43 第六章 第二节 与圆有关的位置关系（课件PPT）-【智乐星中考·学考传奇】2025年山东省济南市中考数学讲练本

1 第二节　与圆有关的位置关系 2 目 录 知识全面梳理 核心考点突破 难点分层探究 好题随堂演练 3 知识点1 点、直线与圆的位置关系 1.点和圆的位置关系 设☉O的半径为r，点P到圆心的距离为OP=d，则 (1)点P在圆外⇔d____r.  (2)点P在圆上⇔d____r.  (3)点P在圆内⇔d____r.  > = < 4 2.直线和圆的位置关系 设☉O的半径为r，圆心到直线的距离为OP=d，则直线和圆的位置关系如下表： 位置关系 相离 相切 相交 图示 d与r的关系 d>r d=r d<r 交点个数 没有交点 1个交点 2个交点 5 知识点2 切线的判定与性质 1.切线：直线和圆有唯一的公共点(即直线和圆相切)时，这条直线叫作圆的切线，这个唯一的公共点叫作切点. 2.切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径. 3.切线的判定 (1)定义判定：和圆有唯一公共点的直线是圆的切线. (2)数量关系：圆心到直线的距离等于半径的直线是圆的切线. (3)定理：过半径外端且垂直于半径的直线是圆的切线. 6 4.切线长：过圆外一点画圆的切线，这点和切点之间的线段长叫作这点到圆的切线长. 5.切线长定理：过圆外一点所画的圆的两条切线长相等. 7 知识点3 三角形的内切圆 1.和三角形三边都_______的圆叫作三角形的内切圆，内切圆的圆心叫作 三角形的内心.  2.三角形的内心是三角形的三条___________的交点，它到三角形三边的 距离相等.  3.三角形的内心在三角形的内部. 相切 角平分线 8 【知识拓展】 三角形内切圆半径与三角形三边关系 　　若已知☉O是△ABC的内切圆，三角形三边长分别为a，b，c，面积为S，圆的半径为r，则r=.特别地，当△ABC是直角三角形，∠C=90°时，r=(a+b-c). 9 命题点1 点、直线与圆的位置关系 6年0考　 例1 (2024·广州)如图，☉O中，弦AB的长为4，点C在☉O上，OC⊥AB，∠ABC=30°.☉O所在的平面内有一点P.若OP=5，则点 P与☉O的位置关系是(　　)　　　　　　　　　　 A.点P在☉O上 B.点P在☉O内 C.点P在☉O外 D.无法确定 【解题启发】 满足什么条件时直线与圆相离？ 相切？相交？ C 10 练1 一个点到圆的最小距离为3 cm，最大距离为6 cm，则该圆的直径 是(　　) A.1.5 cm B.1.5 cm或4.5 cm C.4.5 cm D.3 cm或9 cm 练2 (2023·宿迁)在同一平面内，已知☉O的半径为2，圆心O到直线l的 距离为3，点P为圆上的一个动点，则点P到直线l的最大距离是(　　)　　　　　　　　　　 A.2 B.5 C.6 D.8 D B 11 命题点2 三角形的内切圆 6年0考　 例2 如图，在扇形CAB中，CD⊥AB，垂足为D，☉E是△ACD的内 切圆，连接AE，BE，则∠AEB的度数为 .  【解题启发】 ∠AEB与哪些角有关系？ 135°　 12 练3 如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，则△ABC的内切 圆半径r=______.  1 13 练4 (2024·滨州)刘徽(今山东滨州人)是魏晋时期我国伟大的数学家，中国古 典数学理论的奠基者之一，被誉为“世界古代数学泰斗”.刘徽在注释《九章 算术》时十分重视一题多解，其中最典型的是勾股容方和勾股容圆公式的 推导，他给出了内切圆直径的多种表达形式.如图，Rt△ABC中，∠C=90°， AB，BC，CA的长分别为c，a，b，则可以用含c，a，b的式子表示出 △ABC的内切圆直径d，下列表达式错误的是(　　) A.d=a+b-c B.d= C.d= D.d=|(a-b)(c-b)| D 14 命题点3 与切线的性质有关的证明及计算 6年5考 例3 (2023·济南)如图，AB，CD为☉O的直径，C为☉O上一点，过点C的切线与AB的延长线交于点P，∠ABC=2∠BCP，点E是 的中点，弦CE，BD相交于点F. (1)求∠OCB的度数; (2)若EF=3，求☉O的直径的长. 