1.1 反比例函数的概念（教学课件）数学新教材苏科版九年级上册

该初中数学课件聚焦反比例函数概念，通过复习函数及一次函数旧知，结合矩形面积、汽车行驶等生活情境引入反比例关系，构建从旧知到新知的学习支架，帮助学生理解核心知识点。 其亮点在于以生活实例引导学生观察数量关系，培养数学眼光，通过对比正比例函数辨析概念发展数学思维，用函数表达式解决实际问题强化数学语言。课堂小结清晰，助力学生梳理知识，对学生理解应用有益，教师使用能提升教学效率。

1.1 反比例函数的概念 第一章 反比例函数 学 习 目 标 1 2 理解反比例关系的含义，能判断两个变量是否具有反比例关系． 掌握反比例函数的概念，能判断一个给定函数是不是反比例函数． 3 能根据实际问题列出形如 y＝ (k≠0) 的函数表达式． 知识回顾 什么叫函数？我们学过哪一类函数？是怎样描述的？ 　　在一个变化过程中有两个变量x和y，如果对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与它对应，那么称y是x的函数，x是自变量．对于自变量x的每一个取值，函数y的对应值称为函数值． 　　学习过一次函数，一般地，形如y＝kx＋b( k，b为常数，k≠0)的函数叫做一次函数，其中x是自变量，y是x的函数． 问题情境 用铁丝围一个面积为 24 cm2的矩形，矩形相邻的两边长分别为a cm和b cm，a与b之间有怎样的关系？ ab＝24 如图，当一边变大时，邻边＿＿＿；当一边变小时，邻边＿＿＿． 变小 变大 a b 这个矩形的相邻两边长的乘积是定值． 无论边长怎样改变，一定有ab＝24． 讨论交流 1．一辆汽车匀速行驶，行驶60 km所用的时间 t (h)与平均速度 v (km/h)的乘积是定值． 在生活中，两个变量的乘积为定值的情境普遍存在，你能举几个例子吗？ vt＝60 路程一定时，速度越快，时间越短；速度越慢，时间越长． 讨论交流 在生活中，两个变量的乘积为定值的情境普遍存在，你能举几个例子吗？ 2．用80元购买大豆，购买的质量 y (kg)与大豆的价格 x (元/kg)的乘积是定值． xy＝80 总价一定时，单价越高，购买的质量越少；单价越低，购买的质量越多． 新知归纳 一般地，如果两个变量 x 和 y 满足xy＝k (k为常数，k≠0)，那么就说这两个变量具有反比例关系． 尝试交流 判断下列问题中的两个变量是否具有反比例关系，并用一个变量表示另一个变量． (1) 计划修建一条长为 500 km的高速公路，完成该项目的天数 y (天)与平均工作效率 x (km/天)之间的关系； 解：(1) 是反比例关系，xy＝500． 尝试交流 判断下列问题中的两个变量是否具有反比例关系，并用一个变量表示另一个变量． (2) 向容积为 2500m3 的水池内注水，注满水池所需时间 t (h)与注水平均速度 v (m3/h)之间的关系； 解：(2) 是反比例关系，vt＝2500． 尝试交流 判断下列问题中的两个变量是否具有反比例关系，并用一个变量表示另一个变量． (3) 两个实数m与n的乘积为－200，m 与 n 之间的关系． 解：(3) 是反比例关系，mn＝－200． 讨论交流 讨论：上述表达两个变量的关系式具有怎样的共同特征？ 共同特征： xy＝500 vt＝2500 mn＝－200 ① 上述问题中两个变量之间都有反比例关系； ② 都可以写成y＝( k为非零常数)的形式，其中y随x的变化而变化，每一个 x(x≠0)的值都有唯一的y的值与它对应．因此，y可以看作是x的函数． 新知归纳 一般地，形如 y＝（k为常数，k≠0）的函数叫作反比例函数（inverse proportional function），其中 x 是自变量，y 是 x 的函数． 反比例函数的自变量 x 的取值范围是不等于0的一切实数． 常被称为反比例函数的“比例系数”！ 例题精讲 例1 下列等式中的y是x的反比例函数吗？