31 方法专题六 全等、相似三角形五大基础模型（课件PPT）-【智乐星中考·学考传奇】2025年山东省济南市中考数学全练本

1 方法专题六 全等、相似三角形 五大基础模型 2 1.如图，将一副三角板按如图方式放置，其中∠ABC=∠DCB=90°，∠A=45°，∠D=30°，两条斜边相交于点O，则△AOB与△COD的面积之比为(　　) A. B. C. D. 1 3 5 7 9 题序 2 4 6 8 10 3 2.如图，已知∠ABC=90°，点E是BC的中点，BD平分∠ABC，EF⊥BD.若AB=8，BC=6，则DF的长为(　　) A. B. C. D. 1 3 5 7 9 题序 2 4 6 8 10 4 3.如图，已知点B，C，E，F在同一条直线上，BE=CF，AB∥DE，∠A=∠D，试判断AC和DF的数量关系和位置关系，并说明理由. 1 3 5 7 9 题序 2 4 6 8 10 5 解：AC=DF，AC∥DF.理由如下： ∵BE=CF，∴BE-CE=CF-CE，∴BC=EF. ∵AB∥DE，∴∠B=∠DEF. 在△ABC和△DEF中， ∴△ABC≌△DEF(AAS)， ∴AC=DF，∠ACB=∠F，∴AC∥DF. 1 3 5 7 9 题序 2 4 6 8 10 6 4.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于点D，O是AC边上一点，连接BO交AD于点F，OE⊥OB交BC边于点E.求证：△ABF∽△COE. 1 3 5 7 9 题序 2 4 6 8 10 7 证明：∵OE⊥OB，∠BAC=90°，∴∠BOA+∠COE=90°， ∠BOA+∠ABF=90°，∴∠ABF=∠COE. ∵AD⊥BC，∴∠DAC+∠C=90°. ∵∠BAC=90°，∴∠BAF+∠DAC=90°， ∴∠BAF=∠C，∴△ABF∽△COE. 1 3 5 7 9 题序 2 4 6 8 10 8 5.如图，在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=16 cm，BC=8 cm，动点P从点C出发，沿CA方向运动；动点Q同时从点B出发，沿BC方向运动，如果点P的运动速度为4 cm/s，点Q的运动速度为2 cm/s，那么运动几秒时，△ABC和△PCQ相似？ 1 3 5 7 9 题序 2 4 6 8 10 9 解：设同时运动t s时两个三角形相似. 当△PCQ∽△BCA时，则=，即=，解得t=0.8； 当△PCQ∽△ACB时，则=，即=，解得t=2. 答：同时运动0.8 s或者2 s时，△ABC和△PCQ相似. 1 3 5 7 9 题序 2 4 6 8 10 10 6.如图，在△ABC与△DCB中，AC与BD交于点E，且∠A=∠D，AB=DC. (1)求证：△ABE≌△DCE； (2)当∠AEB=70°时，求∠EBC的度数. 1 3 5 7 9 题序 2 4 6 8 10 11 (1)证明： 在△ABE和△DCE中， ∴△ABE≌△DCE(AAS). (2)解：∵△ABE≌△DCE，∴BE=CE，∴∠EBC=∠ECB. ∵∠AEB=70°， ∴∠BEC=180°-∠AEB=180°-70°=110°， ∴∠EBC=(180°-∠BEC)=×(180°-110°)=35°. 1 3 5 7 9 题序 2 4 6 8 10 12 7.如图，DE∥BC，且∠ABE=∠C. (1)求证：AE2=AD·AB； (2)如果AE=4，BD=6，求AD. 1 3 5 7 9 题序 2 4 6 8 10 13 (1)证明： ∵∠ABE=∠C，∠A=∠A，∴△ABE∽△ACB， ∴=，∴AC=. ∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC， ∴=，∴=，∴AE2=AD·AB. (2)解：∵BD=6，∴AB=BD+AD=6+AD. 由(1)知AE2=AD·AB，∴42=AD(6+AD)， 解得AD=2或AD=-8(不合题意，舍去)， ∴AD=2. 1 3 5 7 9 题序 2 4 6 8 10 14 8.如图，在四边形ABCD中，AB=BC，对角线AC，BD交于点G，BD平分∠ABC，E是对角线BD上一点. (1)求证：△ABD≌△CBD； (2)若BE=5，AD=3，∠ADC=90°，求四边形ABCE的面积. 1 3 5 7 9 题序 2 4 6 8 10 15 (1)证明： ∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠CBD. 在△ABD和△CBD中， ∴△ABD≌△CBD(SAS). 1 3 5 7 9 题序 2 4 6 8 10 16 (2)解：由(1)得△ABD≌△CBD，∴AD=CD. ∵∠ADC=90°，BE=5，AD=3， ∴AC=AD=×3=6. ∵AB=BC，BD平分∠ABC，∴BE⊥AC， ∴S四边形ABCE=AC·BE=×6×5=15， ∴四边形ABCE的面积为15. 1 3 5 7 9 题序 2 4 6 8 10 17 9.如图，若∠BAC=90°，且AD⊥BC于点D. (1)求证：△ABD∽△CAD； (2)若BD=4，CD=9，求AD的长度. 1 3 5 7 9 题序 2 4 6 8 10 18 (1)证明：∵∠BAC=90°，AD⊥BC于点D， ∴∠ADB=90°，∠B+∠C=90°， ∴∠B+∠BAD=90°，∴∠BAD=∠C. 又∵∠ADB=∠CDA，∴△ABD∽△CAD. (2)解：∵△ABD∽△CAD，∴=. ∵BD=4，CD=9，∴AD2=BD·CD=36， ∴AD=6(负值已舍去). 1 3 5 7 9 题序 2 4 6 8 10 19 10.如图，在△ABC中，BA=BC=20 cm，AC=30 cm，点P从点A出发，沿AB以4 cm/s的速度向点B运动，同时点Q从点C出发，沿CA以3 cm/s的速度向点A运动，当其中一点到达终点时，另一点也停止运动，设运动时间为x s. (1)当PQ∥BC时，求x的值. (2)△APQ与△CQB能否相似？若能，求出AP的长；若不能，请说明理由. 1 3 5 7 9 题序 2 4 6 8 10 20 解：(1)当PQ∥BC时，=. ∵AP=4x，AQ=30-3x， ∴=，解得x=， ∴当PQ∥BC时，x=. (2)能. ①当△APQ∽△CQB时，则=， 即=，解得x=，∴AP=4x= cm； 1 3 5 7 9 题序 2 4 6 8 10 21 ②当△APQ∽△CBQ时，则=， 即=，解得x=5或x=-10(舍去)， ∴AP=4x=20 cm. 综上所述，当AP= cm或20 cm时，△APQ与△CQB相似. 1 3 5 7 9 题序 2 4 6 8 10 22 $$