48 第七章 第三节 图形的对称、平移、旋转与位似（课件PPT）-【智乐星中考·学考传奇】2025年山东省济南市中考数学讲练本

1 第三节　图形的对称、平移、旋转与位似 2 目 录 知识全面梳理 核心考点突破 难点分层探究 好题随堂演练 3 知识点1 轴对称与轴对称图形 1.轴对称：如果两个平面图形沿一条直线对折后能够完全重合，那么称 这两个图形成轴对称，这条直线叫作这两个图形的对称轴. 2.轴对称图形：如果一个平面图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分 能够互相重合，那么这个图形叫作轴对称图形，这条直线叫作对称轴. 3.轴对称的性质：在轴对称图形或两个成轴对称的图形中，对应点所连 的线段被对称轴__________，对应线段_______，对应角_______.  垂直平分 相等 相等 4 4.简单的轴对称图形 (1)线段是轴对称图形，垂直并且平分线段的直线是它的一条对称轴. (2)角是轴对称图形，角平分线所在的直线是它的对称轴. (3)等腰三角形是轴对称图形，等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高重合(也称“三线合一”)，它们所在的直线是等腰三角形的对称轴. 5 知识点2 中心对称与中心对称图形 1.中心对称：如果把一个图形绕着某一点旋转______ ，它能够与另一个图 形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫作 它们的对称中心.  2.中心对称图形：把一个图形绕着某个点旋转______，如果旋转后的图形 能与原来的图形重合，那么这个图形叫作中心对称图形，这个点叫作它 的对称中心.  3.中心对称的性质：成中心对称的两个图形中，对应点所连线段经过 对称中心且被对称中心_______.  180° 180° 平分 6 4.常见的轴对称、中心对称图形 (1)轴对称图形：等腰三角形、菱形、矩形、正方形、正六边形、圆等. (2)中心对称图形：平行四边形、菱形、矩形、正方形、正六边形、圆等. (3)既是轴对称又是中心对称图形：菱形、矩形、正方形、正六边形、圆等. 7 知识点3 图形的平移与旋转 1.图形的平移 (1)平移：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移. (2)平移的性质 ①平移只改变图形的位置，不改变图形的形状和大小; ②一个图形和它经过平移所得的图形中，对应点所连的线段平行(或在一条直线上)且相等;对应线段平行(或在一条直线上)且相等，对应角相等. 8 (3)用坐标表示平移：在平面直角坐标系中，将点(x，y)向右或左平移a个 单位长度，可得到对应点(______，y)或(_____，y)，将点(x，y)向上或下平 移b个单位长度，可得到对应点(x，______)或(x，_____).  x+a x-a y+b y-b 9 2.图形的旋转 (1)旋转：在平面内，将一个图形绕一个定点按某个方向转动一个角 度，这样的图形运动称为旋转.这个定点称为__________，转动的角称为 ________.  (2)旋转的性质 ①旋转不改变图形的形状和大小; ②对应点到旋转中心的距离相等; ③任意一组对应点与___________的连线所成的角都等于旋转角;  ④对应线段_______，对应角_______.  旋转中心 旋转角 旋转中心 相等 相等 10 知识点4 图形的位似 1.位似多边形：一般地，如果两个相似多边形任意一组对应顶点P，P'所在的直线都经过同一点O，且有OP'=k·OP(k≠0)，那么这样的两个多边形叫作位似多边形，点O叫作位似中心，k就是这两个相似多边形的相似比. 11 【易错警示】 位似图形与相似图形 　　位似图形一定是相似图形，但相似图形不一定是位似图形.位似中心是对应点连线的交点，可能在图形外也可能在图形内或图形上. 12 2.位似图形的性质 (1)位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于_________， 面积之比等于相似比的平方.  (2)在平面直角坐标系中，将一个多边形每个顶点的横坐标、纵坐标都 乘同一个数k(k≠0)，所对应的图形与原图形位似，位似中心是__________， 它们的相似比为_____.  (3)位似图形的对应边平行(或共线)且成比例，对应角相等. 