14 综合考点一反比例函数的综合应用（课件PPT）-【智乐星中考·学考传奇】2025年山东省济南市中考数学讲练本

1 第一、二章 2 目 录 难点分层探究 好题随堂演练 3 命题点　反比例函数的综合应用　 【核心母题】 如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，△ABO的边AB垂直x轴于点B，反比例函数y=(x>0) 的图象经过AO的中点C，与边AB相交于点D.若点D的坐标为(4，m)，AD=3. (1)求反比例函数y=的表达式; (2)经过C，D两点的直线表达式是______;  (3)连接OD，CD，求△OCD的面积. 4 【解题启发】 (1)你能用含m的式子表示点C和点D的坐标吗？ (2)你能用什么方法求一次函数表达式？ (3)△OCD的底怎么确定？你能用什么方法求出△OCD的面积. 5 【规范解答】 解：(1)∵AD=3，D(4，m)，∴A(4，m+3). ∵点C是OA的中点，∴C(2，). ∵点C，D在反比例函数y=(x>0)的图象上， ∴将C，D两点的坐标代入得 解得 ∴反比例函数的表达式为y=. 6 (2)y=-x+3 (3)如图，过点C作CE⊥OB于点E. ∵C(2，2)，D(4，1)， ∴S△OCD=S梯形CEBD=(2+1)×2÷2=3. 7 【变式1】 和差法或等积转化法求面积 在核心母题的条件下，E是反比例函数y=(x>0)图象上的一点，且横坐标为1，连接OE，CE，请求出直线CE的表达式及△OCE的面积. 8 解：∵点E的横坐标为1，代入y=得y=4，∴E(1，4). 设直线CE的表达式为y=k1x+b1. 将点C，E的坐标分别代入y=k1x+b1得 解得 ∴直线CE的表达式为y=-2x+6. 如图，延长EC交x轴于点M. ∵直线CE的表达式为y=-2x+6， ∴当y=0时，x=3，∴M(3，0)， ∴S△OCE=S△OEM-S△OCM=×3×4-×3×2=3. 9 【变式2】 直接利用公式求面积 (2024·泰安)直线y1=kx+b(k≠0)与反比例函数y2=- 的 图象相交于点A(-2，m)，B(n，-1)，与y轴交于点C. (1)求直线y1的表达式; (2)若y1>y2，请直接写出满足条件的x的取值范围; (3)过点C作x轴的平行线交反比例函数的图象于点D，求△ACD的面积. 10 解：(1)分别将点A(-2，m)，B(n，-1)代入 y2=-中，即-2m=-8，-n=-8， 解得m=4，n=8， ∴点A的坐标为(-2，4)，点B的坐标为(8，-1). 将点A(-2，4)，B(8，-1)分别代入 y1=kx+b得解得 ∴直线y1的表达式为 y1=-x+3. 11 (2)x<-2或0<x<8. (3)把x=0代入y1=-x+3得y1=3，∴C(0，3)， 把y=3代入y2=-中得 x=-， ∴点D的坐标为 (-，3)，∴CD=， ∴S△ACD=××(4-3)=. 12 【变式3】 利用平行线进行等积转化 (2024·凉山)如图，正比例函数y1=x与反比例函数y2=(x>0)的图象交于点A(m，2). (1)求反比例函数的表达式; (2)把直线y1=x向上平移3个单位长度与y2=(x>0) 的图象交于点B，连接AB，OB，求△AOB的面积. 13 解：(1)∵点A(m，2)在正比例函数图象上， ∴2=m，解得m=4，∴A(4，2). ∵A(4，2)在反比例函数图象上，∴k=4×2=8， ∴反比例函数的表达式为y2=. 14 (2)把直线y1=x向上平移3个单位长度得到表达式为y=x+3，如图，设直线与y轴交点为D，连接AD. 令x=0，则y=3，∴D(0，3). 联立方程组解得或(舍去)， ∴B(2，4). ∵AO∥BD， ∴S△AOB=S△ADO=×3×4=6. 15 【变式4】 利用铅垂法求面积 (2024·自贡)如图，在平面直角坐标系中，一次函数 y=kx+b的图象与反比例函数y=的图象交于A(-6，1)， B(1，n)两点. (1)求反比例函数和一次函数的表达式; (2)点P是直线x=-2上的一个动点，△PAB的面积为21，求点P的坐标; (3)点Q在反比例函数y=位于第四象限的图象上，△QAB的面积为21，请直接写出点Q的坐标. 16 解：(1)把点A(-6，1)代入y=得1=， ∴m=-6， ∴反比例函数的表达式为y=-. 把点B(1，n)代入y=-得n=-6， ∴B(1，-6). 把A(-6，1)，B(1，-6)两点分别代入y=kx+b得 解得 ∴一次函数的表达式为y=-x-5. 