23 综合考点六 二次函数中的角度问题（Word练习）-【智乐星中考·学考传奇】2025年山东省济南市中考数学全练本

综合考点六　二次函数中的角度问题 1.解:(1)当m=1时, y=x2-2x-3. 当y=0时, x2-2x-3=0,解得x1=-1,x2=3,∴B(3,0). 令x=0,则y=-3,∴C(0,-3). (2)当y=0时, x2-2mx-2m-1=0,解得 x1=-1,x2=2m+1. ∵点A在点B的左侧, 且m>0, ∴A(-1,0),B(2m+1,0). ∵当x=0时, y=-2m-1,∴C(0, -2m-1), ∴OB=OC=2m+1. ∵∠BOC=90°,∴∠OBC=45°. 如图, 连接AE. ∵y=x2-2mx-2m-1=(x-m)2-(m+1)2, ∴D(m,-m2-2m-1),F(m,0), ∴DF=(m+1)2,OF=m,BF=m+1. ∵A,B关于对称轴对称,∴AE=BE, ∴∠EAB=∠OBC=45°. ∵∠ACO=∠CBD,∠OCB=∠OBC, ∴∠ACO+∠OCB=∠CBD+∠OBC, 即∠ACE=∠DBF. ∵EF∥OC, ∴tan∠ACE====. ∵tan∠DBF==m+1=tan∠ACE, ∴=m+1,∴m=1 或-1. ∵m>0,∴m=1. (3)0<m<. 提示:如图, 设 PC 交x轴于点 Q. 当点P在第一象限时, 点Q总是在点B的左侧,此时∠CQA>∠CBA,即∠CQA>45°, ∵∠ACQ=75°, ∴∠CAO<60°, ∴2m+1<, 解得m<, ∴0<m<. 2.解:(1)如图,设对称轴与x轴交于点G. 由题意得AG=BG=2. ∵对称轴为直线x=-1, ∴B(1,0),A(-3,0), ∴OC=OA=3,∴C(0,3). 将点A,B,C的坐标分别代入y1=ax2+bx+c 得解得 ∴y1=-x2-2x+3=-(x+1)2+4,顶点为(-1,4). ∵抛物线y1绕点O旋转180°后得到新抛物线y2, ∴抛物线y2的顶点坐标为(1,-4), ∴抛物线y2的表达式为y2=(x-1)2-4,即y2=x2-2x-3. (2)如图,将点F向右平移2个单位长度至点F',则FF'=2,F'(-4,0),过点D作直线l2的对称点为点D',连接F'N,F'D',ND', ∴ND=ND'. ∵y2=(x-1)2-4,∴直线l2为直线x=1. ∵MN∥x轴,∴MN=1-(-1)=2. 对于抛物线y2=x2-2x-3,令x=0,则y2=-3, ∴D(0,-3). ∵点D与点D'关于直线x=1对称,∴D'(2,-3). ∵MN∥x轴,FF'=MN=2,∴四边形FF'NM为平行四边形, ∴MF=NF',∴FM+MN+DN=NF'+2+ND'≥2+F'D', 当F',N,D'三点共线时,FM+MN+DN取得最小值, 此时F'D'==3, ∴FM+MN+DN的最小值为2+3. (3)存在点P使得∠PEH=2∠DHE,点P的坐标为(3,0)或(,-). 提示:①如图,当点P在直线l2右侧抛物线上时. ∵抛物线y2=(x-1)2-4, ∴E(1,-4). ∵l2∥y轴,∴∠DHE=∠1. ∵∠PEH=2∠DHE, ∴∠PEH=2∠1=∠1+∠2, ∴∠1=∠2. 作点H关于直线l2的对称点H',则点H'在直线PE上. ∵点H的坐标为(0,-2),直线l2为x=1,∴H'(2,-2). 设直线PE的表达式为y=kx+t(k≠0). 将H'(2,-2),E(1,-4)代入y=kx+t得 解得 ∴直线PE的表达式为y=2x-6. 联立 解得x=3或x=1(舍去), ∴P(3,0); ②如图,当点P在直线l2左侧抛物线上时,延长EP交y轴于点N,作HN的垂直平分线交HE于点Q,交y轴于点M,过点E作EK⊥y轴于点K,则QM∥EK. ∵QM垂直平分HN, ∴QH=QN, ∴∠QHN=∠QNH, ∴∠NQE=2∠NHE. ∵∠PEH=2∠DHE, ∴∠NQE=∠PEH,∴NQ=NE. 