相似比 坐标原点 |k| 13 命题点1 轴对称图形与中心对称图形 6年5考 例1 (2022·济南)下列绿色能源图标中既是轴对称图形又是中心对称图形的是(　　) 【解题启发】 轴对称图形与中心对称图形的区别是什么？ B 14 练1 (2023·济南)下图是度量衡工具汉尺、秦权、新莽铜卡尺和商鞅方升 的示意图，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是(　　) A 15 练2 (2024·山东)用一个平面截正方体，可以得到以下截面图形，其中 既是轴对称图形又是中心对称图形的是(　　) D 16 命题点2 图形的平移 6年1考　 例2 (2020·济南)如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点都在格点上， 如果将△ABC先沿y轴翻折，再向上平移3个单位长度，得到△A'B'C'， 那么点B的对应点B'的坐标为(　　)　　　　　　　　　　　　　 A.(1，7) B.(0， 5) C.(3，4) D.(-3，2) 【解题启发】 平移的性质是什么？ C 17 练3 (2024·济南槐荫二模)如图，△ABC平移到△DEF的位置，则下列 说法错误的是(　　) A.∠ACB=∠DFE B.AD∥BE C.AB=DE D.平移距离为线段BD的长 D 18 命题点3 图形的位似 6年0考　 例3 (2023·嘉兴)如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点分别为 A(1，2)，B(2，1)，C(3，2)，现以原点O为位似中心，在第一象限内作 与△ABC的位似比为2的位似图形△A'B'C'，则顶点C'的坐标是(　　)　　　　　　　　　　　 A.(2，4) B.(4，2) C.(6，4) D.(5，4) 【解题启发】 如何利用相似比求坐标？ C 19 练4 如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点O的坐标为(0，0)， 顶点B的坐标为B(6，4).若矩形OA'B'C'与矩形OABC关于原点O位似， 且矩形OA'B'C'的周长为矩形OABC周长的，则点B'的坐标为(　　) A.(3，2) B.(-3，-2) C.(3，2)或(-3，6) D.(3，2)或(-3，-2) D 20 命题点4 图形的旋转 6年2考　 【核心母题1】 (2023·菏泽)如图，E是正方形ABCD内的一点， 将△ABE绕点B按顺时针方向旋转90°得到△CBF.若∠ABE=55°， 则∠EGC=______度.  　　　　　　　　 　　　　　　　 【解题启发】 由旋转可以得出哪些边角关系？ 80 21 【解题模板】 常见的三种旋转模型 图形 结论 等腰直角三角形模型 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，P为△ABC内一点，将△APC绕点C按逆时针方向旋转90°，使得AC与BC重合，则得到的△PCP'为等腰直角三角形 等边三角形模型 如图，在等边三角形ABC中，P为△ABC内一点，将△ABP绕点A按逆时针方向旋转60°，使得AB与AC重合，则得到的△APP'为等边三角形 正方形模型 如图，在正方形ABCD中，P为正方形内部一点，将△ABP 绕点B按顺时针方向旋转 90°，使得BA与 BC重合，则得到的△PBP'为等腰直角三角形 22 【变式1】 等边三角形中的旋转 (2024·聊城东昌府一模)如图，在等边三角形ABC中，点D在边AC上， 连接BD，将BD绕点B旋转一定角度，使得∠ABD=∠CBD'，连接CD'. 若∠ADB=100°，则∠DD'C为(　　) A.30° B.60° C.50° D.40° D 23 【变式2】 等腰直角三角形中的旋转 如图，△ABC是等腰三角形，∠BAC=90°，BC=7.点D在BC上，且BD∶CD=2∶5.连接AD，将线段AD绕点A顺时针旋转90°，得到线段 AE，连接ED，EB，则△EBD的面积是(　　) A.4 B.5 C.6 D.7 B 24 【变式3】 特殊平行四边形中的旋转 (2024·济南高新一模节选)问题发现 (1)如图1，已知正方形ABCD和正方形 AEFG，直接写出CF与DG之间的数量 关系：______;  拓展探究 (2)将正方形AEFG绕点A顺时针旋转到图2所示的位置，连接DG，CF，试猜想CF与DG之间的数量关系，并说明理由. 25 解：(1)CF=DG (2)CF=DG.