39 第五章 第二节 矩形（课件PPT）-【智乐星中考·学考传奇】2025年山东省济南市中考数学讲练本

1 第二节　矩形 第一、二章 2 目 录 知识全面梳理 核心考点突破 好题随堂演练 3 知识点　矩形的判定与性质 1.矩形：有一个角是直角的平行四边形叫作矩形. 2.矩形的性质 (1)矩形的对边 ____________.  (2)矩形的四个角都是_______.  (3)矩形的对角线_______.  (4)矩形既是中心对称图形，也是轴对称图形，有2条对称轴. 平行且相等 直角 相等 4 3.矩形的判定 (1)有一个角是_______的平行四边形是矩形.  (2)对角线_______的平行四边形是矩形.  (3)有三个角是_______的四边形是矩形.  直角 相等 直角 5 【方法指导】 矩形的判定思路 6 命题点　与矩形有关的证明及计算 6年2考　 考法❶　矩形的判定 例1 如图，将▱ABCD的边AB延长到点E，使BE=AB，连接DE交边BC于点F. (1)求证：△BEF≌△CDF; (2)当∠A=∠EFC时，判断四边形BECD的形状， 并证明你的结论. 7 【解题启发】 (1)判定△BEF≌△CDF，比较适合用哪个判定定理？ (2)猜想四边形BECD的形状是什么？判定定理是什么？ 8 【规范解答】 (1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB=CD，AB∥CD， ∴∠BEF=∠CDF，∠EBF=∠DCF. ∵BE=AB，∴BE=CD. 在△BEF和△CDF中， ∴△BEF≌△CDF(ASA). 9 (2)解：当∠A=∠EFC时，四边形BECD是矩形. 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AB=CD，∠A=∠DCB. ∵AB=BE，∴CD=EB， ∴四边形BECD是平行四边形， ∴BF=CF，EF=DF. ∵∠A=∠EFC，∴∠BFD=2∠DCF， ∴∠DCF=∠FDC，∴DF=CF， ∴DE=BC，∴四边形BECD是矩形. 10 练1 (2023·岳阳)如图，点M在▱ABCD的边AD上，BM=CM，请从以下三个选项中①∠1=∠2;②AM=DM;③∠3=∠4，选择一个合适的选项作为已知条件，使▱ABCD为矩形. (1)你添加的条件是______(填序号);  (2)添加条件后，请证明▱ABCD为矩形. 11 解：(1)①(或②) (2)添加条件①，▱ABCD为矩形. 证明：在▱ABCD中，AB=CD，AB∥CD. 在△ABM和△DCM中， ∴△ABM≌△DCM(SAS)，∴∠A=∠D. 又∵AB∥CD，∴∠A+∠D=180°， ∴∠A=∠D=90°，∴▱ABCD为矩形. 12 (或添加条件②，▱ABCD为矩形. 证明：在▱ABCD中，AB=CD，AB∥CD. 在△ABM和△DCM中， ∴△ABM≌△DCM(SSS)，∴∠A=∠D. 又∵AB∥CD，∴∠A+∠D=180°， ∴∠A=∠D=90°，∴▱ABCD为矩形.) 13 考法❷　矩形的性质 例2 (2023·滨州)如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E，F 分别是线段OB，OA上的点.若AE=BF，AB=5，AF=1，BE=3，则BF的 长为______.  【解题启发】 BF与哪些线段有关？ 14 练2 (2024·长沙)如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠ABC=90°.   (1)求证：AC=BD; (2)点E在BC边上，满足∠CEO=∠COE.若AB=6，BC=8，求CE的长及tan∠CEO的值. 15 (1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∠ABC=90°， ∴四边形ABCD是矩形，∴AC=BD. (2)解：如图，过点O作OH⊥BC于点H， 则∠OHE=∠OHC=90°. ∵∠ABC=90°，AB=6，BC=8， ∴AC===10， ∴OC=OA=AC=5. ∵∠CEO=∠COE，∴CE=OC=5. 16 ∵OC=OA=AC，OB=OD=BD，且AC=BD， ∴OC=OB，∴HC=HB=BC=4， ∴EH=CE-HC=5-4=1. ∵==tan∠ACB， ∴OH=·HC=×4=3， ∴tan∠CEO===3， ∴CE的长为5，tan∠CEO的值为3. 17 建议用时：10分钟 1.下列说法不能判定四边形是矩形的是(　　) A.有一个角为90°的平行四边形 B.四个角都相等的四边形 C.对角线相等的平行四边形 D.对角线互相平分的四边形 D 1 3 5 7 题序 2 4 6 18 2.如图，点P是矩形ABCD的对角线AC的中点，点E是AD的中点. 若AB=6，AD=8，则四边形ABPE的周长为(　　)　　 A.14 B.16 C.17 D.18 D 1 3 5 7 题序 2 4 6 19 3.如图，在矩形ABCD中，AB=6 cm，BC=9 cm，点E，F分别在边AB， BC上，AE=2 cm，BD，EF交于点G.若点G是EF的中点，则BG的长为 ______cm.  1 3 5 7 题序 2 4 6 20 4.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，且BA=3，AC=4，点D是斜边 BC上的一个动点，过点D分别作DM⊥AB于点M，DN⊥AC于点N， 连接MN，则线段MN的最小值为______.  1 3 5 7 题序 2 4 6 21 5.(2024·长春)如图，在四边形ABCD中，∠A=∠B=90°，点O是边AB的中点，∠AOD=∠BOC.求证：四边形ABCD是矩形. 1 3 5 7 题序 2 4 6 22 证明：∵点O是边AB的中点，∴OA=OB. 在△AOD和△BOC中， ∴△AOD≌△BOC(ASA)，∴DA=CB. ∵∠A=∠B=90°，∴DA∥CB， ∴四边形ABCD是平行四边形. 又∵∠A=90°，∴四边形ABCD是矩形. 1 3 5 7 题序 2 4 6 23 6.(2024·济南章丘一模)如图，在矩形ABCD中，E，F是BC上的点，∠DAE=∠ADF.求证：BF=CE. 1 3 5 7 题序 2 4 6 24 证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC，∠B=∠C=90°，AB=CD， ∴∠DAE=∠BEA，∠ADF=∠CFD. 又∵∠DAE=∠ADF， ∴∠BEA=∠CFD. 在△BEA和△CFD中， ∴△BEA≌△CFD(AAS)， ∴BE=CF，∴BF=CE. 1 3 5 7 题序 2 4 6 25 7.(2023·北京)如图，在▱ABCD中，点E，F分别在BC，AD上，BE=DF，AC=EF. (1)求证：四边形AECF是矩形; (2)若AE=BE，AB=2，tan∠ACB=，求BC的长. 1 3 5 7 题序 2 4 6 26 (1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD=BC，AD∥BC. ∵BE=DF，∴AF=EC， ∴四边形AECF是平行四边形. ∵AC=EF，∴平行四边形AECF是矩形. 1 3 5 7 题序 2 4 6 27 (2)解：由(1)知四边形AECF是矩形， ∴∠AEC=∠AEB=90°. ∵AE=BE，AB=2，∴△AEB是等腰直角三角形， ∴AE=BE=AB=. 又∵tan∠ACB==，∴=，∴EC=2， ∴BC=BE+EC=+2=3. 1 3 5 7 题序 2 4 6 28 $$