03 专题三 圆的综合题（课件PPT）-【智乐星中考·学考传奇】2025年山东省济南市中考数学讲练本

1 2 目 录 济南命题研究 专题分类突破 3 专题 类型 考频 命题趋势 圆的综合题 与切线的判定有关的证明及计算 6年1考 1.考什么 圆的综合题常以解答题的形式进行考查，设问方式常为切线的判定、证明角度或线段关系、求线段的长度、圆的半径等. 2.怎么考 设问个数通常为2问，难度中等偏上，常与平行线、等腰三角形、相似三角形、勾股定理、锐角三角函数等知识结合考查，常需要作出相应的辅助线解决问题 与切线的性质有关的证明及计算 6年5考 圆与锐角三角函数结合 6年2考 4 类型1 与切线的判定有关的证明及计算 例1 (2024·东营)如图，△ABC内接于☉O，AB是☉O的直径，点E在☉O上，点C是的中点，AE⊥CD，垂足为D，DC的延长线交AB的延长线于点F. (1)求证：CD是☉O的切线; (2)若CD=，∠ABC=60°，求线段AF的长. 5 【解题启发】 (1)判定切线的方法有哪些？ (2)遇到特殊角应考虑什么？ 6 【规范解答】 (1)证明：如图，连接OC. ∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA， ∵点C是的中点，∴=， ∴∠OAC=∠DAC，∴∠OCA=∠DAC，∴OC∥AD. ∵AE⊥CD，∴OC⊥CD. ∵OC是☉O的半径，∴CD是☉O的切线. 7 (2)解：∵AB是☉O的直径，∴∠ACB=90°. ∵∠ABC=60°，∴∠BAC=90°-∠ABC=30°， ∴∠DAC=30°. ∵CD=，∴AD=CD=3. ∵∠F=90°-(∠BAC+∠DAC)=30°，∴AF=2AD=6. 8 练1 (2023·凉山)如图，CD是☉O的直径，弦AB⊥CD，垂足为F，P是CD延长线上一点，DE⊥AP，垂足为E，∠EAD=∠FAD. (1)求证：AE是☉O的切线; (2)若PA=4，PD=2，求☉O的半径和DE的长. 9 (1)证明：如图，连接OA. ∵AB⊥CD，∴∠AFD=90°，∴∠FAD+∠ADF=90°. ∵OA=OD，∴∠OAD=∠ADF，∴∠FAD+∠OAD=90°. ∵∠EAD=∠FAD，∴∠EAD+∠OAD=90°， 即∠OAE=90°，∴OA⊥AE. ∵OA是☉O的半径，∴AE是☉O的切线. 10 (2)解：如图，连接AC. ∵CD是☉O的直径，∴∠CAD=90°， ∴∠C+∠ADC=90°. ∵∠FAD+∠ADC=90°，∴∠C=∠FAD. ∵∠EAD=∠FAD，∴∠C=∠EAD. ∵∠P=∠P，∴△ADP∽△CAP，∴=. ∵PA=4，PD=2，∴=， 11 解得CP=8，∴CD=CP-PD=8-2=6， ∴☉O的半径为3， ∴OA=OD=3，∴OP=OD+PD=5. ∵∠OAP=90°=∠DEP，∠P=∠P， ∴△OAP∽△DEP，∴=，即=， ∴DE=，∴☉O的半径为3，DE的长为. 12 类型2 与切线的性质有关的证明及计算 例2 (2024·陕西)如图，直线l与☉O相切于点A，AB是☉O的直径，点C，D在l上，且位于点A两侧，连接BC，BD，分别与☉O交于点E，F，连接EF，AF. (1)求证：∠BAF=∠CDB; (2)若☉O的半径r=6，AD=9，AC=12，求EF的长. 【解题启发】 (1)切线的性质是什么？证明角相等的方法有哪些？ (2)如何利用已知线段的长度求EF？ 13 【规范解答】 (1)证明：∵直线l与☉O相切于点A， ∴AB⊥CD，∴∠BAC=∠BAD=90°. ∵AB是☉O的直径，∴∠AFB=90°. ∵∠BAF+∠ABD=90°，∠CDB+∠ABD=90°， ∴∠BAF=∠CDB. 14 (2)解：在Rt△ABD中，∵AB=2r=12，AD=9， ∴BD==15. 在Rt△ABC中，∵AB=12，AC=12， ∴BC==12. ∵∠ABF=∠DBA，∠AFB=∠BAD， ∴△BAF∽△BDA， ∴=，即=，解得BF=. 15 ∵∠BEF=∠BAF，∠BAF=∠CDB，∴∠BEF=∠CDB. ∵∠EBF=∠DBC，∴△BEF∽△BDC， ∴=，即=，解得EF=， 即EF的长为. 16 练2 (2024·通辽)如图，△ABC中，∠ACB=90°，O为AC边上一点，以点O为圆心，OC为半径作圆与AB相切于点D，连接CD. (1)求证：∠ABC=2∠ACD; (2)若AC=8，BC=6，求☉O的半径. 17 (1)证明：如图，连接OD. ∵AB为☉O的切线， ∴OD⊥AB， ∴∠ODA=∠ODB=90°. ∵∠ACB=90°，∴∠ABC+∠COD=180°. ∵∠AOD+∠COD=180°，∴∠ABC=∠AOD. ∵∠AOD=2∠ACD，∴∠ABC=2∠ACD. 18 (2)解：设☉O的半径为r，则OD=OC=r，OA=8-r. 在Rt△ACB中，∵∠ACB=90°，AC=8，BC=6， ∴AB==10. ∵∠OAD=∠BAC，∠ADO=∠ACB， ∴△AOD∽△ABC，∴=，即=，解得r=3， 即☉O的半径为3. 