17 方法专题三 二次函数的最值问题（Word练习）-【智乐星中考·学考传奇】2025年山东省济南市中考数学全练本

1.二次函数y=-x2+6x+a的最大值是10,那么a的值等于 (　　) 　　　　　　　　　　　　　　　 A.-1 B.1 C.3 D.4 2.(2023·大连)已知抛物线y=x2-2x-1,则当 0≤x≤3时,函数的最大值为 (　) A.-2 B.-1 C.0 D.2 3.乐乐设计了一个魔术盒,当任意实数对(a,b)进入其中时,会得到一个新的实数a2+2b-7.例如,把(2,-3)放入其中,就会得到22+2×(-3)-7=-9,现将实数对(m,-4m)放入其中,得到实数-23,则二次函数y=mx2-8x+7的最小值为 (　　) A.-3 B.-1 C.3 D.4 4.已知二次函数y=ax2-2ax(a≠0)的图象上有两点A(m,y1),B(2m,y2),若y1>y2>0,则当m<x<2m时,函数 (　　) A.有最大值,有最小值 B.有最大值,无最小值 C.无最大值,有最小值 D.无最大值,无最小值 5.当-2≤x≤1时,关于x的二次函数y=-(x-m)2+m2+1有最大值4,则实数m的值为 (　　) A.2 B.2或- C.2或-或- D.2或±或- 6.已知二次函数y=-x2+bx+c的图象经过点(-1,0),(2,3),在a≤x≤5范围内有最大值为4,最小值为-12,则a的取值范围是 (　　) A.a≤-3 B.-3≤a≤1 C.1≤a≤5 D.a≥5 7.已知二次函数y=x2-2mx+m2+1(m为常数),当自变量x的值满足-3≤x≤-1时,与其对应的函数值y的最小值为5,则m的值为(　　) A.1或-3 B.-3或-5 C.1或-1 D.1或-5 8.若当-4≤x≤2时,二次函数y=x2-mx+1(m>0)的最小值为0,则m的值为 (　　) A.- B. C. D.或 9.在平面直角坐标系中,若点P的横坐标和纵坐标相等,则称点P为完美点.已知二次函数y=ax2-3x+c(a≠0)的图象上有且只有一个完美点(2,2),且当0≤x≤m时,函数y=ax2-3x+c-(a≠0)的最小值为,最大值为,则m的取值范围是 (　　) A.0≤m≤ B.≤m≤3 C.1≤m≤ D.≤m≤4 10.已知抛物线y=(x-b)2+c经过A(1-n,y1),B(n,y2),C(n+3,y3)三点,y1=y3.当1-n≤x≤n时,二次函数的最大值与最小值的差为16,则n的值为 (　　) 　　　　　　　　　　　　　　　 A.-5 B.3 C. D.4 11.(2024·日照莒县模拟)在平面直角坐标系中,我们把横坐标和纵坐标互为相反数的点称为“相反点”.例如,点(1,-1),(-,)都是“相反点”.若二次函数y=ax2+3x+c(a≠0)的图象上有且只有一个“相反点”(2,-2),当-1≤x≤m时,二次函数y=ax2+3x+c(a≠0)的最小值为-8,最大值为-,则m的取值范围为 (　　) A.-1≤m≤4 B.-1≤m≤ C.≤m≤4 D.≤m≤5 学科网（北京）股份有限公司 $$ 方法专题三　二次函数的最值问题 1.B　2.D 3.C　【解析】 根据题意得m2+2×(-4m)-7=-23, 解得m1=m2=4, ∴y=mx2-8x+7=4x2-8x+7=4(x-1)2+3, ∴二次函数y=mx2-8x+7的最小值为3. 故选C. 4. B　【解析】 y=ax2-2ax=ax(x-2). 令y=0,则x=0或x=2,即该二次函数与x轴交点为(0,0),(2,0). 如图,当m<x<2m时,y1>y2>0. ∴该函数有最大值,无最小值. 故选B. 5.B　【解析】 当m<-2时,在x=-2处取最大值,y最大=-(-2-m)2+m2+1=4,解得m=-(舍去), 当-2≤m≤1时,在x=m处,取最大值,y最大=m2+1=4, 解得m=-或(舍去); 当m>1时,在x=1处取最大值,y最大=-(1-m)2+m2+1=4, 解得m=2. 