06 第二章 第二节 一元二次方程及其应用（课件PPT）-【智乐星中考·学考传奇】2025年山东省济南市中考数学讲练本

1 第二节　一元二次方程及其应用 2 目 录 知识全面梳理 核心考点突破 好题随堂演练 3 知识点1 一元二次方程的有关概念 1.一元二次方程：只含有______个未知数x的整式方程，并且都可以化成ax2+bx+c=0(a，b，c为常数，a≠0)的形式，这样的方程叫作一元二次方程.  2.一般形式：ax2+bx+c=0(a，b，c为常数，a≠0).其中ax2，bx，c分别称为二次项、一次项和常数项，a，b分别称为二次项系数和一次项系数. 3.一元二次方程的解(根)：使一元二次方程左、右两边相等的未知数的值叫作一元二次方程的解(根). 一 4 知识点2 一元二次方程的解法 直接开 平方法 形如(x+m)2=n(n≥0)的方程，两边同时开平方，转化为两个一元 一次方程求解 配方法 把一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)通过配方化成(x+m)2=n(n≥0) 的形式，再直接开平方 公式法 一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)满足b2-4ac≥0，利用求根公式 x= 求解  因式分 解法　 将一元二次方程的一边化为0，另一边分解成两个一次因式的乘积， 即可化为a(x+m)(x+n)=0(a≠0)的形式，再通过解一元一次方程求解 5 【方法指导】 　　配方法：借助公式a2±2ab+b2=(a±b)2将代数式整体或局部转化成平方的形式解决问题. 　　常用于比较大小、化简二次根式、探究二次函数的性质等.运用此方法的技巧在于“折”与“添”，关键是一次项系数一半的平方. 6 知识点3 一元二次方程根的判别式及根与系数的关系　　　　　 1.________叫作一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式，通常用希 腊字母“Δ”来表示，即Δ=b2-4ac.判别式的符号决定了方程根的情况，即  (1)Δ>0⇔方程有两个__________的实数根;  (2)Δ=0⇔方程有两个________的实数根;  (3)Δ<0⇔方程________实数根.  2.若一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个实数根x1，x2，那么x1+x2= ， x1x2= .  b2-4ac 不相等 相等 没有 - 7 【易错警示】 口诀记忆 遇两根，想“韦达”，韦达定理前提仨，一般形式是其一，a不为0是 其二，第三要想Δ. 8 3.根与系数关系常见的变形：+=(x1+x2)2-2x1x2;+=; (x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2;|x1-x2|=. 9 知识点4 一元二次方程的应用 1.列一元二次方程解应用题的一般步骤 (1)审：审清题意，找出题中的已知量、未知量; (2)设：设出关键未知数; (3)列：找出等量关系，列方程; (4)解：解方程; (5)验：检验结果是否正确或是否有实际意义; (6)答：回归题中，规范作答. 10 2.应用题中常见的等量关系 (1)增长率等量关系：增长率=增长量÷基础量×100%. 一般类型：设原来量为a，平均增长(下降)率为x，增长(降低)n次后数量为b，则增长率公式：a(1+x)n=b;降低率公式：a(1-x)n=b. 11 (2)利润等量关系：每件利润=每件售价-每件成本(进价)， 总利润=每件利润×销售总件数.(总利润=销售总额-成本总额) 利润率=×100%. 购买问题中的“每每模型”：总利润=单件利润×数量; 成本每件a元，售价为m元时的销量是n件，售价每降低d元，则可多卖出c件.设售价降低了x元，则每件的利润为(m-x-a)元，销量增加件，销量变为(n+)件，则降价后的利润为w=(m-x-a)(n+)元. 12 (3)传播问题： (4)利息等量关系：利息=本金×利率×期数， 本息和=本金+利息. (5)行程等量关系：路程=速度×时间. (6)数字问题：三位数 13 (7)循环问题：①单循环问题(比赛、握手)：设x个队进行m场比赛，每两个队进行1场比赛，则m=(x≥2). ②双循环问题(送礼物)：设全班x人，每人向其他人赠送一张照片，共赠送m张照片，则m=x(x-1)(x≥2). 