14 综合考点一 反比例函数的综合应用（课件PPT）-【智乐星中考·学考传奇】2025年山东省济南市中考数学全练本

1 综合考点一 反比例函数的综合应用 2 1.(2024·临夏)如图，直线y=kx与双曲线y=-交于A，B两点，已知点A的坐标为(a，2). (1)求a，k的值. (2)将直线y=kx向上平移m(m>0)个单位长度，与双曲线y=-在第二象限的图象交于点C，与x轴交于点E，与y轴交于点P.若PE=PC，求m的值. 1 3 5 题序 2 4 3 解：(1)∵点A在反比例函数y=-的图象上， ∴2=-，解得a=-2，∴A(-2，2). 将A(-2，2)代入y=kx得2=-2k，∴k=-1. (2)如图，过点C作CF⊥y轴于点F， ∴CF∥OE，∴∠FCP=∠OEP，∠CFP=∠EOP. ∵PE=PC，∴△CFP≌△EOP(AAS)， ∴CF=EO，FP=OP. 1 3 5 题序 2 4 4 ∵直线y=-x向上平移m(m>0)个单位长度得到直线 y=-x+m， 令x=0得y=m，令y=0得x=m， ∴E(m，0)，P(0，m)，∴CF=OE=m，OP=PF=m， ∴C(-m，2m). ∵双曲线y=-经过点C，∴-m·2m=-4， 解得m1=或m2=-(舍去)，∴m=. 1 3 5 题序 2 4 5 2.(2024·巴中)如图，在平面直角坐标系中，直线y=x+2与反比例函数y=(k≠0)的图象交于A，B两点，点A的横坐标为1. (1)求k的值及点B的坐标； (2)P是线段AB上一点，点M在直线OB上运动，当S△BPO=S△ABO时，求PM的最小值. 1 3 5 题序 2 4 6 解：(1)把x=1代入y=x+2得y=3， ∴A(1，3)，∴k=1×3=3， ∴反比例函数的表达式为y=. 联立解得或 ∴B(-3，-1). 1 3 5 题序 2 4 7 (2)∵S△BPO=S△ABO，∴点P是AB的中点，∴P(-1，1). 当PM取得最小值时，PM⊥OB. ∵直线OB的表达式为y=x， ∴设直线PM的表达式为y=-3x+b， 代入P(-1，1)得3+b=1，解得b=-2， ∴直线PM的表达式为y=-3x-2. 1 3 5 题序 2 4 8 联立解得 ∴M(-，-)， ∴PM的最小值==. 1 3 5 题序 2 4 9 3.如图1，反比例函数y=(m≠0)与一次函数y=kx+b(k≠0)的图象交于点 A(1，3)，点B(n，1)，一次函数y=kx+b(k≠0)与y轴相交于点C. (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)连接OA，OB，求△OAB的面积； (3)如图2，E是反比例函数图象上点A右侧一点，连接AE，把线段AE绕 点A顺时针旋转90°，点E的对应点F恰好也落在这个反比例函数的图象 上，求点E的坐标. 1 3 5 题序 2 4 10 解：(1)∵点A(1，3)，点B(n，1)在反比例函数y=(m≠0)的图象上， ∴m=1×3=n×1，∴m=3，n=3， ∴反比例函数的表达式为y=，点B(3，1). 将A，B的坐标分别代入y=kx+b得 解得 ∴一次函数的表达式为y=-x+4. 1 3 5 题序 2 4 11 (2)令x=0，则y=-x+4=4， ∴C(0，4)， ∴S△AOB=S△BOC-S△AOC=×4×(3-1)=4. (3)设点E的坐标为(a，). 如图，过点A作y轴的平行线l，分别过点E和点F作l 的垂线，垂足分别为M和N. 1 3 5 题序 2 4 12 由旋转可知AE=AF， ∠EAF=90°， ∴∠EAM+∠MAF= ∠MAF+∠AFN=90°， ∴∠EAM=∠AFN. 