15 【解题启发】 (1)切线有哪些性质？可以借助切线的性质求∠OCB的度数吗？ (2)可以作哪些辅助线进行求解？ 16 【规范解答】 解：(1)∵PC与☉O相切于点C， ∴OC⊥PC，∴∠OCB+∠BCP=90°. ∵OB=OC， ∴∠OCB=∠OBC. ∵∠ABC=2∠BCP，∴∠OCB=2∠BCP， ∴3∠BCP=90°，∴∠BCP=30°，∴∠OCB=60°. 17 (2)如图，连接DE. ∵CD是☉O的直径， ∴∠DEC=90°. ∵点E是的中点， ∴=， ∴∠DCE=∠ECB=∠FDE=∠DCB=30°. 在Rt△FDE中，EF=3，∠FDE=30°， ∴DE==3. 在Rt△DEC中，∠DCE=30°，∴CD=2DE=6， ∴☉O的直径的长为6. 18 【解题通法】 (1)仔细审题，明确题干中的条件和图形中隐含的条件. (2)证明过程： ①证线段垂直：连半径，关键在于“倒角证平行+直角”; ②证角相等/角平分线/角度关系常考直角三角形两锐角互余、等腰三角形的性质、全等三角形、平行线+等腰三角形等; ③求线段长/线段比值常通过相似三角形比例关系，结合勾股定理考查，或利用解直角三角形、全等三角形得到线段的等量关系. (3)条件不足时，添加辅助线，使得模型完整或能使特殊图形的性质得以应用. 19 练5 (2021·济南)已知：如图，AB是☉O的直径，C，D是☉O上两点，过点C的切线交DA的延长线于点E，DE⊥CE，连接CD，BC. (1)求证：∠DAB=2∠ABC; (2)若tan∠ADC=，BC=4，求☉O的半径. 20 (1)证明：如图，连接OC. ∵EC与☉O相切于点C，∴OC⊥EC. ∵DE⊥EC，∴OC∥DE，∴∠DAB=∠AOC. ∵=，∴∠AOC=2∠ABC，∴∠DAB=2∠ABC. (2)解：如图，连接AC. ∵AB是☉O的直径，∴∠ACB=90°. ∵=，∴∠ABC=∠ADC， ∴tan∠ABC=tan∠ADC=. ∵BC=4，∴AC=2， ∴AB==2，∴☉O的半径为. 21 练6 (2023·黄冈)如图，△ABC中，以AB为直径的☉O交BC于点D，DE是☉O的切线，且DE⊥AC，垂足为E，延长CA交☉O于点F. (1)求证：AB=AC; (2)若AE=3，DE=6，求AF的长. 22 (1)证明：如图，连接OD. ∵DE是☉O的切线，∴OD⊥DE. ∵DE⊥AC，∴OD∥AC，∴∠C=∠ODB. 又∵OB=OD，∴∠B=∠ODB， ∴∠C=∠B，∴AB=AC. 23 (2)解：如图，连接BF，AD， 则AD⊥BC，BD=CD， ∴∠ADC=∠ADB=∠AED=90°， ∴∠DAE+∠ADE=∠DAC+∠C， ∴∠ADE=∠C. 在Rt△ADE中，AE=3，DE=6， ∴tan∠ADE===tan C=， ∴EC=2DE=12. 24 又∵AB是☉O的直径，∴BF⊥CF， ∴DE∥BF，∴=. ∵BD=DC， ∴EF=EC=12，∴AF=EF-AE=12-3=9. 25 练7 如图，四边形ABCD内接于☉O，AB为☉O的直径，CE是☉O的 切线，CE⊥AD交AD的延长线于点E，过点C作CH⊥AB于点H，连接 BD交CH于点G. (1)求证：BC=CD; (2)若sin∠DBA=，CG=10，求☉O的半径. 26 (1)证明：如图，连接OC交BD于点F. ∵AB为☉O的直径， ∴∠ADB=90°. ∵CE⊥AD，∴∠AEC=∠ADB=90°， ∴BD∥CE. ∵CE是☉O的切线， ∴∠OCE=90°，∴∠OFD=90°， 即OC⊥BD，∴=，∴BC=CD. 27 (2)解：∵CH⊥AB，∴∠CHB=90°. 由(1)知∠OFD=∠CFB=∠OFB=90°， ∴∠GHB=∠CFB. ∵∠CGF=∠BGH，∴∠DBA=∠FCG. ∵sin∠DBA=，∴sin∠FCG=，即=. ∵CG=10，∴FG=6，CF=8. 