14 (8)面积问题：如图1，设空白部分的宽为x，则S阴影=____________; 如图2，设阴影部分的宽为x，则S空白=__________;如图3，设阴影部分 的宽为x，则S空白=__________.  (a-2x)(b-2x) (a-x)(b-x) (a-x)(b-x) 15 命题点1 一元二次方程的解法 6年0考　 例1 已知关于x的一元二次方程(m-2)x2-4x+3=0，请回答下列问题：　　　 (1)m的取值范围是 ;  (2)若m的值为3，请用三种方法求出此方程的解. 【解题启发】 (1)m的值是什么时，此方程才是一元二次方程？ (2)解一元二次方程有哪三种方法？ 16 【规范解答】 解：(1)m≠2 (2)当m=3时，一元二次方程为x2-4x+3=0. 公式法：∵a=1，b=-4，c=3， ∴b2-4ac=(-4)2-4×1×3=4， ∴x===，∴x1=3，x2=1. 配方法：∵x2-4x+3=0，∴x2-4x=-3，∴x2-4x+4=-3+4， ∴(x-2)2=1，∴x-2=±1，∴x1=3，x2=1. 因式分解法：∵x2-4x+3=0，∴(x-3)(x-1)=0， ∴x1=3，x2=1. 17 【方法指导】 灵活选择适当的方法解方程 (1)用直接开平方法或因式分解法; (2)用公式法(通用解法); (3)有特殊要求的，按指定方法解方程. 18 练1 (2024·东营)用配方法解一元二次方程x2-2x-2 023=0时，将它转化为 (x+a)2=b的形式，则ab的值为(　　) A.-2 024 B.2 024 C.-1 D.1 练2 (2024·赤峰)等腰三角形的两边长分别是方程x2-10x+21=0的两个根， 则这个三角形的周长为(　　) A.17或13 B.13或21 C.17 D.13 D C 19 练3 解方程：2x2-7x+6=0. 解：x1=2，x2=1.5. 20 练4 (2024·滨州)解方程：x2-4x=0. 解：x1=0，x2=4. 21 命题点2 一元二次方程根的判别式 6年2考　 例2 (2024·济南)若关于x的方程x2-x-m=0有两个不相等的实数根， 则实数m的取值范围是(　　) A.m<- B.m>- C.m<-4 D.m>-4 【解题启发】 什么情况下，一元二次方程会有两个不相等的实数根？ B 22 【易错警示】 求字母取值范围时的注意事项 　　对于二次项系数含有字母的方程，根据根的情况求字母的取值范围时，若指明是一元二次方程，则牢记二次项系数不为0这一条件;若未指明方程类型，则需分二次项系数为0和不为0两种情况讨论. 23 练5 (2023·滨州)一元二次方程x2+3x-2=0根的情况为(　　) A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.没有实数根 D.不能判定 A 24 练6 (2023·济南)关于x的一元二次方程x2-4x+2a=0有实数根，则a的值 可以是 .(写出一个即可)  练7 (2024·山东)若关于x的方程4x2-2x+m=0有两个相等的实数根， 则m的值为 .  1(答案不唯一)　 25 命题点3 一元二次方程根与系数的关系 6年1考 例3 (2021·济南)关于x的一元二次方程x2+x-a=0的一个根是2，则另一个 根是 .  【解题启发】 知道其中一个根，有几种方法可以求另一个根？ -3 26 【易错警示】 运用根与系数关系的注意点 (1)当一元二次方程不是一般形式时，要先化成一般形式. (2)运用x1+x2=-时，不要漏“-”. (3)运用根与系数关系公式的前提：①二次项系数a≠0;②判别式b2-4ac≥0. 27 练8 (2024·济南莱芜模拟)若m，n是一元二次方程x2+2x-1=0的两个实数 根，则-mn的值为(　　) A.-3 B.- C. D.3 练9 (2024·济南历城模拟)已知一元二次方程x2-3x+m=0的一个根为x1=1， 则另一个根x2= .  练10 (2024·烟台)若一元二次方程2x2-4x-1=0的两根为m，n，则3m2-4m+n2 的值为 .  D 2 6 28 命题点4 一元二次方程的应用 6年1考　 例4 (2020·济南)如图，在一块长15 m、宽10 m的矩形空地上，修建 两条同样宽的相互垂直的道路，剩余部分栽种花草，要使绿化面积 为 126 m2，则修建的路宽应为 m.  【解题启发】 如何设未知数，列出什么样的方程求解？ 1 29 练11 (2024·济南莱芜模拟)随着“互联网+教育”的发展，某市逐步推出空中 课堂，为学生提供线上授课.据统计，第一批受益学生10万人次，第三批 受益学生14.4万人次.