17 方法专题三 二次函数的最值问题（课件PPT）-【智乐星中考·学考传奇】2025年山东省济南市中考数学讲练本

1 2 类型1 已知函数表达式，在全体实数内求最值 【学会方法】 依据：二次函数图象的顶点纵坐标为最大值或最小值 方法一 方法二 方法三 转化为顶点式y=a(x-h)2+k 利用坐标公式(- ) 先求出对称轴x=-，再代 入表达式求值 3 例1 二次函数y=2x2-8x-2的最小值是(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A.-2 B.-10 C.-6 D.6 【解题启发】 哪种方法最简单？ B 4 【运用方法】 练1 若二次函数y=-x2+bx+c的图象的最高点的坐标是(-1，-3)，则b，c 的值分别是(　　) A.b=2，c=4 B.b=-2，c=-4 C.b=2，c=-4 D.b=-2，c=4 B 5 类型2 定轴定区间(对称轴确定，在自变量取值范围内的最值) 【学会方法】 定轴定区间是区间最值的最基础部分，涉及方法共计三种： (1)数形结合：根据二次函数的表达式进行描点作图，在图象中标注二次函数在x取值范围内的函数图象范围，进行y值的大小比较. (2)代入法：代入x的端点值和顶点，做判断. (3)性质：通过二次函数的性质比较大小. 6 判断增减性 根据函数在自变量取值范围内的增减性： 1.开口向下时，在对称轴左侧，y随x的增大而增大;在对称轴右侧，y随x的增大而减小. 2.开口向上时，在对称轴左侧，y随x的增大而减小;在对称轴右侧，y随x的增大而增大 根据与对称轴的距离 判断大小 1.开口向下时，离对称轴越远，y值越小; 2.开口向上时，离对称轴越远，y值越大 7 例2 已知二次函数y=2x2-8x+1. (1)当0≤x≤1时，函数的最大值为______，最小值为______;  (2)当1≤x≤3时，函数的最大值为______，最小值为______;  (3)当3≤x≤6时，函数的最大值为______，最小值为______.  【解题启发】 当x的取值范围固定，对称轴确定的情况下，你能利用几种方法确定最大值和最小值？ 1 -5 -5 -7 25 -5 8 【运用方法】 练2 二次函数y=-x2+bx+c的图象经过点(1，0)，(2，3)，在a≤x≤6范围内 的最大值为4，最小值为-5，则a的取值范围是(　　) A.a≥6 B.3≤a≤6 C.0≤a≤3 D.a≤0 C 9 类型3 动轴定区间(对称轴不确定，在自变量取值范围内的最值) 【学会方法】 图形 (以开口向上为例) 结论(m≤x≤n，需将表达式进行顶点式转化) 当对称轴在m左侧时(-<m)，y在x=m时取最小值，在x=n时取最大值 当对称轴在m，n之间时(m<-<n)，y在x=-时取最小值(顶点纵坐标)，在x=m 或x=n处最大值 当对称轴在n右侧时(->n)，y在x=n时取最小值，在x=m时取最大值 10 例3 已知二次函数y=-x2+2mx-3(m>0)在自变量-1≤x≤3时，其对应的函数 值y的最大值为1，则m的值为(　　) A.4 B. C.2 D.1 【解题启发】 对称轴不确定，你如何在-1≤x≤3的范围内确定y取最值时，x的值是多少？ C 11 【运用方法】 练3 已知二次函数y=-(x-h)2(h为常数)，当自变量x的值满足2≤x≤5时， 与其对应的函数值y的最大值为-1，则h的值为(　 ) A.3或6 B.1或6 C.1或3 D.4或6 练4 已知二次函数y=(x-h)2+1(h为常数)，在自变量x的值满足1≤x≤3的情 况下，与其对应的函数值y的最小值为5，则h的值为(　　) A.3或5 B.-1或1 C.