09 第三章 第一节 平面直角坐标系与函数初步（课件PPT）-【智乐星中考·学考传奇】2025年山东省济南市中考数学讲练本

1 第一节　平面直角坐标系与函数初步 第一、二章 2 目 录 知识全面梳理 核心考点突破 难点分层探究 好题随堂演练 3 知识点1 平面直角坐标系 1.定义：在平面内，两条互相垂直且有公共原点的数轴，就组成了平面 直角坐标系.其中，水平的数轴叫作x轴或横轴，铅直的数轴叫作y轴或 纵轴. 2.有序实数对：平面直角坐标系中的点和有序实数对是________对应的. 经一点P分别向x轴、y轴作垂线，垂足在x轴、y轴上对应的数a，b分别 叫作点P的横坐标和纵坐标.有序实数对(a，b)叫作点P的坐标.  一一 4 3.各象限内点的坐标特征 (1)若点P(a，b)在第一象限，则a>0，b>0. (2)若点P(a，b)在第二象限，则a<0，b>0. (3)若点P(a，b)在第三象限，则a<0，b<0. (4)若点P(a，b)在第四象限，则a>0，b<0. 5 4.与坐标轴有关的点的坐标特征 (1)若点P(a，b)在x轴上，则b=0. (2)若点P(a，b)在y轴上，则a=0. (3)若点P(a，b)是原点，则a=0且b=0. (4)若多个点在平行于x轴的直线上，则__________相同，__________不同.  (5)若多个点在平行于y轴的直线上，则__________相同，__________不同.  (6)点P在第一、三象限的夹角平分线上，则横、纵坐标相等，即x=y. (7)点P在第二、四象限的夹角平分线上，则横、纵坐标互为相反数， 即x=-y. 纵坐标 横坐标 横坐标 纵坐标 6 5.对称点的坐标特征 (1)点P(a，b)关于x轴的对称点P1的坐标为__________.  (2)点P(a，b)关于y轴的对称点P2的坐标为__________.  (3)点P(a，b)关于原点的对称点P3的坐标为___________.  (4)点P(a，b)关于直线y=x的对称点P4的坐标为_________.  (5)点P(a，b)关于直线y=-x的对称点P5的坐标为__________.  (6)点P(a，b)关于直线x=m对称的点P6的坐标为__________.  (7)点P(a，b)关于直线y=m对称的点P7的坐标为__________.  (a，-b) (-a，b) (-a，-b) (b，a) (-b，-a) (2m-a，b) (a，2m-b) 7 6.坐标与距离 (1)点P(a，b)到x轴的距离为_______;到 y轴的距离为_______.  (2)点P(a，b)到原点的距离为___________.  (3)平行于x轴的直线上两点P(x1，y1)，Q(x2，y1)(x1<x2)之间的距离为 ________;平行于y轴的直线上两点P(x1，y1)，Q(x1，y2)(y1<y2)之间的 距离为________.  7.平面内两点P(x1，y1)，Q(x2，y2)，线段PQ中点G的坐标为()， P，Q两点间距离PQ=. |b| |a|   x2-x1 y2-y1 8 8.点的平移 (1)点P(a，b)水平向右平移m(m>0)个单位长度后的坐标为(a+m，b); 点P(a，b)水平向左平移m(m>0)个单位长度后的坐标为(a-m，b). (2)点P(a，b)竖直向上平移n(n>0)个单位长度后的坐标为(a，b+n); 点P(a，b)竖直向下平移n(n>0)个单位长度后的坐标为(a，b-n). 9 知识点2 函数及其相关概念 1.常量与变量：在变化过程中数值始终不变的量叫作常量，数值变化 的量叫作变量. 2.函数：一般地，如果在一个变化过程中有两个变量x和y，并且对于 变量x的每一个值，变量y都有唯一的值与它对应，那么我们称y是x的 函数，其中x是自变量. 10 3.