02 专题二 解直角三角形的实际应用题（课件PPT）-【智乐星中考·学考传奇】2025年山东省济南市中考数学讲练本

1 2 目 录 济南命题研究 专题分类突破 3 专题 类型 考频 命题趋势 解直角三角形的实际应用题 俯角、仰角问题 6年2考 1.考什么 近几年对于解直角三角形的实际应用连续考查.解直角三角形的实际应用通常考查坡度、仰角、俯角、方向角等，济南近年考查实物模型较多，难度中等. 2.怎么考 设问个数常为2问，常与含特殊角的三角形及锐角三角函数结合考查，需正确作出辅助线来构造直角三角形 坡角、坡度(坡比)问题 6年0考 方向角问题 6年1考 实物模型问题 6年3考 4 类型1 俯角、仰角问题 例1 (2024·甘肃)甘肃省风能资源丰富，风力发电发展迅速.某学习小组成员查阅资料得知，在风力发电机组中，“风电塔筒”非常重要，它的高度是一个重要的设计参数.于是小组成员开展了“测量风电塔筒高度”的实践活动.如图，已知一风电塔筒AH垂直于地面，测角仪CD，EF在AH两侧，CD=EF=1.6 m，点C与点E 相距182 m(点C，H，E在同一条直线上)，在D处测得筒尖顶点A的仰角为45°，在F处测得筒尖顶点A的仰角为53°.求风电塔筒AH的高度.(参考数据：sin 53°≈，cos 53°≈，tan 53°≈) 5 【解题启发】 如何作辅助线构造直角三角形？怎样解直角三角形？ 6 【规范解答】 解：如图，连接DF交AH于点G. 由题意得CD=EF=GH=1.6 m， DF=CE=182 m，DF⊥AH. 设DG=x m， ∴FG=DF-DG=(182-x)m. 7 在Rt△ADG中，∠ADG=45°， ∴AG=DG·tan 45°=x m. 在Rt△AFG中，∠AFG=53°， ∴AG=FG·tan 53°≈(182-x)m， ∴x=(182-x)，解得x=104， ∴AH=AG+GH=104+1.6=105.6(m). 答：风电塔筒AH的高度约为105.6 m. 8 【解题通法】 解题方法 基本图形 方法解读 遇锐角作三角形内部垂直 (1)三角形中含有30°，45°，60°特殊角，在三角形内部作垂直，构造直角三角形; (2)构造“背靠背”型直角三角形，利用特殊角的三角函数值，求出未知线段的长度 9 解题方法 基本图形 方法解读 遇钝角反向延长作垂直 (1)三角形为钝角三角形，且钝角为120°，135°，150°，反向延长作垂直; (2)构造“母子”型直角三角形，利用特殊角的三角函数值求解 10 解题方法 基本图形 方法解读 遇75°，105°角，作垂线将其分解为两个特殊角 (1)三角形中含有75°，105°角，可分解为30°，45°，60°的特殊角; (2)利用特殊角的三角函数值求解 11 解题方法 基本图形 方法解读 遇“组合图形”将其分割成特殊四边形与直角三角形 (1)不规则图形可以通过作辅助线，将图形分割成特殊四边形和直角三角形; (2)利用锐角三角函数求解 12 练1 (2023·济南市中模拟)我国的无人机水平位居世界前列，风靡海外.小华在一条东西走向的笔直宽阔的沿江大道上玩无人机航拍.已知小华身高1.8 m，无人机匀速飞行的速度是4 m/s，当小华在B处时，测得无人机(C处)的仰角为37°;2 s后，小华沿正东方向小跑6 m到达E处，此时测得迎面飞来的无人机(F处)的仰角为58°，CF平行于地面(直线l).设点D与点F的水平距离为x m. (1)请用含x的代数式表示点D与点F的铅垂距离为______m;  (2)求点C离地面的距离.(结果精确到0.1.参考数据：sin 37°≈ 0.60，cos 37°≈0.80，tan 37°≈0.75，sin 58°≈0.85，cos 58° ≈0.53，tan 58°≈1.60) 13 解：(1)1.6x (2)点C离地面的距离约为21.6 m. 14 类型2 坡角、坡度(坡比)问题 例2 (2024·济南历城一模)综合与实践活动中，要利用测角仪测量塔的高度.如图，塔AB前有一座高为DE的观景台，已知CD=8 m，CD的坡度比为i=1∶，点E，C，A在同一条水平直线上.某学习小组在观景台C处测得塔顶部B的仰角为45°，在观景台D处测得塔顶部B的仰角为27°. (1)求DE的长; (2)求塔AB的高度.