-1或5 D.3或1 B C 12 类型4 定轴动区间(对称轴确定，自变量取值范围不确定) 【学会方法】 定轴动区间恰好与动轴定区间相反，即抛物线的对称轴固定，x的取值范围在变化，所以这部分的内容只是动轴定区间的逆运用，在已知抛物线的对称轴的前提下，考虑区间在对称轴的两侧或对称轴在区间内 图形(以开口 向上为例) 结论(t2<x<t1) 当-<t2<t1时，y在x=t2时取得最小值，在x=t1时取得最大值 当t2<-<t1时，y在x=-时取得最小值，最大值需根据对称轴与t2，t1的距离进行判断 当t2<t1<-时，y在x=t1时取得最小值，在x=t2时取得最大值 13 例4 (2024·济南历下二模)已知点M(x1，y1)，N(x2，y2)是二次函数 y=ax2-6ax+2(a>0)图象上的任意两点.若对于t<x1<t+1，t+1<x2<t+2， 都有y1<y2<2，则t的取值范围是(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A.1≤t≤ B.≤t≤4 C.1≤t≤3 D.3≤t≤4 【解题启发】 x的取值范围不固定的情况下，怎么确定y的取值？ B 14 【运用方法】 练5 在平面直角坐标系xOy中，若点P的横坐标和纵坐标相等，则称点P为 雅系点.已知二次函数y=ax2-4x+c(a≠0)的图象上有且只有一个雅系点(-， -)，且当m≤x≤0时，函数y=ax2-4x+c+(a≠0)的最小值为-6，最大值为-2， 则m的取值范围是(　　) A.-1≤m≤0 B.-<m≤-2 C.-4≤m≤-2 D.-≤m<- C 15 类型5 区间范围问题 【学会方法】 区间范围问题实际是由区间最值求未知参数的范围，基本思路与其他类型最值的思路一样. 16 例5(2020·济南)已知抛物线y=x2+(2m-6)x+m2-3 与y轴交于点A，与直线 x=4交于点B，当x>2时，y值随x值的增大而增大.记抛物线在线段AB下 方的部分为G(包含A，B两点)，M为G上任意一点， 设点M的纵坐标 为t，若t≥-3，则m的取值范围是( 　) A.m≥ B.≤m≤3 C.m≥3 D.1≤m≤3 【解题启发】 给定区间内点的纵坐标的范围，如何求参数的范围？ A 17 【运用方法】 练6 (2024·济南莱芜模拟)在平面直角坐标系中，若点M(x1，y1)， N(x2，y2)(x1<x2)是抛物线y=mx2-2x+m(m>0)上的两点，且满足x1+x2=4 时，都有y1>y2，则m的取值范围是(　　) A.0<m< B.0<m< C.m> D.<m< A 18 类型6 新定义下的区间最值 【学会方法】 新定义下的区间最值实际是把二次函数进行不断的包装，在新定义的二次函数里面与区间最值进行结合，基本思路与其他最值的思路相同，要抽丝剥茧，寻找题目背后隐藏的知识点以及内容，全面获取信息. 19 例6 (2024·济南市中一模)定义：平面内任意两点P(x1，y1)，Q(x2，y2)， dPQ=|x1-x2|+|y1-y2|称为这两点之间的曼哈顿距离.例如：P(1，2)，Q(3，-4)， dPQ=|x1-x2|+|y1-y2|=|1-3|+|2-(-4)|=2+6=8.若点A为抛物线y=x2上的动点，点B 为直线y=x+b上的动点，并且抛物线与直线没有交点，dAB的最小值为1， 则b的值为(　　) A.- B.- C.-1 D.- 【解题启发】 什么是曼哈顿距离？ D 20 【运用方法】 练7 (2021·济南)新定义：在平面直角坐标系中，对于点P(m，n)和点P'(m， n')，若满足m≥0时，n'=n-4;m<0时，n'=-n，则称点P'(m，n')是点P(m，n) 的限变点.例如：点P1(2，5)的限变点是P1'(2，1)，点P2(-2，3)的限变点是 P2'(-2，-3).若点P(m，n)在二次函数y=-x2+4x+2的图象上，则当-1≤m≤3时， 其限变点P'的纵坐标n'的取值范围是(　　) A.-2≤n'≤2 B.1≤n'≤3 C.1≤n'≤2 D.-2≤n'≤3 D 21 $$