43 方法专题十 “隐形圆”六大模型的运用（Word练习）-【智乐星中考·学考传奇】2025年山东省济南市中考数学全练本

1.如图,在矩形ABCD中,AD=5,AB=3,点E在AB上,=,在矩形内找一点P,使得∠BPE=60°,则线段PD的最小值为 (　　) 　　　　　　　　　　　　　　　 A.2-2 B.2-4 C.4 D.2 第1题图 第2题图 2.如图,点P是边长为1的正方形ABCD内的一个动点,且满足∠PBC+∠PDC=45°,则CP的最小值是 (　　) A.2- B. C. D.-1 3.如图,在等腰直角三角形ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,BC=2,点D是AC边上一动点,连接BD,以AD为直径的圆交BD于点E,则线段CE长度的最小值为 (　　) A.2-2 B.-2 C.-1 D.-1 第3题图 第4题图 4.(2024·凉山二模)如图,矩形ABCD的对角线相交于点O,过点O作OE⊥BD,交AD于点E,连接BE.若∠ABE=20°,则∠AOE的大小是 (　　) A.10° B.15° C.20° D.30° 5.如图,在矩形ABCD中,AB=3,BC=5,点E在对角线AC上,连接BE,作EF⊥BE,垂足为E,直线EF交线段DC于点F,则 的值为 (　　) A. B. C. D. 6.如图,点A,B的坐标分别为A(4,0),B(0,4),C为平面直角坐标系内一点,BC=2,点M为线段AC的中点,连接OM,OM的最大值为　　　　.  7.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°,BC=2,点E是AC的中点,F是斜边AB上任意一点,连接EF.将△AEF沿EF折叠得到△DEF,连接DB,则△BDF周长的最小值是　　　　.  8.如图,矩形ABCD的边AB=8,AD=6,点M为BC的中点,点P是矩形内部一动点,且满足∠ADP=∠PAB,点N为边CD上的一个动点,连接PN,MN,则PN+MN的最小值为　　　　.  学科网（北京）股份有限公司 $$ 方法专题十　“隐形圆”六大模型的运用 1.A　【解析】 如图,在BE的上方作△OEB,使得OE=OB,∠EOB=120°,连接OD,过点O作OQ⊥BE于点Q,OJ⊥AD于点J. ∵∠BPE=∠EOB, ∴点P的运动轨迹是以点O为圆心,OE长为半径的☉O, ∴当点P落在线段OD上时,DP的值最小. ∵四边形ABCD是矩形,∴∠A=90°. ∵AB=3,AE∶EB=1∶2,∴BE=2. ∵OE=OB,∠EOB=120°,OQ⊥EB, ∴EQ=BQ=,∠EOQ=∠BOQ=60°, ∴OQ=1,OE=2. ∵OJ⊥AD,OQ⊥AB,∴∠A=∠AJO=∠AQO=90°, ∴四边形AQOJ是矩形,∴AJ=OQ=1,JO=AQ=2. ∵AD=5,∴DJ=AD-AJ=4, ∴OD===2, ∴PD的最小值为OD-OP=2-2.故选A. 2.D　【解析】 ∵四边形ABCD是正方形, ∴∠BCD=90°. 在四边形BCDP中, ∵∠BCD=90°,∠PBC+∠PDC=45°, ∴∠BPC+∠CPD=360°-∠BCD-(∠PBC+∠PDC)=225°, ∴∠BPD=360°-(∠BPC+∠CPD)=135°, 当点P在运动过程中, 使得∠BPD=135°, 即点P在正方形ABCD内,以点A为圆心,AB长为半径的圆弧上. 由图可得AP+CP≥AC. 当A,P,C三点共线时,CP取得最小值,最小值为AC-AP. 在Rt△ABC中,AB=BC=1, ∴AC==. ∵AP=AB=1,∴CP=AC-AP=-1.故选D. 3.C　【解析】 如图,连接AE. ∵∠BAC=90°,AB=AC,BC=2,∴AB=AC=2. ∵AD为直径,∴∠AED=90°,∴∠AEB=90°, ∴点E在以AB为直径的☉O上. 连接OE,OC. ∵☉O的半径为1, ∴OE=AB=1. 在Rt△AOC中,OA=1,AC=2, ∴OC==. ∵OC=,∴OE=1是定值. 如图,点E在线段OC上时,CE最小, ∴CE=OC-OE=-1, 即线段CE长度的最小值为-1.故选C. 4.C　【解析】 如图,取BE的中点K,连接AK,OK. ∵四边形ABCD是矩形, ∴∠BAE=90°. ∵EO⊥BD, ∴∠BOE=90°, ∴四边形ABOE对角互补, ∴A,B,O,E四点共圆. ∵BK=KE,∴KA=KB=KO=KE,∴∠ABE=∠AOE=20°. 故选C. 5.B　【解析】 如图,连接BF,取BF的中点O,连接OE,OC. ∵四边形ABCD是矩形,EF⊥BE, ∴四边形EFCB对角互补,∴B,C,F,E四点共圆, ∴∠BEF=∠BCF=90°,AB=CD=3,BC=AD=5. ∵OB=OF,∴OE=OB=OF=OC, ∴B,C,F,E四点在以点O为圆心的圆上, ∴∠EBF=∠ECF,∴tan∠EBF=tan∠ACD, ∴==.故选B. 6.1+2　【解析】 ∵C为平面直角坐标系内一点,BC=2, ∴点C的运动轨迹是在半径为2的☉B上. 如图,取OD=OA=4,连接CD. ∵点M为线段AC的中点, ∴OM是△ACD的中位线, ∴OM=CD, ∴OM最大值时,CD取最大值,此时D,B,C三点共线, 此时在Rt△OBD中, BD===4, ∴CD=2+4,∴OM的最大值是1+2.故答案为1+2. 7.4+-　【解析】 在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°,BC=2, ∴AB=4,∴AC===2. 如图,以点E为圆心,AE的长为半径作圆,连接BE,交☉E于点D',当点D与点D'重合时,BD的长度最小. ∵将△AEF沿EF折叠得到△DEF,且点E是AC的中点, ∴AF=D'F,AE=DE=. ∵C△BD'F=D'F+FB+BD'=AF+FB+BD'=AB+BD', ∴此时△BDF的周长最小. 过点E作EM⊥AB于点M,则EM=AE=, 由勾股定理得AM===, ∴BM=AB-AM=. 由勾股定理得BE===, ∴BD'=BE-DE'=-, ∴△BDF周长的最小值是4+-.故答案为4+-. 8.7　【解析】 ∵四边形ABCD是矩形,∴∠BAD=90°. ∵∠ADP=∠PAB, ∴∠ADP+∠PAD=∠PAB+∠PAD=∠BAD=90°, ∴点P的运动路线是以AD为直径的圆. 作以AD为直径的☉O,作点M关于直线DC的对称点M',连接OM'交☉O于点P',连接M'N,OP. 则OP=OP'=3,M'N=MN, ∴PN+MN=PN+M'N=PN+M'N+OP-OP'≥OM'-OP'=OM'-3, ∴PN+MN的最小值为OM'-3. 如图,连接OM. ∵四边形ABCD是矩形,点O是AD的中点,点M为BC的中点, ∴OD=AD=BC=CM=3,OD∥CM,∠ODC=90°, ∴四边形OMCD是矩形, ∴OM=DC=AB=8,∴M'M=2MC=6. 在Rt△M'OM中, 由勾股定理得OM'===10, ∴PN+MN的最小值为OM'-3=10-3=7.故答案为7. 学科网（北京）股份有限公司 $$