08 专题八 二次函数综合题（课件PPT）-【智乐星中考·学考传奇】2025年山东省济南市中考数学讲练本

1 2 目 录 济南命题研究 专题分类突破 3 专题 类型 考频 命题趋势 二次函数 综合题 线段(含周长)最值问题 6年2考 1.考什么 二次函数综合题，常以解答题的形式进行考查，主要考查二次函数表达式的求法、图象与性质以及与一次函数、三角形、四边形的综合. 2.怎么考 设问角度常有线段之间的数量关系、角度之间的关系、面积、周长、线段的最值、特殊四边形与特殊三角形的存在性问题等，常与几何图形结合考查 面积问题 6年2考 特殊三角形存在性问题 6年3考 特殊四边形存在性问题 6年0考 抛物线与图形的交点问题 6年1考 角度问题 6年2考 4 类型1线段(含周长)最值问题 例1 (2023·菏泽)已知抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C(0，4)，其对称轴为直线x=-. 5 (1)求抛物线的表达式; (2)如图1，点D是线段OC上的一动点，连接AD，BD，将△ABD沿直线AD翻折，得到△AB'D，当点B'恰好落在抛物线的对称轴上时，求点D的坐标; (3)如图2，动点P在直线AC上方的抛物线上，过点P作直线AC的垂线，分别交直线AC、线段BC于点E，F，过点F作FG⊥x轴，垂足为G，求FG+FP的最大值. 6 【解题启发】 (1)知道抛物线的对称轴与y轴交点坐标，可以求出哪些系数？ (2)三角形翻折有哪些性质，如何利用这些性质确定点D的坐标？ (3)应该用哪种方法求解线段和最值？ 7 【规范解答】 解：(1)∵抛物线与y轴交于点C(0，4)，∴c=4. ∵对称轴为直线x=-， ∴-=-，b=-3， ∴抛物线的表达式为y=-x2-3x+4. 8 (2)如图，设对称轴与x轴交于点H. 令-x2-3x+4=0， 解得x1=1，x2=-4， ∴A(-4，0)，B(1，0)， ∴AB=1-(-4)=5. 由翻折可得AB'=AB=5. 9 ∵对称轴为直线x=-， ∴AH=--(-4)=， ∴AB'=2AH， ∴∠AB'H=30°，∠B'AB=60°， ∴∠DAB=∠B'AB=30°. 在Rt△AOD中，OD=OA·tan 30°=， ∴D(0，). 10 (3)设BC所在直线的表达式为y1=k1x+b1. 把点B(1，0)，C(0，4)的坐标分别代入得 解得∴y1=-4x+4. ∵OA=OC，∴∠CAO=45°. ∵∠AEF=90°，∴直线PE与x轴所成夹角为45°. 11 设P(m，-m2-3m+4)， 设PE所在直线的表达式为y2=-x+b2， 把点P的坐标代入得b2=-m2-2m+4， ∴y2=-x-m2-2m+4， 令y1=y2，则-4x+4=-x-m2-2m+4， 解得xF=， ∴FG=yF=+4， 12 FP=×=×(xF-xP)=(m2-m)， ∴FG+FP=+4+=-(m+)2+. ∵点P在直线AC上方，∴-4<m<0， ∴当m=-时，FG+FP取最大值，最大值为. 13 【解题通法】 (1)线段最值 ①直线段：根据两点间纵坐标的差表示线段的长，通过二次函数的最值求解. ②斜线段：化斜为直.将未知的线段通过相似三角形或锐角三角函数转化为直线段，通过二次函数最值求解. 14 ③线段和最值：a.利用锐角三角函数将两条线段转化为一条线段求最值; b.解决形如“kPA+PB”最值问题的注意事项： 当k=1时，用“将军饮马”模型. 当0<k<1时，点P运动轨迹是直线时，用“胡不归”模型;点P运动轨迹是圆时，用“阿氏圆”模型. (2)周长最值：利用“将军饮马”模型求解，也可以通过相似三角形转化为线段最值问题求解. 15 练1 (2023·烟台)如图，抛物线 y=ax2+bx+5与x轴 交于A，B两点，与y轴交于点C，AB=4.抛物线 的对称轴直线x=3与经过点A的直线y=kx-1交于 点D，与x轴交于点E. (1)求直线AD及抛物线的表达式. (2)在抛物线上是否存在点M，使得△ADM是以AD为直角边的直角三角形？