34 方法专题八“半角”模型（课件PPT）-【智乐星中考·学考传奇】2025年山东省济南市中考数学讲练本

1 2 模型　“半角”模型 【学会模型】 类型 图形 条件 辅助线作法 结论 等腰三角形 含半角 ∠BAC=2α， AB=AC，∠DAE= ∠BAC=α ①△ABD≌△ACF， △ADE≌△AFE; ②∠ECF=180°-2α 3 类型 图形 条件 辅助线作法 结论 等边三角形 含半角 △ABC是等边三角形， ∠BDC=120°， BD=CD， ∠EDF=60° ①△BDE≌△CDG， △DEF≌△DGF; ②EF=BE+FC 等腰直角 三角形含半角 ∠BAC=90°， AB=AC， ∠DAE=45° ①△ABD≌△ACF， △ADE≌△AFE; ②∠ECF=90°; ③DE2=BD2+EC2 4 类型 图形 条件 辅助线作法 结论 菱形含半角 (∠BAD= 120°) ∠BAD=120°， ∠EAF=60°， AB=AD ①△ABE≌△ADG， △AEF≌△AGF; ②△AEF为等边三角形(连接AC，可得△AEC≌△AFD) 正方形含半角 AB=AD， ∠BAD=90°， ∠EAF=45° ①△ABG≌△ADF， △AGE≌△AFE; ②EF=BE+DF 5 例 如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，AB上，且∠FDE= 45°，连接DE，DF，EF，试探究EF，AF，CE之间的数量关系. 【解题启发】 你能猜想一下EF，AF，CE的关系吗？ 6 【规范解答】 解：如图，将△DCE绕着点D顺时针旋转90°得到△DAG， ∴∠DAG=∠DCE=90°，∴∠DAG+∠DAF=180°， ∴G，A，F三点共线. ∵∠EDC+∠ADF+∠FDE=90°，∠FDE=45°， ∴∠EDC+∠ADF=45°. 7 又∵将△DCE绕着点D顺时针旋转90°得到△DAG， ∴DE=DG，∠GDA=∠EDC，CE=AG， ∴∠GDA+∠ADF=∠GDF=∠FDE=45°. 在△DGF和△DEF中， ∴△DGF≌△DEF(SAS)，∴EF=GF=GA+AF. 又∵GA=CE，∴EF=AF+CE. 8 【运用模型】 练1 如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，D，E是BC边上的任意两点，且∠DAE=45°.探究线段BD，EC和DE之间有怎样的数量关系？写出猜想，并说明理由. 9 解：ED2=EC2+BD2. 理由如下：如图，将△ABD绕点A逆时针旋转90°，得到△ACF，连接EF. 由旋转可知AF=AD，CF=BD， ∠DAF=90°，∠BAD=∠CAF. ∵∠DAE=45°， ∴∠FAE=∠EAC+∠CAF=∠DAE=45°. 10 在△DAE和△FAE中， ∴△DAE≌△FAE(SAS)，∴DE=FE. ∵AB=AC，∠BAC=90°，∴∠B=∠ACB=45°， ∴∠ACF=45°，∴∠ECF=∠ACB+∠ACF=90°， ∴EF2=EC2+FC2，∴DE2=EC2+BD2. 11 练2 如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，点D，E在边BC上，且∠DAE=60°，当BD=10，EC=16时，求BC的长. 12 解：把△ACE绕点A顺时针旋转120°得到△ABP，连接PD， ∴AP=AE，PB=CE=16，∠PBA=∠C， ∠EAP=∠BAC=120°. ∵AB=AC，∠BAC=120°， ∴∠ABD=∠C=∠ABP=30°， ∴∠ABD+∠ABP=60°， 即∠PBD=60°. 13 又∵∠DAE=60°， ∴∠PAD=∠EAP-∠DAE=120°-60°=60°， ∴∠EAD=∠PAD. 在△AED和△APD中， ∴△AED≌△APD(SAS)， ∴ED=PD. 14 如图，过点D作DH⊥BP，垂足为H. ∵∠PBD=60°，∴∠HDB=30°， ∴BH=BD=×10=5， ∴HD===5， ∴HP=BP-BH=16-5=11， ∴PD===14， ∴DE=PD=14，∴BC=BD+DE+EC=40. 15 练3 如图，在四边形ABCD中，∠B=∠D=90°，E，F分别是BC，CD上的点，连接AE，AF，EF. (1)如图1，AB=AD，∠BAD=120°，∠EAF=60°.求证：EF=BE+DF. (2)如图2，若四边形ABCD为正方形，点E，F分别在边BC，CD上，且∠EAF=45°.若BE=3，DF=2，请求出线段EF的长度. 16 (1)证明：如图，延长FD到点G，使DG=BE，连接AG. 在△ABE和△ADG中， ∴△ABE≌△ADG(SAS)， ∴AE=AG，∠BAE=∠DAG. ∵∠BAD=120°，∠EAF=60°， ∴∠BAE+∠FAD=∠DAG+∠FAD=60°， ∴∠EAF=∠FAG=60°. 17 在△EAF和△GAF中， ∴△EAF≌△GAF(SAS)， ∴EF=FG=DG+DF，∴EF=BE+DF. 18 (2)解：如图，将△ABE绕点A逆时针旋转90°得到△ADP， ∴∠ADP=∠ABE=∠ADF=90°， ∴P，D，F三点共线. ∵∠PAE=∠DAE+∠PAD=∠DAE+∠EAB=90°， ∴∠PAF=∠PAE-∠EAF=90°-45°=45°=∠EAF. 在△PAF和△EAF中， ∴△PAF≌△EAF(SAS)，∴EF=FP， ∴EF=PF=PD+DF=BE+DF=3+2=5. 19 $$