(结果精确到1 m.参考数据： tan 27°≈0.5，≈1.7) 15 【解题启发】 如何构造直角三角形？如何应用坡度比及锐角三角形函数解题？ 16 【规范解答】 解：(1)在Rt△DCE中，CD的坡度比为i=1∶， CD=8 m， ∴∠DCE=30°，∴DE=CD=4 m， 即DE的长为4 m. 17 (2)设AB=h m. 在Rt△DCE中，cos∠DCE=， ∴EC=CD·cos∠DCE=8×cos 30°=4(m). 在Rt△BCA中，∵tan∠BCA=，AB=h m，∠BCA=45°， ∴CA==h m， ∴EA=CA+EC=(h+4)m， 即EA的长为(h+4)m. 18 如图，过点D作DF⊥AB，垂足为F. 根据题意得∠AED=∠FAE=∠DFA=90°， ∴四边形DEAF是矩形， ∴DF=EA=(h+4)m，FA=DE=4 m， ∴BF=AB-FA=(h-4)m. 在Rt△BDF中，tan∠BDF=≈0.5， ∴≈0.5，解得h≈15. 答：塔AB的高度约为15 m. 19 练2 如图，某数学研究小组测量山体AC的高度，在点B处测得山体A的仰 角为45°，沿BC方向前行20 m至点D处，斜坡DE的坡度为1∶2，在观景 台E处测得山顶A的仰角为58°，且点E到水平地面BC的垂直距离EF为 10 m.点B，D，C在一条直线上，AB，AE，AC在同一竖直平面内. (1)求斜坡DE的水平宽度DF的长; (2)求山体AC的高度.(结果精确到1 m.参考数据： sin 58°≈0.85，cos 58°≈0.53，tan 58°≈1.60， ≈1.41) 20 解：(1)∵斜坡DE的坡度=，EF=10 m， ∴=，∴DF=20 m，即斜坡DE的水平宽度DF的长为20 m. (2)如图，过点E作EH⊥AC于点H，则四边形EFCH为矩形， ∴HC=EF=10 m，CF=EH. 设EH=CF=x m， 在Rt△AEH中， AH=EH·tan∠AEH=EH·tan 58°≈1.60x m， ∴AC=AH+HC=(1.60x+10)m，BC=BD+DF+CF=(40+x)m. 21 在Rt△ABC中，∠ABC=45°， ∴AC=BC，即1.60x+10=40+x，解得x=50， ∴AH=1.60x=1.60×50=80(m)， ∴AC=AH+HC=80+10=90(m)， 即山体AC的高度约为90 m. 22 类型3 方向角问题 例3 (2023·潍坊)如图，l是南北方向的海岸线，码头A与灯塔B相距24千米，海岛C位于码头A北偏东60°方向，一艘勘测船从海岛C沿北偏西30°方向往灯塔B行驶，沿线勘测石油资源，勘测发现位于码头A北偏东15°方向的D处石油资源丰富，若规划修建从D处到海岸线的输油管道，则输油管道的最短长度是多少千米？(结果保留根号) 【解题启发】怎么添加辅助线构造直角三角形？ 23 【规范解答】 解：如图，过点A向正东方向作射线AE，过点C向正西方向作射线CF，过点C向正北方向作射线CG，过点D作DH⊥l于点H， 则DH的长即为所求的输油管道的最短长度. 24 由题意知AB=24千米，∠BAC=60°，∠BAD=15°，∠BCG=30°，CG∥l， ∴∠CAD=45°，∠ABC=∠BCG=30°， ∴∠ACB=90°，∴∠ADC=45°，∴AC=CD. 在Rt△ABC中，AC=AB=12千米， ∴CD=AC=12千米，BC==12千米， ∴BD=BC-CD=(12-12)千米. 在Rt△BDH中，DH=BD=(6-6)千米， ∴输油管道的最短长度是(6-6)千米. 25 类型4 实物模型问题 例4 (2023·济南)图1是某越野车的侧面示意图，折线段ABC表示车后 盖，已知 AB=1 m，BC=0.6 m，∠ABC=123°，该车的高度AO=1.7 m. 如图2，打开后备箱，车后盖ABC落在AB'C'处，AB'与水平面的夹角∠B'AD=27°. 26 (1)求打开后备箱后，车后盖最高点B'到地面l的距离. (2)若小琳爸爸的身高为1.8 m，他从打开的车后盖C'处经过，有没有碰 头的危险？请说明理由.(结果精确到0.01 m.