若存在，求出所有点M的坐标;若不存在，请说明理由. (3)以点B为圆心，画半径为2的圆，点P为☉B上一个动点，请求出PC+PA的最小值. 16 解：(1)∵抛物线的对称轴为直线x=3，AB=4， ∴A(1，0)，B(5，0). 将点A(1，0)代入直线y=kx-1得k-1=0， 解得k=1，∴直线AD的表达式为y=x-1. 将点A(1，0)，B(5，0)分别代入y=ax2+bx+5得 解得 ∴抛物线的表达式为y=x2-6x+5. 17 (2)存在. ∵直线AD的表达式为y=x-1，抛物线的对称轴直线x=3与x轴交于点E， ∴当x=3时，y=x-1=2，∴D(3，2). ①当∠DAM=90°时， 设直线AM的表达式为y=-x+c，将点A的坐标代入得-1+c=0，解得c=1， ∴直线AM的表达式为y=-x+1. 联立解得(舍去)或 ∴点M的坐标为(4，-3). 18 ②当∠ADM=90°时， 设直线DM的表达式为y=-x+d，将点D(3，2)代入 得-3+d=2，解得d=5， ∴直线DM的表达式为y=-x+5. 联立 解得或 ∴点M的坐标为(0，5)或(5，0). 综上所述，点M的坐标为(4，-3)或(0，5)或(5，0). 19 (3)如图，在AB上取点F，使BF=1，连接CF，PF，BP. ∵PB=2，∴=. ∵==， ∴=. 又∵∠PBF=∠ABP， ∴△PBF∽△ABP， 20 ∴==，即PF=PA， ∴PC+PA=PC+PF≥CF， ∴当C，P，F三点共线时，PC+PA的值最小，即为线段CF的长. ∵OC=5，OF=OB-BF=5-1=4， ∴CF===， ∴PC+PA的最小值为. 21 类型2 面积问题 例2 (2024·济南)在平面直角坐标系xOy中，抛物线C1：y=x2+bx+c经过点A(0，2)，B(2，2)，顶点为D;抛物线C2：y=x2-2mx+m2-m+2(m≠1)，顶点为Q. 22 (1)求抛物线C1的表达式及顶点D的坐标. (2)如图1，连接AD，E是抛物线C1对称轴右侧上一点，F是抛物线C2上一点.若四边形ADFE是面积为12的平行四边形，求m的值. (3)如图2，连接BD，DQ，点M是抛物线C1对称轴左侧上的动点(不与点A重合)，过点M作MN∥DQ交x轴于点N，连接BN，DN，求△BDN面积的最小值. 23 【解题启发】 (1)抛物线的表达式怎么求？顶点坐标公式是什么？ (2)四边形ADFE的面积怎么表示？ (3)△BDN面积的大小与什么有关？ 24 【规范解答】 解：(1)∵抛物线C1： y=x2+bx+c过点A(0，2)，B(2，2)， 得解得 ∴抛物线C1的表达式为y=x2-2x+2， ∴顶点D(1，1). 25 (2)如图，连接DE，过点E作EG∥y轴，交AD延长线于点G，过点D作DH⊥EG，垂足为H，延长DH与y轴交于点H'，设点E的横坐标为t. 设直线AD的表达式为y=kx+b. 由题意知解得 ∴直线AD的表达式为 y=-x+2. ∵E(t，t2-2t+2)，G(t，2-t)，∴EG=t2-t. 26 ∵▱ADFE的面积为12， ∴S△ADE=S四边形ADFE=6， S△ADE=S△AGE-S△DGE=EG·H'D=6. ∵H'D=1，∴EG=12， ∴t2-t=12， 解得t1=4，t2=-3(舍去)，∴E(4，10). 27 ∵点E先向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度得到点F， ∴F(5，9). 将点F(5，9)代入y=x2-2mx+m2-m+2(m≠1)， 得m2-11m+18=0， 解得m1=2，m2=9. 28 (3)如图，过点M作MP⊥x轴，垂足为P，过点D作DK∥y轴，过点Q作QK∥x轴，与DK交于点K，设 M(h，h2-2h+2)，h<1且h≠0，N(n，0). ∵y=x2-2mx+m2-m+2=(x-m)2-m+2， ∴抛物线C2的顶点Q(m，2-m)， ∴DK=|1-(2-m)|=|m-1|，KQ=|m-1|， ∴DK=KQ，∠DQK=45°. 