在Rt△OFB中，sin∠DBA=，∴=. 设OF=3x，则OB=OC=5x， ∴CF=OC-OF=2x，∴2x=8，∴x=4， ∴OB=20，即☉O的半径为20. 28 命题点4 与切线的判定有关的证明及计算 6年1考 【核心母题】 (2024·济南)如图，AB，CD为☉O的直径，点E在上，连接AE，DE，点G在BD的延长线上，AB=AG，∠EAD+∠EDB=45°. (1)求证：AG与☉O相切; (2)若BG=4，sin∠DAE=，求DE的长. 【解题启发】 (1)采用哪种方法进行证明？ (2)存在锐角三角函数，首先想到需要用到什么三角形？ 29 【解题模板】 (1)“连半径，证垂直”：若直线与圆有公共点，则连接圆心与交点得到半径，证明半径与直线垂直. (2)“作垂直，证半径”：若未给出直线与圆的公共点，则过圆心作直线的垂线段，证明垂线段的长等于半径.在判定时，必须说明“是半径”或“点在圆上”. 30 【规范解答】 (1)证明：∵∠EDB，∠EAB所对的弧是同弧， ∴∠EDB=∠EAB. ∵∠EAD+∠EDB=45°，∴∠EAD+∠EAB=45°， 即∠BAD=45° . ∵AB为☉O的直径，∴∠ADB=90°， ∴∠B=45°. ∵AB=AG，∴∠B=∠G=45°， ∴∠GAB=90°. 又∵AB是☉O的直径，∴AG与☉O相切. 31 (2)解：如图，连接CE. ∵∠DAE，∠DCE所对的弧是同弧， ∴∠DAE=∠DCE. ∵DC为☉O的直径，∴∠DEC=90°. 在Rt△DEC中，sin∠DCE=sin∠DAE== . ∵BG=4，∠B=45°，∠BAG=90°， ∴AB=DC=BG=2， ∴DE=DC·sin∠DCE=2×=. 32 【变式1】 弦切角模型 (2023·张家界)如图，☉O是△ABC的外接圆，AD是☉O的直径，F是AD延长线上一点，连接CD，CF，且∠DCF=∠CAD. (1)求证：CF是☉O的切线; (2)若直径AD=10，cos B=，求FD的长. 33 (1)证明：如图，连接OC. ∵AD是☉O的直径，∴∠ACD=90°， ∴∠ADC+∠CAD=90°. 又∵OC=OD，∴∠ADC=∠OCD. 又∵∠DCF=∠CAD，∴∠DCF+∠OCD=90°， ∴OC⊥FC. 又∵OC是☉O的半径， ∴CF是☉O的切线. 34 (2)解：∵∠B=∠ADC，cos B=， ∴cos∠ADC=. ∵在Rt△ACD中，cos∠ADC==，AD=10， ∴CD=AD·cos∠ADC=10×=6， ∴AC==8，∴=. ∵∠FCD=∠FAC，∠F=∠F， ∴△FCD∽△FAC，∴===. 35 设FD=3x，则FC=4x，AF=3x+10. 又∵FC2=FD·FA，即(4x)2=3x(3x+10)， 解得x1=，x2=0(舍去)，∴FD=3x=.　 36 【变式2】 平行线+角平分线模型 (2024·威海)如图，已知AB是☉O的直径，点C，D在☉O上，且BC=CD.E是线段AB延长线上一点，连接EC并延长交射线AD于点F.∠FEG的平分线EH交射线AC于点H，∠H=45°. (1)求证：EF是☉O的切线; (2)若BE=2，CE=4，求AF的长. 37 (1)证明：如图，连接OC. ∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA. ∵BC=CD，∴=， ∴∠DAC=∠CAB=∠DAB， ∴∠DAC=∠ACO， ∴AD∥OC，∴∠OCE=∠F. 38 ∵EH平分∠FEG，∴∠FEG=2∠HEG， ∴∠F=∠FEG-∠FAE=2∠HEG-2∠CAB =2(∠HEG-∠CAB)=2∠H=2×45°=90°， ∴∠OCE=∠F=90°. ∵OC是☉O的半径， ∴EF是☉O的切线. 39 (2)解：设☉O的半径为r，则OE=OB+BE=r+2. ∵OC2+CE2=OE2，即r2+42=(r+2)2，解得r=3， ∴EA=AB+BE=2r+2=8，OE=5. ∵AD∥OC，∴△EFA∽△ECO， ∴=，即=，解得AF=. 