20 综合考点三 二次函数中的面积问题（课件PPT）-【智乐星中考·学考传奇】2025年山东省济南市中考数学全练本

1 综合考点三 二次函数中的面积问题 2 1.【一题多设问】 如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=-x2-x+2的图象与x轴交于A(-3，0)，B(1，0)两点，与y轴交于点C. (1)点Q是直线AC下方的抛物线上一动点，是否存在点Q，使S△ACQ=10？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由. 1 题序 2 3 解：(1)存在.理由如下： 如图，过点Q作QE⊥y轴于点E，连接AQ，QC. 设Q(m，-m2-m+2)，则QE=-m，OE=m2+m-2， CE=m2+m， ∴S△ACQ=S梯形AOEQ+S△AOC-S△CEQ =(3-m)×(m2+m-2)+×3×2-(m2+m)×(-m) =10， 整理得m2+3m-10=0，解得m1=-5，m2=2， ∴点Q的坐标为(-5，-8)或(2，-). 1 题序 2 4 (2)如图，点M是直线AC上方的抛物线上一动点，是否存在点M，使△ACM的面积最大？若存在，求出点M的坐标及最大面积；若不存在，请说明理由. 1 题序 2 5 (2)存在.理由如下： 如图，过点M作MN⊥x轴交AC于点N. ∵S△ACM=|xA-xc|·MN=MN， ∴当MN的值最大时，S△ACM取得最大值. 易知C(0，2)，设点M的坐标为(x，-x2-x+2). 设直线AC的表达式为y=kx+b. 将A(-3，0)，C(0，2)代入得解得 1 题序 2 6 ∴直线AC的表达式为y=x+2， 则点N的坐标为(x，x+2)， ∴MN=-x2-x+2-x-2=-x2-2x=-(x+)2+.∵-<0， ∴当x=-时，线段MN的长有最大值，最大值为， 此时S△ACM=×=， ∴当M(-)时，面积有最大值，最大值为. 1 题序 2 7 (3)如图，点P是直线AC上方的抛物线上一动点，设四边形APCB的面积为S，求S的最大值及此时点P的坐标. 1 题序 2 8 (3)令x=0，则y=2，∴C(0，2). 设直线AC的表达式为y=kx+p. ∴解得 ∴直线AC的表达式为y=x+2. 如图，过点P作PG∥y轴交AC于点G. 设P(t，-t2-t+2)，则G(t，t+2)， ∴PG=-t2-t+2-t-2=-t2-2t， 1 题序 2 9 ∴S=S△ACB+S△APC=×2×(3+1)+×3×(-t2-2t)=-t2-3t+4=-(t+)2+. ∵点P在直线AC上方，∴-3<t<0， ∴当t=-时，S有最大值，最大值为， 此时，点P的坐标为(-). 1 题序 2 10 2.(2024·济宁)已知二次函数y=ax2+bx+c 的图象经过(0，-3)，(-b，c)两点，其中a，b，c 为常数，且ab>0. (1)求a，c的值. (2)若该二次函数的最小值是-4，且它的图象与x轴交于点A，B(点 A 在点B 的左侧)，与y轴交于点C. ①求该二次函数的表达式，并直接写出点A，B 的坐标. 1 题序 2 11 ②如图，在y轴左侧该二次函数的图象上有一动点P，过点P作x轴的垂线，垂足为D，与直线AC 交于点E，连接PC，CB，BE.是否存在点P，使=？若存在，求此时点 P的横坐标；若不存在，请说明理由. 1 题序 2 12 解：(1)∵二次函数的图象过(0，-3)，(-b，c)两点， ∴c=-3，ab2-b2-3=-3，∴(a-1)b2=0. ∵ab>0，∴a≠0，b≠0，∴a-1=0， ∴a=1. 1 题序 2 13 (2)①∵a=1，c=-3， ∴y=x2+bx-3=(x+)2-(b2+3). ∵函数存在最小值为-4， ∴-(b2+3)=-4，解得b2=4. ∵ab>0，a=1，∴b>0，∴b=2， ∴y=x2+2x-3. 令y=0，则x2+2x-3=0， 解得x1=-3，x2=1， ∴A(-3，0)，B(1，0). 1 题序 2 14 ②存在. 设直线AC的表达式为y=kx+t. ∵A(-3，0)，C(0，-3)，代入y=kx+t得 解得 ∴直线AC的表达式为y=-x-3. 当点P在点A右侧时， 1 题序 2 15 设P(m，m2+2m-3)，则E(m，-m-3)，D(m，0)， ∴DE=m+3. ∵AB=4， ∴S△ABE=AB·DE=2(m+3)， S△ABC=AB·OC=6， ∴S△CBE=S△ABC-S△ABE=6-2(m+3)=-2m， 1 题序 2 16 S△PCE=OD·PE =(-m)·[-m-3-(m2+2m-3)] =. ∵=，∴=， 解得m1=，m2=， ∴此时点P的横坐标为或； 1 题序 2 17 如图，当点P在点A的左侧时， ∴DE=-m-3. ∵AB=4，∴S△ABE=AB·DE=2(-m-3)， S△ABC=AB·OC=6， ∴S△CBE=S△ABC+S△ABE=6+2(-m-3)=6-2m-6=-2m. 1 题序 2 18 ∵S△PCE=OD·PE=(-m)·[m2+2m-3-(-m-3)]=-，∴=，∴=，解得m3=，m4=(不符合题意，舍去)， 此时点P的横坐标为. 综上所述，存在点P，使=，点P的横坐标为或或. 1 题序 2 19 $$