由H(0,-2),E(1,-4)得EK=1,KH=2. ∵QM∥EK,∴△HMQ∽△HKE,∴=,∴=. 设HM=2m,MQ=m, ∴MN=HM=2m,NK=2-4m. 在Rt△QMN和Rt△ENK中, 由勾股定理得QM2+MN2=NK2+KE2, ∴m2+(2m)2=(2-4m)2+12,解得m=或m=1(舍去), ∴NK=2-=, ∴ON=4-=,∴N(0,-). 设直线PE的表达式为y=a1x+b1(a1≠0). 将点N(0,-),E(1,-4)代入y=a1x+b1得 解得 ∴直线PE的表达式为y=-x-. 联立 解得x=或x=1(舍去),∴P(,-). 综上所述,存在符合条件的点P,点P的坐标为(3,0)或(,-). 3.解:(1)∵B(4,0),∴OB=4. ∵∠BOC=90°,BC=4, ∴OC==4,∴C(0,4). 把点B(4,0),C(0,4)分别代入抛物线的表达式得解得 ∴y=-x2+x+4. (2)∵B(4,0),C(0,4), ∴设直线BC的表达式为y=kx+4,把B(4,0)代入得0=4k+4,解得k=-1,∴y=-x+4. 设P(m,-m2+m+4),则K(m,-m+4),D(m,0), ∴PK=-m2+m+4+m-4=-m2+2m,DK=-m+4,DB=4-m, ∴S1=PK·OB=-m2+4m, S2=DK·DB=(-m+4)(4-m)=(4-m)2, ∴S1-S2=-m2+4m-(4-m)2=-m2+8m-8 =-(m-)2+, ∴当m=时,S1-S2的最大值为. (3)存在. 令y=-x2+x+4=0,解得x1=-2,x2=4, ∴A(-2,0). ∵C(0,4),点E为AC的中点,∴E(-1,2). ∵FE⊥AC,AE=CE==, ∴AF=CF,∴∠AFE=∠CFE. 设OF=a,则CF=AF=a+2, 在Rt△COF中,由勾股定理得a2+42=(a+2)2, ∴a=3,∴F(3,0),CF=5. ∵FE⊥AC,∠AOC=90°, ∴∠AFE=∠OCA=90°-∠CAF, ∴∠AFE=∠OCA=∠CFE. ①如图,取点E关于x轴的对称点E1,连接FE1交抛物线于点Q1,则∠Q1FE=2∠EFA=2∠OCA,E1(-1,-2). 设FE1的表达式为y=k1x+b', 则解得∴y=x-. 联立解得(舍去)或 ∴Q1(,); ②如图,取点E关于CF所在直线的对称点E2,连接EE2交CF于点G,连接FE2交抛物线于点Q2, 则∠Q2FE=2∠CFE=2∠OCA,EG⊥CF. ∵CE=,CF=5,∴EF==2. ∵S△CEF=CF·EG=CE·EF, ∴5EG=2×,∴EG=2,∴FG==4. 过点G作GH⊥x轴于点H,则GH=FG·sin∠CFO=4×=,FH=FG·cos∠CFO=4×=, ∴OH=OF-FH=,∴G(,). ∵E(-1,2),∴=,=, ∴=,=,∴E2(,). 设直线E2F的表达式为y=k2x+b1,则解得∴y=-x+. 联立 解得(舍去)或 ∴Q2(,). 综上所述,点Q的坐标为(,)或(,). 4.解:(1)∵顶点D的坐标为(-1,4), ∴设抛物线M的表达式为y=a(x+1)2+4. 将点E(-2,3)代入得a=-1, ∴抛物线M的表达式为y=-(x+1)2+4. 当y=0时,x=-3或1. ∵点A在点B左侧,∴点A的坐标为(-3,0). (2)当x=0时,y=3,∴点C的坐标为(0,3), ∴直线AC的表达式为y=x+3. 如图,作点E关于AC的对称点E',则EE'⊥AC,设垂足为G,则点G为EE'的中点. ∵直线AC的表达式为 y=x+3, ∴EE'的表达式为y=-x+1. 