37 第五章 第二节 矩形（Word练习）-【智乐星中考·学考传奇】2025年山东省济南市中考数学全练本

第二节　矩形 1.C　2.C　3.D　4.C　5.D　6.C　7.D　8.2 9.解:(1)由折叠可知CD=CB. ∵B(5,3),∴CD=CB=5,OC=3. 在Rt△ODC 中,由勾股定理得OD==4, ∴点D的坐标为(4,0). (2)∵OA=BC=5,OD=4,∴AD=OA-OD=5-4=1. 由折叠可知BE=DE. 设AE=x,则DE=BE=3-x. 在Rt△ADE 中,由勾股定理得AE2+AD2=DE2, 即x2+12=(3-x)2, 解得x=, ∴点E的坐标为(5,). 10.B　11.1 12.13或　【解析】 当CE>BE时,如图. ∵四边形ABCD是矩形, ∴点O是BD的中点. ∵点P是DE的中点, ∴BE=2OP=6,CP=PE=PD. ∵点E是边BC的三等分点, ∴CE=2BE=12,BC=3BE=18. ∵矩形ABCD的面积是90, ∴BC·CD=90,∴CD=5, ∴DE==13,∴PC+PE=DE=13; 当CE<BE时,如图. ∵四边形ABCD是矩形, ∴点O是BD的中点. ∵点P是DE的中点, ∴BE=2OP=6,CP=PE=PD. ∵点E是边BC的三等分点, ∴CE=BE=3,BC=3+6=9. ∵矩形ABCD的面积是90, ∴BC·CD=90,∴CD=10, ∴DE==, ∴PC+PE=DE=. 综上所述,PC+PE的值为13或.故答案为13或. 13.(1)证明:∵在△ABC中,AB=AC,点D是BC的中点, ∴AD⊥BC,即∠ADC=∠ADB=90°. ∵CE∥AD,∴∠ECD=∠ADB=90°. ∵AE⊥AD,∴∠EAD=90°, ∴∠ADC=∠ECD=∠EAD=90°, ∴四边形ADCE是矩形. (2)解:∵在△ABC中,AB=AC,点D是BC的中点, BC=4, ∴BD=CD=BC=2. 由(1)可知四边形ADCE是矩形, ∴AE=CD=2,∠AEC=90°. 在Rt△AEC中,AE=2,CE=3, 由勾股定理得AC==. 又∵EF⊥AC, ∴S△AEC=AC·EF=AE·CE, ∴EF===. 14.(1)证明:由题意可知∠AFP=∠AOF=90°,∠FAO=∠PAF, ∴△FAP∽△OAF, ∴=,∴AF2=OA·AP. ∵点O是矩形ABCD对角线AC的中点, ∴OA=AC,∴2AF2=AC·AP. (2)解:设CD=m. ∵四边形ABCD是矩形,AD=2AB,∴AB=CD,∠BCD=90°, ∴AD=2CD=2m. ∵EF垂直平分AC,∴CF=AF=2m-FD. ∵FD2+CD2=CF2,∴FD2+m2=(2m-FD)2, 整理得3m2-4m·FD=0. ∵m≠0,∴3m-4FD=0,∴FD=m,∴CF=m, ∴cos∠CFD==. 15.(1)证明:∵四边形ABCD是菱形, ∴AD∥BC且AD=BC. ∵CF=BE,∴CF+CE=BE+CE,即EF=BC, ∴AD=EF. ∵AD∥EF,∴四边形AEFD是平行四边形. ∵AE⊥BC,∴∠AEF=90°, ∴平行四边形AEFD是矩形. (2)解:如图,过点E作EG⊥AC于点G. ∵四边形ABCD是菱形,∴AC⊥BD,∴EG∥BD,∴∠BOE=∠OEG. ∵BD=8,AC=4, ∴AO=CO=2,BO=DO=4. 在Rt△BOC中, 由勾股定理得BC===2. ∵AE⊥BC, ∴=BC·AE=AC·BD=×4×8=16,∠AEC=90°, ∴AE==,OE=AC=AO=2, ∴CE===. ∵=AC·EG=AE·CE, ∴EG===, ∴cos∠BOE=cos∠OEG===. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二节　矩形 1.(2024·甘肃)如图,在矩形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,∠ABD=60°,AB=2,则AC的长为 (　　) 　　　　　　　　　　　　　　　 A.6 B.5 C.4 D.3 第1题图 第2题图 2.(2024·辽宁)如图,在矩形ABCD中,点E在AD上,当△EBC是等边三角形时,∠AEB的度数为 (　　) A.30° B.45° C.60° D.120° 3.如图,在矩形OABC中,点B的坐标是(-4,-2),则AC的长是 (　　) A.2 B.2 C.4 D.2 第3题图 第4题图 4.(2024·成都)如图,在矩形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,则下列结论一定正确的是 (　　) A.AB=AD B.AC⊥BD C.AC=BD D.∠ACB=∠ACD 5.(2024·泸州)已知四边形ABCD是平行四边形,下列条件中,不能判定▱ABCD为矩形的是 (　　) A.∠A=90° B.∠B=∠C C.AC=BD D.AC⊥BD 6.(2024·菏泽巨野一模)如图,在矩形ABCD中,E为BA延长线上一点,点F为CE的中点,以点B为圆心,BF的长为半径的圆弧过AD与CE的交点G,连接BG.若AB=4,CE=10,则AG的长为 (　　) A.2 B.2.5 C.3 D.3.5 第6题图 第7题图 7.(2023·杭州)如图,矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O.若∠AOB=60°,则= (　　) A. B. C. D. 8.(2024·聊城阳谷一模)如图,矩形ABCD中,AB=4,AD=6.在边AD上取一点E,使BE=BC,过点C作CF⊥BE,垂足为F,则BF的长为　　　　　 .  9.如图所示,折叠矩形OABC的一边BC,使点B落在AO边的点D处,已知点B的坐标为(5,3).求:(1)点D的坐标; (2)点E的坐标. 10.(2024·河北)在平面直角坐标系中,我们把一个点的纵坐标与横坐标的比值称为该点的“特征值”.如图,矩形ABCD位于第一象限,其四条边分别与坐标轴平行,则该矩形四个顶点中“特征值”最小的是 (　　) A.点A B.点B C.点C D.点D 11.(2024·济南高新一模)如图,在矩形ABCD中,AB=4,BC=3,E为AB上一点,连接DE,将△ADE沿DE折叠,点A落在A1处,连接A1C.若点F,G分别为A1C,BC的中点,则FG的最小值为　　　　.  12.(2024·牡丹江)矩形ABCD的面积是90,对角线AC,BD交于点O,点E是BC边的三等分点,连接DE,点P是DE的中点,OP=3,连接CP,则PC+PE的值为　　　　.  13.(2024·兰州)如图,在△ABC中,AB=AC,点D是BC的中点,CE∥AD,AE⊥AD,EF⊥AC. (1)求证:四边形ADCE是矩形; (2)若BC=4,CE=3,求EF的长. 14.如图,点O是矩形ABCD对角线AC的中点,过点O作AC的垂线交BC于点E,交AD于点F,连接FC,AE. (1)点P在对角线AC上,且FP⊥AD,求证:2AF2=AC·AP; (2)若AD=2AB,求cos∠CFD的值. 15.(2024·泰安泰山模拟)如图,在菱形ABCD中,对角线AC,BD交于点O,过点A作BC的垂线,垂足为E,延长BC到点F,使CF=BE,连接DF. (1)求证:四边形AEFD是矩形; (2)连接OE,若BD=8,AC=4,求cos∠BOE. 学科网（北京）股份有限公司 $$