在△EAM和△AFN中， 1 3 5 题序 2 4 13 ∴△EAM≌△AFN(AAS)， ∴FN=AM，AN=EM. ∵点A的坐标为(1，3)，点E的坐标为(a，)， ∴FN=AM=3-，AN=ME=a-1，∴点F的坐标为(-2，4-a). ∵点F在反比例函数y=的图象上， ∴(-2)(4-a)=3，解得a1=1(舍去)，a2=6， ∴点E的坐标为(6，). 1 3 5 题序 2 4 14 4.(2024·济南高新二模)如图，一次函数y=-x+1与反比例函数y=(x<0)的图象交于点A(-1，m)，与y轴交于点B. (1)求这个反比例函数的表达式. (2)点P是x轴上的一个动点，连接AP，BP，当线段AP与BP之和最小时，求点P的坐标. 1 3 5 题序 2 4 15 (3)过点B作直线l∥x轴，交反比例函数y=(x<0)的图象于点C，若点M是直线AB上的一个动点，点N是平面直角坐标系内的一个动点，试判断是否存在这样的点N，使得以点B，C，M，N为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由. 1 3 5 题序 2 4 16 解：(1)将点A(-1，m)代入一次函数y=-x+1得m=2， ∴A(-1，2). 将点A(-1，2)代入y=得k=xy=-2， ∴反比例函数的表达式为y=-. 1 3 5 题序 2 4 17 (2)∵一次函数y=-x+1与y轴交于点B， ∴B(0，1). 如图，作点B关于x轴的对称点B'， ∴B'(0，-1). 连接AB'交x轴于点P，此时线段AP与BP之和最小. 1 3 5 题序 2 4 18 设直线AB'的表达式为y=ax+b. 将点A(-1，2)，B'(0，-1)分别代入y=ax+b得 解得 ∴直线AB'的表达式为y=-3x-1. 令y=0，则0=-3x-1，解得x=-， ∴点P的坐标为(-，0). (3)点N的坐标为(-1，0)或(-2，1-)或(--2，1+)或(0，3). 1 3 5 题序 2 4 19 5.(2024·苏州)如图，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°， A(-2，0)，C(6，0)，反比例函数y=(k≠0，x>0)的图象与 AB交于点D(m，4)，与BC交于点E. (1)求m，k的值； (2)点P为反比例函数y=(k≠0，x>0)图象上一动点(点P在D，E之间运动，不与D，E重合)，过点P作PM∥AB，交y轴于点M，过点P作PN∥x轴，交BC于点N，连接MN，求△PMN面积的最大值，并求出此时点P的坐标. 1 3 5 题序 2 4 20 解：(1)∵A(-2，0)，C(6，0)，∴AC=8. 又∵AC=BC，∴BC=8，∴B(6，8). 设直线AB的函数表达式为 y=ax+b. 将点A(-2，0)，B(6，8)分别代入 y=ax+b得 解得 1 3 5 题序 2 4 21 ∴直线AB的函数表达式为 y=x+2， ∴将点D(m，4)代入y=x+2得m=2，∴D(2，4). 将点D(2，4)代入反比例函数y=得 4=，解得k=8. 1 3 5 题序 2 4 22 (2)如图，延长NP交y轴于点Q，交AB于点L. ∵AC=BC，∠ACB=90°，∴∠BAC=45°. ∵PN∥x轴，∴∠BLN=∠BAC=45°，∠NQM=90°. ∵AB∥MP， ∴∠MPL=∠BLP=45°，∠QMP=∠QPM=45°， ∴QM=QP. 1 3 5 题序 2 4 23 设点P的坐标为(t，)，则PQ=t，PN=6-t，MQ=PQ=t， ∴S△PMN=PN·MQ=(6-t)·t=-(t-3)2+， ∴当t=3时，S△PMN有最大值 ，此时P(3，). 1 3 5 题序 2 4 24 $$