20 综合考点三 二次函数中的面积问题（Word练习）-【智乐星中考·学考传奇】2025年山东省济南市中考数学全练本

1. 如图,在平面直角坐标系中,二次函数y=-x2-x+2的图象与x轴交于A(-3,0),B(1,0)两点,与y轴交于点C. (1)点Q是直线AC下方的抛物线上一动点,是否存在点Q,使S△ACQ=10?若存在,求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由. (2)如图,点M是直线AC上方的抛物线上一动点,是否存在点M,使△ACM的面积最大?若存在,求出点M的坐标及最大面积;若不存在,请说明理由. (3)如图,点P是直线AC上方的抛物线上一动点,设四边形APCB的面积为S,求S的最大值及此时点P的坐标. 2.(2024·济宁)已知二次函数y=ax2+bx+c 的图象经过(0,-3),(-b,c)两点,其中a,b,c 为常数,且ab>0. (1)求a,c的值. (2)若该二次函数的最小值是-4,且它的图象与x轴交于点A,B(点 A 在点B 的左侧),与y轴交于点C. ①求该二次函数的表达式,并直接写出点A,B 的坐标. ②如图,在y轴左侧该二次函数的图象上有一动点P,过点P作x轴的垂线,垂足为D,与直线AC 交于点E,连接PC,CB,BE.是否存在点P,使=?若存在,求此时点 P的横坐标;若不存在,请说明理由. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 综合考点三　二次函数中的面积问题 1.解:(1)存在.理由如下: 如图,过点Q作QE⊥y轴于点E,连接AQ,QC. 设Q(m,-m2-m+2),则QE=-m,OE=m2+m-2, CE=m2+m, ∴S△ACQ=S梯形AOEQ+S△AOC-S△CEQ=(3-m)×(m2+m-2)+×3×2-(m2+m)×(-m) =10, 整理得m2+3m-10=0,解得m1=-5,m2=2, ∴点Q的坐标为(-5,-8)或(2,-). (2)存在.理由如下: 如图,过点M作MN⊥x轴交AC于点N. ∵S△ACM=|xA-xc|·MN=MN, ∴当MN的值最大时,S△ACM取得最大值. 易知C(0,2),设点M的坐标为(x,-x2-x+2). 设直线AC的表达式为y=kx+b. 将A(-3,0),C(0,2)代入得解得 ∴直线AC的表达式为y=x+2, 则点N的坐标为(x,x+2), ∴MN=-x2-x+2-x-2=-x2-2x=-(x+)2+. ∵-<0, ∴当x=-时,线段MN的长有最大值,最大值为, 此时S△ACM=×=, ∴当M(-,)时,面积有最大值,最大值为. (3)令x=0,则y=2,∴C(0,2). 设直线AC的表达式为y=kx+p. ∴解得 ∴直线AC的表达式为y=x+2. 如图,过点P作PG∥y轴交AC于点G. 设P(t,-t2-t+2),则G(t,t+2), ∴PG=-t2-t+2-t-2=-t2-2t, ∴S=S△ACB+S△APC=×2×(3+1)+×3×(-t2-2t)=-t2-3t+4=-(t+)2+. ∵点P在直线AC上方,∴-3<t<0, ∴当t=-时,S有最大值,最大值为, 此时,点P的坐标为(-,). 2.解:(1)∵二次函数的图象过(0,-3),(-b,c)两点, ∴c=-3,ab2-b2-3=-3,∴(a-1)b2=0. ∵ab>0,∴a≠0,b≠0,∴a-1=0, ∴a=1. (2)①∵a=1,c=-3, ∴y=x2+bx-3=(x+)2-(b2+3). ∵函数存在最小值为-4, ∴-(b2+3)=-4,解得b2=4. ∵ab>0,a=1,∴b>0,∴b=2, ∴y=x2+2x-3. 令y=0,则x2+2x-3=0, 解得x1=-3,x2=1, ∴A(-3,0),B(1,0). ②存在. 设直线AC的表达式为y=kx+t. ∵A(-3,0),C(0,-3),代入y=kx+t得 解得 ∴直线AC的表达式为y=-x-3. 当点P在点A右侧时, 设P(m,m2+2m-3),则E(m,-m-3),D(m,0), ∴DE=m+3. ∵AB=4, ∴S△ABE=AB·DE=2(m+3), S△ABC=AB·OC=6, ∴S△CBE=S△ABC-S△ABE=6-2(m+3)=-2m, S△PCE=OD·PE =(-m)·[-m-3-(m2+2m-3)] =. ∵=, ∴=, 解得m1=,m2=, ∴此时点P的横坐标为或; 如图,当点P在点A的左侧时, ∴DE=-m-3. ∵AB=4,∴S△ABE=AB·DE=2(-m-3), S△ABC=AB·OC=6, ∴S△CBE=S△ABC+S△ABE =6+2(-m-3) =6-2m-6 =-2m. ∵S△PCE=OD·PE =(-m)·[m2+2m-3-(-m-3)] =-, ∴=, ∴=, 解得m3=,m4=(不符合题意,舍去), 此时点P的横坐标为. 综上所述,存在点P,使=,点P的横坐标为或或. 学科网（北京）股份有限公司 $$