19 练3 (2024·济南市中二模)如图，△ABC内接于☉O，BD为☉O的直径，过点D的切线交BC的延长线于点E. (1)求证：∠DEC=∠BAC; (2)若BC=8，☉O的半径长为2，求DE的长. 20 (1)证明：∵BD为☉O的直径， ∴∠BCD=90°. ∵过点D的切线交BC的延长线于点E， ∴DE⊥BD，∴∠BDE=90°， ∴∠BDC=∠DEC=90°-∠DBE. ∵∠BDC=∠BAC，∴∠DEC=∠BAC. 21 (2)解：∵☉O的半径长为2， ∴BD=2×2=4. ∵BC=8， ∴DC===4. ∵∠ECD=∠BCD=90°，∠BDC=∠DEC， ∴=sin∠DEC=sin∠BDC=， ∴DE===2， ∴DE的长是2. 22 类型3 圆与锐角三角函数结合 例3 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以BC为直径作☉O，交AB边于点D，在 上取一点E，使=，连接DE，作射线CE交AB边于点F. (1)求证：∠A=∠ACF; (2)若AC=8，cos∠ACF=，求BF及DE的长. 23 【解题启发】 (1)可以通过哪些角度进行等量代换？ (2)由锐角三角函数，你能想到什么？BF与DE的长与哪些线段有关？ 24 【规范解答】 (1)证明：∵=，∴∠BCF=∠FBC. ∵∠ACB=90°， ∴∠A+∠FBC=90°，∠ACF+∠BCF=90°， ∴∠A=∠ACF. 25 (2)解：如图，连接CD. ∵∠A=∠ACF，∠FBC=∠BCF， ∴AF=FC=FB， ∴cos A=cos∠ACF==. ∵AC=8，∴AB=10，BC=6，∴BF=AB=5. ∵BC是☉O的直径， ∴∠CDB=90°，∴CD⊥AB. ∵S△ABC=AC·BC=AB·CD， ∴CD==， 26 ∴BD===. ∵BF=5， ∴DF=BF-BD=5-=. ∵∠DEF+∠DEC=180°，∠DEC+∠B=180°， ∴∠DEF=∠B=∠BCF， ∴DE∥CB，∴△DEF∽△BCF，∴=， ∴=，∴DE=. 27 【解题通法】 (1)利用圆的有关性质构造直角三角形 如果圆中存在直径，则可根据直径所对的圆周角是直角构造直角三角形，从而为使用锐角三角函数创造条件.垂径定理和切线的性质也是圆中构造直角三角形的重要依据. (2)利用圆周角的性质把角转化到直角三角形中 借助同弧或等弧所对的圆周角相等或其他等量关系，可把三角函数中涉及的锐角转化为直角三角形中的锐角，然后借助三角函数的定义解答. 28 练4 (2023·济南槐荫一模)如图，点E是☉O中弦AB的中点，过点E作☉O的直径CD，P是☉O上一点，过点P作☉O的切线，与AB的延长线交于点F，与CD的延长线交于点G，连接CP与AB交于点M. (1)求证：FM=FP; (2)若cos F=，☉O的半径长为3，求DG的长. 29 (1)证明：如图，连接OP. ∵点E是AB的中点，∴EA=EB，∴OE⊥AB. ∵FG与圆相切于点P，∴PO⊥FG. ∵OC=OP，∴∠C=∠OPC. ∵∠EMC+∠C=∠FPM+∠OPC=90°， ∴∠FPM=∠EMC. ∵∠FMP=∠EMC，∴∠FMP=∠FPM，∴FM=FP. 30 (2)解：∵在Rt△EFG中，cos F=，∴∠F=60°. ∵∠OEB=90°，∴∠G=90°-∠F=30°. ∵∠OPG=90°，∴OP=OG. ∵☉O的半径长为3，∴OG=2×3=6， ∴DG=OG-OD=6-3=3. 31 练5 (2024·潍坊)如图，已知△ABC内接于☉O，AB是☉O的直径，∠BAC的平分线交☉O于点D，过点D作DE⊥AC，交AC的延长线于 点E，连接BD，CD. (1)求证：DE是☉O的切线; (2)若CE=1，sin∠BAD=，求☉O的直径. 32 (1)证明：如图，连接OD. ∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠EAD. ∵OA=OD，∴∠OAD=∠ODA， ∴∠ODA=∠EAD，∴OD∥AE. ∵DE⊥AE，∴∠E=90°，∴∠ODE=90°，∴OD⊥DE. ∵OD是☉O的半径，∴DE是☉O的切线. 33 (2)解：∵AB是☉O的直径，∴∠ADB=90°， ∴∠BAD+∠ABD=90°， ∴∠BAD+∠ABC+∠DBC=90°. ∵∠EAD+∠ADE=90°， ∴∠EAD+∠ADC+∠CDE=90°. ∵∠BAD=∠EAD，∠ABC=∠ADC，∴∠DBC=∠CDE. 34 ∵∠DBC=∠CAD，∠CAD=∠BAD， ∴∠CDE=∠DBC=∠BAD， ∴BD=CD，sin∠CDE=sin∠BAD=. 在Rt△CDE中，sin∠CDE==， ∴CD=3CE=3×1=3，∴BD=3. 在Rt△ABD中，sin∠BAD==， ∴AB=3BD=3×3=9，即☉O的直径为9. 35 $$