09 专题九 几何探究综合题（课件PPT）-【智乐星中考·学考传奇】2025年山东省济南市中考数学讲练本

1 2 目 录 济南命题研究 专题分类突破 3 专题 类型 考频 命题趋势 几何探究综合题 旋转探究 6年4考 1.考什么 几何图形的探究常以解答题的形式出现，设问角度为判断四边形的形状、线段之间的关系、求角的度数等，与全等三角形、相似三角形、特殊三角形、四边形的性质相结合考查. 2.怎么考 几何图形探究题多以三角形、四边形为主，结合平移、翻折、旋转等变化.解决四边形问题时通常转化为三角形问题进行解答 折叠探究 6年0考 类比、拓展探究 6年1考 4 类型1旋转探究 例1 (2023·济南历城三模)如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=α，点D在射线AC上，连接BD，将DB绕点D逆时针旋转α，得到线段DE，连接BE，CE. 5 (1)当点D落在线段AC上时， ①如图1，当α=60°时，请直接写出线段CE与线段AD之间的数量关系是______，∠DCE=______°;  ②如图2，当α=90°时，请判断线段CE与AD之间的数量关系，并给出证明. (2)当α=90°时，过点A作AN∥DE交BD于点N.若AD=2CD，猜想CE与AN之间的数量关系并说明理由. 6 【解题启发】 (1)①你能直接猜想出CE与AD的数量关系及∠DCE的度数吗？ ②旋转的性质有哪些？能借助其性质判断CE与AD的数量关系吗？ (2)点D的位置有几种情况？ 7 【规范解答】 解：(1)①CE=AD　 120 ②CE=AD. 证明：∵AB=AC，∠BAC=90°， ∴∠ABC=∠ACB=45°，BC=AC. ∵将DB绕着点D逆时针旋转90°得到DE， ∴DB=DE，∠BDE=90°， ∴BE=BD，∠DBE=45°=∠ABC， ∴∠ABD=∠CBE，==， ∴△CBE∽△ABD，∴==，∴CE=AD. 8 (2)=或. 理由如下：如图1，当点D在线段AC上时， ∵AN∥DE， ∴∠AND=∠BDE=90°. ∵AD=2CD， ∴AC=3CD=AB. 图1 9 设CD=x，则AD=2x，AB=AC=3x， CE=2x， ∴BD==x， ∴S△ABD=AB·AD=BD·AN， ∴AN=x，∴=； 10 如图2，当点D在线段AC的延长线上时， ∵AN∥DE， ∴∠AND=∠BDE=90°. ∵AD=2CD， ∴AC=CD=AB. 图2 11 设CD=x，则AD=2x，AB=AC=x， CE=2x， ∴BD==x， ∴S△ABD=AB·AD=BD·AN， ∴AN=x， ∴=. 综上所述，=或. 12 练1 (2021·济南)在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D在边BC上，BD=BC，将线段DB绕点D顺时针旋转至DE，记旋转角为α，连接BE，CE，以CE为斜边在其一侧作等腰直角三角形CEF，连接AF. 13 (1)如图1，当α=180°时，请直接写出线段AF与线段BE的数量关系. (2)当0°<α<180°时， ①如图2，(1)中线段AF与线段BE的数量关系是否仍然成立？请说明理由. ②如图3，当B，E，F三点共线时，连接AE，判断四边形AECF的形状，并说明理由. 14 解：(1)BE=AF. (2)①BE=AF仍然成立. 理由如下： 在△ABC中，∵∠BAC=90°，AB=AC， ∴=，∴∠ACB=45°. 15 在△FEC中，∵∠EFC=90°，FE=FC， ∴=，∠FCE=∠FEC=45°， ∴=， ∴∠FCE=∠ACB，∴∠FCE-∠ACE=∠ACB-∠ACE， ∴∠FCA=∠ECB， ∴△FCA∽△ECB，∴==，∴BE=AF. 16 ②四边形AECF是平行四边形. 理由如下：如图，过点D作DM⊥BF于点M. ∵∠FEC=45°， ∴∠BEC=∠AFC=135°， ∴∠AFE=45°， ∴AF∥CE. 17 ∵∠BFC=∠BMD=90°， ∴DM∥CF， ∴==. ∵DB=DE，∴BM=ME，∴BE=2EF. ∵由已知得EF=CF=CE，∴BE=CE. ∵BE=AF，∴AF=CE， ∴四边形AECF是平行四边形. 