07 专题七 反比例函数综合题（课件PPT）-【智乐星中考·学考传奇】2025年山东省济南市中考数学讲练本

1 2 目 录 济南命题研究 专题分类突破 3 专题 类型 考频 命题趋势 反比例函 数综合题 反比例函数与一次函数的综合 6年4考 1.考什么 反比例函数的综合是学考命题的热点之一.反比例函数常与一次函数、几何图形等相结合，以解答题的形式考查同学们的数学核心素养以及利用综合知识解答问题的能力. 2.怎么考 反比例函数的综合题的考查一般与一次函数、三角形、四边形相结合，设问一般为2～3小问，难度中等偏上 反比例函数与几何变化的综合 6年2考 反比例函数与常见图形存在性问题的综合 6年4考   4 类型1反比例函数与一次函数的综合 例1 (2024·东营)如图，一次函数y=mx+n(m≠0)的图象与反比例函数y=(k≠0)的图象交于点A(-3，a)，B(1，3)，且一次函数的图象与x轴、y轴分别交于点C，D. (1)求反比例函数和一次函数的表达式; (2)根据图象直接写出不等式mx+n>的解集; (3)在第三象限的反比例函数图象上有一点P， 使得S△OCP=4S△OBD，求点P的坐标. 5 【解题启发】 (1)用什么方法求表达式？ (2)不等式mx+n>的解集，表现在函数图象上时，谁的图象在上方 ？ (3)怎么求△OCP和△OBD的面积？ 6 【规范解答】 解：(1)将点B(1，3)代入反比例函数y=得3=， ∴k=3， ∴反比例函数的表达式为y=. 将A(-3，a)代入反比例函数y=得a==-1， ∴点A的坐标为(-3，-1). 将点A和点B的坐标分别代入y=mx+n得 解得 ∴一次函数的表达式为y=x+2. 7 (2)-3<x<0或x>1. (3)将x=0代入y=x+2得y=2，∴点D的坐标为(0，2)， ∴S△OBD=×2×1=1，∴S△OCP=4S△OBD=4. 将y=0代入y=x+2得x=-2，∴点C的坐标为(-2，0)， ∴S△OCP=×2|yP|=4，解得|yP|=4. ∵点P在第三象限，∴yP=-4. 将yP=-4代入y=得xP=-， ∴点P的坐标为(-，-4). 8 练1 如图，直线y=2x+2与x轴交于点C，与y轴交于点B，在直线上取点A(2，a)，过点A作反比例函数y=(x>0)的图象. (1)求a的值及反比例函数的表达式. (2)P为反比例函数y=(x>0)图象上的一点， 若S△POB=2S△AOB，求点P的坐标. (3)在x轴上是否存在点Q，使得∠BOA=∠OAQ？ 若存在，请求出点Q的坐标;若不存在，请说明理由. 9 解：(1)把点A(2，a)代入y=2x+2得 a=2×2+2=6，∴A(2，6). 把点A(2，6)代入y=得k=12， ∴反比例函数的表达式为y=. 10 (2)当x=0时，y=2x+2=2×0+2=2， ∴B(0，2)，∴OB=2， ∴S△AOB=OB·xA=×2×2=2， ∴S△POB=2S△AOB=4. ∵S△POB=OB·xP=×2xP=4， 解得xP=4. ∴将xP=4代入y=得yP=3，∴点P的坐标为(4，3). 11 (3)存在. ①当点Q在x轴正半轴上时， 如图，过点A作AQ1∥y轴交x轴于点Q1， 则∠BOA=∠OAQ1，∴Q1(2，0). ②当点Q在x轴负半轴上时， 如图，设AQ2与y轴交于点D(0，b). ∵∠BOA=∠OAQ2，∴AD=OD， 则22+(6-b)2=b2，解得b=， ∴D(0，). 12 设直线AQ2的表达式为y=mx+n.将点A，D的坐标分别代入得 解得 ∴直线AQ2的表达式为y=x+. 当y=0时，x=-， ∴点Q2的坐标为(-，0). 综上所述，点Q的坐标为(2，0)或(-，0). 13 类型2 反比例函数与几何变化的综合 例2 (2024·济南)已知反比例函数y=(x>0)的图象与正比例函数y=3x(x≥0)的图象交于点A(2，a)，B是线段OA上(不与点A重合)的一点. 14 (1)求反比例函数的表达式; (2)如图1，过点B作y轴的垂线l，l与y=(x>0)的图象交于点D，当线段BD=3时，求点B的坐标; (3)如图2，将点A绕点B顺时针旋转90°得到点E，当点E恰好落在y=(x>0)的图象上时，求点E的坐标. 15 【解题启发】 (1)怎么求出反比例函数的表达式？ (2)由线段长度你可以列出什么关系式？ (3)旋转的性质是什么？线段旋转90°你会联想到什么？ 16 【规范解答】 解：(1)将点A(2，a)代入y=3x得a=3×2=6， ∴A(2，6). 将点A(2，6)代入 y=得6=，解得k=12， ∴反比例函数的表达式为 y=. (2)设点B(m，3m)，则点D(m+3，3m)， 将点D的坐标代入y=得3m(m+3)=12， 解得 m1=1，m2=-4 (舍去)， ∴B(1，3). 17 (3)如图，过点B作FH∥y轴，过点E作EH⊥FH于点H， 过点A作AF⊥FH于点F，∠EHB=∠BFA=90°， ∴∠HEB+∠EBH=90°. ∵点A绕点B顺时针旋转 90°， ∴∠ABE=90°，BE=BA， ∴∠EBH+∠ABF=90°， ∴∠BEH=∠ABF， ∴△EHB≌△BFA(AAS)， ∴EH=BF，BH=AF. 18 设点B(n，3n)，则EH=BF=6-3n，BH=AF=2-n， ∴点E(6-2n，4n-2)， ∴(4n-2)(6-2n)=12， 解得 n1=，n2=2， ∴点E(3，4)或(2，6)(舍去)，此时点E(3，4). 19 练2 (2023·济宁)如图，正比例函数y1=x和反比例函数y2=(x>0)的图象交于点A(m，2). (1)求反比例函数的表达式; (2)将直线OA向上平移3个单位长度后，与y轴交于点B， 与y2=(x>0)的图象交于点C，连接AB，AC， 求△ABC的面积. 20 解：(1)将点A(m，2)代入正比例函数y1=x得m=2，解得m=4， ∴A(4，2). 把点A(4，2)代入反比例函数y2=(x>0)得=2， 解得k=8， ∴反比例函数的表达式为y2=. 21 (2)将直线OA向上平移3个单位长度后，其表达式为 y=x+3，当x=0时，y=3，∴点B的坐标为(0，3). 设直线AB的表达式为yAB=tx+n. 将A(4，2)，B(0，3)两点分别代入可得 解得 22 ∴直线AB的表达式为yAB=-x+3. ∵点C是直线OA向上平移3个单位长度后与反比例函数的交点， ∴联立方程组解得(舍去)或 ∴点C的坐标为(2，4). 23 如图，过点C作CM⊥x轴于点M，交AB于点N. 在yAB=-x+3中， 当x=2时，y=， ∴CN=4-=， ∴S△ABC=××4=3. 24 练3 (2024·济南章丘一模)如图，点A，B是反比例函数y=(x>0)的图象上的点，过点A作AC⊥x轴，垂足为C，过点B作BD⊥x轴，垂足为D，OD=DC，连接AO，BO，AB，线段AO交BD于点E，OA=，tan∠AOC=. (1)求反比例函数的表达式; (2)求△ABE的面积; (3)若将AB所在的直线向下平移m(m>0)个单位长度后 与反比例函数的图象y=(x>0)有且只有一个公共点，求m的值. 25 解：(1)在Rt△AOC中， ∵tan∠AOC==，∴设AC=a，OC=2a， ∴a2+(2a)2=()2，∴a=1(负值已舍去)， ∴A(2，1)，∴1=，∴k=2， ∴反比例函数的表达式为y=. 26 (2)∵OD=DC，OC=2，∴OD=1， ∴当x=1时，y==2，即B(1，2). ∵AC⊥x轴，BD⊥x轴， ∴BD∥AC， ∴△ODE∽△OCA， ∴==，∴DE=AC=， ∴BE=BD-DE=2-=， ∴S△ABE=BE·DC=××1=. 27 (3)设直线AB的表达式为y=tx+n，将点A(2，1)，B(1，2)分别代入得∴∴y=-x+3， ∴平移后的函数表达式是y=-x+3-m， 由-x+3-m=得x2-(3-m)x+2=0， ∴Δ=(3-m)2-4×1×2=0， ∴m1=3-2，m2=3+2. 又∵x>0，∴x1+x2=3-m>0，∴m<3， ∴m=3-2. 28 类型3 反比例函数与常见图形存在性问题的综合 例3 (2021·济南)如图，直线y=x与双曲线y=(k≠0)交于A，B两点，点A的坐标为(m，-3)，C是双曲线第一象限分支上的一点，连接BC并延长交x轴于点D，且 BC=2CD. 29 (1)求k的值并直接写出点B的坐标. (2)点G是y轴上的动点，连接GB，GC，求GB+GC的最小值. (3)P是坐标轴上的点，Q是平面内一点，是否存在点P，Q，使得四边形ABPQ是矩形？