36 第四章 第六节 解直角三角形及其应用（课件PPT）-【智乐星中考·学考传奇】2025年山东省济南市中考数学讲练本

1 第六节　解直角三角形及其应用 2 目 录 知识全面梳理 核心考点突破 好题随堂演练 3 知识点1 锐角三角函数 1.锐角三角函数的定义 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=c，BC=a， AC=b，则sin A=，cos A=，tan A=.  4 2.特殊角的三角函数值 三角函数 30° 45° 60° sin α     cos α     tan α     1 5 【方法指导】 　　求锐角三角函数值时，需分析角所在的三角形是否是直角三角形，若是，求出相关线段的长，利用定义求解;若不是，①作垂线构造直角三角形，②等角转化，求相等角的三角函数. 6 知识点2 解直角三角形 1.解直角三角形 由直角三角形中的已知元素，求出所有未知元素的过程，叫作解直角三角形. 2.直角三角形中的边角关系 (1)三边关系为a2+b2=c2. (2)三角的关系为∠A+∠B=∠C. (3)边角关系为sin A=，cos A=，tan A=.  (设Rt△ABC中，∠C=90°，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边) 7 3.解直角三角形的基本类型 (1)已知直角、斜边和一个锐角，求其他边和角. (2)已知直角、一直角边和一个锐角，求其他边和角. (3)已知直角、斜边和一直角边，求其他边和角. (4)已知直角、两条直角边，求其他边和角. 8 知识点3解直角三角形的应用 仰角、俯角问题 在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫作仰角;视线在水平线下方的角叫作俯角 坡度(坡比)、 坡角问题 坡面的铅直高度与水平宽度的比称为坡度(坡比);坡面与水平线的夹角叫作坡角.坡比i=tan α= 方向角问题 一般以观察者的位置为中心，正北或正南方向作为起始方向旋转到目标方向线所成的角.通常表达成北(南)偏东(西)多少度 9 命题点1 锐角三角函数 6年0考　 例1 (2024·临夏)如图，在△ABC中，AB=AC=5，sin B=，则BC的长 是(　　)　　　　　　 A.3 B.6 C.8 D.9 【解题启发】 你能分清正弦、余弦与正切吗？ B 10 练1 在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=13，AC=5，则 sin A 的值为(　　) A. B. C. D. 练2 在△ABC中，若锐角∠A，∠B满足|sin A- |+(cos B-)2=0，则∠C 的度数是______.  练3 (2024·江西)将图1所示的七巧板，拼成图2所示的四边形ABCD， 连接AC，则tan∠CAB=______.  B 120°　 11 命题点2 解直角三角形 6年3考　 例2 (2024·浙江)如图，在△ABC中，AD⊥BC，AE是BC边上的中线，AB=10，AD=6，tan∠ACB=1. (1)求BC的长; (2)求sin∠DAE的值. 【解题启发】 (1)线段BC与哪些已知线段有关系？ (2)求sin∠DAE，要知道哪些线段的长？ 12 【规范解答】 解：(1)∵AD⊥BC，AB=10，AD=6， ∴BD===8. ∵tan∠ACB=1，∴CD=AD=6， ∴BC=BD+CD=8+6=14. (2)∵AE是BC边上的中线，∴CE=BC=7， ∴DE=CE-CD=7-6=1. ∵AD⊥BC，∴AE===， ∴sin∠DAE===. 13 练4 (2024·深圳)如图，在△ABC中，AB=BC，tan B=.D为BC上一点，且满足=，过点D作DE⊥AD交AC的延长线于点E，则=______.  