综上所述,m的值为-或2.故选B. 6.B　【解析】 把点(-1,0),(2,3)分别代入y=-x2+bx+c得解得 ∴y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4, ∴抛物线开口向下,当x=1时,y取得最大值4. ∵在a≤x≤5范围内有最大值4,∴a≤1. 当-a2+2a+3=-12时,a1=-3,a2=5, ∴当-3≤a≤1时,抛物线在a≤x≤5范围内有最大值为4,最小值为-12.故选B. 7.D　【解析】 ∵y=x2-2mx+m2+1=(x-m)2+1, ∴当x=m时,y的最小值为1. 当m<-3时,在-3≤x≤-1中,y随x的增大而增大, ∴当x=-3时,取得最小值,∴9+6m+m2+1=5, 解得m1=-5,m2=-1(舍去); 当-3≤m≤-1时,y的最小值为1,舍去; 当m>-1时,在-3≤x≤-1中,y随x的增大而减小, ∴当x=-1时,取得最小值, ∴1+2m+m2+1=5, 解得m1=-3(舍去),m2=1. 综上所述,m的值为-5或1.故选D. 8.B　【解析】 ∵y=x2-mx+1=(x-m)2+(-m2+1), ∴抛物线开口向上,抛物线的对称轴为直线x=m. 当0<m≤2时, ∴当x=m时,y有最小值,y最小=-m2+1=0, 解得m=(负值已舍去); 当m>2时,在-4≤x≤2时,y随x的增大而减小, ∴x=2时,y有最小值,y最小=(2-m)2+(-m2+1)=0, 解得m=(不合题意,舍去), 综上所述,m=.故选B. 9.B　【解析】 令ax2-3x+c=x,即ax2-4x+c=0. 由题意可得图象上有且只有一个完美点, ∴Δ=16-4ac=0,则4ac=16. ∵-=2, ∴a=1,c=4, ∴函数y=ax2-3x+c-=x2-3x+=(x-)2+, ∴顶点坐标为(,),与y轴交点为(0,), ∴点(3,)也是该二次函数图象上的点. ∵当x<时,y随x的增大而减小;当x>时,y随x的增大而增大,且当0≤x≤m时,函数y=ax2-3x+c-(a≠0)的最小值为,最大值为,∴≤m≤3.故选B. 10.B　【解析】 ∵y1=y3,∴A,C两点关于对称轴对称, ∴b==2,∴抛物线的表达式为y=(x-2)2+c. ∵1-n≤x≤n,∴点B在点A的右侧, ∴1-n≤n,∴n≥. ①当点A与点B均在对称轴的左侧时,此时≤n<2. 当x=1-n时,二次函数取得最大值为y=(1-n-2)2+c=(n+1)2+c; 当x=n时,二次函数取得最小值为y=(n-2)2+c, ∴(n+1)2+c-(n-2)2-c=16,解得n=(舍去); ②当点A与点B在对称轴的两侧时,此时n≥2.点A到对称轴的水平距离为2-(1-n)=1+n,点B到对称轴的距离为n-2,∴1+n>n-2,∴当x=1-n时,二次函数取得最大值为y=(1-n-2)2+c=(n+1)2+c; 当x=2时,二次函数取得最小值y=c, ∴(n+1)2+c-c=16,解得n=3或-5(舍去). 综上所述,n=3.故选B. 11.C　【解析】 ∵点(2,-2)是二次函数y=ax2+3x+c(a≠0)的“相反点”, ∴-2=4a+6+c,∴c=-4a-8. ∵二次函数y=ax2+3x+c(a≠0)的图象上有且只有一个“相反点”, ∴ax2+3x+c=-x,即ax2+4x+c=0有且只有一个根, ∴Δ=16-4ac=0,∴16-4a(-4a-8)=0, 解得a=-1,c=-4×(-1)-8=-4, ∴y=-x2+3x-4=-(x-)2-, ∴二次函数图象的对称轴为直线x=,函数的最大值为-. 当y=-8时,-x2+3x-4=-8, 解得x1=-1,x2=4, 当≤m≤4时,函数的最大值为-,最小值为-8. 故选C. 学科网（北京）股份有限公司 $$