40 【变式3】 双切线模型 (2023·聊城)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC的平分线AD交BC于点D，∠ADC的平分线DE交AC于点E.以AD上的点O为圆心，OD为半径作☉O，恰好过点E. (1)求证：AC是☉O的切线; (2)若CD=12，tan∠ABC=，求☉O的半径. 41 (1)证明：如图，连接OE. 由题意可知OD=OE，∴∠OED=∠ODE. ∵DE平分∠ADC，∴∠CDE=∠ODE， ∴∠OED=∠CDE，∴OE∥CD. 又∵∠ACB=90°，∴∠AEO=90°，即OE⊥AC. 又∵OE是☉O的半径， ∴AC是☉O的切线. 42 (2)解：如图，过点D作DF⊥AB于点F. ∵AD平分∠BAC，DF⊥AB，∠ACB=90°，∴CD=DF. ∵CD=12，tan∠ABC=，∴BF==16， ∴BD==20，∴BC=CD+BD=32， ∴AC=BC·tan∠ABC=24， ∴AD==12. ∵OE∥CD，∴△AEO∽△ACD， ∴=，即==， 解得EO=15-3， ∴☉O的半径为15-3. 43 建议用时：10分钟 1.(改编题)已知平面内有☉O和点P，若☉O上一动点到点P的距离的 最大值和最小值分别为8 cm和2 cm，则☉O的半径为(　　) A.5 cm B.3 cm C.5 cm或3 cm D.无法确定 C 1 3 5 题序 2 4 44 2.如图所示，P是☉O外一点，PA，PB分别和☉O切于A，B两点， C是上任意一点，过C作☉O的切线分别交PA，PB于点D，E.若 △PDE的周长为12，则PA的长为(　　) A.12 B.6 C.8 D.4 B 1 3 5 题序 2 4 45 3.如图，已知AB是☉O的直径，点C在☉O上，过点C的切线与AB的延长 线交于点P，连接AC.若∠A=30°，PC=3，则BP的长为______.  1 3 5 题序 2 4 46 4.(2022·济南)已知：如图，AB为☉O的直径，CD与☉O相切于点C，交AB延长线于点D，连接AC，BC，∠D=30°，CE平分∠ACB交☉O于点E，过点B作BF⊥CE，垂足为F. (1)求证：CA=CD; (2)若AB=12，求线段BF的长. 1 3 5 题序 2 4 47 (1)证明：如图，连接OC. ∵CD与☉O相切于点C，∴OC⊥CD， ∴∠OCD=90°. ∵∠CDA=30°，∴∠COB=90°-∠CDA=60°， ∴∠CAB=∠COB=30°， ∴∠CAD=∠CDA，∴CA=CD. 1 3 5 题序 2 4 48 (2)解：∵AB为直径，∴∠ACB=90°. 在Rt△ABC中，∠CAB=30°，AB=12， ∴BC=AB=6. ∵CE平分∠ACB，∴∠ECB=∠ACB=45°. ∵BF⊥CE，∴∠CFB=90°， ∴BF=BC·sin 45°=6×=3. 1 3 5 题序 2 4 49 5.(2024·济宁)如图，△ABC 内接于☉O，D 是BC上一点，AD=AC.E是☉O外一点，∠BAE=∠CAD，∠ADE=∠ACB，连接BE. (1)若AB=8，求AE的长; (2)求证：EB是☉O的切线. 1 3 5 题序 2 4 50 (1)解：∵∠BAE=∠CAD， ∴∠BAE+∠BAD=∠CAD+∠BAD， ∴∠EAD=∠BAC. ∵AD=AC，∠ADE=∠ACB， ∴△EAD≌△BAC(ASA)， ∴AE=AB=8. 1 3 5 题序 2 4 51 (2)证明：如图，连接OB，OA. ∵∠AOB=2∠ACB，OA=OB， ∴∠ABO=(180°-2∠ACB)=90°-∠ACB. ∵AE=AB，∠BAE=∠CAD，AD=AC， ∴∠AEB=∠ABE=∠ACB， ∴∠OBE=∠ABE+∠ABO=∠ACB+90°-∠ACB=90°. ∵OB是☉O的半径， ∴EB是☉O的切线. 1 3 5 题序 2 4 52 $$