29 ∵MN∥DQ ，KQ∥NP，易得∠MNP=∠DQK=45°， ∴∠NMP=45°，∴MP=NP，∴n-h=h2-2h+2， ∴n=h2-h+2=(h-)2+，∴当h=时，n=， ∴点N横坐标的最小值为n=，此时点N到直线BD距离最小，△BDN的面积最小， 最小距离即边BD上的高，高为×=， ∴△BDN面积的最小值为S△BDN=××=. 30 练2 (2020·济南)如图1，抛物线y=-x2+bx+c过点 A(-1，0)，点B(3，0)，与y轴交于点C.在x轴上 有一动点 E(m，0)(0<m<3)，过点E作直线l⊥ x轴，交抛物线于点M. (1)求抛物线的表达式及点C的坐标; (2)当m=1时，D是直线l上的点且在第一象限内，若△ACD是以∠DCA为底角的等腰三角形，求点D的坐标; (3)如图2，连接BM并延长交y轴于点N，连接AM，OM，设△AEM的面积为S1，△MON的面积为S2，若S1=2S2，求m的值. 31 解：(1)由题意知解得 ∴y=-x2+2x+3，∴点C的坐标为(0，3). (2)分两种情况讨论：①如图1，当DA=DC时， 设D(1，t)，则4+t2=1+(t-3)2， 解得t=1，∴D(1，1). 32 ②如图2，当AC=AD时， 由题意得12+32=22+t2， 解得t=±. 又∵点D在第一象限， ∴D(1，). 综上所述，D(1，)或(1，1). 33 (3)设M(m，-m2+2m+3). 由题意得△BEM∽△BON， ∴=，∴=， ∴ON=3(m+1). ∵AE=m+1，∴ON=3AE. ∵S1=2S2，AE·EM=2×ON·OE， 即(m+1)(-m2+2m+3)=3(m+1)m， 解得m=-2±或-1. 又∵点D在第一象限，∴m=-2+. 34 类型3 特殊三角形存在性问题 考法❶　等腰三角形存在性问题 例3 (2024·达州)如图1，抛物线y=ax2+bx-3与x轴交于点A(-3，0)和点 B(1，0)，与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点. 35 (1)求抛物线的表达式. (2)如图2，连接AC，DC，直线AC交抛物线的对称轴于点M.若P是直线 AC上方抛物线上一点，且S△PMC=2S△DMC，求点P的坐标. (3)若点N是抛物线对称轴上位于点D上方的一动点，是否存在以点N， A，C为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出满足条件的 点N的坐标;若不存在，请说明理由. 36 【解题启发】 (1)怎样利用待定系数法求抛物线的表达式？ (2)如何将S△PMC=2S△DMC的关系转化为线段间的倍数关系？ (3)等腰三角形的性质是什么？如何利用其性质来求解？需不需要分类讨论？ 37 【规范解答】 解：(1)由题意得y=a(x+3)(x-1)=a(x2+2x-3)=ax2+bx-3，解得a=1， ∴抛物线的表达式为y=x2+2x-3. (2)由抛物线的表达式知点C(0，-3)，D(-1，-4)，抛物线的对称轴为直线x=-1. 如图，过点D作直线DG∥AC交y轴于点G，在点C上方取点L使CL=2CG，过点L作直线P1P2∥AC交抛物线于点P1，P2，则点P1，P2为所求点. 38 由点A，C坐标得直线AC的表达式为y=-x-3. ∵DG∥AC， ∴直线DG的表达式为 y=-(x+1)-4=-x-5， ∴G(0，-5)，∴CG=5-3=2， ∴CL=4，∴L(0，1)， 39 ∴直线P1P2的表达式为y=-x+1. 联立 解得或 ∴点P的坐标为(1，0)或(-4，5). (3)存在.点N的坐标为(-1，)或(-1，-)或(-1，-1)或(-1，-3+). 40 【解题通法】 “两圆一线”法或距离公式法 “两圆 一线”法 若A(3，0)，B(0，4)，在坐标轴上求点C使得△ABC为等腰三角形 当AB=AC时，以点A为圆心，AB长为半径作☉A，则☉A与坐标轴的交点即为所求点C.如图，有C1，C2，C3三个点 当BA=BC时，以点B为圆心，AB长为半径作☉B，则☉B与坐标轴的交点即为所求点C.如图，有C4，C5，C6三个点 当CA=CB时，作线段AB的中垂线l，则直线l与坐标轴的交点即为所求点C.