12 第三章 第四节 反比例函数的图象与性质（课件PPT）-【智乐星中考·学考传奇】2025年山东省济南市中考数学讲练本

1 第四节　反比例函数的图象与性质 2 目 录 知识全面梳理 核心考点突破 好题随堂演练 3 知识点1 反比例函数的概念及表达式 1.一般地，如果两个变量x，y之间的对应关系可以表示成y=(k为常数，k≠0)的形式，那么称y是x的反比例函数.其中反比例函数的自变量x的取值范围是不为0的全体实数. 2.反比例函数表达式的三种形式(k≠0) (1)y=.(2)y=kx-1.(3)xy=k. 4 知识点2 反比例函数的图象与性质 1.反比例函数y=(k为常数，k≠0)的图象是双曲线，它有两个分支且关于原点对称. 2.画反比例函数图象的一般步骤 (1)列表.(2)描点.(3)连线. 5 3.图象与性质 k的符号 k>0 k<0 图象的 位置 所在象限 第__________象限  第__________象限  性质 在同一象限内，y随x的 增大而________.  在不同象限内，第一象限 的y值大于第三象限的y值 在同一象限内，y随x的 增大而________.  在不同象限内，第二象限 的y值大于第四象限的y值 一、三 二、四 减小 增大 6 知识点3 反比例函数k的几何意义 从双曲线y=(k为常数，k≠0)上任意一点向两坐标轴作垂线段， 两垂线段与坐标轴围成的矩形面积为_______.  如图1和图2，S矩形OAPB=PA·PB=|y|·|x|=|xy|=|k|，同理可得S△OPA=S△OPB=|xy|=|k|. |k| 7 【方法指导】 利用反比例系数k求面积的注意点 (1)因为反比例函数y=中的k有正负之分，所以在利用表达式求矩形、三角形的面积时，都应加上绝对值符号; (2)若三角形的面积为|k|，则满足条件的三角形的三个顶点分别为原点、反比例函数图象上一点及过此点向坐标轴所作垂线的垂足. 8 知识点4 确定反比例函数的表达式 1.方法：待定系数法.(常常还会利用k的几何意义求表达式，具体见上述知识点) 2.步骤 (1)设所求反比例函数表达式为y=(k为常数，k≠0); (2)找出满足反比例函数表达式的点P(a，b); (3)将P(a，b)代入表达式得k=ab; (4)确定反比例函数表达式y=. 9 命题点1 确定反比例函数的表达式 6年5考　 例1 (2024·山东)列表法、表达式法、图象法是三种表示函数的方法，它们从不同角度反映了自变量与函数值之间的对应关系.下表是函数y=2x+b与y=部分自变量与函数值的对应关系： x - a 1 2x+b a 1       7 10 (1)求a，b的值，并补全表格; (2)结合表格，当y=2x+b的图象在y=的图象上方时，直接写出x的取值范围. 【解题启发】 怎样求函数表达式？ 11 【规范解答】 解：(1)当x=-时，2x+b=a，即-7+b=a， 当x=a时，2x+b=1，即2a+b=1， ∴解得 ∴一次函数为y=2x+5. 当x=1时，y=7，k=1×7=7， ∴反比例函数的表达式为y=. 当x=-时，y=7÷(-)=-2； 当x=-2时，y=-. 12 补全的表格如下. x - -2 1 2x+b -2 1 7 -2 - 7 (2)-<x<0或x>1. 13 练1 (2023·青岛)反比例函数y= 的图象经过点A(m，)，则反比例函数的 表达式为______.  练2 (2024·济南钢城模拟)如图，已知在平面直角坐标系xOy中，点A在 x轴的负半轴上，点B在y轴的负半轴上，tan∠ABO=3，以AB为边向上作 正方形ABCD.若图象经过点C的反比例函数的表达式是y=，则图象经过 点D的反比例函数的表达式是______.  y= y=-　 14 练3 (2024·潍坊)如图，正比例函数y=-x的图象与反比例函数y=的图象的一个交点是A(m，).点P(2，n)在直线y=-x上，过点P作y轴的平行线，交反比例函数y=的图象于点Q. (1)求这个反比例函数的表达式; (2)求△OPQ的面积. 15 解：(1)将点A(m，)代入y=-x得=-m， ∴m=-3，∴A(-3，). 将点A(-3，)代入y=得=，∴k=-3， ∴反比例函数的表达式为y=-. 16 (2)将点P(2，n)代入y=-x得n=-2， ∴P(2，-2). ∵PQ∥y轴，∴点Q的横坐标为2. 把x=2代入y=-得y=-， ∴Q(2，-)，∴PQ=--(-2)=， ∴S△OPQ=××2=. 17 命题点2 反比例函数的图象与性质 6年3考 例2 【一题串考点·原创题】 已知反比例函数y=(k≠-1). (1)若该反比例函数的图象在每一个象限内，y随x的增大而增大， 则k的取值范围为______;  (2)当k=2时，此反比例函数图象在第_______象限，关于直线 _____________对称;  k<-1　 一、三 y=-x或y=x　 18 (3)若点A(3，2)，B(a，6)在反比例函数y=(k≠-1)的图象上， 则k=______，a=______;  (4)若k>0，点 A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)在反比例函数的图象 上，且x1<0<x2<x3，则y1，y2，y3的大小关系是___________;  (5)若点P(x，y)在反比例函数y=的图象上，则点 Q(-x，-y)______ (填“在”或“不在”)反比例函数y=的图象上.  5 1 y1<y3<y2 在 19 【解题启发】 反比例函数的图象是______，关于______成中心对称，如何判断反比例函数增减性？  