理由如下： 如图，连接AF，AC. ∵四边形AEFG、四边形ABCD是正方形， ∴∠CAD=∠FAG=45°，AC∶AD=AF∶AG=， ∴∠CAF=∠DAG，∴△CAF∽△DAG， ∴CF∶DG=AC∶AD=，∴CF=DG. 26 命题点5 图形的折叠 6年5考　 【核心母题2】 (2024·济南)如图，在矩形纸片ABCD中，AB=，AD= 2，点E为边AD的中点，点F在边CD上，连接EF，将△DEF沿EF翻折， 点D的对应点为D'，连接BD'.若BD'=2，则DF=____________.  【解题启发】 图形折叠前后的对应角、对应线段有哪些？它们有什么 关系？ -　 27 【解题模板】 (1)与折叠有关的角度计算：将折痕看作角平分线，借助等角、邻补角、互余等进行计算; (2)与折叠有关的线段计算(周长或面积)：将折痕所在的直线看作对称轴，对应点连线被折痕垂直平分，从而考虑运用勾股定理、相似进行计算; (3)口诀：折叠“特四”在一起，全等变化先分析，等量代换入直角，勾股定理来解题. 28 【变式1】 三角形中的折叠 如图，已知△ABC，AB=AC，BC=16，AD⊥BC，∠ABC的平分线交 AD于点E，且DE=4.将∠C沿GM折叠使点C与点E恰好重合.下列结论正 确的有______.(填写序号)  ①BD=8; ②点E到AC的距离为3; ③EM=; ④EM∥AC. ①④　 29 【变式2】 特殊四边形中的一次折叠 如图，在矩形纸片ABCD中，AB=12，BC=16，将矩形纸片折叠，使点 B与点D重合，折痕为EF，则四边形CDEF的周长=______.  43 30 【变式3】 两次折叠 如图，将矩形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，AE，EF为折痕， AB=，∠BAE=30°.折叠后，点B落在EC1边上的B1处，点C落在AD 边上的C1处，则BC=______.  3 31 建议用时：10分钟 1.(2023·菏泽)剪纸文化是我国最古老的民间艺术之一，下列剪纸图案 中既是轴对称图形又是中心对称图形的是(　　) A 1 3 5 题序 2 4 32 2.如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O 为位似中心的位似图形，且相似比为，点A，B，E在x轴上.若正方形 BEFG的边长为6，则点C的坐标为(　　) A.(3，2) B.(3，1) C.(2，2) D.(4，2) A 1 3 5 题序 2 4 33 3.(2023·聊城)如图，在平面直角坐标系中，△ABC各点坐标分别为 A(-2，1)，B(-1，3)，C(-4，4).先作△ABC关于x轴成轴对称的 △A1B1C1，再把△A1B1C1平移后得到△A2B2C2.若B2(2，1)，则点A2 的坐标为(　　) A.(1，5) B.(1，3) C.(5，3) D.(5，5) B 1 3 5 题序 2 4 34 4.(2023·新疆生产建设兵团)如图，在▱ABCD中，AB=6，BC=8， ∠ABC=120°，点E是AD上一动点，将△ABE沿BE折叠得到△A'BE， 当点A'恰好落在EC上时，DE的长为________.  -3 1 3 5 题序 2 4 35 5.(2024·济南历下二模节选)在△ABC中，点D是线段AB上一动点，连接CD.将线段CD绕点C按逆时针方向旋转至CE，记旋转角为α，连接AE.取AE的中点为G，连接CG. 【特例感知】 (1)如图1，已知△ABC是等腰直角三角形，AC=BC，∠ACB=90°，α=90°，延长AC至点F，使AC=CF，连接EF.请直接写出EF与BD的数量关系______，CG与BD的数量关系______.  【类比迁移】 (2)如图2，已知△ABC是等腰三角形，AC=BC， ∠ACB=120°，α=60°.探究线段CG与BD的数量 关系，并证明你的结论. 1 3 5 题序 2 4 36 解：(1)EF=BD　CG=BD (2)CG=BD. 证明如下： 如图，延长AC至点F，使得 CF=AC，连接EF. ∵∠ACB=120°， ∴∠BCF=60°. ∵AC=BC，CF=AC， ∴BC=CF. 1 3 5 题序 2 4 37 由旋转得CD=CE，∠DCE=60°， ∴∠BCF=∠DCE， ∴∠BCF-∠BCE=∠DCE-∠BCE， ∴∠DCB=∠ECF， ∴△DCB≌△ECF(SAS)， ∴BD=EF. ∵AG=GE，AC=CF，∴CG=EF， ∴CG=BD. 1 3 5 题序 2 4 38 $$