如果第二批、第三批受益学生人次的增长率相同， 则这个增长率为 .  20% 30 练12 (2023·东营)如图，老李想用长为70 m的栅栏，再借助房屋的外墙(外墙足够长)围成一个矩形羊圈ABCD，并在边BC上留一个2 m宽的门(建在EF处，另用其他材料). (1)当羊圈的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为640 m2的羊圈？ (2)羊圈的面积能达到650 m2吗？如果能，请你给出设计方案;如果不能，请说明理由. 31 解：(1)当羊圈的长为40 m，宽为16 m或长为32 m，宽为20 m时， 能围成一个面积为640 m2的羊圈. (2)不能. 理由如下：由题意得x(72-2x)=650， 化简得x2-36x+325=0. ∵Δ=(-36)2-4×325=-4<0， ∴一元二次方程没有实数根， ∴羊圈的面积不能达到650 m2. 32 建议用时：10分钟 1.(2024·北京)若关于x的一元二次方程x2-4x+c=0有两个相等的实数根， 则实数c的值为(　　) A.-16 B.-4 C.4 D.16 C 1 3 5 7 9 题序 2 4 6 8 33 2.(2024·济南历城二模)已知a是方程x2-2x-1=0的解，则代数式2a2-4a+ 2 022的值为(　　) A.2 023 B.2 024 C.2 025 D.2 026 B 1 3 5 7 9 题序 2 4 6 8 34 3.(2023·黑龙江龙东地区)如图，在长为 100 m，宽为 50 m 的矩形空地上 修筑四条宽度相等的小路.若余下的部分全部种上花卉，且花圃的面积是 3 600 m2，则小路的宽是(　　) A.5 m B.70 m C.5 m或70 m D.10 m A 1 3 5 7 9 题序 2 4 6 8 35 4.(2024·济南天桥模拟)已知x=1是关于x的一元二次方程(m-1)x2-3x+1=0 的一个根，则该方程的另一个根为 .  1 3 5 7 9 题序 2 4 6 8 36 5.(2024·重庆)随着经济复苏，某公司近两年的总收入逐年递增.该公司 2021年缴税40万元，2023年缴税48.4万元.该公司这两年缴税的年平均 增长率是 .  10% 1 3 5 7 9 题序 2 4 6 8 37 6.(改编题)解方程：(1)x2+4x-12=0; (2)x(2x+1)=4x+2; (3)(x+1)(x-1)=4; (4)(y+1)(y-1)=y. 解：(1)x1=2，x2=-6. (2)x1=2，x2=-. (3)x1=，x2=-. (4)y1=，y2=. 1 3 5 7 9 题序 2 4 6 8 38 7.(2024·青海)(1)解一元二次方程：x2-4x+3=0; (2)若直角三角形的两边长分别是(1)中方程的根，求第三边的长. 解：(1)x1=1，x2=3. (2)当3是直角三角形的斜边长时，第三边==2； 当1和3是直角三角形的直角边长时，第三边==， ∴第三边的长为2或. 1 3 5 7 9 题序 2 4 6 8 39 8.【新考向】 结合一元二次方程参数的取值范围考查分式化简 (2024·广州)关于x的方程x2-2x+4-m=0有两个不等的实数根. (1)求m的取值范围; (2)化简：÷·. 解：(1)根据题意得Δ=(-2)2-4(4-m)>0，解得m>3. (2)∵m>3，∴m-3>0， ∴原式=··=-2. 1 3 5 7 9 题序 2 4 6 8 40 9.某服装专卖店在销售中发现，一款服装每件进价为80元，销售价为120元时，每天可售出20件，为了迎接“五一”国际劳动节，商店决定采取适当的降价措施，以扩大销售量，增加利润. 经市场调查发现，若每件服装降价1元，则平均可多售出2件.设每件服装降价x元; (1)每天可销售 件，每件盈利 元.(用含x的代数式表示)  (2)求每件服装最多降价多少元时，平均每天可盈利1 200元. (3)若店长希望平均每天能盈利2 000元，这个愿望能实现吗？请说明理由. 1 3 5 7 9 题序 2 4 6 8 41 解：(1)(20+2x) (40-x) (2)当每件服装最多降价20元时，平均每天可盈利1 200元. (3)这个愿望不能实现.理由如下： 假设这个愿望能实现， 根据题意得(40-x)(20+2x)=2 000， 整理得x2-30x+600=0. ∵Δ=(-30)2-4×1×600=-1 500<0， ∴原方程没有实数根， ∴假设不成立，即这个愿望不能实现. 1 3 5 7 9 题序 2 4 6 8 42 $$