02 第一章 第二节 代数式及整式(含因式分解)（课件PPT）-【智乐星中考·学考传奇】2025年山东省济南市中考数学讲练本

1 第二节　代数式及整式(含因式分解) 2 目 录 知识全面梳理 核心考点突破 好题随堂演练 3 知识点1 代数式 1.代数式 用运算符号把数和字母连接而成的式子叫作代数式.特别地，单独一个数或一个字母也是代数式(不含有“=”“≠”“>”“<”“≥”“≤”等关系符号). 2.代数式的值 用具体数值代替代数式中的字母，按照代数式中的运算关系计算得出的结果. 4 【方法指导】 代数式求值的一般方法 (1)直接代入法：把字母所表示的数值直接代入，计算求值; (2)化简代入法：把代数式化为最简形式，再把字母所表示的数值代入化简后的式子，计算求值; (3)整体代入法：①观察已知条件和所求代数式;②通过因式分解、提公因式等，将所求代数式变形，使其与已知代数式成倍数关系;③把已知代数式看成一个整体代入求值. 5 知识点2 整式的相关概念 数字因数　 指数的和　 最高　 6 2.同类项：所含字母相同，并且相同字母的_______也相同的项叫作同类项.(特别地，所有常数项都是同类项)  3.合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项叫作合并同类项. 其法则是：合并同类项时，把同类项的系数相加，字母和字母的指数不变. 指数 7 知识点3 整式的运算 1.加减运算 (1)一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项. (2)去括号法则 ①括号前是“+”，把括号和它前面的“+”去掉后，原括号里各项的符号都不改变，如a+(b-c)=a+b-c，a+(b+c)=a+b+c; ②括号前是“-”，把括号和它前面的“-”去掉后，原括号里各项的符号都要改变，如a-(b-c)=a-b+c，a-(b+c)=a-b-c. 可简记成：“-”变，“+”不变. 8 2.幂的运算 (1)同底数幂相乘：am·an=______.  (2)同底数幂相除：am÷an=______.  (3)幂的乘方：(am)n=_____.  (4)积的乘方：(ab)n=______.  am+n am-n amn anbn 9 3.乘法运算 (1)单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘， 其余字母连同它的指数不变作为积的一个因式，如 3xy·4x2z=12x3yz. (2)单项式与多项式相乘，就是根据分配律用单项式去乘多项式的每一 项，再把所得的积相加，如a(b+c-d)=ab+ac-ad. (3)多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的 每一项，再把所得的积相加，如(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd. 10 4.除法运算 (1)单项式相除，把系数、同底数幂分别相除后，作为商的因式;只在 被除式里含有的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式，如3a2b÷ac2=(3÷)a2-1·bc-2=9abc-2. (2)多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项分别除以这个单项式，再把所得的商相加，如(4a3b+5ab2)÷3ab=4a3b÷3ab+5ab2÷3ab=a2+b. 11 知识点4 因式分解 1.因式分解：把一个多项式化成几个________的积的形式，这种变形 叫作因式分解，也可称为分解因式.  2.因式分解与整式乘法是互逆的，即多项式 整式的积. 3.因式分解的方法 (1)提公因式法：ma+mb+mc=m(a+b+c). 整式 12 【方法指导】 确定公因式的一般方法 (1)取系数，取多项式中各项系数的最大公因数; (2)取字母，取各项中的共同的字母; (3)取指数，取相同字母的指数中最小的数. 注：若第一项系数不是正整数，可把“-1”作为公因数提出，使第一项为正整数. 13 (2)公式法：①平方差公式：a2-b2=__________;  ②完全平方公式：a2±2ab+b2=_________.  (3)十字相乘法：x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b). (a+b)(a-b) (a±b)2 14 命题点1 代数式求值 6年1考　 例1 (2023·济宁)已知实数m满足m2-m-1=0，则2m3-3m2-m+9= .  