如图，有C7，C8两个点 41 距离公 式法 已知条件：若A(xA，yA)，B(xB，yB)为已知点，C为x轴上一点，为所求点. 利用距离公式求坐标： (1)设点：设点C的坐标为(m，0). (2)表示线段的平方：AB2=(xA-xB)2+(yA-yB)2，AC2=(xA-m)2+， BC2=(xB-m)2+. (3)分类讨论： ①AB2=AC2，即(xA-xB)2+(yA-yB)2=(xA-m)2+; ②AB2=BC2，即(xA-xB)2+(yA-yB)2=(xB-m)2+; ③AC2=BC2，即(xA-m)2+=(xB-m)2+. (4)求解得点C的坐标 42 考法❷　直角三角形存在性问题 例4 (2022·滨州)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2-2x-3与x轴相交于点A，B(点A在点B的左侧)，与y轴相交于点C，连接AC，BC. (1)求线段AC的长; (2)若点P为该抛物线对称轴上的一个动点，当PA=PC时，求点P的坐标; (3)若点M为该抛物线上的一个动点，当△BCM为直角三角形时，求点M的坐标. 43 【解题启发】 (1)根据抛物线的表达式求出点A，C的坐标分别为______;  (2)设出点P的坐标为______，利用PA=PC建立方程求解;  (3)分几种情况进行讨论？ 44 【规范解答】 解：(1)∵抛物线为y=x2-2x-3， 令y=0，解得x1=-1，x2=3，∴A(-1，0)，B(3，0). 令x=0，解得y=-3，∴C(0，-3)， ∴AO=1，CO=3，∴AC==. 45 (2)抛物线y=x2-2x-3的对称轴为直线x=1. 设P(1，t)，则PA2=(1+1)2+(t-0)2=4+t2， PC2=(1-0)2+(t+3)2=1+(t+3)2. ∵PA=PC，∴4+t2=1+(t+3)2，解得t=-1， ∴点P的坐标为(1，-1). 46 (3)设M(m，m2-2m-3)， 则BM2=(m-3)2+(m2-2m-3-0)2=(m-3)2+(m2-2m-3)2， CM2=(m-0)2+(m2-2m-3+3)2=m2+(m2-2m)2， BC2=(3-0)2+(0+3)2=18. 当△BCM为直角三角形时，分以下三种情况： ①当CM2+BC2=BM2时，m2+(m2-2m)2+18=(m-3)2+(m2-2m-3)2， 解得m1=0(舍去)，m2=1，∴M(1，-4)； 47 ②当BM2+BC2=CM2时，(m-3)2+(m2-2m-3)2+18=m2+(m2-2m)2， 解得m1=-2，m2=3(舍去)，∴M(-2，5)； ③当BM2+CM2=BC2时，(m-3)2+(m2-2m-3)2+m2+(m2-2m)2=18， 解得m1=0(舍去)，m2=3(舍去)，m3=，m4=， ∴M(，-)或(，-). 综上所述，点M的坐标为(1，-4)或(-2，5)或(，-)或(，-). 48 【解题通法】 “K”形相似法或勾股定理法 问题 若A(xA，yA)，B(xB，yB)为已知点，C为y轴上一点，求点C使得△ABC为直角三角形 “K”形 相似法 当点A为直角顶点时，构造△CAD∽△ABE，可得 = 当点B为直角顶点时，构造△BCE∽△ABD，可得 = 当点C为直角顶点时，构造△ACD∽△CBE，可得 = 勾股 定理法 由勾股定理列式计算：(1)当点A为直角顶点时，AB2+AC2=BC2; (2)当点B为直角顶点时，AB2+BC2=AC2; (3)当点C为直角顶点时，AC2+BC2=AB2 49 考法❸　等腰直角三角形存在性问题 例5 (2024·泰安)如图，抛物线C1：y=ax2+x-4经过点D(1，-1)，与x轴交于点A、点B. 50 (1)求抛物线C1的表达式. (2)将抛物线C1向右平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度得到抛物线C2，求抛物线C2的表达式，并判断点D是否在抛物线C2上. (3)在x轴上方的抛物线C2上，是否存在点P，使△PBD是等腰直角三角形？