自变量取值范围的确定 函数表达式的形式 自变量的取值范围 整式型 全体实数 分式型y= 使分母不为0的全体实数，即B≠0 二次根式型y= 使被开方数大于或等于0的实数，即A≥0 零次幂或负整数次幂型 底数不为0 11 分式与二次根式结合型 y= B≠0且A≥0 y= B>0 注：(1)在实际问题中，自变量的取值范围应使该问题有实际意义. (2)兼其中两种或两种以上情况时，分别求出各自的取值范围，再求公共部分 12 4.函数的三种常见表示方法：__________、________、__________， 这三种方法有时可以互相转化.  5.函数的图象 (1)把一个函数自变量的每一个值与对应的函数值分别作为点的横坐标 和纵坐标，在直角坐标系内描出相应的点，所有这些点组成的图形叫 作该函数的图象. (2)画函数图象的一般步骤：列表、描点、连线. 关系式法 列表法 图象法 13 6.分析函数图象的基本要点 (1)分清函数图象的横、纵坐标代表的量及函数中自变量的取值范围. (2)找转折点、交点(与坐标轴的交点或两条线的交点)等特殊点，并弄清楚该点的含义. (3)判断不同段函数图象的增减性，注意平行于横轴的线的纵坐标是一个常数. 14 命题点1 平面直角坐标系 6年1考　 考法❶　探索点的坐标特征 例1 【一题串考点·原创题】 已知P(m，2m-3)是平面直角坐标系内的 一点，试分别根据下列条件，直接求出点P的坐标.　　　 (1)若点P在y轴上，则点P的坐标为 ;  (2)若点P在x轴上，则点P的坐标为 ;  (3)若点P在第四象限内，则m的取值范围是 ;  (0，-3)　 (，0)　 0<m<　 15 (4)若点P的纵坐标与横坐标互为相反数，则点P的坐标为__________;  (5)若点P在一、三象限角平分线所在的直线上，则点P的坐标为_________;  (6)若m=2，则点P关于y轴的对称点为__________，关于x轴的对称点为 __________，关于原点的对称点为__________;  (7)若m=-2，将点P向上平移2个单位长度，再向右平移2个单位长度 得到对应点的坐标为__________.  【解题启发】 平面直角坐标系中点的坐标特征都有什么特点？ (1，-1) (3，3)　 (-2，1)　 (2，-1)　 (-2，-1)　 (0，-5) 16 【方法指导】 求对称点的技巧 (1)对于坐标轴，关于谁对称谁不变，另一个取相反数; (2)关于原点对称，互为相反数; (3)关于直线y=x对称，横、纵坐标互换; (4)关于直线y=-x对称，横、纵坐标互换且分别互为相反数. 17 练1 (2024·济南钢城一模)已知点P(m+2，2m-4)在x轴上，则点P的坐标 是(　　) A.(4，0) B.(0，4) C.(-4，0) D.(0，-4) 练2 在平面直角坐标系中，将点(-b，-a)称为点(a，b)的“关联点”.例如点 (-2，-1)是点(1，2)的“关联点”.如果一个点和它的“关联点”在同一象限 内，那么这一点所在的象限为(　　) A.第一、二象限 B.第二、三象限 C.第二、四象限 D.第一、三象限 A C 18 考法❷　计算点的距离 例2 【一题串考点·原创题】 已知，点P(2，3). (1)点P到x轴的距离是____;到y轴的距离是____;到原点的距离是____.  (2)若点P和点Q所在直线与x轴平行，且PQ=3，则点Q的坐标是________________.  (3)若点P和点M所在直线与y轴平行，且PM=5，则点M的坐标是 ________________.  (4)若点H(3，6)，则PH的长为______.若点Q为线段PH的中点，则点Q的 坐标为____________.  【解题启发】 直线与x轴或y轴平行，说明了什么？两点间的距离怎么求？ 