【解题启发】 你能从“2m3-3m2-m+9”里找到“m2-m-1”吗？ 8 15 练1 已知x2-2x-8=0，则3x2-6x-18的值为(　　)　　　 A.54 B.6 C.-10 D.-18 练2 若3xnym与是同类项，则m+n= .  练3 (2024·苏州)若a=b+2，则(b-a)2= .  B 3 4 16 命题点2 整式的运算 6年3考　 例2 (2024·济南)下列运算正确的是(　　) A.3x+3y=6xy B.(xy2)3=xy6 C.3(x+8)=3x+8 D.x2·x3=x5 【解题启发】 幂的运算与积的乘方运算有什么区别？ D 17 练4 (2023·济南)下列运算正确的是(　　) A.a2·a4=a8 B.a4-a3=a C.(a2)3=a5 D.a4÷a2=a2 练5 (2024·济南一模)下列运算正确的是(　　) A.2a+b=2ab B.2a2b-a2b=a2b C.(a2)3=a8 D.2a8÷a4=2a2 D B 18 练6 (2024·山东)下列运算正确的是(　　) A.a4+a3=a7 B.(a-1)2=a2-1 C.(a3b)2=a3b2 D.a(2a+1)=2a2+a 练7 (2024·泰安)下列运算正确的是(　　) A.2x2y-3xy2=-x2y B.4x8y2÷2x2y2=2x4 C.(x-y)(-x-y)=x2-y2 D.(x2y3)2=x4y6 D D 19 命题点3 因式分解 6年5考　 例3 (2023·济南)因式分解：m2-16= .  【解题启发】 你能写出平方差公式吗？ (m+4)(m-4)　 20 【方法指导】 因式分解的一般步骤 一提：如果多项式各项都有公因式，应先提公因式，别忘记负号、系数等; 二套：观察多项式的特点，考虑使用平方差公式、完全平方公式、十字相乘法; 三分组：若多项式为四项及以上时，考虑分组分解法，常用的有二二分组和一三分组; 四检查：检查是否正确，检查是否分解彻底. 21 练8 (2024·山东)因式分解：x2y+2xy= .  练9 (2024·济南长清二模)分解因式：a2+10a+25= .  练10 因式分解：a2b-2ab+b= .  练11 (2024·济南三模)分解因式：4x2-9y2= .  xy(x+2)　 (a+5)2 b(a-1)2　 (2x+3y)(2x-3y) 22 命题点4 整式的化简求值6年0考　 例4 先化简，再求值：(a+3)2-(a+2)(a+3)，其中a=3. 【解题启发】(a+3)2= ，(a+2)·(a+3)= .  【规范解答】 解：原式=a2+6a+9-(a2+5a+6)=a+3. 当a=3时，原式=3+3=6. 23 练12 (2023·济南模拟)已知x2-x=2 022，则代数式(x+1)(x-1)+x(x-2)= .  4 043　 24 练13 (2024·济南莱芜模拟)先化简，再求值：(x-1)2+(x+2)(x-2)-(2x-3)(x-1)， 其中x=. 解：原式=x2-2x+1+x2-4-2x2+2x+3x-3=3x-6，当x=时，原式=3×-6=-5. 25 1.(2024·兰州)计算：2a(a-1)-2a2=(　　) A.a B.-a C.2a D.-2a D 1 3 5 7 9 题序 2 4 6 8 10 26 2.若-4xm+2y4与2x3yn-1为同类项，则m-n的值为(　　) A.-4 B.-3 C.-2 D.-1 A 1 3 5 7 9 题序 2 4 6 8 10 27 3.一件工作，甲独做a小时完成，乙独做b小时完成，则甲、乙两人 合作完成需要(　　) A.(+)小时 B.小时 C.小时 D.小时 D 1 3 5 7 9 题序 2 4 6 8 10 28 4.(2024·济南市中二模)下列计算正确的是(　　) A.a3·a2=a6 B.a3+a2=2a5 C.(3a3)2=9a6 D.a8÷a2=a4 C 1 3 5 7 9 题序 2 4 6 8 10 29 5.计算：(x+3)(x-2)= .  6.(2024·泰安)单项式-3ab2的次数是 .  7.(2024·济南长清一模)分解因式：a2-6a+9= .  8.(2012·济南章丘一模)分解因式：x2+6x-27= .  9.(2024·威海)因式分解：(x+2)(x+4)+1= .  x2+x-6　 3 (a-3)2 (x+9)(x-3)　 (x+3)2　 1 3 5 7 9 题序 2 4 6 8 10 30 10.(2024·济宁)先化简，再求值： x(y-4x)+(2x+y)(2x-y)，其中x=，y=2. 解：原式=xy-4x2+4x2-y2=xy-y2. ∵x=，y=2，∴原式=×2-22=1-4=-3. 1 3 5 7 9 题序 2 4 6 8 10 31 $$