如图,以AB为边向右作等边三角形ABF,作射线FQ交AD于点E,过点D作DH⊥QE于点H. ∵四边形ABCD是矩形,∴∠ABP=∠BAD=90°. ∵△ABF,△APQ都是等边三角形, ∴∠BAF=∠PAQ=60°, BA=FA,PA=QA, ∴∠BAP=∠FAQ. 在△BAP和△FAQ中, ∴△BAP≌△FAQ(SAS),∴∠ABP=∠AFQ=90°, ∴点Q在射线FE上运动. ∵∠FAE=90°-60°=30°,∴∠AEF=90°-30°=60°. ∵AB=AF=5,∴AE==. ∵AD=BC=5,∴DE=AD-AE=. ∵DH⊥EF,∠DEH=∠AEF=60°, ∴DH=DE·sin 60°=×=, 根据垂线段最短可知,当点Q与点H重合时,DQ的值最小,最小值为.故选A. 3.C　【解析】 如图,取AB的中点O,连接OM,AD,CO. ∵点M是BD的中点, ∴OM∥AD,OM=AD. ∵AD=3,∴OM=, ∴点M在以点O为圆心,为半径的圆上运动. ∵∠ACB=90°,AC=5,BC=12, ∴AB=13,∴CO=, ∴CM的最小值为-=5.故选C. 4.+1　【解析】 如图,过点D作DM⊥EF于点M,在△DEF内部过点E,F分别作∠MEP=∠MFP=30°,则∠EPF=∠FPD=∠EPD=120°,点P就是费马点. 在等腰直角三角形DEF中, ∵DE=DF=,DM⊥EF, ∴EF=DE=2,∴EM=DM=1. 在Rt△PEM中,cos 30°==, 解得PE=,∴PM=, ∴DP=1-,同法可得PF=, ∴PD+PE+PF=2×+1-=+1. 故答案为+1. 5.2π　【解析】 如图,连接AO,OP,将AO绕点A逆时针旋转60°,得线段AO',连接O'B,OO'. ∵AO=AO',∠OAO'=60°, ∴△OAO'为等边三角形. ∵△APB为等边三角形, ∴∠PAB=60°,PA=BA, ∴∠PAB-∠OAB=∠OAO'-∠OAB, ∴∠PAO=∠BAO'. 在△APO和△ABO'中, ∴△APO≌△ABO'(SAS), ∴OP=O'B=1,∴☉O'即为动点B运动的路径, ∴当点P在☉O上运动一周时,点B运动的路径长是2π. 故答案为2π. 6. 　【解析】 如图,连接AC,将△APC绕点C顺时针旋转60°,得到△DEC,连接PE,DE,则线段BD的长等于PA+PB+PC的最小值. 如图,当B,P,E,D四点共线时,PA+PB+PC的值最小,最小值为BD的长. 易知△APC≌△DEC,∴CP=CE,∠PCE=60°, ∴△PCE是等边三角形, ∴PE=CE=CP,∠EPC=∠CEP=60°. ∵在菱形ABCD中,∠ABP=∠CBP=∠ABC=30°, ∴∠PCB=∠EPC-∠CBP=60°-30°=30°, ∴∠PCB=∠CBP=30°,∴BP=CP. 同理DE=CE, ∴BP=PE=ED.易知AC⊥BD. 在Rt△BOC中,∠OBC=30°,BC=4, ∴BO=BC·cos∠OBC=4×=2, ∴BD=2BO=4,∴BP=BD=, 即当PA+PB+PC值最小时,PB的长为. 故答案为. 学科网（北京）股份有限公司 $$