若存在，请求出点P的坐标;若不存在，请说明理由. 51 【解题启发】 (1)求抛物线表达式有哪几种方法？ (2)如何判断一个点是否在抛物线上？ (3)等腰直角三角形的性质是什么？如何利用其性质求点坐标？ 52 【规范解答】 解：(1)将点D(1，-1)代入抛物线C1的表达式得-1=a+-4，解得a=， ∴抛物线C1的表达式为y=x2+x-4. (2)由题意得C2：y=(x-1)2+(x-1)-4+3=(x-)2-， 当x=1时，y=×(1-)2-=-1， 故点D在抛物线C2上. 53 (3)存在. 令x2+x-4=0，解得x1=，x2=-2， ∴A(，0)，B(-2，0). 54 ①当∠BDP为直角时，如图，过点D作DE⊥BD且DE=BD，则△BDE为等腰直角三角形，过点D作DH⊥EH，DG⊥BG，垂足分别为H，G. ∵∠BDG+∠EDH=90°， ∠EDH+∠DEH=90°， ∴∠BDG=∠DEH. ∵∠DGB=∠EHD=90°， ∴△DGB≌△EHD(AAS)， ∴BG=DH=1，DG=EH=1+2=3，∴E(2，2). 55 当x=2时，y=×(2-)2-=2， ∴点E在抛物线C2上， ∴点P即为点E，其坐标为(2，2). 56 ②当∠DBP为直角时，如图， 同理可得△DHB≌△BGE(AAS)， ∴DH=BG=3，BH=GE=1， ∴E(-1，3). 当x=-1时， y=×(-1-)2-=3， ∴点E在抛物线C2上， ∴点P即为点E，其坐标为(-1，3). 57 ③当∠BPD为直角时，如图. 设点E(x，y)， 同理可得△EHB≌△DGE(AAS)， ∴EH=x+2=GD=y+1且BH=y=GE=1-x， 解得x=0且y=1，即点E(0，1). 当x=0时， y=×(0-)2-=-≠1， ∴点E不在抛物线C2上. 综上所述，点P的坐标为(2，2)或(-1，3). 58 【解题通法】 59 类型4 特殊四边形存在性问题 例6 (2023·枣庄)如图，抛物线 y=-x2+bx+c经过A(-1，0)，C(0，3)两点，并交x轴于另一点B，点M是抛物线的顶点，直线AM与y轴交于点D. 60 (1)求该抛物线的表达式. (2)若点H是x轴上一动点，分别连接MH，DH，求MH+DH的最小值. (3)若点P是抛物线上一动点，在对称轴上是否存在点Q，使得以点D， M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有 满足条件的点Q的坐标;若不存在，请说明理由. 61 【解题启发】 (1)怎样运用待定系数法求抛物线的表达式？ (2)在什么情况下，MH+OH的和最小？ (3)根据平行四边形的对角线互相平分，能分几种情况求解？ 62 【规范解答】 解：(1)∵抛物线y=-x2+bx+c经过A(-1，0)，C(0，3)两点， ∴解得 ∴该抛物线的表达式为y=-x2+2x+3. 63 (2)∵y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4， ∴M(1，4). 设直线AM的表达式为y=kx+m.将点A(-1，0)，M(1，4)分别代入得解得 ∴直线AM的表达式为y=2x+2. 当x=0时，y=2，∴D(0，2). 64 如图，作点D关于x轴的对称点D'，连接D'M， 则D'(0，-2)，MH+DH=MH+D'H≥D'M， ∴当M，H，D'三点共线时，MH+DH有最小值，最小值为D'M的长. ∵D'(0，-2)，M(1，4)， ∴D'M==， 即MH+DH的最小值为. (3)存在.点Q的坐标为(1，3)或(1，1)或(1，5). 