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标;若不存在，请说明理由. 30 【解题启发】 (1)k值要通过哪个点的坐标求得？ (2)求线段和的最小值，你能想到什么方法？ (3)矩形有什么性质？四边形ABPQ是矩形有几种情况？ 31 【规范解答】 解：(1)将点A(m，-3)代入直线y=x中， 得-3=m，解得m=-2，∴A(-2，-3)， ∴k=-2×(-3)=6，点B的坐标为(2，3). 32 (2)如图，作BE⊥x轴于点E，CF⊥x轴于点F， ∴BE∥CF，∴△DCF∽△DBE， ∴=. ∵BC=2CD，BE=3， ∴=， ∴CF=1，∴C(6，1). 作点B关于y轴的对称点B'，连接B'C交y轴于点G，则B'C即为BG+GC的最小值， 易得BG+GC最小值=B'C==2. 33 (3)存在. 如图，①当点P在x轴上时， 设点P1的坐标为(a，0)，作BE⊥x轴于点E， 易证△OBE∽△OP1B， ∴=. ∵B(2，3)，∴OB=， ∴=， ∴a=，∴点P1的坐标为(，0). 34 ②当点P在y轴上时，设点P2的坐标为(0，b)，作BN⊥y轴于点N，易证△BON∽△P2OB， ∴=，即=， ∴b=，∴点P2的坐标为(0，). 综上所述，点P的坐标为(，0)或(0，). 35 练4 (2023·济南高新二模)如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l：y=x+b与x轴、y轴分别交于点A，B，与双曲线H：y=交于点P(2，)，直线x=m分别与直线l和双曲线H交于点E，D. (1)求k和b的值; (2)当点E在线段AB上时，如果ED=BO，求m的值; (3)如果△BDE是以BE为腰的等腰三角形，求点E的坐标. 36 解：(1)把点P(2，)代入y=得=， 解得k=9. 把点P(2，)代入y=x+b，得+b=， 解得b=3. (2)在直线y=x+3中，令x=0得y=3， ∴B(0，3)，∴OB=3. 令y=0得x+3=0， 解得x=-4，∴A(-4，0). 37 ∵直线x=m分别与直线y=x+3和双曲线y=交于点E，D， ∴E(m，m+3)，D(m，). ∵点E在线段AB上， ∴-4≤m≤0，∴ED=m+3-. ∵ED=BO，∴m+3-=3， 解得m1=-2，m2=2. 经检验，m1=-2，m2=2都是原方程的解，但-4≤m≤0， ∴m=-2. 38 (3)如图，过点E作EF⊥y轴于点F. ∵B(0，3)，E(m，m+3)，D(m，)， ∴F(0，m+3)， ∴BE2=BF2+EF2=[3-(m+3)]2+m2=m2， ∴BE=|m|. 又∵DE=|m+3-|，△BDE是以BE为腰的等腰三角形， 39 ∴BE=DE， ∴|m|=|m+3-|，解得m1=-3，m2=， ∴E(-3，)或E(). 综上所述，点E的坐标为(-3，)或(). 40 练5 (2020·济南)如图，矩形OABC的顶点A，C分别落在x轴、y轴的正半轴上，顶点B(2，2)，反比例函数y=(x>0)的图象与BC，AB分别交于点D，E，BD=. (1)求反比例函数关系式和点E的坐标; (2)写出DE与AC的位置关系并说明理由; (3)点F在直线AC上，点G是坐标系内一点，当四边形BCFG为菱形时，求出点G的坐标并判断点G是否在反比例函数图象上. 41 解：(1)∵B(2，2)，BD=，∴D(，2)， ∴反比例函数关系式y=. ∴E(2，). (2)DE∥AC. 理由如下：∵E(2，)，D(，2)， ∴C(0，2)，A(2，0)， ∴BD=，BC=2，BE=，BA=2， ∴==，∴DE∥AC. 42 (3)Ⅰ.如图1，当点F在BC的上方时，记FG交y轴于点M. ∵B(2，2)，∴∠BCA=60°，∴∠CFM=60°. ∵四边形BCFG为菱形，∴CF=CB=FG=2， ∴FM=1，CM=，∴MG=1，∴G(1，3)， ∴点G恰好落在反比例函数图象上. 图1 43 Ⅱ.如图2，当点F在BC的下方时，记FG交y轴于点H，由答案Ⅰ知，∠FCH=30°. ∵四边形BCFG为菱形， ∴CF=CB=FG=2， ∴HF=1，CH=， ∴OH=，HG=3， ∴G(3，). ∴点G恰好落在反比例函数图象上. 综上所述，G(1，3)或(3，)，且都恰好落在反比例函数图象上. 图2 44 $$