16 第三章 第五节 二次函数的图象与性质（课件PPT）-【智乐星中考·学考传奇】2025年山东省济南市中考数学讲练本

1 第五节　二次函数的图象与性质 2 目 录 知识全面梳理 核心考点突破 难点分层探究 好题随堂演练 3 知识点1 二次函数的概念及表达式 1.一般地，若两个变量x，y之间的对应关系可以表示成y=ax2+bx+c (a，b，c是常数，a≠0)的形式，则称y是x的二次函数. 2.二次函数表达式的三种形式 (1)一般式：y=ax2+bx+c(a，b，c为常数，a≠0). (2)顶点式：y=a(x-h)2+k(a，h，k为常数，a≠0)，顶点坐标是(h，k). (3)交点式：y=a(x-x1)(x-x2)，其中x1，x2是二次函数的图象与x轴交点的横坐标，a≠0. 4 知识点2 二次函数的图象与性质 1.二次函数的图象与性质 表 达 式 二次函数y=ax2+bx+c(a，b，c是常数，a≠0) 对 称 轴 直线x=- 顶　　点 ______________________ a的符号 a>0 a<0 图　　象 (-)　 5 开口方向 开口向上 开口向下 最　　值 当x=-时，y最小= 当x=-时，y最大= 最　　点 抛物线有最低点 抛物线有最高点 增 减 性 当x<-时，y随x的增大 而________;  当x>-时，y随x的增大 而________ 当x<-时，y随x的增大而 _______;  当x>-时，y随x的增大而 ________ 减小 增大   增大 减小   6 【方法指导】 求函数最值的常用方法 　　求函数的最值时，若自变量的取值范围为x1≤x≤x2： (1)若对称轴在该范围内，则最大、最小值都存在，分别在顶点和一端点处取得; (2)若对称轴不在该范围内，则最大、最小值由函数的增减性分别在端点处取得. 7 2.二次函数图象的特征与a，b，c的关系 字母 字母的符号 图象的特征 a a>0 开口向上 a<0 开口向下 b b=0 对称轴为y轴 ab>0(a与b同号) 对称轴在y轴左侧 ab<0(a与b异号) 对称轴在y轴右侧 8 字母 字母的符号 图象的特征 c c=0 经过原点 c>0 与y轴正半轴相交 c<0 与y轴负半轴相交 b2-4ac b2-4ac=0 与x轴有唯一交点(顶点) b2-4ac>0 与x轴有两个交点 b2-4ac<0 与x轴没有交点 9 知识点3 抛物线的平移与对称 平移与对称 原表达式 变换形式 变换后的表达式 将二次函数表达式转化成顶点式y=a(x-h)2+k，确定其顶点坐标，再保持抛物线形状不变，平移其顶点坐标即可 y=a(x-h)2+k 向左平移m(m>0)个单位长度 y=a(x-h+m)2+k 向右平移m(m>0)个单位长度 ____________ 向上平移m(m>0)个单位长度 y=a(x-h)2+k+m 向下平移m(m>0)个单位长度 ____________ 关于x轴对称 ____________ 关于y轴对称 y=a(x+h)2+k 绕顶点旋转180° y=-a(x-h)2+k 绕原点旋转180° ____________ y=a(x-h-m)2+k　 y=a(x-h)2+k-m y=-a(x-h)2-k　 y=-a(x+h)2-k 10 平移与对称 原表达式 变换形式 变换后的表达式 将二次函数表达式转化成一般式y=ax2+bx+c，进行对称变换 y=ax2+bx+c 关于x轴对称 ____________ 关于y轴对称 y=ax2-bx+c 关于原点对称 ____________ y=-ax2-bx-c　 y=-ax2+bx-c 11 知识点4 二次函数与方程、不等式的关系 1.与方程的关系 (1)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)，当y=0时，就变成了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0);一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的解是抛物线y=ax2+bx+c (a≠0)与x轴交点的横坐标. (2)①b2-4ac>0⇔方程有两个不相等的实数根，抛物线与x轴有______个交点;  ②b2-4ac=0⇔方程有两个相等的实数根，抛物线与 x轴有且只有______个 交点;  ③b2-4ac<0⇔方程没有实数根，抛物线与x轴________交点.  两 一 没有 12 2.与不等式的关系 ax2+bx+c>0的解集是x<x1或x>x2 ax2+bx+c<0的解集是x1<x<x2 ax2+bx+c>0的解集是x1<x<x2 ax2+bx+c<0的解集是x<x1或x>x2 13 命题点1 确定二次函数的表达式 6年6考　 例1 已知二次函数y=ax2+bx-3(a≠0)的图象经过点(2，-3)，(-1，0)，求二次函数的表达式. 