65 【解题通法】 平移法或中点坐标公式法 已　知 三个点 两个点 问　　题 已知平面上不共线三个点A，B，C，求一点P，使得A，B，C，P四个点组成平行四边形 已知平面上两个点A，B，求两点P，Q，使得A，B，P，Q四个点组成平行四边形(题目中P，Q的位置有具体限制) 66 已　知 三个点 两个点 找　　点 连接AB，AC，BC，分别过点A，B，C作对边的平行线，三条平行线的交点即为所求的点P 分两种情况讨论：①若AB为平行四边形的边，将AB上下左右平移，确定P，Q的位置;②若AB为平行四边形的对角线，取AB的中点，绕线段中点旋转AB，确定P，Q的位置 67 已　知 三个点 两个点 求点坐标 ①分别求出直线P1P2，P2P3，P3P1的表达式，再求出交点即为点P; ②可由点的平移来求坐标 ①平移法：通过点的平移，构造全等三角形来求坐标; ②中点坐标公式法：▱APBQ的四个点A，P，B，Q的坐标满足xA+xB=xP+xQ，yA+yB=yP+yQ 68 练3 (2024·绥化)综合与探究 如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=-x2+bx+c与直线相交于A，B两点，其中点A(3，4)，B(0，1). 69 (1)求该抛物线的函数表达式. (2)过点B作BC∥x轴交抛物线于点C，连接AC. 在抛物线上是否存在点P使tan∠BCP=tan∠ACB？若存在，请求出满足条件的所有点P的坐标;若不存在，请说明理由. (3)将该抛物线向左平移2个单位长度得到 y1=a1x2+b1x+c1(a1≠0)，平移后的抛物线与原抛物线相交于点D，E为原抛物线对称轴上的一点，F是平面直角坐标系内的一点，当以点B，D，E，F为顶点的四边形是菱形时，请直接写出点F的坐标. 70 解：(1)∵抛物线y=-x2+bx+c过点A(3，4)，B(0，1)， ∴解得 ∴该抛物线的函数表达式为y=-x2+4x+1. (2)存在.理由如下： ∵BC∥x轴，B(0，1)，∴点C的纵坐标为1， ∴1=-x2+4x+1， 解得x1=0(舍去)，x2=4，∴C(4，1). 71 如图，过点A作AQ⊥BC于点Q，设直线CP交y轴于点M. 在Rt△ACQ中， ∵A(3，4)，∴Q(3，1). ∵tan∠BCP=tan∠ACB， ∴tan∠BCP=×=×=. 72 ∵BC=4，∠CBM=90°， ∴=tan∠BCP=， ∴BM=BC=×4=2， ∴|yM-1|=2，∴yM=3或-1， ∴M1(0，3)，M2(0，-1)， ∴直线CM1的表达式为y=-x+3， 直线CM2的表达式为y=x-1. 73 联立解得或(舍去)∴P1(). 联立解得或(舍去)∴P2(-，-). 综上所述，满足条件的点P的坐标为()或(-，-). (3)点F的坐标为(-1，3)或(1，-2)或(3，4-)或(3，4+). 74 类型5抛物线与图形的交点问题 例7 (2023·济南)在平面直角坐标系xOy中，正方形ABCD的顶点A，B在x轴上，C(2，3)，D(-1，3). 抛物线y=ax2-2ax+c(a<0)与x轴交于点E(-2，0)和点F. 75 (1)如图1，若抛物线过点C，求抛物线的表达式和点F的坐标; (2)如图2，在(1)的条件下，连接CF，作直线CE，平移线段CF，使点C的对应点P落在直线CE上，点F的对应点Q落在抛物线上，求点Q的坐标; (3)若抛物线y=ax2-2ax+c(a<0)与正方形ABCD恰有两个交点，求a的取值范围. 76 【解题启发】 (1)待定系数法求表达式，需要代入哪两个点的坐标？点F的纵坐标是多少？ (2)直线CE的表达式是什么？点P与点Q的坐标如何表示，如何求解？ (3)“恰有两个交点”，可以得出什么关系式？ 77 【规范解答】 解：(1)∵抛物线y=ax2-2ax+c过点C(2，3)，E(-2，0)， 将点C，E的坐标分别代入得解得 ∴抛物线的表达式为y=-x2+x+3. 当y=0时，-x2+x+3=0， 解得x1=-2(舍去)，x2=4， ∴F(4，0). 78 (2)设直线CE的表达式为y=kx+b. ∵直线过点C(2，3)，E(-2，0)，代入y=kx+b得 解得 ∴直线CE的表达式为y=x+. 79 如图1，设Q(t，- t2+t+3)，则点Q向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度得到点P(t-2，-t2+t+6). 将P(t-2，-t2+t+6)代入y=x+得 (t-2)+=-t2+t+6， 整理得t2=16，解得t1=-4，t2=4(舍去)， ∴点Q的坐标为(-4，-6). 