20 【易错警示】 判断反比例函数增减性的注意点 　　正确理解反比例函数的增减性，注意自变量的取值范围，不能笼统地说y随x的增大而增大(或减小)，应指明在某一象限内函数的增减变化情况. 21 练4 (2023·济南)已知点A(-4，y1)，B(-2，y2)，C(3，y3)都在反比例函数y=(k<0)的图象上，则y1，y2，y3的大小关系为(　　)　　 A.y3<y2<y1 B.y1<y3<y2 C.y3<y1<y2 D.y2<y3<y1 C 22 练5 (2023·武汉)关于反比例函数y=，下列结论正确的是(　　) A.图象位于第二、四象限 B.图象与坐标轴有公共点 C.图象所在的每一个象限内，y随x的增大而减小 D.图象经过点(a，a+2)，则a=1 C 23 练6 (北师大版九上P161T6改编)函数y=-ax+a与y=-(a≠0)在同一直角 坐标系中的图象可能是(　　) D 24 命题点3 反比例函数k的几何意义 6年0考 例3 (2023·济南天桥一模)如图，直线AB交x轴于点C，交反比例函数 y=(k>0)的图象于A，B两点，过点B作BD⊥y轴，垂足为D，连接CD. 若S△BCD=，则k的值为______.  【解题启发】 △BCD的面积与k有什么关系？ 5 25 练7 (2024·济南模拟)如图，Rt△AOC的直角边OC在x轴上，∠ACO= 90°，反比例函数y= 经过AC的中点D，则△AOC的面积为(　　) A.2 B.3 C.4 D.6 B 26 练8 (2024·济南高新二模)如图，在平面直角坐标系中，点P在反比例函 数y=(x>0)的图象上，点A，B在x轴上，且PA⊥PB，PA交y轴于点C，AO=BO=BP.若△ABP的面积是4，则k的值是(　　) A.1 B.2 C. D. B 27 练9 如图，一次函数y=x+k(k>0)的图象与 x轴和y轴分别交于点A和点B，与反比例函数 y=的图象在第一象限内交于点C，CD⊥x轴，CE⊥y轴，垂足分别为D，E.当矩形ODCE与△OAB的面积相等时，k的值为_____.  2 28 建议用时：10分钟 1.(2024·浙江)反比例函数y=的图象上有P(t，y1)，Q(t+4，y2)两点. 下列正确的选项是(　　)　　　 A.当t<-4时，y2<y1<0 B.当-4<t<0时，y2<y1<0 C.当-4<t<0时，0<y1<y2 D.当t>0时，0<y1<y2 A 1 3 5 题序 2 4 29 2.(2024·济南市中二模)在同一平面直角坐标系中，函数y=kx+1(k≠0) 和y=(k≠0)的图象可能是(　　) D 1 3 5 题序 2 4 30 3.(2024·济南天桥二模)如图，在平面直角坐标系中，四边形ABOC是平行 四边形，点A的坐标是(-2，a)，点B的坐标是(-3，0)，顶点A，C分别在 反比例函数y=-(x<0)和y=(x>0)的图象上，则k的值为(　　) A.6 B.4 C.2 D.-4 C 1 3 5 题序 2 4 31 4.(改编题)在同一平面直角坐标系中，若正比例函数 y=k1x 与反比例 函数y=的图象没有交点，则k1k2的取值范围是(　　) A.k1k2<-1 B.k1k2>-1 C.k1k2<0 D.-1<k1k2<0 C 1 3 5 题序 2 4 32 5.(2023·淄博)如图，直线y=kx+b与双曲线y=相交于点A(2，3)，B(n，1). (1)求双曲线及直线对应的函数表达式; (2)将直线AB向下平移至CD处，其中点C(-2，0)， 点D在y轴上.连接AD，BD，求△ABD的面积; (3)请直接写出关于x的不等式kx+b>的解集. 1 3 5 题序 2 4 33 解：(1)将点A(2，3)代入双曲线y=，∴m=6， ∴双曲线对应的函数表达式为y=. 将点B(n，1)代入y=得n=6，∴B(6，1). 将A(2，3)，B(6，1)两点分别代入y=kx+b得 解得 ∴直线对应的函数表达式为y=-x+4. 1 3 5 题序 2 4 34 (2)∵直线AB向下平移至CD， ∴AB∥CD. 设直线CD的表达式为y=-x+t， 将点C(-2，0)代入y=-x+t 得1+t=0，解得t=-1， ∴直线CD的表达式为y=-x-1， ∴D(0，-1). 1 3 5 题序 2 4 35 如图，过点A作AM∥y轴，交BD于点M. 由点B(6，1)，D(0，-1)可得直线BD的表达式为y=x-1， 当x=2时，y=-，∴AM=3-(-)=， ∴S△ABD=AM·xB=××6=10. (3)2<x<6或x<0. 1 3 5 题序 2 4 36 $$