28 方法专题五 有关线段中点的五种辅助线作法（课件PPT）-【智乐星中考·学考传奇】2025年山东省济南市中考数学全练本

1 方法专题五 有关线段中点的五种 辅助线作法 2 1.如图，在四边形ABCD中，AC=BD，AC，BD交于点O，点E，F分别是AB，CD的中点，EF分别交AC，BD于点H，G.求证：OG=OH. 1 3 5 题序 2 4 3 证明：如图，取BC边的中点M，连接EM，FM. ∵点M，F分别是BC，CD的中点， ∴MF∥BD，MF=BD. 同理ME∥AC，ME=AC. ∵AC=BD，∴ME=MF，∴∠MEF=∠MFE. ∵MF∥BD，∴∠MFE=∠OGH. 同理∠MEF=∠OHG，∴∠OGH=∠OHG，∴OG=OH. 1 3 5 题序 2 4 4 2.如图，在△ABC中，AC=BC，D是AB上一点，DE⊥BC于点E，EF⊥AC于点F. (1)若点D是AB的中点，求证：∠BDE=∠C； (2)若∠ADE=160°，求∠DEF的度数. 1 3 5 题序 2 4 5 (1)证明：如图，连接CD. ∵AC=BC，点D是AB的中点， ∴CD⊥AB，∠ACD=∠BCD=∠ACB， ∴∠BCD+∠B=90°. ∵DE⊥BC， ∴∠B+∠BDE=90°， ∴∠BCD=∠BDE，∴∠BDE=∠ACB. 1 3 5 题序 2 4 6 (2)解：∵∠ADE=160°，∴∠BDE=20°. ∵DE⊥BC，EF⊥AC， ∴∠DEB=∠AFE=90°. 在Rt△BDE中，∠DEB=90°， ∴∠B=90°-∠BDE=90°-20°=70°. ∵AC=BC，∴∠B=∠A=70°， ∴∠DEF=360°-∠A-∠ADE-∠AFE=360°-70°-160°-90°=40°. 1 3 5 题序 2 4 7 3.如图，在△ABC中，AD是BC边上的高线，CE是AB边上的中线，DG⊥CE于点G，CD=AE. (1)求证：CG=EG； (2)已知BC=13，CD=5，连接ED，求△EDC的面积. 1 3 5 题序 2 4 8 (1)证明：如图，连接DE. 在Rt△ADB中，点E是AB的中点， ∴DE=AB=AE. ∵CD=AE，∴DE=DC. 又∵DG⊥CE，∴CG=EG. 1 3 5 题序 2 4 9 (2)解：如图，过点E作EF⊥BC于点F. ∵BC=13，CD=5，∴BD=13-5=8. ∵CE是AB边上的中线，∴BE=AE. ∵DE=DC=AE，∴DE=BE=5. 又∵EF⊥BC，∴DF=BF=4， ∴EF===3， ∴S△EDC=CD·EF=×5×3=7.5. 1 3 5 题序 2 4 10 4.如图，AD是△ABC的中线，AB=AE，AC=AF，∠BAE=∠CAF=90°，试判断线段AD与EF的数量关系，并加以证明. 1 3 5 题序 2 4 11 解：EF=2AD. 证明：如图，延长AD到点M，使得DM=AD，连接BM. ∵AD是△ABC的中线，∴BD=CD. 在△BDM和△CDA中， ∴△BDM≌△CDA(SAS)， ∴BM=AC，∠M=∠DAC. 1 3 5 题序 2 4 12 ∵AC=AF，∴BM=AF. ∵AC∥BM，∴∠BAC+∠ABM=180°. ∵∠BAE=∠FAC=90°， ∴∠BAC+∠EAF=180°，∴∠ABM=∠EAF. 在△ABM和△EAF中， ∴△ABM≌△EAF(SAS)，∴AM=EF. ∵AD=DM，∴AM=2AD. ∵AM=EF，∴EF=2AD. 1 3 5 题序 2 4 13 5.如图，在锐角三角形ABC中，E是AB边上一点，BE=CE，AD⊥BC于点D，AD与EC交于点G. (1)求证：EA=EG； (2)若BE=10，CD=3，点G为CE的中点，求AG的长. 1 3 5 题序 2 4 14 (1)证明：∵AD⊥BC，∴∠ADB=∠ADC=90°， ∴∠B+∠BAD=90°，∠DCG+∠DGC=90°. ∵EB=EC，∴∠B=∠DCG，∴∠BAD=∠DGC. ∵∠AGE=∠DGC，∴∠BAD=∠AGE，∴EA=EG. 1 3 5 题序 2 4 15 (2)解：如图，过点E作EF⊥AG，垂足为F， ∴∠EFG=90°. ∵EA=EG，EF⊥AG，∴AG=2FG. ∵点G为CE的中点，∴EG=GC=EC. ∵EB=EC=10， ∴GC=EC=5. 1 3 5 题序 2 4 16 ∵∠EFG=∠CDG=90°，∠EGF=∠CGD， ∴△EFG≌△CDG(AAS)，∴FG=DG. 在Rt△CDG中，CD=3， ∴DG===4， ∴FG=DG=4，∴AG=2FG=8，∴AG的长为8. 1 3 5 题序 2 4 17 $$