图1 80 (3)将点E(-2，0)代入y=ax2-2ax+c得c=-8a， ∴y=ax2-2ax-8a=a(x-1)2 -9a， ∴顶点坐标为(1，-9a). 如图2，当抛物线顶点在正方形内部时， 与正方形有两个交点， ∴ 解得-<a<0； 图2 81 如图3，当抛物线与直线BC的交点在点C上方，且与直线AD的交点在点D下方时，与正方形有两个交点， ∴ 解得-<a<-. 综上所述，a的取值范围为-<a<0或-<a<-. 图3 82 练4 (2023·日照)在平面直角坐标系xOy内，抛物线y=-ax2+5ax+2(a>0)交 y轴于点C，过点C作x轴的平行线交该抛物线于点D. 83 (1)求点C，D的坐标. (2)当a=时，如图，该抛物线与x轴交于A，B两点(点A在点B的左侧)， P为直线AD上方抛物线上一点，将直线PD沿直线AD翻折，交x轴于点 M(4，0)，求点P的坐标. (3)坐标平面内有两点E(，a+1)，F(5，a+1)，以线段EF为边向上作正方形EFGH. ①若a=1，求正方形EFGH的边与抛物线的所有交点的坐标; ②当正方形EFGH的边与该抛物线有且仅有两个交点，且这两个交点到x轴的距离之差为时，求a的值. 84 解：(1)∵抛物线y=-ax2+5ax+2(a>0)交y轴于点C， ∴令x=0，则y=2，∴C(0，2). ∵过点C作x轴的平行线交抛物线于点D， ∴点D的纵坐标为2，且点C与点D关于抛物线的对称轴对称. ∵抛物线的对称轴为直线x=-=，∴D(5，2). 85 (2)如图，作点M关于直线AD的对称点M'，连接MM'，交AD于点N. 当a=时，抛物线的表达式为y=-x2+x+2， 令y=0得-x2+x+2=0， 解得x1=-1，x2=6，∴A(-1，0)，B(6，0). 由点A，D的坐标可得直线AD的表达式为y=x+， ∴可设直线MM'的表达式为y=-3x+b. 将点M(4，0)代入得0=-3×4+b，解得b=12， ∴直线MM'的表达式为y=-3x+12. 86 联立 解得∴N()， ∴由中点坐标公式可得点M'的坐标为(3，3). 由点M'，D的坐标可求得直线DM'的表达式为y=-x+. 联立解得或(舍去) ∴P(). 87 (3)①当a=1时，抛物线的表达式为y=-x2+5x+2，E(1，2)，F(5，2)，如图， ∴EH=EF=FG=4， ∴H(1，6)，G(5，6). 当x=1时，y=-12+5×1+2=6， ∴抛物线y=-x2+5x+2恰好经过点H(1，6). ∵抛物线对称轴为直线x=，由对称性可知抛物线经过点(4，6)， ∴点(4，6)是抛物线与正方形的一个交点. 又∵点F与点D重合，∴抛物线也经过点F(5，2). 综上所述，正方形EFGH的边与该抛物线的所有交点的坐标为(1，6)，(4，6)， (5，2). 88 ②如图，当抛物线与GH，GF分别交于点T，D时. ∵正方形EFGH的边与该抛物线有且仅有两个交点，且这两个交点到x轴的距离之差为， ∴点T的纵坐标为2+=， ∴5-+a+1=，∴a2+a-1=0， 解得a=-2(舍去)或a=； 89 如图，当抛物线与GH，EF分别交于点T，S时. ∵正方形EFGH的边与该抛物线有且仅有两个交点， 且这两个交点到x轴的距离之差为， ∴5-=，解得a=(舍去，因为此时点F在点D下方)； 90 如图，当抛物线与EH，EF分别交于点T，S时. ∵正方形EFGH的边与该抛物线有且仅有两个交点，且这两个交点到x轴的距离之差为， ∴-a·()2+5a·+2=a+1+， ∴7-=a+，∴a2-a+1=0， 91 解得a=或(舍去)； 当x=时，y=-ax2+5ax+2=a+2， 当a=时，a+2>6+a-，∴a=不符合题意. 综上所述，a=. 92 类型6 角度问题 例8 (2024·武汉)抛物线y=x2+2x-交x轴于A，B两点(点A在点B的右边)，交y轴于点C. 93 (1)直接写出点A，B，C的坐标; (2)如图1，连接AC，BC，过第三象限的抛物线上的点P作直线PQ∥AC，交y轴于点Q，若BC平分线段PQ，求点P的坐标; (3)如图2，点D与原点O关于点C对称，过原点的直线EF交抛物线于E，F两点(点E在x轴下方)，线段DE交抛物线于另一点G，连接FG.