【解题启发】 应如何求二次函数的表达式？ 14 【规范解答】 解：将点(2，-3)，(-1，0)分别代入二次函数y=ax2+bx-3(a≠0)得 解得 ∴二次函数的表达式为y=x2-2x-3. 15 【解题通法】 确定二次函数表达式的步骤 (1)根据条件设表达式：对于二次函数y=ax2+bx+c，若系数a，b，c中有一个未知，则代入图象上任意一点坐标;若有两个未知， 则代入图象上任意两点坐标;若三个都未知，则根据下表所给点的坐标选择适当的表达式： 16 已知 所设表达式 顶点+其他点 y=a(x-h)2+k 与x轴的两个交点+其他点 y=a(x-x1)(x-x2) 与x轴的一个交点+对称轴+其他点 任意三个点 y=ax2+bx+c (2)代入点坐标：将已知点坐标代入相应表达式中，得到关于待定系数的方程(组). (3)求解：解方程(组)求出待定系数的值，从而得出函数的表达式. 17 练1 已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象的顶点坐标为(2，4)，且经过点 (3，5)，求二次函数的表达式. 解：∵二次函数图象的顶点坐标为(2，4)， ∴设二次函数的表达式为y=a(x-2)2+4(a≠0). 将点(3，5)代入二次函数表达式得5=a(3-2)2+4，解得a=1， ∴二次函数的表达式为y=(x-2)2+4=x2-4x+8. 18 练2 已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象与x轴的交点坐标为(1，0)， (2，0)，且经过点(3，6)，求二次函数的表达式. 解：∵二次函数的图象与x轴交于点(1，0)，(2，0)， ∴设二次函数的表达式为y=a(x-1)(x-2)(a≠0). 将点(3，6)代入二次函数表达式得6=a(3-1)×(3-2)， 解得a=3， ∴二次函数的表达式为y=3(x-1)(x-2)=3x2-9x+6. 19 练3 已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象经过点(-1，8)，对称轴是直线 x=-2，且在x轴上截得的线段长为6，求二次函数的表达式. 解：∵二次函数图象的对称轴为直线x=-2，且在x轴上截得的线段长为6， ∴二次函数的图象与x轴的交点为(-5，0)，(1，0)， ∴设二次函数的表达式为y=a(x+5)(x-1)(a≠0). 将点(-1，8)代入二次函数表达式得 8=a(-1+5)×(-1-1)，解得a=-1， ∴二次函数的表达式为y=-(x+5)(x-1)=-x2-4x+5. 20 练4 已知抛物线y=ax2-2ax-3+2a2(a≠0). (1)求这条抛物线的对称轴; (2)若该抛物线的顶点在x轴上，求其表达式. 21 解：(1)∵x=-=1，∴其对称轴为直线x=1. (2)由(1)知抛物线的顶点坐标为(1，2a2-a-3). ∵抛物线的顶点在x轴上，∴2a2-a-3=0， 解得a=或a=-1. 当a=时，其表达式为y=x2-3x+； 当a=-1时，其表达式为y=-x2+2x-1. 综上所述，二次函数的表达式为y=x2-3x+或 y=-x2+2x-1. 22 命题点2 二次函数的图象与性质 6年6考　 例2 【一题串考点·原创题】 已知二次函数y=ax2+bx+c，下表给出了两个变量x，y的对应关系. x … -1 0 1 2 3 4 … y … 0 -3 -4 -3 0 5 … 23 (1)该函数的图象开口向______，对称轴为直线______，顶点坐标为 ______，函数的最小值为______，该二次函数的图象与y轴的交点坐标 为______，与x轴的交点坐标为_______________.  (2)-3≤x≤0时，y的最大值为______，最小值为______.  (3)当-1≤x≤2时，y的最大值为______，最小值为______.  (4)如果(-3，y1)，(2，y2)，(6，y3)在该二次函数图象上，那么y1，y2， y3之间的大小关系是____________.  上 x=1　 (1，-4)　 -4 (0，-3) (3，0)和(-1，0) 12 -3 0 -4 y3> y1> y2 24 (5)已知A(m，n)是该抛物线上一点. ①若点A关于对称轴对称的点为B，且点B的坐标为(5，12)，则点A的 坐标为__________.  ②若点A与对称轴的距离为5，则点A的坐标为________________;当n=4时， 满足条件的点A有______个.  (6)若(3，y1)，(a，y2)是抛物线上不同的两点，且y2=y1+5，则a的值为 ______.  (7)二次函数的图象与x轴所围成的区域内(不含边界)整点(横、纵坐标都 为整数的点)的个数为______个.  (-3，12)　 (6，21)或(-4，21)　 2 4或-2　 7 25 【解题启发】 此二次函数的表达式是什么？图象是什么样的？增减性怎么判断？ 26 练5 (2024·乐山)已知二次函数y=x2-2x(-1≤x≤t-1)，当x=-1时，函数取得 最大值;当x=1时，函数取得最小值，则t的取值范围是(　　)　　　　　　　 A.0<t≤2 B.0<t≤4 C.2≤t≤4 D.t≥2 C 27 命题点3 二次函数与方程、不等式的关系 6年0考 例3 (2024·济宁)将抛物线y=x2-6x+12向下平移k个单位长度.若平移后得 到的抛物线与x轴有公共点，则k的取值范围是______.  【解题启发】 平移得到的抛物线与x轴有交点，你能联想到什么？ k≥3　 28 练6 抛物线y=x2+x+c与x轴只有一个公共点，则c的值为(　　) A.- B. C.-4 D.4 B 29 练7 已知二次函数y=a(x+k)2+h(a，k，h均为常数)的图象与x轴的交点的 横坐标分别为-2和5，则关于x的一元二次方程a(x+k+2)2+h=0的两个实 数根分别是(　　) A.x1=-4，x2=3 B.x1=3，x2=7 C.x1=0，x2=7 D.x1=0，x2=3 A 30 练8 如图，二次函数y=ax2+c的图象与一次函数y=mx+n的图象交于 A(-2，p)，B(1，q)两点，则关于x的不等式ax2-mx+c>n的解集是 __________.  -2<x<1　 31 练9 【新考法】 开放性，由交点位置判断参数范围 (2023·泰州)二次函数y=x2+3x+n的图象与x轴有一个交点在y轴右侧， 则n的值可以是________________.(填一个值即可)  -3(答案不唯一)　 32 命题点4 二次函数图象与系数a，b，c的关系 6年2考 【核心母题1】 在平面直角坐标系中，已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的 图象如图所示，有下列4个结论：①abc>0;②b2>4ac;③2a-b=0;④a-b+c<0. 其中正确的结论是______.  ②④ 33 【解题启发】开口向下，则a______0;对称轴为直线x=1，则______=1; 与y轴交点在y轴正半轴，则c______0;与x轴的交点有两个， 则b2-4ac______0.  34 【解题模板】 灵活探究二次函数图象与系数关系的技巧 ①由开口方向、对称轴位置、与y轴交点判断a，b，c的符号; ②由抛物线与x轴的交点个数判断b2-4ac与0的关系; ③由对称轴的位置判断2a±b的符号; ④判断a±b+c，4a±2b+c的符号，令x=±1，x=±2，观察纵坐标; ⑤判断a，c或b，c关系，利用对称轴与x等于某个值时y的式子联立求解; 35 ⑥判断 (a+c)2与b2 的大小：先因式分解，再利用x等于某两个值的式子联立求解; ⑦判断a+b与m(am+b)的大小，由二次函数的增减性判断有关m(am+b)的不等式; ⑧判断二次函数与一元二次方程结合的根的情况，转化为抛物线与平行于x轴的直线的交点问题来求解. 36 【变式1】 判断与a，b，c有关的式子的符号 判断下列结论的正误，在括号内正确的打“√”，错误的打“✕”. ⑤3a+c>0(　　) ⑥(a+c)2<b2(　　) ⑦4a-2b+c<0(　　) ⑧4a+2b+c>0(　　) × √ √ √ 37 【变式2】 与增减性结合判断正误 判断下列结论的正误，在括号内正确的打“√”，错误的打“✕”. ⑨若m为任意实数，则有a+b≥m(am+b)(　　) ⑩若y≥0，则0≤x≤2(　　) √ × 38 【变式3】 与一元二次方程结合考查根的情况 判断下列结论的正误，在括号内正确的打“√”，错误的打“✕”. ⑪关于x的方程ax2+bx+c=0的两根为x1=-1，x2=3(　　) ⑫关于x的方程ax2+bx+c+1=0有两个不相等的实数根(　　) ⑬关于x的方程ax2+bx+c=0有一个根大于-1小于0，一个根大于2 小于3(　　) × √ √ 39 命题点5 二次函数图象的几何变换与交点问题 6年5考 【核心母题2】 已知直线y=x+4与抛物线y=-(x-1)2+4， (1)直线与抛物线有交点吗？ (2)将抛物线向上平移8个单位长度，向左平移2个单位长度，得到的新的抛物线y'，求y'的表达式. (3)抛物线y=-(x-1)2+4+b与直线y=x+4有2个交点，求b的取值范围. 【解题启发】 怎样判断直线与抛物线的交点的个数？