14 练5 在如图的正方形方格纸中，每个小的四边形都是相同的正方形， A，B，C，D都在格点处，AB与CD相交于点O，则tan∠BOD=____.  3 15 练6 已知在△ABC中，D是BC上的一点，且∠DAC=30°，过点D作ED⊥AD交AC于点E，AE=4，EC=2. (1)求证：AD=CD; (2)若tan B=3，求线段AB的长. 16 (1)证明：∵ED⊥AD，∴∠ADE=90°. 在Rt△ADE中，∠DAE=30°，AE=4， ∴∠DEA=60°，DE=AE=2. ∵EC=2，∴DE=EC，∴∠EDC=∠C. 又∵∠EDC+∠C=∠DEA=60°， ∴∠C=30°=∠DAE，∴AD=CD. 17 (2)解：如图，过点A作AF⊥BC于点F，则∠AFC=∠AFB=90°. ∵AE=4，EC=2，∴AC=6. 在Rt△AFC中，∠AFC=90°， ∠C=30°，∴AF=AC=3. 在Rt△AFB中，∠AFB=90°，tan B=3， ∴BF==1， ∴AB==. 18 练7 如图，在△ABC中，AD是边BC上的高，点E为边AC的中点， BC=14，AD=12，sin B=，求： (1)线段DC的长; (2)sin∠EDC的值. 19 解：(1)在△ABC中，∵AD是边BC上的高， ∴AD⊥BC，∴sin B==. ∵AD=12，∴AB===15， ∴BD===9， ∴DC=BC-BD=14-9=5. (2)在Rt△ADC中，∵AD=12，DC=5，∴AC=13. ∵点E是AC的中点，∴DE=EC，∴∠EDC=∠C， ∴sin∠EDC=sin C==. 20 命题点3 解直角三角形的应用 6年6考　 考法❶　仰角、俯角问题 例3 (2022·济南)数学活动小组到某广场测量标志性建筑AB的高度.如图， 他们在地面上点C测得最高点A的仰角为22°，再向前70 m至点D，又测 得最高点A的仰角为58°，点C，D，B在同一直线上，则该建筑物AB 的高度约为(精确到1 m.参考数据：sin 22°≈0.37， tan 22°≈0.40， sin 58°≈ 0.85，tan 58°≈1.60)(　　)　　　　　　　　　　　　 A.28 m B.34 m C.37 m D.46 m 【解题启发】 线段AB的长能直接求吗？不能的话可以借助哪些线段？ C 21 练8 (2024·青岛)“滑滑梯”是同学们小时候经常玩的游戏，滑梯的坡角越 小，安全性越高.从安全性及适用性出发，小亮同学对所在小区的一处 滑梯进行调研，制定了如下改造方案，请你帮小亮解决方案中的问题. 22 方案名称 滑梯安全改造 测量工具 测角仪、皮尺等 方案设计 如图，将滑梯顶端BC拓宽为BE，使CE=1 m，并将原来的滑梯CF改为EG.(图中所有点均在同一平面内，点B，C，E在同一直线上，点A，D，F，G在同一直线上) 测量数据 【步骤一】利用皮尺测量滑梯的高度CD=1.8 m; 【步骤二】在点F处用测角仪测得∠CFD=42°; 【步骤三】在点G处用测角仪测得∠EGD=32° 解决问题 调整后的滑梯会多占多长一段地面？(即求FG 的长) 23 (参考数据：sin 32°≈，cos 32°≈，tan 32°≈，sin 42°≈， cos 42°≈，tan 42°≈) 24 解：如图，过点E作EH⊥AG于点H，则四边形CDHE为矩形， ∴EH=CD=1.8 m，DH=CE=1 m. 在Rt△CDF中，∠CFD=42°，CD=1.8 m， 则DF=≈=2(m)， ∴HF=DF-DH=2-1=1(m). 在Rt△EHG中，∠EGH=32°，EH=1.8 m， 则HG=≈=2.88(m)， ∴FG=HG-HF=1.88(m). 答：调整后的滑梯会多占约为1.88 m的一段地面. 