32 方法专题七 “一线三等角”模型（Word练习）-【智乐星中考·学考传奇】2025年山东省济南市中考数学全练本

1. 如图,在等腰三角形ABC中,AB=AC=9,BP=BC=2,点D在AC上,且∠APD=∠B,则CD=　　　　.  2.如图,将等边三角形ABC折叠,折痕为MN,使点A落在BC边上得到点D.若BD=BC,则=　　　　.  第2题图 第3题图 3.如图,在正方形ABCD中,G为BC上一点,矩形DEFG的边EF经过点A.若∠CDG=α,则∠AHF=　　　　;若AH=3,GC=2,则△EFH的面积为　　　　.  4.【感知】如图1,在正方形ABCD中,E为AB边上一点,连接DE,过点E作EF⊥DE交BC于点F.易证:△AED∽△BFE. 【探究】如图2,在矩形ABCD中,E为AB边上一点,连接DE,过点E作EF⊥DE交BC于点F. (1)求证:△AED∽△BFE; (2)若AB=10,AD=6,点E为AB的中点,求BF的长. 5.(2024·甘肃)【模型建立】 (1)如图1,已知△ABE和△BCD,AB⊥BC,AB=BC,CD⊥BD,AE⊥BD.用等式写出线段AE,DE,CD的数量关系,并说明理由. 【模型应用】 (2)如图2,在正方形ABCD中,点E,F分别在对角线BD和边CD上,AE⊥EF,AE=EF.用等式写出线段BE,AD,DF的数量关系,并说明理由. 【模型迁移】 (3)如图3,在正方形ABCD中,点E在对角线BD上,点F在边CD的延长线上,AE⊥EF,AE=EF.用等式写出BE,AD,DF的数量关系,并说明理由. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 方法专题七　“一线三等角”模型 1.　2.　3.90°-α　3 4.(1)证明:∵四边形ABCD是矩形, ∴∠A=∠B=90°,∴∠ADE+∠AED=90°. ∵EF⊥DE,∴∠DEF=90°, ∴∠BEF+∠AED=90°, ∴∠ADE=∠BEF,∴△AED∽△BFE. (2)解:∵点E为AB的中点,∴AE=BE=5. 由(1)知△AED∽△BFE, ∴=,即=,∴BF=. 5.解:(1)DE+CD=AE.理由如下: ∵CD⊥BD,AE⊥BD,AB⊥BC, ∴∠ABC=∠D=∠AEB=90°, ∴∠ABE+∠CBD=∠C+∠CBD=90°,∴∠ABE=∠C. ∵AB=BC,∴△ABE≌△BCD(AAS), ∴BE=CD,AE=BD, ∴DE=BD-BE=AE-CD,∴DE+CD=AE. (2)AD=BE+DF.理由如下: 如图,过点A作AM⊥BD于点M,过点F作FN⊥BD于点N. 由(1)可证△AEM≌△EFN,∴EM=FN. 在正方形ABCD中,AD=AB,∠ABM=∠FDN=45°, ∴BM=AB·cos∠ABM=AB=AD, EM=FN=DF·sin∠FDN=DF. ∵BM=BE+EM,∴AD=BE+DF, 即AD=BE+DF. (3)AD=BE-DF.理由如下: 如图,过点A作AH⊥BD于点H,过点F作FG⊥BD,交BD的延长线于点G. ∵AH⊥BD,FG⊥BD,AE⊥EF, ∴∠AHE=∠G=∠AEF=90°, ∴∠AEH+∠HAE=∠AEH+∠GEF=90°, ∴∠HAE=∠GEF. ∵AE=EF, ∴△HAE≌△GEF(AAS),∴HE=GF. ∵在正方形ABCD中,∠BDC=45°, ∴∠FDG=∠BDC=45°,∴∠DFG=45°, ∴△DFG是等腰直角三角形, ∴FG=DF,∴HE=FG=DF. ∵∠ADB=45°,AH⊥HD,∴△ADH是等腰直角三角形, ∴HD=AD,∴DE=HD-HE=AD-DF, ∴BD-BE=DE=AD-DF. ∵BD=AD,∴AD-BE=AD-DF, ∴AD=BE-DF. 学科网（北京）股份有限公司 $$