参考数据：sin 27°≈0.454， cos 27°≈0.891，tan 27°≈0.510，≈1.732) 27 【解题启发】 (1)怎么作辅助线构造出直角三角形？ (2)通过什么数据判断是否碰头？怎样求出这个数据？ 28 【规范解答】 解：(1)如图，过点B'作B'E⊥AD，垂足为E. 在Rt△AB'E中，∵∠B'AD=27°，AB'=AB=1 m， ∴sin 27°=， ∴B'E=AB'·sin 27°≈1×0.454=0.454(m). ∵平行线间的距离处处相等， ∴B'E+AO=0.454+1.7=2.154≈2.15(m). 答：车后盖最高点B'到地面l的距离约为2.15 m. 29 (2)没有碰头的危险. 理由如下：如图，过点C'作C'F⊥B'E，垂足为F. ∵∠B'AD=27°，∠B'EA=90°，∴∠AB'E=63°. ∵∠AB'C'=∠ABC=123°， ∴∠C'B'F=∠AB'C'-∠AB'E=60°. 在Rt△B'FC'中，B'C'=BC=0.6 m， ∴B'F=B'C'·cos 60°=0.3 m. ∵平行线间的距离处处相等， ∴点C'到地面的距离为2.15-0.3=1.85(m). ∵1.85>1.8，∴没有碰头的危险. 30 练3 (2023·济南商河一模)图1是某型号挖掘机，该挖掘机是由基座、主臂和 伸展臂构成的.图2是某种工作状态下的侧面结构示意图(MN是基座的高， MP是主臂，PQ是伸展臂，EM∥QN).已知基座高度MN为1 m，主臂MP长为 5 m，测得主臂伸展角∠PME=37°.(参考数据：sin 37°≈，tan 37°≈， sin 53°≈，tan 53°≈) (1)求点P到地面的高度; (2)若挖掘机能挖的最远处点Q到点N的 距离为7 m，求∠QPM的度数. 31 解：(1)如图，过点P作PH⊥QN于点H，延长ME交PH于点F，则四边形MNHF为矩形， ∴FH=MN=1 m，∠PFM=90°， 则PF=PM·sin∠PME=PM·sin 37°≈5×=3(m)， ∴点P到地面的高度为PH=PF+FH=4 m， 即点P到地面的高度为4 m. 32 (2)由(1)可知，∠FPM=90°-37°=53°， 则HN=FM=PM·sin∠FPM=PM·sin 53°≈5×=4(m). ∵QN=7 m，∴QH=QN-HN=3 m， ∴tan∠QPH==， ∴∠QPH=37°. 又∵∠FPM=53°， ∴∠QPM=∠QPH+∠MPH=37°+53°=90°. 33 练4 (2024·济南章丘二模)为提倡健康生活，某人买回一台跑步机.图1、图2分别是某种型号跑步机的实物图与示意图.已知踏板CD长为1.6 m， 踏板CD与地面DE的坡比=1∶，支架AC长为0.8 m，跑步机手柄为AB，且AB∥ED，点A到地面的高度为h.支架与踏板的夹角(∠ACD)可以根据用户的舒适度需求在0°～90°调节. 34 (1)求点C到地面DE的距离. (2)该人身高为1.8 m，通过尝试h是身高0.8倍运动起来更加舒服. ①求此时点C到手柄AB的距离; ②求此时支架与踏板之间夹角的度数.(参考数据：cos 50°≈0.64， cos 37°≈0.8，sin 50°≈cos 40°≈0.76) 35 解：(1)如图，过点C作CG⊥DE于点G. ∵踏板CD与地面DE的坡比=1∶，CD=1.6 m， ∴tan∠CDG==， ∴∠CDG=30°， ∴CG=CD=0.8 m， 即点C到地面DE的距离为0.8 m. 36 (2)①如图，延长GC交AB于点F，则CF⊥AB. ∵该人身高为1.8 m，通过尝试h是身高0.8倍运动起来更加舒服， ∴h=FG=1.8×0.8=1.44(m). 由(1)得CG=0.8 m， ∴CF=FG-CG=1.44-0.8=0.64(m)， 即此时点C到手柄AB的距离为0.64 m. 37 ②在Rt△ACF中，AC=0.8 m，cos∠ACF===0.8， ∴∠ACF≈37°. 由(1)得∠DCG=90°-∠CDG=60°， ∴∠ACD=180°-∠ACF-∠DCG=180°-37°-60°=83°. 答：此时支架与踏板之间夹角的度数为83°. 38 $$