3 2 (-1，3)或(5，3) (2，8)或(2，-2)　 () 19 练3 点P到x轴的距离是2，到y轴的距离是3，且在y轴的左侧，则点P 的坐标是______________________.  练4 在平面直角坐标系中，若点M(2，4)与点N(x，4)之间的距离是3， 则x的值是__________.  (-3，2)或(-3，-2)　 -1或5　 20 命题点2 函数自变量的取值范围 6年0考　 例3 (2023·广安)函数y=中，自变量x的取值范围是__________.  【解题启发】 分母中含自变量x，分子中含二次根式，需要注意什么？ x≥-2且x≠1　 21 【易错警示】 与二次根式有关的函数自变量 　　当二次根式在分子位置时，需要满足被开方数(式)是非负数;而二次根式在分母位置时，需要满足被开方数(式)是正数，这是最容易出错的地方. 22 练5 (2024·滨州)若函数y=的表达式在实数范围内有意义，则自变量 x的取值范围是__________.  练6 函数y=中，自变量x的取值范围是__________.  练7 (2024·齐齐哈尔)在函数y=+中，自变量x的取值范围是 ___________.  x≠1　 x≥2 x>-3且x≠-2　 23 命题点3 函数图象的分析与判断 6年1考　 例4 (2023·滨州)【跨学科·化学】 由化学知识可知，用pH表示溶液酸碱 性的强弱程度，当pH>7时溶液呈碱性，当pH<7时溶液呈酸性.若将给定 的NaOH溶液加水稀释，那么在下列图象中，能大致反映NaOH溶液的 pH与所加水的体积V之间对应关系的是(　　) B 【解题启发】 pH的值与加水的体积有什么关系？ 24 练8 (2024· 河南)【跨学科·物理】 把多个用电器连接在同一个插线板上， 同时使用一段时间后，插线板的电源线会明显发热，存在安全隐患.数学兴 趣小组对这种现象进行研究，得到时长一定时，插线板电源线中的电流I与 使用电器的总功率P的函数图象(如图1)，插线板电源线产生的热量Q与I的 函数图象(如图2).下列结论中错误的是(　　) A.当P=440 W时，I=2 A B.Q随I的增大而增大 C.I每增加1 A，Q的增加量相同 D.P越大，插线板电源线产生的热量Q越多 C 25 练9 (2024· 青海)【跨学科·化学】 化学实验小组 查阅资料了解到：某种絮凝剂溶于水后能够吸附 水中悬浮物并发生沉降，从而达到净水的目的. 实验得出加入絮凝剂的体积与净水率之间的关系 如图所示，下列说法正确的是(　　) A.加入絮凝剂的体积越大，净水率越高 B.未加入絮凝剂时，净水率为0 C.絮凝剂的体积每增加0.1 mL，净水率的增加量相等 D.加入絮凝剂的体积是0.2 mL时，净水率达到76.54% D 26 命题点4 平面直角坐标系中点的规律6年1考　 例5 (2024·山东)任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1;若是 偶数，就将该数除以2.反复进行上述两种运算，经过有限次运算后，必 进入循环圈1→4→2→1，这就是“冰雹猜想”.在平面直角坐标系xOy中， 将点(x，y)中的x，y分别按照“冰雹猜想”同步进行运算得到新的点的横、 纵坐标，其中x，y均为正整数.例如，点(6，3)经过第1次运算得到点(3， 10)，经过第2次运算得到点(10，5)，以此类推，则点(1，4)经过2 024次 运算后得到点___________.  (2，1)　 27 【解题启发】 经过第一次运算后点的坐标是__________;经过第二次运算后点的坐标是__________……多次运算后发现什么规律？  28 【解题通法】 　　探究点的坐标变化规律，关键是分析出“变”的规律：即点的横、纵坐标与序数之间存在的关系.