19 综合考点二 二次函数中的线段(周长)问题（课件PPT）-【智乐星中考·学考传奇】2025年山东省济南市中考数学全练本

1 综合考点二 二次函数中的线段(周长)问题 2 【一题多设问】 在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+2的图象与x轴交于A(-3，0)，B(1，0)两点，与y轴交于点C. (1)求这个二次函数的表达式. 1 3 5 7 题序 2 4 6 8 3 (1)把A(-3，0)，B(1，0)分别代入y=ax2+bx+2中得 解得 ∴二次函数的表达式为y=-x2-x+2. 1 3 5 7 题序 2 4 6 8 4 (2)如图，点M为直线AC上方抛物线上一动点，过点M作 MN∥y 轴交直线AC于点N， 当点M的坐标为多少时，线段MN有最大值？并求出其最大值. 1 3 5 7 题序 2 4 6 8 5 (2)易知C(0，2)，设点M的坐标为(x，-x2-x+2). 设直线AC的表达式为y=kx+b. 将A(-3，0)，C(0，2)代入得 解得 ∴直线AC的表达式为y=x+2， 1 3 5 7 题序 2 4 6 8 6 则点N的坐标为(x，x+2)， ∴MN=-x2-x+2-x-2=-x2-2x=-(x+)2+. ∵-<0， ∴当x=-时，线段MN的长有最大值，最大值为， 此时，点M的坐标为(-). 1 3 5 7 题序 2 4 6 8 7 (3)如图，在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使QC+QB的值最小？若存在，求出点Q的坐标及QC+QB的最小值；若不存在，请说明理由. 1 3 5 7 题序 2 4 6 8 8 (3)存在. 如图，连接AC，BQ. ∵Q为抛物线对称轴上一点， ∴QA=QB， ∴QC+QB=QC+QA. 当Q，A，C三点共线时，QC+QB的值最小. 直线AC与抛物线对称轴的交点即为点Q. 1 3 5 7 题序 2 4 6 8 9 由(2)得直线AC的表达式为y=x+2. ∵二次函数的表达式为y=-x2-x+2， ∴抛物线的对称轴为直线x=-1. 将x=-1代入y=x+2得y=， ∴点Q的坐标为(-1，)， QC+QB的最小值为AC==. 1 3 5 7 题序 2 4 6 8 10 (4)如图，在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使|QA-QC|的值最大？若存在，求出点Q的坐标及|QA-QC|的最大值；若不存在，请说明理由. 1 3 5 7 题序 2 4 6 8 11 (4)存在. 由题知抛物线的对称轴为直线x=-1，A(-3，0)，B(1，0). ∵点Q在对称轴上，∴QA=QB，∴|QA-QC|=|QB-QC|≤BC， 即当Q，B，C三点共线时，|QA-QC|的值最大. 易知C(0，2)，由点B(1，0)，C(0，2)可求得， 直线BC的表达式为y=-2x+2， 令x=-1，可得y=2+2=4， ∴存在满足条件的点Q，其坐标为(-1，4)， |QA-QC|的最大值为BC==. 1 3 5 7 题序 2 4 6 8 12 (5)如图，点M为直线AC上方抛物线上一动点，过点M作MN∥y轴交直线AC于点N， 作ME⊥AC于点E，当△MEN的周长有最大值时求出点M的坐标，并求出△MEN周长的最大值. 1 3 5 7 题序 2 4 6 8 13 (5)∵MN∥y轴，∴∠ACO=∠MNE. 又∵∠AOC=∠NEM=90°， ∴△MNE∽△ACO，∴==. ∵OC=2，OA=3，∴AC=， ∴NE=MN，ME=MN，∴C△MEN=MN+NE+ME=(1+)MN， ∴当MN最大时，△MEN的周长有最大值. 由(2)知，MN的最大值为，M(-)，则△MEN的周长的最大值为+. 1 3 5 7 题序 2 4 6 8 14 (6)如图，点Q，P分别是抛物线的对称轴、直线BC上的动点，△OQP的周长是否存在最小值？若存在，请求出此时点Q的坐标及△OQP的周长的最小值；若不存在，请说明理由. 1 3 5 7 题序 2 4 6 8 15 (6)存在. 如图，作点O关于直线x=-1的对称点O'，关于直线BC的对称点O″，连接O'O″交直线x=-1于点Q，交直线BC于点P，此时△OQP的周长最小， ∴点O'的坐标为(-2，0). 设OO″交直线BC于点H，过点O″作O″M⊥x轴于点M. ∵B(1，0)，C(0，2)， ∴OB=1，OC=2， ∴tan∠OCB=， sin∠OCB=. 1 3 5 7 题序 2 4 6 8 16 由轴对称的性质可知∠OHB=90°，OH=O″H， ∴∠OCB+∠COH=90°，∠BOH+∠COH=90°， ∴∠OCB=∠BOH，∴sin∠BOH===， ∴BH=，OH=2BH=，OO″=， ∴O″M=，∴OM=，∴O″()， ∴直线O'O″的表达式为y=x+. 当x=-1时，y=，∴点Q的坐标为(-1，)， C△OQP最小=O'O″==. 1 3 5 7 题序 2 4 6 8 17 (7)如图，若点D为OC的中点，点P是抛物线对称轴上一动点，点Q是x轴上一动点，求当四边形CPQD的周长最小时点P，Q的坐标，并求出四边形CPQD周长的最小值. 1 3 5 7 题序 2 4 6 8 18 (7)如图，作点C关于对称轴的对称点M，点D关于x轴的对称点N，连接MN，与对称轴交于点P，与x轴交于点Q，则点P，Q即为所求. 由题可得D(0，1)，M(-2，2)，N(0，-1)，则MN=， 易得直线MN的表达式为y=-x-1. 当x=-1时，y=，∴P(-1，). 令-x-1=0，解得x=-，∴Q(-，0)， ∴当P(-1，)， Q(-，0)时，四边形CPQD的周长最小，最小值为MN+CD=+1. 1 3 5 7 题序 2 4 6 8 19 (8)如图，点M为直线AC上方抛物线上一动点，连接MO，交AC于点D，当的值最大时，求点M的坐标及的最大值. 1 3 5 7 题序 2 4 6 8 20 (8)如图，过点M作MN∥y轴，交AC于点N. ∵MN∥y轴，∴∠NMD=∠COD. 又∵∠MDN=∠ODC，∴△MDN∽△ODC， ∴=. ∵OC=2，为定值， ∴当MN取最大值时，取得最大值. 由(2)知MN的最大值为，∴的最大值为， 此时，点M的坐标为(-). 1 3 5 7 题序 2 4 6 8 21 $$