31 第四章 第五节 相似三角形（课件PPT）-【智乐星中考·学考传奇】2025年山东省济南市中考数学讲练本

1 第五节　相似三角形 2 目 录 知识全面梳理 核心考点突破 好题随堂演练 3 知识点1 比例线段及其性质 1.线段的比：若选用同一长度单位量得两条线段AB，CD的长度分别是 m，n，则这两条线段的比就是它们长度的比，即AB∶CD=m∶n. 2.比例线段：四条线段a，b，c，d，如果a与b的比等于c与d的比， 即=，那么这四条线段a，b，c，d叫作成比例线段，简称比例线段. 4 3.比例线段的性质 (1)如果=，那么ad=bc. (2)如果ad=bc(a，b，c，d都不等于0)，那么=______.  (3)如果==…=(b+d+…+n≠0)，那么=______ .  5 4.平行线分线段成比例 (1)基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例. (2)推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)， 所得的对应线段成比例. 5.黄金分割：一般地，点C把线段AB分成两条线段AC和BC(AC>BC)， 如果=，那么称线段AB被点C黄金分割，点C叫作线段AB的黄金 分割点，AC与AB的比叫作黄金比，黄金比为≈0.618. 6 知识点2 相似多边形 1.相似多边形：各角分别对应相等，边对应成比例，那么这两个多边形叫作相似多边形，相似多边形对应边的比叫作相似比. 2.相似多边形的性质 (1)相似多边形的对应角相等，对应边之比等于相似比. (2)相似多边形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方. 7 知识点3 相似三角形 1.相似三角形：三角分别对应相等、三边对应成比例的两个三角形叫 作相似三角形，相似三角形对应边的比叫作相似比. 2.相似三角形的判定定理 (1)两角分别_______的两个三角形相似.  (2)两边_____________且夹角_______的两个三角形相似.  (3)三边_____________的两个三角形相似.  (4)平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与 原三角形相似. 相等 对应成比例 相等 对应成比例 8 3.相似三角形的性质 (1)相似三角形对应高的比、对应中线的比与对应角平分线的比都等于 _________.  (2)相似三角形的周长比等于_________，面积比等于_______________.  相似比 相似比 相似比的平方 9 【知识拓展】 (1)相似三角形的主要应用：①求角的度数;②求线段长;③求或证明比值关系;④证明线段的等积式. (2)相似三角形对应边成比例，同时也是动点问题中得到函数关系式的重要方法. 10 命题点1 平行线分线段成比例 6年0考　 例1 (2023·北京)如图，直线AD，BC交于点O，AB∥EF∥CD.若AO=2， OF=1，FD=2，则 的值为______.  【解题启发】 你能写出几对成比例的线段？ 11 练1 (2022·临沂)如图，在△ABC中，DE∥BC，=，若AC=6， 则EC=(　　)　　　 A. B. C. D. C 12 命题点2 相似三角形的判定与性质 6年6考　 例2 (改编题)如图1，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，D，E分别为边AB，AC上的点，且DE∥BC.已知BC=10，=. (1)DE的长为______;△ADE与△ABC的周长比为______.  (2)将△ADE绕点A旋转，当△ADE旋转至图2所示的位置时，求证：△ABD∽△ACE. 13 【解题启发】 相似三角形的判定方法有几种？ 相似三角形的性质有哪些？ 14 【规范解答】 (1)解：6　3∶5 (2)证明：∵△ADE∽△ABC， ∴=，∠BAC=∠DAE， ∴=，∠BAD=∠CAE，∴△ABD∽△ACE. 15 【解题通法】 (1)常见相似三角形的基本类型 16 (2)射影定理 图形 条件 ∠ABC=∠ADB=90° (射影定理只能在直角三角形中存在，且必须有斜边上的高) 结论 ①△ABC∽△ADB∽△BDC ②AB2=AC·AD，BD2=AD·CD， BC2=AC·CD(口诀：公共边的平方=共线边的乘积) ③AB·BC=BD·AC(面积法) 17 练2 如图，AD是△ABC的中线，点E在AC上，BE交AD于点F.若=，则为(　　) A. B. C. D. A 18 练3 (2023·湘潭)在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD是斜边BC上的高. (1)证明：△ABD∽△CBA; (2)若AB=6，BC=10，求BD的长. 19 (1)证明：∵AD是斜边BC上的高，∴∠BDA=90°. ∵∠BAC=90°，∴∠BDA=∠BAC. 又∵∠B=∠B，∴△ABD∽△CBA. (2)解：由(1)知△ABD∽△CBA，∴=， 即=，∴BD=3.6. 20 命题点3 相似三角形的实际应用 6年4考　 例3 【数学文化】 《九章算术》中记载了一种测量古井水面以上部分深 度的方法.如图所示，在井口A处立一根垂直于井口的木杆AB，从木杆 的顶端B观察井水水岸D，视线BD与井口的直径AC交于点E，如果测得 AB=1米，AC=1.6米，AE=0.4米，那么CD的长为______米.  【解题启发】 你能从实际情境中抽象出相似三角形的几何图形吗？ 3 21 练4 (2024·镇江)如图，小杰从灯杆AB的底部点B处沿水平直线前进到达 点C处，他在灯光下的影长CD=3米，然后他转身按原路返回到点B处， 返回过程中小杰在灯光下的影长可以是(　　) A.4.5米 B.4米 C.3.5米 D.2.5米 D 22 建议用时：10分钟 1.(2024·内江)已知△ABC与△DEF相似，且相似比为1∶3，则△ABC 与△DEF的周长之比是(　　) A.1∶1 B.1∶3 C.1∶6 D.1∶9 B 1 3 5 题序 2 4 23 2.(2024·济南三模)如图所示，小正方形的边长均为1，则下列选项中 阴影部分的三角形与△ABC相似的是(　　) A 1 3 5 题序 2 4 24 3.(2023·南充)如图，数学活动课上，为测量学校旗杆高度，小菲同学在 脚下水平放置一平面镜，然后向后退(保持脚、镜和旗杆底端在同一直线 上)，直到她刚好在镜子中看到旗杆的顶端.已知小菲的眼睛离地面高度为 1.6 m，同时量得小菲与镜子的水平距离为 2 m，镜子与旗杆的水平距离 为10 m，则旗杆高度为(　　) A.6.4 m B.8 m C.9.6 m D.12.5 m B 1 3 5 题序 2 4 25 4.(2024·滨州)如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上.添加一个 条件使△ADE∽△ACB，则这个条件可以是______________________. (写出一种情况即可)  ∠ADE=∠C(答案不唯一)　 1 3 5 题序 2 4 26 5.(2023·上海)如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，点F，E分别在线段 BC，AC上，且∠FAC=∠ADE，AC=AD. (1)求证：DE=AF; (2)若∠ABC=∠CDE，求证：AF2=BF·CE. 1 3 5 题序 2 4 27 证明：(1)∵AD∥BC，∴∠DAE=∠ACF. 在△DAE和△ACF中， ∴△DAE≌△ACF(ASA)，∴DE=AF. (2)∵△DAE≌△ACF，∴∠AFC=∠DEA， ∴180°-∠AFC=180°-∠DEA，即∠AFB=∠CED. 又∵∠ABC=∠CDE， ∴△ABF∽△CDE，∴=. 由(1)已证DE=AF，∴=，∴AF2=BF·CE. 1 3 5 题序 2 4 28 $$