42 第六章 第一节 圆的有关概念与性质（课件PPT）-【智乐星中考·学考传奇】2025年山东省济南市中考数学讲练本

1 第一节　圆的有关概念与性质 第一、二章 2 目 录 知识全面梳理 核心考点突破 好题随堂演练 3 知识点1 圆的有关概念 1.圆：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫作圆.其中，定点称为圆心，定长称为半径. 4 2.与圆有关的概念 (1)弧：圆上任意两点间的部分叫作圆弧，简称弧. (2)弦：连接圆上任意两点的线段叫作弦. (3)直径：经过圆心的弦叫作直径. (4)等圆：能够重合的两个圆叫作等圆.在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫作等弧. (5)圆心角：顶点在圆心的角叫作圆心角. (6)圆周角：顶点在圆上，两边分别与圆还有另一个交点.像这样的角，叫作圆周角. 5 知识点2 圆的有关性质 1.圆的对称性 (1)圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过_______的直线(或任意 一条直径所在的直线)，有无数条对称轴.  (2)圆是中心对称图形，对称中心为_______.  圆心 圆心 6 2.圆心角、弧、弦之间的关系 项目 文字叙述 几何语言表述 几何图形 定理 在同圆或等圆中，相等的圆 心角所对的弧相等，所对的 弦也相等 若∠AOB=∠COD， 则=_____， AB=_____  推论 在同圆或等圆中，如果两条 弧相等，那么它们所对的圆 心角相等，所对的弦相等 若=，则 ∠AOB=_________， AB=______ 在同圆或等圆中，如果两条弦 相等，那么它们所对的圆心角 相等，所对的优弧和劣弧分别 相等 若AB=CD，则 ∠AOB=_________，==    CD ∠COD CD   ∠COD 7 3.垂径定理及其推论 项目 文字叙述 几何语言描述 图形示例 定理 垂直于弦的直径平分弦， 并且平分弦所对的两条弧 若AB⊥CD，则CE=DE= CD，= ，=  如图，AB为☉O的直径，AB，CD相交于点E 推论 ①平分弦(不是直径)的直径 垂直于弦，并且平分弦所对 的两条弧 若CE=DE=CD，则 AB CD，=___，=  ②弦的垂直平分线经过圆心， 并且平分弦所对的两条弧 若CE=DE，则AB CD，==  ③平分弦所对的一条弧的 直径垂直平分弦，并且平分 另一条弧 ⊥ ⊥ 8 4.圆周角定理及其推论 (1)定理：圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数 的一半，即∠ABC=∠AOC. (2)推论：①同弧或等弧所对的圆周角相等，即∠ABC=∠ADC. ②直径所对的圆周角是_______;90°的圆周角所对的弦是_______， 即∠ACB=∠DAC=90°.  直角 直径 9 【易错警示】 　　在求解与圆周角有关的问题时，注意其中的多解问题，常常会因为漏解而导致错误.例如： 10 5.圆内接多边形 (1)圆内接多边形：如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上， 这个多边形叫作圆内接多边形，这个圆叫作这个多边形的外接圆. (2)圆内接四边形的性质：①圆内接四边形的对角_______;  ②圆内接四边形的任意一个角的外角都等于它的_________.  互补 内对角 11 (3)拓展：①圆内接四边形的外角等于其内对角.如图1，∠DAE=∠C. ②连接圆内接四边形的两条对角线，则必然存在两组相似三角形. 如图2，△ACF ∽△BDF，△ABF∽△CDF(注意：解答题不能直接使用). 12 ③如图3，AB为△ABC 和△ABD的公共边，且点C，D在AB的同侧，∠C=∠D，则点A，B，C，D在同一个圆上. ④如图4，在四边形ABCD 中，∠ADC+∠ABC=180°，则点A，B，C，D在同一个圆上，四边形ABCD 的外接圆的圆心O为任意一组邻边的垂直平分线的交点. 13 知识点3 确定圆的条件 1.不在同一条直线上的三个点确定一个圆. 2.三角形的三个顶点确定一个圆，这个圆叫作三角形的外接圆.外接圆 的圆心是三角形三边____________的交点，叫作三角形的外心. 垂直平分线 14 命题点1 弧、弦、圆心角之间的关系 6年2考　 例1 如图，点A，B，C，D在☉O上，∠AOC=140°，点B是的中 点，则∠D的度数是( )　　　　　　　　　　　　 A.70° B.55° C.35.5° D.35° 【解题启发】 你能找到圆弧所对的圆心角和圆周角吗？ D 15 练1 如图，∠AOB=∠COD，下列结论不一定成立的是(　　) A.AB=CD B.= C.△AOB≌△COD D.△AOB，△COD都是等边三角形 D 16 练2 如图，AB是☉O的直径，==，∠COD=35°，则∠AOE=______°.  75 17 命题点2 垂径定理及其推论 6年0考　 例2 (2024·新疆生产建设兵团)如图，AB是☉O的直径，CD是☉O的 弦，AB⊥CD，垂足为E.若CD=8，OD=5，则BE的长为(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 【解题启发】 看到垂直，能想到什么图形？ B 18 【解题通法】 圆中常见辅助线的作法 (1)如图①，连半径，构造等腰三角形; 19 (2)如图②③，构造直角三角形; 20 (3)垂径定理的“知二推三”. 如图，因为圆是轴对称图形，所以图中五个条件： “①=;②=;③AE=BE; ④AB⊥CD;⑤CD是直径”中，只要满足其中的两个，就能证明另外三个也一定成立，由③⑤推其他结论时，一定强调AB不是直径. 21 练3 (2023·广西)赵州桥是当今世界上建造最早，保存最完整的中国 古代单孔敞肩石拱桥.如图，主桥拱呈圆弧形，跨度约为37 m，拱高 约为7 m，则赵州桥主桥拱半径R约为(　　) A.20 m B.28 m C.35 m D.40 m B 22 练4 (2024·长沙)如图，在☉O中，弦AB的长为8，圆心O到AB的距离OE=4，则☉O的半径长为(　　) A.4 B.4 C.5 D.5 B 23 命题点3 圆周角定理及其推论 6年6考　 例3 如图，AB是☉O的直径，∠ACD=25°，则∠BAD的度数是_____.   【解题启发】 ∠ACD所对的弧与∠ABD所对的弧有什么关系？ 65° 24 【解题通法】 　　圆中角的互相转化具备灵活多变的特性，是解题中最活跃的元素.要注意角的顶点与圆的位置关系，角的两边与圆的位置关系.在运用圆中角时，要关注弧的中介作用，弧把圆心角、圆周角联系起来. 25 练5 (2023·枣庄)如图，在☉O中，弦AB，CD相交于点P.若∠A=48°， ∠APD=80°，则∠B的度数为(　　) A.32° B.42° C.48° D.52° A 26 练6 (2024·济南槐荫二模)如图，正方形网格中，点A，O，B，E均在格点上 .☉O过点A，E且与AB交于点C，D是☉O上一点，则tan∠CDE=______.  27 练7 如图，AB为☉O的直径，C为☉O上一点，过点C作CD⊥AB交☉O于 点D，交AB于点E，连接AC，BD，过点C作CF⊥BD于点F，交AB于点 G.若CD=8，OG=1，则☉O的半径为______.  28 命题点4 圆内接四边形 6年0考　 例4 (2024·济宁)如图，分别延长圆内接四边形 ABCD 的两组对边，延长线 相交于点E，F.若∠E=54°41'，∠F=43°19'，则∠A 的度数为(　　) A.42° B.41°20' C.41° D.40°20' 【解题启发】 圆内接四边形有什么性质？ C 29 练8 (2024·吉林)如图，四边形ABCD内接于☉O.过点B作BE∥AD，交CD 于点E.若∠BEC=50°，则∠ABC的度数是(　　) A.50° B.100° C.130° D.150° C 30 练9 (2024·滨州)如图，四边形ABCD内接于☉O.若四边形OABC是菱形， 则∠D=______°.  60 31 练10 如图，四边形ABCD是☉O的内接四边形，连接AC，BD，延长CD至点E. (1)若AB=AC，求证：∠ADB=∠ADE; (2)若BC=3，☉O的半径为2，求sin∠BAC. 32 (1)证明：∵四边形ABCD是☉O的内接四边形， ∴∠ADE=∠ABC. ∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB. ∵∠ACB=∠ADB，∴∠ADB=∠ADE. 33 (2)解：如图，连接CO并延长交☉O于点F，连接BF， 则∠FBC=90°. 在Rt△BCF中，CF=2OC=4， BC=3， ∴sin F==. ∵∠F=∠BAC， ∴sin∠BAC=sin F=. 34 建议用时：10分钟 1.(2023·广西)如图，点A，B，C在☉O上，∠C=40°，则∠AOB的 度数是(　　) A.50° B.60° C.70° D.80° D 1 3 5 题序 2 4 35 2.如图，四边形ABCD内接于☉O，AC平分∠BAD，则下列结论正确 的是( ) A.AB=AD B.BC=CD C.= D.∠BCA=∠DCA B 1 3 5 题序 2 4 36 3.(2024·凉山)数学活动课上，同学们要测一个如图所示的残缺圆形工件 的半径，小明的解决方案是在工件圆弧上任取两点A，B，连接AB，作 AB的垂直平分线CD交AB于点D，交弧AB于点C，测出AB=40 cm， CD=10 cm，则圆形工件的半径为(　　) A.50 cm B.35 cm C.25 cm D.20 cm C 1 3 5 题序 2 4 37 4.(2024·赤峰)如图，AD是☉O的直径，AB是☉O的弦，半径OC⊥AB， 连接CD，交OB于点E，∠BOC=42°，则∠OED的度数是(　　) A.61° B.63° C.65° D.67° B 1 3 5 题序 2 4 38 5.如图，已知AB为☉O的直径，CD是弦，且AB⊥CD于点E.连接AC，OC，BC. (1)求证：∠CAO=∠BCD; (2)若BE=3，CD=8，求☉O的直径. 1 3 5 题序 2 4 39 (1)证明：∵AB为☉O的直径，CD是弦，且AB⊥CD于点E， ∴=，∴∠CAO=∠BCD. (2)解：设☉O的半径为R，则OE=OB-BE=R-3. ∵AB⊥CD，CD=8， ∴CE=CD=×8=4. 在Rt△CEO中，由勾股定理可得OC2=OE2+CE2， ∴R2=(R-3)2+42， 解得R=，∴☉O的直径为. 1 3 5 题序 2 4 40 $$