40 第五章 第三节 菱形（课件PPT）-【智乐星中考·学考传奇】2025年山东省济南市中考数学讲练本

1 第三节　菱形 2 目 录 知识全面梳理 核心考点突破 好题随堂演练 3 知识点　菱形的判定与性质 1.菱形：有一组邻边相等的平行四边形叫作菱形. 2.菱形的性质 (1)菱形的四条边都_______.  (2)菱形的对角_______.  (3)菱形的对角线互相__________，每条对角线平分一组对角. (4)菱形既是中心对称图形，也是轴对称图形，有2条对称轴. (5)面积：S=底×高=mn(m，n分别为菱形两条对角线的长). 相等 相等 垂直平分 4 3.菱形的判定 (1)有一组邻边_______的平行四边形是菱形.  (2)四边_______的四边形是菱形.  (3)对角线互相______的平行四边形是菱形.  相等 相等 垂直 5 【方法指导】 菱形的判定思路 6 命题点▶ 与菱形有关的证明及计算 6年6考　 考法❶　菱形的判定 例1 (2023·日照)如图，在平行四边形ABCD中，E是对角线AC上一点，连接BE，DE，且BE=DE. (1)求证：四边形ABCD是菱形; (2)若AB=10，tan∠BAC=2，求四边形ABCD的面积. 7 【解题启发】 (1)想一想：菱形的判定思路是什么？ (2)看见锐角三角函数，首先想到什么？ 8 【规范解答】 (1)证明：如图，连接BD，交AC于点O. ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA=OC，OB=OD. 又∵BE=DE，∴OE⊥BD，即AC⊥BD， ∴四边形ABCD是菱形. 9 (2)解：由(1)知AC⊥BD， ∴∠AOB=90°. ∵tan∠BAC=2，∴=2，即BO=2AO. 在Rt△AOB中，∵AB=10，AO2+BO2=AB2， ∴AO2+(2AO)2=102，解得AO=2， ∴BO=4， ∴AC=2AO=4，BD=2BO=8. 由(1)知，四边形ABCD是菱形， ∴S菱形ABCD=AC·BD=×4×8=80. 10 练1 在Rt△ABC中，∠BAC=90°，点D是BC的中点，点E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F. (1)求证：△AEF≌△DEB; (2)求证：四边形ADCF是菱形. 11 证明：(1)∵AF∥BC， ∴∠AFE=∠DBE. ∵点E是AD的中点，点D是BC的中点， ∴AE=DE，BD=CD. 在△AEF和△DEB中， ∴△AEF≌△DEB(AAS). 12 (2)由(1)知，△AEF≌△DEB，则AF=DB. ∵DB=DC，∴AF=CD. ∵AF∥BC，∴四边形ADCF是平行四边形. ∵∠BAC=90°，点D是BC的中点， ∴AD=DC=BC，∴四边形ADCF是菱形. 13 考法❷　菱形的性质 例2 (2024·济宁)如图，菱形ABCD 的对角线AC，BD相交于点O， 点E是AB的中点，连接OE.若OE=3，则菱形的边长为(　　)　　　　　　　 A.6 B.8 C.10 D.12 【解题启发】 菱形具备什么性质？ A 14 练2 (2024·无锡)如图，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，点E是CD的 中点，则sin∠EBC的值为(　　) A. B. C. D. C 15 练3 (2024·济南二模)如图，菱形ABCD的周长为20，对角线BD长为8， 则AD边上的高CF为(　　) A.4 B.5 C. D. C 16 练4 (2024·济南天桥模拟)如图，在菱形ABCD中，过点D分别作DE⊥AB于点E，作DF⊥BC于点F.求证：AE=CF. 17 证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴AD=CD，∠A=∠C. ∵DE⊥AB，DF⊥BC， ∴∠AED=∠CFD=90°. 在△ADE和△CDF中， ∴△ADE≌△CDF(AAS)，∴AE=CF. 18 建议用时：10分钟 1.(2023·湘潭)如图，在菱形ABCD中，连接AC，BD.若∠1=20°， 则∠2的度数为(　 )　　　 A.20° B.60° C.70° D.80° C 1 3 5 题序 2 4 19 2.如图，四边形ABCD是菱形，AC=8，DB=6，DH⊥AB 于点H， 则DH等于(　　) A. B. C.5 D.4 A 1 3 5 题序 2 4 20 3.如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC=8， BD=6，OE⊥BC，垂足为E，则OE=______.  1 3 5 题序 2 4 21 4.(2024·德州)如图，在▱ABCD中，对角线AC平分∠BAD. (1)求证：▱ABCD是菱形; (2)若AC=8，∠DCB=74°，求菱形ABCD的边长. (参考数据：sin 37°≈0.60，cos 37°≈0.80，tan 37°≈0.75) 1 3 5 题序 2 4 22 (1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，∴∠DAC=∠BCA. 又∵AC平分∠BAD， ∴∠DAC=∠BAC， ∴∠BCA=∠BAC， ∴AB=BC，∴▱ABCD是菱形. 1 3 5 题序 2 4 23 (2)解：如图，连接BD交AC于点O. 由(1)可知▱ABCD是菱形， ∴AB=BC=CD=AD，∠ACB=∠DCB=×74°=37°， AC⊥BD，AO=AC=4， ∴∠AOB=90°. 在Rt△CBO中，cos∠ACB==cos 37°≈0.80， 即≈0.80，解得BC=5， ∴菱形ABCD的边长为5. 1 3 5 题序 2 4 24 5.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，过点A作AE⊥CD交BC的延长线于点F，且CE=DE，连接DF，AC. (1)求证：四边形ACFD是菱形; (2)若AE=，∠BAC=75°，∠ADE=60°，求BF的长. 1 3 5 题序 2 4 25 (1)证明：∵AD∥BC， ∴∠EAD=∠EFC，∠EDA=∠ECF. ∵CE=DE，∴△ADE≌△FCE(AAS)， ∴AE=FE，∴四边形ACFD是平行四边形. 又∵AE⊥CD，∴四边形ACFD是菱形. 1 3 5 题序 2 4 26 (2)解：如图，过点A作AH⊥BF于点H. ∵AE⊥CD，∠ADE=60°，AE=， ∴AD==2. ∵四边形ACFD是菱形， ∴CF=AD=AC=2，∠ACF=∠ADF=2∠ADE=120°， ∴∠ACB=60°. ∵∠BAC=75°，∴∠B=180°-∠BAC-∠ACB=45°. 1 3 5 题序 2 4 27 在Rt△AHC中，AH=AC·sin∠ACH=， CH=AC·cos∠ACH=1. 在Rt△ABH中，BH==， ∴BF=BH+CH+CF=+1+2=3+. 1 3 5 题序 2 4 28 $$