25 考法❷　坡度、坡角问题 例4 (2024·济南长清二模)速滑运动受到许多年轻人的喜爱，如图，四边形BCDG是某速滑场馆建造的滑台，已知CD∥EG，滑台的高DG为6米，且坡面BC的坡度为1∶1，为了提高安全性，决定降低坡度，改造后的新坡面的坡度∠CAG=37°.(参考数据：sin 37°≈，cos 37°≈，tan 37°≈) (1)求新坡面AC的长; (2)原坡面底部BG的正前方10米处(EB=10米)是护墙EF，为保证安全，体育管理部门规定，坡面底部至少距护墙7米，请问新的设计方案是否符合规定，试说明理由. 26 【解题启发】 (1)新坡面AC可以利用或者构造哪个直角三角形求解？ (2)坡面底部与护墙的距离是哪一条线段的长度？“至少”用不等式的符号表示是什么？符合规定的距离满足什么条件？ 27 【规范解答】 解：(1)如图，过点C作CH⊥BG，垂足为H. ∵新坡面AC的坡度为∠CAG=37°， ∴tan∠CAH==. ∵CH=DG=6米，∴AH==8(米)， ∴AC===10(米)， 答：新坡面AC的长为10米. 28 (2)新的设计方案符合规定. 理由如下：∵坡面BC的坡度为1∶1， ∴BH=CH=6米.∴AB=AH-BH=8-6=2(米)， ∴AE=EB-AB=10-2=8(米)>7(米)， ∴新的设计方案符合规定. 29 考法❸　方向角问题 例5 (2023·济南济阳二模)海中有一小岛S，该岛周围5 n mile内有暗礁.今有快艇以30 n mile/h的速度向正北航行，在A处看小岛S在船的北偏东13°方向，航行40分钟后到达B处，在B处看小岛S在船的北偏东45°方向. (1)A到B的距离是______n mile.  (2)求该快艇继续向北航行有触礁危险吗？说明理由. (参考数据：sin 13°≈0.22，cos 13°≈0.97，t an 13°≈0.23) 30 【解题启发】 (1)怎样求AB的长？ (2)判断有没有触礁危险，实际上是求什么？ 31 【规范解答】 解：(1)20 (2)如图，过点S作SD⊥AC于点D. 由题意得∠SAB=13°，∠SBD=45°，∴SD=BD. 设SD=BD=x n mile. 在Rt△ASD中，=tan 13°，即≈0.23， 解得x≈6.经检验，x=6是原方程的解. ∵6>5， ∴该快艇继续向北航行没有触礁危险. 32 考法❹　实物模型问题 例6 (2024·济南)城市轨道交通发展迅猛，为市民出行带来极大方便.某校“综合实践”小组想测得轻轨高架站的相关距离，数据勘测组通过勘测得到了如下记录表. 33 综合实践活动记录表 活动内容 测量轻轨高架站的相关距离 测量工具 测倾器、红外测距仪等 过程资料 轻轨高架站示意图 相关数据及说明：图中点A，B，C，D，E，F在同一平面内，房顶AB，吊顶CF和地面DE所在的直线都平行，点F在与地面垂直的中轴线AE上， ∠BCD=98°， ∠CDE=97°， AE=8.5 m， CD=6.7 m 成果梳理 …… 34 请根据记录表提供的信息回答下列问题： (1)求点C到地面DE的距离; (2)求顶部线段BC的长. (结果精确到0.01 m.参考数据：sin 15°≈0.259， cos 15°≈0.966，tan 15°≈0.268，sin 83°≈0.993， cos 83°≈0.122，tan 83°≈8.144) 35 【解题启发】 (1)点C到地面DE的距离是哪一段长度？ (2)BC的长可以在哪个直角三角形内求出？ 36 【规范解答】 解：(1)如图，过点C作CN⊥ED，交ED的延长线于点N. ∵∠CDE=97°，∴∠CDN=180°-∠CDE=180°-97°=83°. 在Rt△CDN中，sin∠CDN=sin 83°=≈0.993， CD=6.7 m， ∴CN=CD·sin 83°≈6.7×0.993≈6.65(m). 