18 练2 (2024·济南天桥一模)某校一数学兴趣小组在一次合作探究活动中，将两块大小不同的等腰直角三角形ABC和等腰直角三角形CDE，按如图1的方式摆放，∠ACB=∠ECD=90°，随后保持△ABC不动，将△CDE绕点C按逆时针方向旋转α(0°<α<90°)，连接AE，BD，延长BD交AE于点F，连接CF.该数学兴趣小组进行如下探究，请你帮忙解答： 19 【初步探究】 (1)如图2，当ED∥BC时，则α=______.  (2)如图3，当点E，F重合时，请直接写出AF，BF，CF之间的数量关系：______.  【深入探究】 (3)如图4，当点E，F不重合时，(2)中的结论是否仍然成立？若成立，请给出推理过程;若不成立，请说明理由; 20 【拓展延伸】 (4)如图5，在△ABC与△CDE中，∠ACB=∠DCE=90°，若BC=mAC，CD=mCE(m为常数).保持△ABC不动，将△CDE绕点C按逆时针方向旋转α(0°<α<90°)，连接AE，BD，延长BD交AE于点F，连接CF，如图6.试探究AF，BF，CF之间的数量关系，并说明理由. 21 解：(1)45° (2)BF=AF+CF (3)当点E，F不重合时，(2)中的结论仍然成立. 理由如下： ∵△ABC和△CDE是等腰直角三角形， ∴∠DCE=∠ACB，AC=BC，CD=CE， ∴∠ACE=∠BCD，∴△ACE≌△BCD(SAS)， ∴∠CAF=∠CBD. 22 如图，过点C作CG⊥CF交BF于点G. ∵∠ACF+∠ACG=90°，∠ACG+∠BCG=90°， ∴∠ACF=∠BCG. ∵∠CAF=∠CBG，BC=AC， ∴△BCG≌△ACF(ASA)， ∴GC=FC，BG=AF，∴△GCF为等腰直角三角形， ∴GF=CF，∴BF=BG+GF=AF+CF. 23 (4)BF=mAF+FC.理由如下： 由(3)知∠ACE=∠BCD. ∵BC=mAC，CD=mEC，即==m， ∴△BCD∽△ACE，∴∠CBD=∠CAE. 24 如图，过点C作CG⊥CF交BF于点G. 由(3)知∠BCG=∠ACF， ∴△BGC∽△AFC， ∴===m， ∴BG=mAF，GC=mCF. 在Rt△CGF中，GF===CF， ∴BF=BG+GF=mAF+CF. 25 类型2折叠探究 例2 (2023·枣庄)问题情境：如图1，在△ABC中，AB=AC=17，BC=30，AD是BC边上的中线.如图2，将△ABC的两个顶点B，C分别沿EF，GH折叠后均与点D重合，折痕分别交AB，AC，BC于点E，G，F，H. 26 猜想证明： (1)如图2，试判断四边形AEDG的形状，并说明理由. 问题解决： (2)如图3，将图2中左侧折叠的三角形展开后，重新沿MN折叠，使得顶点B与点H重合，折痕分别交AB，BC于点M，N，BM的对应线段交DG于点K，求四边形MKGA的面积. 27 【解题启发】 (1)如何证明四边形AEDG的边或角关系？ (2)如何利用折叠的性质、等腰三角形的性质得出四边形MKGA为平行四边形？能否利用转化思想求图形的面积？ 28 【规范解答】 解：(1)四边形AEDG是菱形.理由如下： ∵在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线， ∴AD⊥BC，BD=CD=BC. ∵将△ABC的两个顶点B，C分别沿EF，GH折叠后均与点D重合， ∴EF⊥BC，GH⊥BC，BE=DE，CG=DG，BF=FD=BD，CH=DH=CD， 29 ∴EF∥AD，∴==1， ∴BE=AE=AB，同理可得CG=AG=AC， ∴AE=DE，AG=DG. ∵AB=AC，∴AE=DE=DG=AG， ∴四边形AEDG是菱形. 30 (2)由折叠性质可得∠GDC=∠C，∠MHB=∠B. ∵AB=AC，∴∠B=∠C， ∴∠GDC=∠B，∠MHB=∠C， ∴MH∥AC，DG∥AB， ∴四边形AMKG为平行四边形. ∵AB=AC=17，BC=30， ∴BD=CD=BC=15，DH=CH=， DG=AG=AC=， ∴GH==4. 