联立得点G的坐标为(-1,2), ∴点E'的坐标为(0,1). ∵D(-1,4),E(-2,3),E'(0,1), ∴DE==, DE'==, ∴C△DEF=DE+DF+EF=DE+DF+FE'≥DE+DE'=+, 即△DEF周长的最小值为+. (3)点P的坐标为(-1,7)或(--1,7). 提示:∵抛物线N由抛物线M平移得到,设抛物线N的表达式为y=-x2+nx+m, 将点D(-1,4)代入得m=n+5, ∴抛物线N的表达式为y=-x2+nx+n+5, ∴顶点P的坐标为(,n2+n+5). 将x=代入y=-(x+1)2+4得y=-n2-n+3, ∴Q(,-n2-n+3). 如图,过点D作DH⊥PQ于点H,则H(,4). ∵×[n2+n+5+(-n2-n+3)]=4, ∴点H为PQ的中点,∴PD=QD, ∴∠DQP=∠DPQ. 又∵∠PDQ=4∠DPQ,∴∠DPQ=30°. 在Rt△DPH中,∠DPH=30°, ∴PH=DH, ∴n2+n+5-4=(+1)或n2+n+5-4=(-1-), ∴解第一个方程可得n1=-2(舍去),n2=2-2, 解第二个方程可得n1=-2(舍去),n2=-2-2, ∴点P的坐标为(-1,7)或(--1,7). 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.(2024·济南槐荫一模)如图,二次函数y=x2-2mx-2m-1(m>0)的图象与x轴交于A,B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C,顶点为D,其对称轴与线段BC交于点E,与x轴交于点F.连接AC,BD. (1)若m=1,求点B和点C的坐标. (2)若∠ACO=∠CBD,求m的值. (3)若在第一象限内二次函数y=x2-2mx-2m-1(m>0)的图象上,始终存在一点P,使得∠ACP=75°.请结合函数的图象,直接写出m的取值范围. 2.(2024·烟台)如图,抛物线y1=ax2+bx+c与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,OC=OA,AB=4,对称轴为直线l1:x=-1,将抛物线y1绕点O旋转180°后得到新抛物线y2,抛物线y2与y轴交于点D,顶点为E,对称轴为直线l2. (1)分别求抛物线y1和y2的表达式. (2)如图1,点F的坐标为(-6,0),动点M在直线l1上,过点M作MN∥x轴与直线l2交于点N,连接FM,DN.求FM+MN+DN的最小值. (3)如图2,点H的坐标为(0,-2),动点P在抛物线y2上,试探究是否存在点P,使∠PEH=2∠DHE?若存在,请直接写出所有符合条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由. 3.(2024·资阳)已知平面直角坐标系中,点O为坐标原点,抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A,B两点,与y轴的正半轴交于点C,且B(4,0),BC=4. (1)求抛物线的表达式. (2)如图1,P是抛物线在第一象限内的一点,连接PB,PC,过点P作PD⊥x轴于点D,交BC于点K.记△PBC,△BDK的面积分别为S1,S2,求S1-S2的最大值. (3)如图2,连接AC,点E为线段AC的中点,过点E作EF⊥AC交x轴于点F.抛物线上是否存在点Q,使∠QFE=2∠OCA?若存在,求出点Q的坐标;若不存在,说明理由. 4.(2024·济南历下三模)如图,抛物线M过点E(-2,3),与x轴交于点A和点B(点A在点B左侧),与y轴交于点C,顶点D的坐标为(-1,4). (1)求抛物线M的表达式和点A的坐标. (2)点F是线段AC上一动点,求△DEF周长的最小值. (3)平移抛物线M得到抛物线N,已知抛物线N过点D,顶点为P,其对称轴与抛物线M交于点Q.若∠PDQ=4∠DPQ,直接写出点P的坐标. 学科网（北京）股份有限公司 $$