答：点C到地面DE的距离约为6.65 m. 37 (2)如图，过点B作BP⊥CF，垂足为P. ∵CF∥DE，∴∠FCD=∠CDN=83°. ∵∠BCD=98°，∴∠BCP=∠BCD-∠FCD=15°. ∵CF∥NE，CN⊥NE，EF⊥NE， ∴EF=CN=6.65 m. ∵AE=8.5 m， ∴BP=AF=AE-EF=8.5-6.65=1.85(m).　 在Rt△BCP中，sin∠BCP=sin 15°=≈0.259， ∴BC=≈≈7.14(m). 答：顶部线段BC的长约为7.14 m. 38 建议用时：10分钟 1.如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上， 则∠ABC的正切值是(　　) A.2 　　　B.　　　 C.　　　D. D 1 3 5 题序 2 4 39 2.在△ABC中，若锐角A，B满足|cos A-|+(1-tan B)2=0，则∠C的大小 是(　　) A.45° B.60° C.75° D.105° D 1 3 5 题序 2 4 40 3.如图，CD是平面镜，光线从点A出发经CD上点O反射后照射到点B. 若入射角为α，反射角为β(反射角等于入射角)，AC⊥CD于点C， BD⊥CD于点D，且AC=3，BD=6，CD=12，则tan α的值为______.  1 3 5 题序 2 4 41 4.(2023·济宁)某数学活动小组要测量一建筑物的高度，如图，他们在建 筑物前的平地上选择一点A，在点A和建筑物之间选择一点B，测得 AB=30 m.用高1 m(AC=1 m)的测角仪在A处测得建筑物顶部E的仰角为 30°，在B处测得顶部E的仰角为60°，则该建筑物的高是__________m.  (15+1)　 1 3 5 题序 2 4 42 5.(2024·济南市中一模)某停车场入口“曲臂直杆道闸”在工作时，一曲臂杆OA绕点O 匀速旋转，另一曲臂杆AB始终保持与地面平行.如图1，是曲臂直杆道闸关闭时的 示意图，此时O，A，B在一条直线上.已知闸机高度CD为1.2 m，OA=AB=1.5 m， OD=0.2 m，入口宽度为3 m. (1)如图2，因机器故障，曲臂杆OA最多可旋转72°，求此时点A到地面的距离. (2)在(1)的条件下，一辆宽为2.58 m、高为2.2 m的货车能否顺利通过入口？请说明 理由.(结果精确到0.1 m.参考数据：sin 72°≈0.95，cos 72°≈0.31，tan 72°≈3.08) 1 3 5 题序 2 4 43 解：(1)如图，过点A作AF⊥CE于点F，过点O作OG⊥AF于点G. 由题意得OC=1.2-0.2=1 m，OA=1.5 m，∠AOG=72°. ∵AF⊥CE，OC⊥CE，OG⊥AF， ∴四边形OCFG为矩形，∴FG=OC=1 m. 在Rt△AOG中，∠AOG=72°， ∴AG=OA·sin 72°≈1.5×0.95=1.425(m)， ∴点A到地面的距离AF=AG+FG≈2.4 m. 1 3 5 题序 2 4 44 (2)一辆宽为2.58 m、高为2.2 m的货车能顺利通过入口. 理由如下：如图. 当货车靠右侧行驶，则车身到闸机的距离CN=3-2.58=0.42(m). 作MN⊥CE，交AO于点M，过点O作OH⊥MN于点H. ∵OC⊥CE，∴四边形OCNH为矩形，∴CN=OH=0.42 m. 在Rt△OHM中，∠MOH=72°， ∴MH=OH·tan 72°≈0.42×3.08=1.293 6 (m)， ∴MN=MH+HN=1.293 6+1≈2.3(m). ∵2.3 m>货车高度2.2， ∴一辆宽为2.58 m、高为2.2 m的货车能顺利通过入口. 1 3 5 题序 2 4 45 $$