解题步骤一般为①求第一个点的横、纵坐标;②求第二、三、四个点的横、纵坐标;③观察横、纵坐标的变化，找到规律;④得出规律，解决问题. 29 练10 (2022·济南)规定：在平面直角坐标系中，一个点作“0”变换表示将它向右平移 一个单位长度，一个点作“1”变换表示将它绕原点顺时针旋转90°，由数字0和1组 成的序列表示一个点按照上面描述依次连续变换.例如：如图，点O(0， 0)按序列 “011…”作变换，表示点O先向右平移一个单位长度得到O1(1，0)，再将O1(1，0)绕 原点顺时针旋转90°得到O2(0，-1)，再将O2(0，-1)绕原点顺时针旋转90°得到 O3(-1，0)，……依次类推.点(0，1)经过“011 011 011”变换后得到点的坐标为 ________.  (-1，-1)　 30 练11 (2024·东营)如图，在平面直角坐标系中，已知直线l的表达式为y=x，点A1的 坐标为(，0)，以点O为圆心，OA1为半径画弧，交直线l于点B1，过点B1作直线 l的垂线交x轴于点A2;以点O为圆心，OA2为半径画弧，交直线l于点B2，过点B2作 直线l的垂线交x轴于点A3;以点O为圆心，OA3为半径画弧，交直线l于点B3，过点 B3作直线l的垂线交x轴于点A4……按照这样的规律进行下去，点A2 024的横坐标是 __________.  21 012　 31 命题点5 动点问题的函数图象 6年1考　 考法❶　判断动点函数图象 【核心母题1】 (2022·潍坊)如图，在▱ABCD中，∠A=60°，AB=2， AD=1，点E，F在▱ABCD的边上，从点A同时出发，分别沿A→B→C和 A→D→C 的方向以每秒1个单位长度的速度运动，到达点C时停止，线段 EF扫过区域的面积记为y，运动时间记为x，能大致反映 y与x之间函数关 系的图象是(　　) 32 【解题启发】 线段EF扫过的区域，是怎么随着点E，F的运动变化的？ 33 【解题模板】 函数图象的分析与判断 找起点：结合题干中所给自变量及因变量的取值范围，在对应的图象中对应点; 分析动点：分析动点在不同线段上时，函数值随自变量的变化情况，并判断函数图象是向上、向下还是水平线(表示函数值不变); 找特殊点：即交点或拐点，既是前一段函数的终点，又是后一段函数的起点，说明图象中具体的对象在此处的某一数据相同或在此处将发生变化; 判断图象趋势：列出函数表达式，判断函数的增减性、图象等. 34 【变式1】 双动点，判断函数图象 (2024·安徽)如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=4，BC=2，BD是 边AC上的高.点E，F分别在边AB，BC上(不与端点重合)，且DE⊥DF. 设AE=x，四边形DEBF的面积为y，则y关于x的函数图象为(　　) A 35 【变式2】 动图，判断函数图象 (2024·烟台)如图，水平放置的矩形ABCD中，AB=6 cm，BC=8 cm，菱形EFGH的 顶点E，G在同一水平线上，点G与AB的中点重合，EF=2 cm，∠E=60°.现将 菱形EFGH以1 cm/s的速度沿BC方向匀速运动，当点E运动到CD上时停止，在这 个运动过程中，菱形EFGH与矩形ABCD重叠部分的面积S(cm2)与运动时间t(s)之 间的函数关系图象大致是(　　) D 36 考法❷　由动点函数图象解决问题 【核心母题2】 (2024·济南)如图1，△ABC是等边三角形，点D在边AB上，BD= 2，动点P以每秒1个单位长度的速度从点B出发，沿折线BC-CA匀速运动，到达 点A后停止，连接DP.设点P的运动时间为t(s)，DP2为y.当动点P沿BC匀速运动到 点C时，y与t的函数图象如图2所示.有以下四个结论：①AB=3;②当t=5时，y=1; ③当4≤t≤6时，1≤y≤3;④动点P沿BC-CA匀速运动时，两个时刻t1，t2(t1<t2)分别对 应y1和y2.