17 (2)设直线x=-2交直线AB于点H，如图. 在y=-x-5中，令x=-2得y=-3， ∴H(-2，-3). ∵△PAB的面积为21， ∴PH·|xB-xA|=21， 即PH×(1+6)=21， ∴PH=6，|yP-(-3)|=6， ∴yP=3或-9， ∴点P的坐标为(-2，3)或(-2，-9). 18 (3)点Q的坐标为(，-)或(3，-2). 如图，过点Q作QM∥x轴交直线AB于点M. 设Q(t，-)， 在y=-x-5中，令y=-得x=-5，∴M(-5，-)， ∴MQ=|-5-t|. ∵△QAB的面积为21， ∴MQ·|yA-yB|=21， 19 即×|-5-t|×7=21， ∴-5-t=6或-5-t=-6， 解得t=或-2或3. ∵点Q位于第四象限， ∴t=或3符合题意， ∴点Q的坐标为(，-)或(3，-2). 20 【变式5】 与角度结合 (改编题)如图，一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=(x<0)的图象相交于点A(-1，6)，与x轴交于点C，且∠ACO=45°. (1)求反比例函数与一次函数的关系式; (2)D是线段AC上一点，且∠AOD=45°， 求出点D的坐标. 21 解：(1)如图，过点A作AB⊥x轴于点B，由点A(-1，6)可知m=-6， AB=6，OB=1. ∵∠ACO=45°，AB=CB=6， ∴OC=5，∴C(5，0)， ∴∴ ∴反比例函数的关系式为y=-， 一次函数关系式为y=-x+5. 22 (2)如图，设直线AC与y轴交于点E. 由(1)知直线AC的表达式为y=-x+5， ∴E(0，5)，C(5，0)，∴OC=OE=5. 如图，过点D作DF⊥x轴于点F，∴CF=DF. 设OF=x，则CF=5-x， ∴OD2=OF2+DF2=x2+(5-x)2，CD=CF=(5-x). ∵CE=OC=5， ∴DE=CE-CD=5-(5-x)=x. 23 ∵AC=AB=6， ∴AD=6-(5-x)=+x. ∵∠AOD=∠OED=45°，∠ADO=∠ODE， ∴△ADO∽△ODE， ∴=， ∴OD2=AD·DE， ∴x2+(5-x)2=(+x)×x， 解得x=， ∴OF=，DF=5-=，∴D(). 24 【变式6】 与线段最值结合 (改编题)如图，在平面直角坐标系中，一次函数y1=ax+b的图象与反比例函数y2=的图象交于点A(1，2)，B(-2，m). (1)求一次函数和反比例函数的表达式; (2)在平面内存在一点P，且∠APB=90°， 请求写出OP的最小值和最大值. 25 解：(1)∵点A(1，2)在反比例函数y2=的图象上， ∴k=1×2=2，∴反比例函数的表达式为y2=. ∵B(-2，m)在反比例函数y2=的图象上， ∴m==-1，∴B(-2，-1). 把点A(1，2)，B(-2，-1)分别代入y1=ax+b得解得∴一次函数的表达式为y1=x+1. 26 (2)∵∠APB=90°， ∴点P在以AB为直径的圆上运动，如图. 设AB的中点为Q， 当P，O，Q三点共线且O，P在AB的同侧时OP有最小值. ∵A(1，2)，B(-2，-1)， ∴AB==3， ∴PQ=AB=， 27 ∵AB的中点为Q，∴Q(-)，∴OQ=， ∴OP=PQ-OQ=，故OP的最小值为. 当P，O，Q三点共线且O，P在AB的异侧时OP有最大值， ∴OP=PQ+OQ=2，故OP的最大值为2. 28 【变式7】 与平移结合 (改编题)如图，在菱形ABCD中，AD∥x轴，点A的坐标为(0，4)，点B的坐标为(3，0)，CD边所在直线y1=mx+n与x轴交于点C，与双曲线y2=(x<0)交于点D. (1)求直线CD的函数表达式及k的值; (2)把菱形ABCD沿y轴的正方向平移多少个单位 长度后，点C落在双曲线y2=(x<0)上？ 29 解：(1)∵点A的坐标为(0，4)，点B的坐标为(3，0)， ∴AB==5. ∵四边形ABCD是菱形，∴AD=BC=AB=5， ∴D(-5，4)，C(-2，0). 把C，D两点坐标分别代入直线表达式可得 解得 ∴直线CD的函数表达式为y1=-x-. ∵点D在反比例函数的图象上，∴4=，∴k=-20. 30 (2)∵C(-2，0)， 把x=-2代入y2=-(x<0)得y=-=10， ∴把菱形ABCD沿y轴的正方向平移10个单位长度后，点C落在双曲线y2=-(x<0)上. 31 【变式8】 结合特殊图形的存在性 在平面直角坐标系中，有如图所示的Rt△ABO，AB⊥x轴于点B，斜边AO=10，sin∠AOB=，反比例函数y=(k>0)的图象经过AO的中点C且与AB交于点D. (1)求k的值. (2)在x轴上是否存在点P，使得△OCP为等腰三角形？ 