28 方法专题四 角平分线的六种辅助线作法（课件PPT）-【智乐星中考·学考传奇】2025年山东省济南市中考数学讲练本

1 2 作法1 向两边作垂线 【学会模型】 图形 条件 作法 适用范围 结论 OP平分∠MON，PA⊥OM 过点P作PB⊥ON于点B 有角平分线，且角平分线上一点向角的一边作了垂线段 ①PA=PB; ②Rt△AOP ≌Rt△BOP 3 例1 如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，BD是△ABC的角平分线. 若AC=9，CD=6，则点D到BC的距离是______.  【作图启发】 角平分线上的一点是______，垂线段是______，过点______ 作______的垂线段.  3 4 【运用模型】 练1 如图，在四边形ABCD中，∠A=90°，AD=3，BC=5，对角线BD 平分∠ABC，则△BCD的面积为______.  7.5 5 练2 如图，在△ABC中，∠B=30°，∠C=45°，AD平分∠BAC， 交BC于点D，DE⊥AB，垂足为E.若DE=1，则BC的长为______.  2+ 6 练3 如图，OE平分∠AOB，EM∥OA，EN⊥OA.若EN=3，ON=5， 则EM=______.  7 练4 如图，在△ABC中，过内部一点P，作PD⊥BC，PE⊥AB，PF⊥ AC，垂足分别为D，E，F，且PD=PE=PF，∠A=120°，连接PB，PC. (1)求∠BPC的度数; (2)若PB=6，PC=2，求BC的长. 8 解：(1)∵PD=PE=PF， ∴易得∠CBP=∠ABC，∠BCP=∠ACB， ∴∠BPC=180°-(∠CBP+∠BCP)=180°-(∠ABC+∠ACB) =180°-(180°-∠A)=180°-30°=150°. 9 (2)如图，过点C作CH⊥BP交BP的延长线于点H. ∵∠BPC=150°，∴∠CPH=30°. ∵PC=2，∴CH=， ∴PH=CP·cos 30°=2×=3. ∵BP=6，∴BH=BP+PH=9， ∴BC====2. 10 作法2 截长或补短法构造全等三角形 【学会模型】 图形 条件 作法 适用范围 结论 P是△AON中∠AON的平分线上一点 截长法：在ON上截取OB=OA，连接PB 有角平分线，设问角度为证线段关系或求线段长 △OPB≌△OPA △OPN≌△OPM P是△AON中∠AON的平分线上一点 补短法：延长OA至点M，使OM=ON，连接PM 11 例2 如图，AC平分∠BAD，∠B+∠D=180°，CE⊥AD于点E， AD=18 cm，AB=11 cm，求DE的长度. 【作图启发】 角平分线上的一点是______.截长法：在______截取______等于______，证______≌______.  12 【规范解答】 解：如图，在线段AD上截取AF=AB，连接CF. ∵AC平分∠BAD， ∴∠BAC=∠FAC. 又∵AC=AC， ∴△BAC≌△FAC(SAS)， ∴∠B=∠AFC，AB=AF=11 cm. ∵∠B+∠D=180°，∠AFC+∠CFE=180°， ∴∠CFE=∠D，∴CF=CD. 又∵CE⊥FD，∴FE=DE=DF. ∵DF=AD-AF=7 cm，∴DE=3.5 cm. 13 【运用模型】 练5 如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，∠C=90°，DE⊥AB于点E，点F在AC上，BD=DF. (1)求证：CF=EB; (2)若AB=12，AF=8，求CF的长. 14 (1)证明：∵AD平分∠BAC，∠C=90°，DE⊥AB于点E，∴DE=DC. 在Rt△CDF与Rt△EDB中， ∴Rt△CDF≌Rt△EDB(HL)，∴CF=EB. (2)解：设CF=x，则EB=x，AE=12-x. 在Rt△ACD与Rt△AED中， ∴Rt△ACD≌Rt△AED(HL)， ∴AC=AE，即8+x=12-x，解得x=2，即CF=2. 15 练6 如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=90°，BE是∠ABC的平分线，CD⊥BE交BE的延长线于点D，连接AD. (1)求证：BE=2CD; (2)若AB=4，S△BDC=6，求△ABD的面积. 16 (1)证明：如图，延长BA，CD相交于点Q. ∵∠CAQ=∠BAE=∠BDC=90°， ∴∠ACQ+∠Q=90°，∠ABE+∠Q=90°， ∴∠ACQ=∠ABE. 在△ABE和△ACQ中， ∴△ABE≌△ACQ(ASA)，∴BE=CQ. 17 ∵BD平分∠ABC，∴∠QBD=∠CBD， ∵∠BDC=90°，∴∠BDC=∠BDQ=90°. 