若t1+t2=6，则y1>y2.其中正确结论的序号是(　　)　　　　　　　　　　　　　　　 A.①②③ B.①② C.③④ D.①②④ 【解题启发】 根据几何图形和函数图象你能获 得什么信息？ D 37 【解题模板】 (1)看图：注意函数图象横纵坐标分别表示的量与取值范围，以及图象的拐点、最值点等; (2)看形：观察题目所给几何图形的特点，运用几何性质分析动点整体运动情况; (3)结合：几何动点与函数图象相结合，求出图形中相关线段的长度或图形面积的值; (4)计算：结合已知，列出等式，计算未知量，常用勾股定理、面积相等和相似等方法进行计算求解. 38 【变式1】 动点在三角形上运动，分析图象 (2023·烟台)如图1，在△ABC中，动点P从点A出发沿折线AB→BC→CA 匀速运动至点A后停止.设点P的运动路程为x，线段AP的长度为y，图2是 y与x的函数关系的大致图象，其中点F为曲线DE的最低点，则△ABC的 高CG的长为__________.  39 【变式2】 动点在四边形上运动，分析图象 (2023·大庆)如图1，在平行四边形ABCD中，∠ABC=120°，已知点P在 边AB上，以1 m/s的速度从点A向点B运动，点Q在边BC上，以 m/s的 速度从点B向点C运动.若点P，Q同时出发，当点P到达点B时，点Q恰好 到达点C处，此时两点都停止运动.图2是△BPQ的面积y(m2)与点P的运动 时间t(s)之间的函数关系图象(点M为图象的最高点)，则平行四边形ABCD 的面积为(　　) A.12 m2 B.12 m2 C.24 m2 D.24 m2 C 40 建议用时：10分钟 1.(2024·广西)如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点P的坐标 为(2，1)，则点Q的坐标为(　　) A.(3，0) B.(0，2) C.(3，2) D.(1，2) C 1 3 5 7 题序 2 4 6 41 2.(2024·滨州)若点P(1-2a，a)在第二象限，那么a的取值范围是(　　) A.a> B.a< C.0<a< D.0≤a< A 1 3 5 7 题序 2 4 6 42 3.函数y=+中自变量x的取值范围是(　　) A.x≤2 B.x≤2且x≠1 C.x<2且x≠1 D.x≠1 B 1 3 5 7 题序 2 4 6 43 4.(2024·武汉)如图，一个圆柱体水槽底部叠放两个底面半径不等的实心 圆柱体，向水槽匀速注水.下列图象能大致反映水槽中水的深度h与注水 时间t的函数关系的是(　　) D 1 3 5 7 题序 2 4 6 44 5.(2023·武威)如图1，正方形ABCD的边长为4，点E为CD边的中点.动点P 从点A出发沿AB→BC匀速运动，运动到点C时停止.设点P的运动路程为 x，线段PE的长为y，y与x的函数图象如图2所示，则点M的坐标为(　　)　　　　　　　　　 A.(4，2)　 B.(4，4)　 C.(4，2)　 D.(4，5) C 1 3 5 7 题序 2 4 6 45 6.(2023·绥化)如图，在菱形ABCD中，∠A=60°，AB=4，动点M，N同时从点A 出发，点M以每秒2个单位长度沿折线A-B-C向终点C运动;点N以每秒1个单位长 度沿线段AD向终点D运动，当其中一点运动至终点时，另一点随之停止运动. 设运动时间为x秒，△AMN的面积为y个平方单位，则下列正确表示y与x函数关 系的图象是(　　) A 1 3 5 7 题序 2 4 6 46 7.(2024·聊城茌平一模)如图，在平面直角坐标系中，若干个横、纵坐标 都是整数的点，其顺序为(1，0)，(2，0)，(2，1)，(1，1)，(1，2)， (2，2)……根据这个规律，第2 024个点的坐标为__________.  (45，1)　 1 3 5 7 题序 2 4 6 47 $$