39 第五章 第四节 正方形（Word练习）-【智乐星中考·学考传奇】2025年山东省济南市中考数学全练本

第四节　正方形 1.正方形ABCD的一条对角线长为2,则正方形ABCD的周长是 (　　) 　　　　　　　　　　　　　　　 A.4 B.4 C.8 D.8 2.如图,在正方形ABCD外侧作等边三角形CDE,连接AE,则∠AED的度数为 (　　) A.10° B.12.5° C.15° D.20° 3.下列说法正确的是 (　　) A.对角线互相垂直的四边形是菱形 B.一组对边平行,另一组对边相等的四边形一定是平行四边形 C.对角线相等的菱形是正方形 D.平行四边形一定是轴对称图形 4.(2024·常州)如图,在平面直角坐标系xOy中,正方形ABCD的对角线AC,BD相交于原点O.若点A的坐标是(2,1),则点C的坐标是　　　　.  5.(2024·兰州)如图,四边形ABCD为正方形.△ADE为等边三角形,EF⊥AB于点F.若AD=4,则EF=　　　　.  6.(2024·吉林)如图,正方形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,点E是OA的中点,F是OD上一点.连接EF.若∠FEO=45°,则 的值为　　　　.  7.(2024·北京)如图,在正方形ABCD中,点E在AB上,AF⊥DE于点F,CG⊥DE于点G.若AD=5,CG=4,则△AEF的面积为　　　　.  8.(2023·十堰)如图,▱ABCD的对角线AC,BD交于点O,分别以点B,C为圆心,AC,BD长为半径画弧,两弧交于点P,连接BP,CP. (1)试判断四边形BPCO的形状,并说明理由. (2)请说明当▱ABCD的对角线满足什么条件时,四边形BPCO是正方形? 9.如图,直线y=-x+1与x轴、y轴分别交于A,B两点,以AB为边在第一象限内作正方形 ABCD,则点D的坐标为 (　　) A.(1,3) B.(2,4) C.(2,3) D.(3,2) 10.(2024·重庆A卷)如图,在边长为4的正方形ABCD中,E是BC上一点,F是CD延长线上一点,连接AE,AF,AM平分∠EAF交CD于点M.若BE=DF=1,则DM的长度为 (　　) A.2 B. C. D. 11.(2024·烟台)如图,在正方形ABCD中,点E,F分别为对角线BD,AC的三等分点,连接AE并延长交CD于点G,连接EF,FG.若∠AGF=α,则∠FAG用含α的代数式表示为 (　　) A. B. C. D. 12.(2024·天津)如图,正方形ABCD的边长为 3,对角线AC,BD相交于点O,点E在CA的延长线上,OE=5,连接DE. (Ⅰ)线段AE的长为　　　　;  (Ⅱ)若点F为DE的中点,则线段AF的长为　　　　.  13.(2024·泰安新泰三模)如图1,在正方形ABCD中,E为对角线AC上一点(AE>CE),连接BE,DE. (1)求证:BE=DE. (2)如图2,过点E作EF⊥AC交BC于点F,延长BC至点G,使得CG=BF,连接DG.求证:DG=BE. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第四节　正方形 1.C　2.C　3.C　4.(-2,-1)　5.2　6.　7. 8.解:(1)四边形BPCO为平行四边形. 理由如下:∵四边形ABCD为平行四边形, ∴OC=OA=AC,OB=OD=BD. ∵分别以点B,C为圆心,AC,BD长为半径画弧,两弧交于点P,∴OB=CP,BP=OC, ∴四边形BPCO为平行四边形. (2)当AC⊥BD,AC=BD时,四边形BPCO为正方形. ∵AC=BD,OB=BD,OC=AC,∴OB=OC, ∴平行四边形BPCO是菱形. ∵AC⊥BD,∴∠BOC=90°. ∴四边形BPCO为正方形. 9.D　10.D 11.B　【解析】 如图,设BD与AC交于点O, ∴OD=OC,∠ODC=∠OCD=45°. ∵正方形ABCD中,点E,F分别为对角线BD,AC的三等分点, ∴=,DE=CF,∴OE=OF. ∵∠EOF=∠DOC,=, ∴△EOF∽△DOC,∴∠OFE=∠OCD=45°. ∵四边形ABCD是正方形,∴AB∥CD,∴△ABE∽△GDE, ∴==, ∴DG=CD=CG,∴△DEG≌△CFG(SAS), ∴GE=GF,∴∠GEF=(180°-∠AGF)=90°-α, ∴∠FAG=∠GEF-∠AFE=90°-α-45°=. 故选B. 12.(Ⅰ)2　(Ⅱ) 13.证明:(1)∵四边形ABCD是正方形, ∴BA=DA,∠BAE=∠DAE. 在△BAE和△DAE中, ∴△BAE≌△DAE(SAS),∴BE=DE. (2)如图,连接EG. ∵EF⊥AC,∴∠FEC=90°. ∵∠FCE=45°,∴∠CFE=∠ECF=45°, ∴EF=EC,∠BFE=∠GCE. 又∵BF=CG,∴△BFE≌△GCE(SAS), ∴BE=GE,∠BEF=∠GEC. 由(1)得△BAE≌△DAE, ∴BE=DE,∠AEB=∠AED,∴DE=GE. ∵∠AEB+∠BEF=90°,∴∠AED+∠GEC=90°, ∴∠DEG=90°,∴DE2+EG2=DG2, ∴2DE2=DG2,∴DG=DE=BE. 学科网（北京）股份有限公司 $$