31 如图，过点H作HJ⊥CG于点J. ∵S△CHG=CH·HG=CG·HJ， ∴CG·HJ=×4=30. ∵S四边形MKGA=AG·HJ，AG=CG， ∴S四边形MKGA=CG·HJ=30. 32 练3 (2024·济宁)综合与实践 某校数学课外活动小组用一张矩形纸片(如图1，矩形ABCD 中，AB>AD 且AB 足够长)进行探究活动. 33 【动手操作】 如图2，第一步，沿点 A 所在直线折叠，使点 D 落在AB上的点E 处，折痕为AF，连接EF，把纸片展平. 第二步，把四边形 AEFD 折叠，使点 A 与点 E 重合，点D与点F 重合，折痕为GH，再把纸片展平. 第三步，连接GF. 34 【探究发现】 根据以上操作，甲、乙两同学分别写出了一个结论. 甲同学的结论：四边形AEFD 是正方形. 乙同学的结论：tan∠AFG=. (1)请分别判断甲、乙两同学的结论是否正确.若正确，写出证明过程;若不正确，请说明理由. 35 【继续探究】 在上面操作的基础上，丙同学继续操作. 如图3，第四步，沿点G所在直线折叠，使点 F 落在AB 上的点M处，折痕为GP，连接PM，把纸片展平. 第五步，连接FM交GP 于点 N. 根据以上操作，丁同学写出了一个正确结论： FN·AM=GN·AD. (2)请证明这个结论. 36 (1)解：甲、乙同学的结论都正确. 证明：甲同学：由折叠可知△ADF≌△AEF，AD=AE， DF=EF. ∵AD=EF，∴AD=AE=EF=DF， ∴四边形AEFD是菱形. ∵四边形ABCD是矩形，∴∠D=90°， ∴四边形AEFD是正方形. 37 乙同学：如图，过点G作GQ⊥AF于点Q. 由折叠知点H，G分别是DF，AE的中点，∠EAF=45°， 设QG=AQ=x. 在Rt△AGQ中，AG=x. 在Rt△AEF中，AE=2x， ∴AF=4x，∴QF=AF-AQ=3x， ∴tan∠AFG==. 38 (2)证明：如图，连接DM. 由折叠可知△GFP≌△GMP， FG=MG，∠FGP=∠MGP. ∵GN=GN， ∴△FGN≌△MGN(SAS)， ∴∠FNG=∠MNG=90°. 39 由(1)知FE=2x，GE=x. ∴GM=FG==x， ∴tan∠DMA==. ∵FP∥GM， ∴∠FPG=∠PGM，∴∠FPG=∠FGP， ∴FP=FG=x，∴HP=x+x， ∴tan∠FGP==tan∠FPG==， ∴=，∴FN·AM=GN·AD. 40 类型3类比、拓展探究 例3 (2024·济南)某校数学兴趣小组的同学在学习了图形的相似后，对三角形的相似进行了深入研究. 41 (一)拓展探究 如图1，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D. (1)兴趣小组的同学得出AC2=AD·AB.理由如下： ∵∠ACB=90°， ∴∠A+∠B=90°. ∵CD⊥AB， ∴∠ADC=90°， ∴∠A+∠ACD=90°， ∴∠B= ① .  ∵∠A=∠A， ∴△ABC∽△ACD， ∴= ② ，  ∴AC2=AD·AB. 42 请完成填空：①______;②______.  (2)如图2，F为线段CD上一点，连接AF并延长至点E，连接CE，当∠ACE=∠AFC时，请判断△AEB的形状，并说明理由. (二)学以致用 (3)如图3，△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，AC=2，BC=2，平面内一点D，满足AD=AC，连接CD并延长至点E，且∠CEB=∠CBD，当线段BE的长度取得最小值时，求线段CE的长. 43 【解题启发】 (1)怎么利用等量代换？相似三角形的判定定理有哪些？ (2)△AEB的形状可以通过哪些边角关系来进行证明？ (3)线段BE在什么情况下取得最小值？ 44 【规范解答】 解：(1)①∠ACD ② (2)△AEB是直角三角形. 