48 方法专题十二 “将军饮马”最值问题（Word练习）-【智乐星中考·学考传奇】2025年山东省济南市中考数学全练本

1.(2024·泸州)如图,在边长为6的正方形ABCD中,点E,F分别是边AB,BC上的动点,且满足AE=BF,AF与DE交于点O,点M是DF的中点,G是边AB上的点,AG=2GB,则OM+FG的最小值是 (　　) 　　　　　　　　　　　　　　　 A.4 B.5 C.8 D.10 2.如图,在锐角三角形ABC中,AB=6,∠ABC=60°,∠ABC的平分线交AC于点D,点P,Q分别是BD,AB上的动点,则AP+PQ的最小值为 (　　) A.6 B.6 C.3 D.3 3.如图,等腰直角三角形ABC中,∠ACB=90°,AC=BC=4,点D为BC的中点,AD=2.若点P为AB上一个动点,则PC+PD的最小值为　　　　.  第3题图 第4题图 4.如图,已知∠AOB=30°,C为射线OB上一点,点D为OC的中点,且OC=6.当点P在射线OA上运动时,则PC与PD和的最小值为　　　　.  5.如图,Rt△ABC中,∠C=90°,AC=3,BC=4,AB=5,点D,E,F分别是AB,BC,AC边上的动点,则△DEF的周长的最小值是　　　　.  6.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠ABC=30°,AC=2,以BC为边向左侧作等边三角形BCE,点D为AB中点,连接CD,点P,Q分别为CE,CD上的动点,则PD+PQ+QE的最小值为　　　　　.  7.如图,在△ABC中,∠BAC=45°,点D是BC边上一点,连接AD,M,N是线段AD上两点,AM=8,AN=15,点P,Q分别是AB,AC边上的动点,连接PM,PQ,NQ,则PM+PQ+NQ的最小值为　　　　.  8.如图,已知∠MON=30°,在∠MON的内部有一点P,A为OM上一动点,B为ON上一动点,OP=a,当△PAB的周长最小时,∠APB=　　　　度,△PAB的周长的最小值是　　　　.  学科网（北京）股份有限公司 $$ 方法专题十二　“将军饮马”最值问题 1.B 2.D　【解析】 如图,在BC上取点E,使BE=BQ,连接PE,过点A作AH⊥BC于点H. ∵BD是∠ABC的平分线, ∴∠ABD=∠CBD. ∵BP=BP,BE=BQ, ∴△BPQ≌△BPE(SAS), ∴PE=PQ, ∴AP+PQ的值最小,即AP+PE最小. 当AP+PE=AH时最小,在Rt△ABH中,AB=6,∠ABC=60°, ∴AH=AB·cos 60°=3,∴AP+PQ的最小值为3. 故选D. 3.2　【解析】 如图,作点D关于AB的对称点E,连接PE,BE, 则DB=EB, DP=EP, ∴∠ABC=∠ABE=45°,∠CBE=90°. ∵点D是BC的中点, ∴BD=BC=2,∴BE=2. ∵PC+PD=PC+PE, ∴当C,P,E三点在同一直线上时, PC+PE的最小值等于CE的长,此时,PC+PD最小. ∵AC=BC=4,点D为BC的中点,∴CD=DB=BE. 又∵∠ACD=∠CBE=90°, ∴△ACD≌△CBE(SAS),∴CE=AD=2, ∴PC+PD的最小值为2. 故答案为2. 4.3　【解析】 如图,作点D关于射线OA的对称点D',连接CD'交OA于点P',连接DP',根据轴对称的性质得到P'D'=P'D,此时DP'+CP'=CD',即为PC+PD的最小值. 设DD'与OA交于点E. ∵∠O=30°,OD=3,由对称性可知∠DEO=90°, ∴∠ODE=60°,DE=OD=, ∴DD'=2DE=3,∴DD'=CD, ∴∠D'=∠DCD'=∠ODE=30°, ∴∠EDP'=∠D'=30°, ∴∠ODP'=∠ODE+∠EDP'=90°, ∴在Rt△ODP'中,∠O=30°,OD=3,∴DP'=, ∴CP'=2DP'=2,∴DP'+CP'=3, ∴PC与PD和的最小值为3.故答案为3. 5.4.8　【解析】 如图,作点D关于直线AC的对称点M,作点D关于直线BC的对称点N,连接CM,CN,CD,EN,FM,DN,DM. ∴DF=FM,DE=EN,CD=CM, CD=CN, ∴CD=CM=CN. ∵∠MCA=∠DCA,∠BCN=∠BCD,∠ACD+∠BCD=90°, ∴∠MCD+∠NCD=180°, ∴M,C,N三点共线. ∵DF+DE+EF=FM+EN+EF,FM+EN+EF≥MN, ∴当M,F,E,N四点共线时,且CD⊥AB时,DE+EF+FD的值最小,最小值为MN=2CD. ∵CD⊥AB, ∴AB·CD=BC·AC, ∴CD===2.4, ∴DE+EF+FD的最小值为4.8.故答案为4.8. 6.4　【解析】 如图,连接PA,QB. 由题意可得△BCE和△ADC都是等边三角形, ∴∠BCE=60°,∠ACD=60°, ∴∠ACE=∠ACB-∠BCE=30°=∠ACD, ∴CE垂直平分AD,∴PA=PD. 同理可得CD垂直平分BE,∴QB=QE, ∴PD+PQ+QE=PA+PQ+QB. 由两点之间线段最短可知,当点A,P,Q,B共线时,PA+PQ+QB取得最小值,最小值为AB的长. ∵∠ACB=90°,∠ABC=30°,AC=2,∴AB=4, ∴PD+PQ+QE的最小值为4.故答案为4. 7.17　【解析】 如图,作点M关于直线AB的对称点M',作点N关于直线AC的对称点N',作射线AM',AN', 则∠BAM'=∠BAD,∠CAN'=∠CAD,PM'=PM,QN'=QN,AM'=AM=8,AN'=AN=15, ∴PM+PQ+NQ=PM'+PQ+QN', ∴要使PM+PQ+NQ最小,只要点M',P,Q,N'在一条直线上即可. 连接M'N'交AB,AC于点P',Q',PM+PQ+NQ最小时,P,Q位于点P',Q'处,PM+PQ+NQ最小值为M'N'的长. ∵∠BAC=45°,∴∠M'AN'=90°, ∴M'N'===17. 故答案为17. 8.120　a　【解析】 如图,分别作点P关于OM,ON的对称点P',P″,连接P'P″,分别交OM,ON于点A、点B,则此时△PAB的周长最小,连接OP',OP″, 由轴对称的性质得OP=OP'=OP″=a, ∠P'OA=∠POA,∠P″OB=∠POB. ∵∠MON=30°, ∴∠P'OP″=2∠MON=60°, ∴△P'OP″是等边三角形, ∴P'P″=OP=a,∠APO=∠AP'O=60°,∠BPO=∠BP″O=60°, ∴∠APB=∠APO+∠BPO=120°, ∴C△PAB=P'P″=a.故答案为120,a. 学科网（北京）股份有限公司 $$