41 第五章 第四节 正方形（课件PPT）-【智乐星中考·学考传奇】2025年山东省济南市中考数学讲练本

1 第四节　正方形 2 目 录 知识全面梳理 核心考点突破 好题随堂演练 3 知识点1 正方形的判定与性质 1.正方形：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫作 正方形. 2.正方形的性质 (1)正方形的四个角都是_______，四条边都_______.  (2)正方形的对角线相等且______________，每条对角线平分一组对角. (3)正方形既是中心对称图形，也是轴对称图形，有4条对称轴. 直角 相等 互相垂直平分 4 3.正方形的判定 (1)有一组邻边_______的矩形是正方形.  (2)对角线互相_______的矩形是正方形.  (3)有一个角是_______的菱形是正方形.  (4)对角线_______的菱形是正方形.  相等 垂直 直角 相等 5 知识点2 平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的关系 6 命题点　与正方形有关的证明及计算 6年0考 考法❶　正方形的判定 例1 如图，平行四边形ABCD的对角线AC与BD交于点O.在下列四个条件中： ①∠ADB=∠ABD;②AC⊥BD;③AC平分∠BAD;④AO=BO. (1)从中任选两个条件，证明四边形ABCD是正方形; (2)若正方形ABCD的面积为16，求OA的长. 7 【解题启发】 (1)正方形的判定定理有哪些？ (2)正方形中，对角线和面积有什么关系？ 8 【规范解答】 解：(1)选条件①④. 证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∠ADB=∠ABD， ∴AO=CO，BO=DO，AB=AD， ∴四边形ABCD是菱形. 又∵AO=BO，∴AO=BO=CO=DO，即AC=BD， ∴菱形ABCD是正方形.(答案不唯一) (2)∵正方形ABCD的面积为16， ∴AB=BC=4， ∴AC=AB=4，∴OA=AC=2. 9 练1 如图，AD是△ABC的一条角平分线，DE∥AC 交AB于点E，DF∥AB交AC于点F. (1)求证：四边形AEDF是菱形; (2)若∠B=30°，当∠C=______度时， 四边形AEDF为正方形，并证明.  10 (1)证明：∵DE∥AC交AB于点E，DF∥AB交AC于点F，∴四边形AEDF是平行四边形，∠EAD=∠ADF. ∵AD是△ABC的角平分线， ∴∠EAD=∠FAD，∴∠ADF=∠FAD， ∴FA=FD，∴四边形AEDF是菱形. 11 (2)解： 60 证明：当△ABC是直角三角形，∠BAC=90°时，四边形AEDF是正方形. ∵△ABC是直角三角形，∠BAC=90°， 由(1)知四边形AEDF是菱形， ∴四边形AEDF是正方形(有一个角是直角的菱形是正方形). ∵∠B=30°，∠BAC=90°， ∴∠C=60°. 12 练2 如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F在对角线BD上，且BE=DF，OE=OA.求证：四边形AECF是正方形. 13 证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD，OA=OC，OB=OD. ∵BE=DF，∴OE=OF， ∴四边形AECF是菱形. ∵OE=OA=OF， ∴OE=OF=OA=OC，即EF=AC， ∴菱形AECF是正方形. 14 考法❷　正方形的性质 例2 (2023·枣庄)如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O， E为BC上一点，CE=7，点F为DE的中点.若△CEF的周长为32，则OF的 长为______.  【解题启发】 正方形的性质、中位线的性质是什么？ 15 练3 (2023·宜宾)如图，边长为6的正方形ABCD中，M为对角线BD上的 一点，连接AM并延长交CD于点P.若PM=PC，则AM的长为______.  6-6　 16 练4 (2023·天津)如图，在边长为3的正方形ABCD的外侧，作等腰三角形ADE，EA=ED=. (1)△ADE的面积为______;  (2)若点F为BE的中点，连接AF并延长， 与CD相交于点G，则AG的长为______.  3 17 建议用时：10分钟 1.(2024·陕西)如图，正方形CEFG的顶点G在正方形ABCD的边CD上， AF与DC交于点H.若AB=6，CE=2，则DH的长为(　　)　　　　　　 A.2 B.3 C. D. B 1 3 题序 2 4 18 2.(2024·黑龙江龙东地区)如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交 于点O，请添加一个条件______________________，使得菱形ABCD为 正方形.  AC=BD(答案不唯一)　 1 3 题序 2 4 19 3.(2023·德州)如图，正方形ABCD的边长为4，点G在BC上，且BG=3， DE⊥AG于点E，BF∥DE，交AG于点F，则EG的边长为______.  1 3 题序 2 4 20 4.如图，点E为正方形ABCD内一点，∠AEB=90°，将Rt△ABE绕点B按顺时针方向旋转90°，得到△CBE'(点A的对应点为点C).延长AE交CE'于点F，连接DE. (1)试判断四边形BE'FE的形状，并说明理由; (2)若CF=3，BE=3CF，请求出正方形ABCD的面积. 1 3 题序 2 4 21 解：(1)四边形BE'FE是正方形. 理由如下：将Rt△ABE绕点B按顺时针方向旋转90°， ∴∠CE'B=∠AEB=90°，BE'=BE，∠EBE'=90°. 又∵∠BEF=90°，∴四边形BE'FE是矩形. 又∵BE=BE'，∴四边形BE'FE是正方形. (2)∵CF=3，BE=3CF，∴BE=9. ∵四边形BE'FE是正方形， ∴BE'=E'F=BE=9， ∴CE'=12，BC2=E'B2+E'C2， ∴BC2=225，∴正方形ABCD的面积为225. 1 3 题序 2 4 22 $$