若存在，求出点P的坐标. 32 解：(1)如图，过点C作CE⊥OB于点E. ∵AB⊥OB，CE⊥OB，∴CE∥AB. 又∵点C为OA的中点， ∴点E为OB的中点，即CE为△AOB的中位线， ∴CE=AB，OE=OB. 在Rt△AOB中，AO=10，sin∠AOB=， ∴sin∠AOB=，即AB=10×=6， 33 根据勾股定理得OB==8， ∴OE=4，CE=3，∴点C的坐标为(4，3). 将点C(4，3)代入y=中得k=12， ∴k的值为12. 34 (2)存在.如图. ①当OC=PC时， ∵OA=10，CO=5，CE⊥OB， AB⊥OB， ∴CE是△OAB的中位线， ∴CE是OB的垂直平分线， ∴点P与点B重合， ∴P1(8，0)； 35 ②当OC=OP时， ∵OC=5，∴P2(-5，0)，P3(5，0)； ③当OP=PC时，设OC的中点为M. ∵C(4，3)， ∴直线OC的表达式为y=x，M(2，)， OM=，OC=5，易证△OMP4∽△OEC， ∴=，即=，解得OP4=，∴P4(，0). 综上所述，点P的坐标为(8，0)或(-5，0)或(5，0)或(，0). 36 建议用时：10分钟 1.(2024·烟台)如图，正比例函数y=x与反比例函数y=的图象交于点 A(，a)，将正比例函数图象向下平移n(n>0)个单位长度后，与反比例函数图象在第一、三象限交于点B，C，与x轴、y轴交于点D，E，且满足BE∶CE=3∶2.过点B作BF⊥x轴，垂足为F.G为x轴上一点，直线BC与BG关于直线BF成轴对称，连接CG. (1)求反比例函数的表达式; (2)求n的值及△BCG的面积. 1 题序 2 37 解：(1)∵正比例函数y=x与反比例函数y=的图象交于点A(，a)，∴a=，∴A()，∴k=×=6， ∴反比例函数的表达式为y=. (2)∵A()，∴tan∠AOD==1， ∴∠AOD=45°. ∵将正比例函数图象向下平移n(n>0)个单位长度， ∴平移后的表达式为y=x-n. 1 题序 2 38 如图，过点B，C作x轴的平行线交y轴于点M，N， 则△BME，△CNE都是等腰直角三角形， ∴∠BEM=∠CEN=45°，∴BM∥CN， ∴△BME∽△CNE，∴==. 1 题序 2 39 设B(3m，)，则BM=3m，CN=2m，∴C(-2m，-). ∵点B(3m，)，C(-2m，-)在一次函数y=x-n上， ∴ 解得(负值已舍去) ∴B(3，2)，C(-2，-3)， 1 题序 2 40 ∴直线BC的表达式为y=x-1，BC==5. 当y=0时，x=1，∴D(1，0)， ∴BF=DF=2，OE=OD=1，∴DE=. ∵直线BC与BG关于直线BF成轴对称，BF⊥x轴， ∴DF=FG=2，△BFD和△BFG是等腰直角三角形， ∴G(5，0)，∴BD=BG=2，∴∠DBG=90°， ∴S△BCG=BG·BC=×2×5=10. 1 题序 2 41 2.(2024·济南长清一模)如图，在平面直角坐标系中，一次函 数y=mx+n与反比例函数y=的图象在第一象限内交于A(a，4) 和B(4，2)两点，直线AB与x轴相交于点C，连接OA. (1)求一次函数与反比例函数的表达式. (2)当x>0时，请结合函数图象，直接写出关于x的不等式mx+n≥的解集. (3)过点B作BD平行于x轴，交OA于点D，在x轴上是否存在点P，使以点O，B，D，P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点P的坐标;若不存在，请说明理由. 1 题序 2 42 解：(1)∵反比例函数y=的图象过点B(4，2)， ∴k=4×2=8， ∴反比例函数的表达式为y=. 把点A(a，4)代入 y=得a==2，∴A(2，4). ∵一次函数y=mx+n的图象过点A，B， ∴解得 ∴一次函数的表达式为y=-x+6. 1 题序 2 43 (2)关于x的不等式mx+n≥的解集为2≤x≤4. (3)存在. ∵A(2，4)，∴直线OA的表达式为 y=2x. ∵过点B(4，2)作BD平行于x轴，交OA于点D， ∴D(1，2)，∴BD=4-1=3. 当四边形ODBP是平行四边形时，且点P在x正半轴上， ∴DB=OP=3，∴P(3，0)； 当四边形OBDP是平行四边形，且点P在x负半轴上， ∴DB=OP=3，∴P(-3，0). 综上所述，点P的坐标为(3，0)或(-3，0). 1 题序 2 44 $$