如果是，把它写成 y＝ 的形式，并指出k的值． （1）xy＝4；（2）x＝－；（3）y＝2x－1；（4）y＝－ ． 解：(1) 是反比例函数，y＝ ，k＝4； (2) 是反比例函数，y＝－ ，k＝－5； (3) 是反比例函数，y＝ ，k＝2； (4) 不是反比例函数． 新知归纳 反比例函数表达式有三种等价形式： （1）一般式：y＝（k为常数，k≠0）. （2）乘积式：xy＝k（k为常数，k≠0）. （3）负整数指数幂的形式：y＝kx－1（k为常数，k≠0）. 讨论交流 讨论：反比例函数与正比例函数有哪些区别和联系？ 正比例函数 反比例函数 一般形式 x的指数 x的范围 y与x成 ( ) 比例 本质属性 y＝kx(k≠0) y＝ (k≠0) 1 x为一切实数 y是x的正比例函数 －1 x为不等于0的一切实数 y是x的反比例函数 两个变量的商是定值(＝k) 两个变量的积是定值(yx＝k) 例题精讲 例2 用函数表达式表示下列问题中两个变量之间的关系，并判断它们是否为反比例函数． （1）体积为 100 cm3的圆锥，高 h（cm）随底面面积 S（cm2）的变化而变化； 解：(1) 根据题意，得 Sh＝100， 即　　h＝． h 是 S 的反比例函数． 例题精讲 例2 用函数表达式表示下列问题中两个变量之间的关系，并判断它们是否为反比例函数． （2）体积为 100 cm3的圆锥，高 h（cm）随底面半径 r（cm）的变化而变化． 解：(2) 根据题意，得 πr2h＝100， 即　　h＝． h 不是 r 的反比例函数． 分母中自变量r的次数不是1！ 新知巩固 1．下列等式中的y是x的反比例函数吗？如果是，把它写成 y＝ 的形式，并指出 k 的值． （1）＝； （2）xy＝－． 解：(1) 不是反比例函数； (2) 是反比例函数，y＝－ ，k＝－． 新知巩固 2．用函数表达式表示下列问题中两个变量之间的关系，并判断它们是否为反比例函数． (1) 三角形的一边长为5 ，该三角形的面积y随这边上的高x的变化而变化； 解：(1) y＝，不是反比例函数； 新知巩固 2．用函数表达式表示下列问题中两个变量之间的关系，并判断它们是否为反比例函数． (2) 某村有耕地 200 hm2，该村人均耕地面积 y (hm2) 随人口数 x (人)的变化而变化； 解：(2) y＝，是反比例函数，k＝200； 新知巩固 2．用函数表达式表示下列问题中两个变量之间的关系，并判断它们是否为反比例函数． (3) 一个物体重120 N，该物体对地面的压强 p (Pa) 随它与地面的接触面积S(m2)变化而变化． 解：(3) p＝，是反比例函数，k＝120． 能力提升 1．将一定体积的面团做成粗细均匀的拉面，拉面的总长度y(cm)可以看作是拉面横截面面积x(cm²)的反比例函数，部分对应数值如下表所示． 总长度y/cm … 12 000 6 000 4 000 3 000 … 横截面面积x/cm2 … 0.01 0.02 0.03 0.04 … 根据上述数据，求 y (cm) 关于 x (cm2) 的函数表达式． 解：由表格可知，12000×0.01＝6000×0.02＝4000×0.03＝3000×0.04＝120 所以，y关于x的函数表达式为y＝ ． 能力提升 2．请大家举两个可以用反比例函数来描述的实际例子． 解：(1)当圆柱的体积是常数V时，其底面积S与高h之间的关系； (2)杨树乡共有耕地面积S(单位：hm2)，该乡人均耕地面积y(单位：hm2) 与全乡总人口x(人)的关系． 能力提升 3．已知函数y＝(m－2)． (1) 若y是x的正比例函数，求m的值；(2) 若y是x的反比例函数，求m的值． 解：(1) ∵函数y＝(m－2)是正比例函数， ∴ 解得m＝－2． (2) ∵ 函数y＝(m－2)是反比例函数， ∴ 解得m＝． 课堂小结 1.1 反比例函数的概念 反比例关系→xy＝k（k为常数，k≠0） 反比例函数定义→形如 y＝(k为常数，k≠0)的函数 关键特征：两个变量的积是定值 感谢聆听！ $