若∠EGF=90°，求直线DE的表达式. 94 【解题启发】 (1)知道抛物线表达式，怎么求抛物线与坐标轴的交点坐标？ (2)平分线段PQ，你能找到什么数量关系？ (3)特殊角90°，你能想到什么方法求解？ 95 【规范解答】 解：(1)A(1，0)，B(-5，0)，C(0，-). (2)设直线AC的表达式为y=kx+b(k≠0). 把点A(1，0)，C(0，-)分别代入得 解得 ∴直线AC的表达式为y=x-. ∵PQ∥AC，∴设直线PQ的表达式为y=x+b'. 96 设P(t，t2+2t-)，∴t2+2t-=t+b'， ∴b'=t2-t-， ∴直线PQ的表达式为y=x+t2-t-. 令x=0得y=t2-t-， ∴Q(0，t2-t-). ∵BC平分线段PQ， ∴PQ的中点(t2+t-)在直线BC上. 97 由B(-5，0)，C(0，-)得直线BC的表达式为y=-x-， ∴t2+t-=--， 解得t=-2或t=0(舍去)， ∴P(-2，-). 98 (3)如图，过点G作TS∥x轴，过点E，F分别作TS的垂线，垂足分别为T，S， ∴∠T=∠S=∠EGF=90°， ∴∠EGT=90°-∠FGS=∠GFS， ∴△ETG∽△GSF，∴=， ∴ET·SF=GS·TG. ∵点D与原点O关于C(0，-)对称，∴D(0，-5). 99 设直线EF的表达式为y1=k1x，直线ED的表达式为y2=k2x-5. 联立得k1x=x2+2x-， ∴x2+(2-k1)x-=0. 联立 得k2x-5=x2+2x-， ∴x2+(2-k2)x+=0. 100 设xE=e，xF=f，xG=g， ∴ef=-5，eg=5，e+g=2k2-4， ∴f=-g，ET=e2+2e--(g2+2g-)=(e+g+4)(e-g)， SF=f2+2f--(g2+2g-)=(f+g+4)(f-g). ∵ET·SF=GS·TG， 101 ∴(e+g+4)(e-g)·(f+g+4)(f-g)=(f-g)(g-e)， ∴(e+g+4)(e-g)·(-g+g+4)(-g-g)=(-g-g)(g-e). ∴e+g=-5， ∴2k2-4=-5，解得k2=-， ∴直线DE的表达式为y=-x-5. 102 练5 (2021·济南)抛物线y=ax2+bx+3过 点A(-1，0)，点B(3，0)，顶点为C. (1)求抛物线的表达式及点C的坐标; (2)如图1，点P在抛物线上，连接CP并延长交x轴于点D，连接AC，若△DAC是以AC为底的等腰三角形，求点P的坐标; (3)如图2，在(2)的条件下，点E是线段AC上(与点A，C不重合)的动点，连接PE，作∠PEF=∠CAB，边EF交x轴于点F，设点F的横坐标为m，求m的取值范围. 103 解：(1)由题意知抛物线y=ax2+bx+3过点A(-1，0)，点B(3，0)，将点A，D的坐标分别代入y=ax2+bx+3得 解得 ∴y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4， ∴点C的坐标为(1，4). 104 (2)如图，过点C作CM⊥AB于点M. 设点D(t，0)， 则DM=t-1，DC=DA=t+1. 在Rt△CMD中， 42+(t-1)2=(t+1)2， 解得t=4，∴D(4，0). 105 过点P作PN⊥AB于点N，则PN∥CM， ∴△DPN∽△DCM. 设点P的坐标为(n，-n2+2n+3)，则N(n，0)， ∴=，∴=， 解得n=或n=1(舍去)， ∴点P的坐标为(). 106 (3)如图. ∵P()，C(1，4)，A(-1，0)， ∴PC=，AC=2. ∵DA=DC，∴∠DAC=∠DCA. ∵∠CEF=∠CAB+∠AFE，∠PEF=∠CAB， ∴∠CEP=∠AFE，∴△EPC∽△FEA，∴=， 107 ∴CP·AF=AE·CE，∴(m+1)=AE(2-AE)， ∴m=-AE2+AE-1=-(AE-)2+. 当AE=时，m取得最大值为. ∵0<AE<2，∴-1<m≤. 108 $$