33 方法专题八 “半角”模型（Word练习）-【智乐星中考·学考传奇】2025年山东省济南市中考数学全练本

1.如图,已知正方形ABCD的边长为5,点M,N分别在边BC,CD上,连接AM,MN,AN.若∠MAN=45°,BM=2,则线段NC的长为 (　　) 　　　　　　　　　　　　　　　 A.2 B.3 C. D. 2.如图,在Rt△ABC和Rt△BCD中,∠BAC=∠BDC=90°,BC=4,AB=AC,∠CBD=30°,M,N分别在BD,CD上,∠MAN=45°,则△DMN的周长为　　　　.  3.(2024·德阳) 如图,在菱形ABCD中,∠ABC=60°,对角线AC与BD相交于点O,点F为BC的中点,连接AF与BD相交于点E,连接CE并延长交AB于点G. (1)证明:△BEF∽△BCO; (2)证明:△BEG≌△AEG. 4.已知,△ABC中,AB=AC,∠BAC=α,点D,E在边BC上,且∠DAE=α. (1)如图1,当α=60°时,将△AEC绕点A顺时针旋转60°到△AFB的位置,连接DF. ①∠DAF=　　　　;②求证:DF=DE;  (2)如图2,当α=90°时,猜想BD,DE,CE的数量关系,并说明理由. 5.【问题发现与证明】 如图1,四边形ABCD是正方形,点E,F分别在边BC,CD上,且∠EAF=45°,我们把这种模型称为“半角模型”,在解决“半角模型”问题时,“截长补短”是常用的方法之一.在图2中,连接EF,为了证明结论“EF=BE+DF”,小亮延长CB到点G,使BG=DF解答了这个问题,请按小亮的思路写出证明过程. 【问题拓展与应用】 如图3,正方形ABCD的边长为6,点E,F分别在BC,CD上.若AE=3,∠EAF=45°,求AF的长. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 方法专题八　“半角”模型 1.D　2.2+2 3.证明:(1)∵四边形ABCD是菱形, ∴AB=BC,AC⊥BD. 又∵∠ABC=60°,∴△ABC是等边三角形,∴AB=AC. ∵点F为BC的中点,∴AF⊥BC, ∴∠BOC=∠BFE=90°. 又∵∠EBF=∠CBO,∴△BEF∽△BCO. (2)∵BO⊥AC,AF⊥BC,∴CG⊥AB, ∴∠BGE=∠AGE. 又∵AC=BC,∴BG=AG. 在△BEG和△AEG中, ∴△BEG≌△AEG(SAS). 4.(1)①解:30° 提示:由旋转知AF=AE,∠BAF=∠CAE,∠EAF=60°. ∵∠DAE=α,∠BAC=α=60°,∴∠DAE=×60°=30°, ∴∠CAE+∠BAD=∠BAC-∠DAE=30°, ∴∠DAF=∠BAD+∠BAF=∠BAD+∠CAE=30°. ②证明:由①知AF=AE,∠DAF=∠DAE=30°. ∵AD=AD,∴△DAF≌△DAE(SAS),∴DF=DE. (2)解:DE2=BD2+CE2. 理由如下:如图,将△AEC绕点A顺时针旋转90°到△AFB的位置,连接DF. ∵∠BAC=90°,AB=AC, ∴∠C=∠ABF=45°. 由旋转的性质得△BAF≌△CAE, ∴BF=CE,∠ABF=∠ACE=45°, ∴∠DBF=90°,根据勾股定理得DF2=BD2+BF2, ∴DF2=BD2+CE2. 由(1)得DF=DE,∴DE2=BD2+CE2. 5.【问题发现与证明】证明:∵四边形ABCD为正方形, ∴AD=AB,∠BAD=∠D=90°, ∴∠ADF=∠ABG=90°. 在△ADF和△ABG中, ∴△ADF≌△ABG(SAS),∴AF=AG,∠DAF=∠BAG. ∵∠EAF=45°,∴∠BAE+∠DAF=45°, ∴∠BAG+∠BAE=45°,即∠EAG=45°, ∴∠EAF=∠EAG. 在△EAF和△EAG中, ∴△EAF≌△EAG(SAS),∴EF=GE, ∵GE=BG+BE,BG=DF,∴GE=DF+BE, ∴EF=BE+DF. 【问题拓展与应用】解:∵正方形ABCD的边长为6, ∴AB=BC=CD=AD=6,∠B=∠C=∠D=90°. 在Rt△ABE中,AB=6,AE=3, ∴BE===3, ∴CE=BC-BE=6-3=3. 由【问题发现与证明】可知EF=BE+DF, 设DF=x,则CF=CD-DF=6-x,EF=BE+DF=3+x. 在Rt△FEC中,CE2+CF2=EF2, ∴32+(6-x)2=(3+x)2,解得x=2,∴DF=2. 在Rt△ADF中,AF===2. 学科网（北京）股份有限公司 $$