在△QDB和△CDB中， ∴△QDB≌△CDB(ASA)，∴CD=DQ， ∴BE=CQ=2CD. 18 (2)解：∵△QDB≌△CDB， ∴S△BDQ=S△BDC=6， ∴S△BCQ=12， ∴S△ACQ=S△BCQ-S△ABC=12-×4×4=4. ∵CD=DQ， ∴S△ADQ=S△ACQ=2， ∴S△ABD=S△BDQ-S△ADQ=4. 19 作法3 角平分线+垂线，构造等腰三角形 【学会模型】 图形 条件 作法 适用范围 结论 P是∠MON的平分线上一点，AP⊥OP 延长AP交ON于点B 有角平分线，且有垂直于角平分线的线段，设问角度为求线段长度或图形面积 ①△AOB是等腰三角形; ②AP=BP; ③Rt△AOP≌ Rt△BOP 20 例3 如图，△ABC中，BD平分∠ABC，AD⊥BD，△BCD的面积为 38，△ADC的面积为17，则△ABD的面积等于______.  【作图启发】 角平分线上的一点是______，______⊥______，延长______交______于点______.  21 21 【运用模型】 练7 如图，已知S△ABC=24，AD平分∠BAC，且 AD⊥BD 于点D， 则S△ADC=______.  12 22 练8 如图，△ABC中，BC=10，AC-AB=6.过点C作∠BAC的平分线AD 的垂线，垂足为D，点E为DC边的中点，连接BD，CD，则S△BEC的最 大值为______.  7.5 23 作法4 作平行线，构造等腰三角形 【学会模型】 图形 条件 作法 适用范围 结论 P是∠MON的平分线上一点 过点P作PQ∥ON，交OM于点Q 题目条件中有角平分线，且问题为计算线段长度或圆中证明切线时适用 ①∠QOP= ∠PON=∠QPO; ②△POQ是等腰三角形 24 例4 如图，在△ABC中，∠BAC=120°，AD平分∠BAC交BC于点D， 过点D作DE∥AB交 AC于点E. 已知AD=3，CE=5，则AC的长为____.  【作图启发】 角平分线上一点是______，过此点的平行线是______ ，△ADE是______三角形.(填“等边”“等腰”或“等腰直角”)  8 25 【运用模型】 练9 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC的平分线交BC于点D， DE∥AB，交AC于点E，DF⊥AB于点F.若DE=5，DF=3，则AC的长为 ______.  9 26 作法5 两内角平分线的交角 【学会模型】 图形 条件 适用范围 结论 点P是∠ABC和∠ACB的平分线的交点(点P是△ABC的内心)，FG∥BC 两个内角平分线交于三角形内部一点，且存在平行线 ①∠BPC=90° +∠A; ②△AFG的周长=AB+AC 27 例5 如图，△ABC中，AB=AC，∠ABC=70°，点O是△ABC的内心， 则∠BOC的度数为(　　) 　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　 A.120° B.110° C.115° D.130° 【作图启发】 两条角平分线是______和______，交点为______，∠BOC=______.  B 28 【运用模型】 练10 如图，在△ABC中，CD平分∠ACB，交AB于点D，E为AC 上 一点，且DE=CE. (1)求证：DE∥BC; (2)若∠A=90°，S△BCD=26，BC=13，求AD 的长. 29 (1)证明：∵CD平分∠ACB， ∴∠ECD=∠BCD. ∵DE=CE， ∴∠ECD=∠EDC， ∴∠BCD=∠EDC，∴DE∥BC. (2)解：如图，过点 D 作 DF⊥BC于点F. ∵∠A=90°，CD平分∠ACB，DF⊥BC，∴AD=FD. ∵S△BCD=26，BC=13， ∴×13DF=26， ∴DF=4，∴AD=4. 30 作法6 一内角一外角平分线的交角 【学会模型】 图形 条件 适用范围 结论 P是∠ABC和∠ACE的平分线的交点 一个内角平分线与一个外角平分线交于三角形外部一点 ∠P=∠A 31 例6 如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点O，延长BO 与∠ACB的外角平分线交于点D.若∠BOC=130°，则∠D=______.  【作图启发】 两条角平分线是______和______，交于点______.  40° 32 【运用模型】 练11 如图，在△ABC中，∠ABC，∠EAC的平分线BP，AP交于点P， 延长BA，BC，PM⊥BE，PN⊥BC，垂足分别为M，N，则下列结论： ①CP平分∠ACF;②∠ABC+2∠APC=180°;③∠ACB=2∠APB; ④AM+CN=AC.其中正确的个数是(　　)　　　　　　　　　　　　　 A.1 B.2 C.3 D.4 D 33 $$