理由如下： ∵∠ACE=∠AFC，∠CAE=∠FAC， ∴△ACF∽△AEC，∴=， ∴AC2=AF·AE. 45 由(1)得 AC2=AD·AB， ∴AF·AE=AD·AB， ∴=. ∵∠FAD=∠BAE，∴△AFD∽△ABE， ∴∠ADF=∠AEB=90°， ∴△AEB是直角三角形. 46 (3)∵∠CEB=∠CBD，∠ECB=∠BCD， ∴△CEB∽△CBD， ∴=，∴CD·CE=CB2=(2)2=24. 如图，以点A为圆心，2为半径作☉A，则点C，D都在☉A上，延长CA至点E0，使CE0=6，交☉A于点D0，则CD0=4，∠CDD0=90°， ∴CD0·CE0=24=CD·CE，则= . ∵∠ECE0=∠D0CD，∴△ECE0∽△D0CD， ∴∠CDD0=∠CE0E=90°， ∴点E在过点E0且与CE0垂直的直线上运动. 47 过点B作BE'⊥E0E，垂足为E'，BE'即为最短的BE，连接CE'. 易知四边形CE0E'B是矩形，∴E0E'=BC=2. ∵在Rt△CE0E'中，CE'==2， ∴当线段BE取得最小值时，线段CE的长为2. 48 练4 (2023·东营)(1)用数学的眼光观察. 如图1，在四边形ABCD中，AD=BC，点P是对角线BD的中点，点M是AB的中点，点N是DC的中点，求证：∠PMN=∠PNM. (2)用数学的思维思考. 如图2，延长图中的线段AD交MN的延长线于点E，延长线段BC交MN的延长线于点F，求证：∠AEM=∠F. 49 (3)用数学的语言表达. 如图3，在△ABC中，AC<AB，点D在AC上，AD=BC，点M是AB的中点，点N是DC的中点，连接MN并延长，与BC的延长线交于点G，连接GD. 若∠ANM=60°，试判断△CGD的形状，并进行证明. 50 (1)证明：∵点P是BD的中点，点M是AB的中点， ∴PM=AD.同理得PN=BC. ∵AD=BC，∴PM=PN，∴∠PMN=∠PNM. (2)证明：∵点P是BD的中点，点N是DC的中点， ∴PN∥BC，∴∠PNM=∠F. 同理得∠PMN=∠AEM. 由(1)可知∠PMN=∠PNM，∴∠AEM=∠F. 51 (3)解：△CGD是直角三角形. 证明：如图，取BD的中点P，连接PM，PN. ∵点M是AB的中点， ∴PM∥AD，PM=AD. 同理得PN∥BC，PN=BC. ∵AD=BC，∴PM=PN，∴∠PMN=∠PNM. ∵PM∥AD，∴∠PMN=∠ANM=60°， ∴∠PNM=∠PMN=60°. 52 ∵PN∥BC，∴∠CGN=∠PNM=60°. 又∵∠CNG=∠ANM=60°， ∴△CGN是等边三角形，∴CN=GN. 又∵CN=DN，∴DN=GN， ∴∠NDG=∠NGD=30°， ∴∠CGD=∠CGN+∠NGD=60°+30°=90°， ∴△CGD是直角三角形. 53 练5 (2024·齐齐哈尔)综合与实践 如图1，这个图案是3世纪我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，受这幅图的启发，数学兴趣小组建立了“一线三直角模型”.如图2，在△ABC中，∠A=90°，将线段BC绕点B顺时针旋转90°得到线段BD，作DE⊥AB交AB的延长线于点E. (1)【观察感知】如图2，通过观察，线段AB与DE的数量关系是______;  (2)【问题解决】如图3，连接CD并延长交AB的延长线于点F，若AB=2，AC=6，求△BDF的面积; 54 (3)【类比迁移】在(2)的条件下，连接CE交BD于点N，则=______;  (4)【拓展延伸】在(2)的条件下，在直线AB上找点P，使 tan∠BCP=，请直接写出线段AP的长度. 55 解：(1)AB=DE (2)∵线段BC绕点B顺时针旋转90°得到线段BD， ∴BC=BD，∠CBD=90°， ∴∠BCA=∠DBE=90°-∠ABC. ∵∠A=∠DEB=90°，∴△ABC≌△EDB(AAS)， ∴DE=AB，BE=AC. ∵AB=2，AC=6，∴DE=2，BE=6， ∴AE=AB+BE=8. 56 ∵∠DEB+∠A=180°，∴DE∥AC， ∴△DEF∽△CAF， ∴=，即=， ∴EF=4，∴BF=BE+EF=10， ∴S△BDF=BF·DE=10. (3) (4)或. 57 $$