抛物线的平移有什么规律？ 40 【规范解答】 解：(1)∵直线y=x+4与抛物线y=-(x-1)2+4， ∴联立得-(x-1)2+4=x+4，整理得x2-x+1=0. ∵Δ=b2-4ac=1-4×1=-3<0，∴直线y=x+4与抛物线 y=-(x-1)2+4没有交点. (2)∵抛物线y=-(x-1)2+4，向上平移8个单位长度，向左平移2个单位长度得到的新的抛物线y'， ∴y'=-(x-1+2)2+4+8=-(x+1)2+12. 41 (3)∵抛物线y=-(x-1)2+4+b与直线y=x+4有2个交点， ∴一元二次方程-(x-1)2+4+b=x+4有两个不相等的实数根， 整理得x2-x+1-b=0，∴Δ=1-4×(1-b)>0， 解得b>. 42 【解题通法】 (1)求交点个数时，联立两个函数组成一元二次方程，利用判别式判断交点个数; (2)牢记“左加右减，上加下减”，求平移后的抛物线表达式. 43 【变式1】 求交点坐标 直线y=kx+2与抛物线y=-(x-1)2+4交于两点M(x1，y2)，N(x2，y2)(x1<x2)，当|x1-x2|最小时，求抛物线与直线的交点M和N的坐标. 44 解：由整理可得x2+(k-2)x-1=0， ∴x1+x2=-(k-2)，x1x2=-1， ∴(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2=(k-2)2+4， ∴当k=2时，(x1-x2)2的最小值为4，即|x1-x2|的最小值为2， ∴x2-1=0，由x1<x2可得x1=-1，x2=1，即y1=0，y2=4， ∴当|x1-x2|最小时，抛物线与直线的交点为M(-1，0)，N(1，4). 45 【解题通法】 　　设而不求用表达：联立函数组成一元二次方程;用韦达定理表示出(x1-x2)2的值;用二次函数的最值性质求出最小值，进而求出k值及交点坐标. 　　找临界点：通过直线的移动，找到与抛物线出现交点个数的临界点; 确定出现交点个数时，m的取值范围就在临界点内. 46 【变式2】 结合增减性求平移距离的范围 将抛物线y=-(x+1)2+4向右平移k(k>0)个单位长度，得到二次函数y1=mx2+nx+q的图象，使得当-1<x<3时，y1随x的增大而增大; 当4<x<5时，y1随x的增大而减小，则实数k的取值范围是(　　) A.1≤k≤3 B.2≤k≤3 C.3≤k≤4 D.4≤k≤5 D 47 【变式3】 与翻折结合，由交点个数确定参数的取值范围 (2024·济南模拟)将抛物线y=(x+1)2位于直线y=9以上的部分向下翻折， 得到如图图象.若直线y=x+m与此图象有四个交点，则m的取值范围 是(　　) A.<m<7 B.<m<5 C.<m<9 D.<m<7 D 48 建议用时：10分钟 1.(2024·广东)若点(0，y1)，(1，y2)，(2，y3)都在二次函数y=x2的图象 上，则(　　)　　　　　　　　 A.y3>y2>y1 B.y2>y1>y3 C.y1>y3>y2 D.y3>y1>y2 A 1 3 5 题序 2 4 49 2.(2024·包头)将抛物线y=x2+2x向下平移2个单位长度后，所得新抛 物线的顶点式为(　　) A.y=(x+1)2-3 B.y=(x+1)2-2 C.y=(x-1)2-3 D.y=(x-1)2-2 A 1 3 5 题序 2 4 50 3.(2024·贵州)如图，二次函数y=ax2+bx+c的部分图象与x轴的一个交点 的横坐标是-3，顶点坐标为(-1，4)，则下列说法正确的是(　　) A.二次函数图象的对称轴是直线x=1 B.二次函数图象与x轴的另一个交点的横坐标是2 C.当x<-1时，y随x的增大而减小 D.二次函数的图象与y轴的交点的纵坐标是3 D 1 3 5 题序 2 4 51 4.(2024·遂宁)如图，已知抛物线y=ax2+bx+c(a，b，c为常数，且a≠0)的对 称轴为直线x=-1，且该抛物线与x轴交于点A(1，0)，与y轴的交点B在 (0，-2)，(0，-3)之间(不含端点)，则下列结论正确的个数为(　　) ①abc>0;②9a-3b+c>0;③<a<1; ④若方程 ax2+bx+c=x+1 两根为m，n(m<n)，则-3<m<1<n. A.1 B.2 C.3 D.4 B 1 3 5 题序 2 4 52 5.(2024·济南天桥一模)规定：如果两个函数的图象关于y轴对称，那么称 这两个函数互为“Y函数”.例如：函数y=x+3与y=-x+3互为“Y函数”.若函数 y=x2+(k-1)x+k-3的图象与x轴只有一个交点，则它的“Y函数”的图象与 x轴的交点坐标为_________________.  (3，0)或(4，0)　 1 3 5 题序 2 4 53 $$