8.6.1直线与直线垂直课件-2024-2025学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

第八章 立体几何初步 8.6 空间直线、平面的垂直 8.6.1 直线与直线垂直 空间中 两条直线的位置关系 平行直线 共面直线 异面直线 相交直线 不同在任何一个平面内，没有公共点． 在同一平面内，没有公共点． 在同一平面内，有且只有一个公共点． 复习回顾 问题1 如图, 在正方体ABCD-A'B'C'D'中，直线A'C'与直线AB，直线A'D'与直线AB都是异面直线，直线A'C'与A'D'相对于直线AB的位置相同吗? 如果不同，如何表示这种差异呢? 一条直线相对于另一条直线的倾斜程度不同 用角度来表示这种差异 课堂探究 问题2 平面中,两条相交直线所成角的定义是什么？ 两直线夹角的取值范围是多少？ 平面内两条直线相交形成4个角，其中不大于90°的角称为这两条直线所成的角（或夹角），它刻画了一条直线相对于另一条直线倾斜的程度． 图中的角θ即为直线a与直线b的夹角． 范围： 规定：如果两条直线平行或重合，它们的夹角为 0. 追问 空间中两条直线所成角又该如何定义？它的范围又是多少？ 课堂探究 如图,已知两条异面直线a,b,经过空间任一点O分别作直线a′∥a,b′∥b,我们把直线a′，b′所成的角叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)． 追问 直线a、b所成角的大小与点O的位置有关吗？为什么？ 异面直线所成的角 角度是刻画方向差异的量，平移不改变方向 等角定理 空间 平面 平移 异面直线 相交直线 课堂探究 如果两条异面直线所成的角为直角，那么我们就说这两条异面直线互相垂直.直线a与直线b互相垂直，记作a⊥b. 规定 如果两条直线平行或重合，它们的夹角为 0. 两条异面直线所成的角θ的取值范围：_______________． 空间两条直线所成的角θ的取值范围：_______________． 课堂探究 1. 判断正误. (1) 如果两条平行直线中的一条与已知直线垂直，那么另一条也与已知直线垂直. ( ) (2) 垂直于同一条直线的两条直线平行. ( ) √ × 牛刀小试 2.（多选）下列说法正确的有（ ） A．异面直线a与b所成角可以是0°. B．若a⊥c，b⊥c，则a ∥b. C．若a ∥b，则a，b与c所成的角相等. D．若a，b与c所成的角相等，则a ∥b. E．若a ∥b，a⊥c，则b⊥c. CE 例1 如右图，已知正方体ABCD-A′B′C′D′. (1)哪些棱所在的直线与直线AA′垂直？ (2)求直线BA′与CC′所成角的大小. (3)求直线BA′与AC所成角的大小. 下底面有：AB，AD，BC，CD， (1)上底面有：A′B′，A′D′，B′C′，C′D′， 解： (2) 在正方体ABCD-A′B′C′D′中, ∵CC′∥BB′, ∴∠B′BA为直线BA′与CC′所成的角， 而∠B′BA=45°， ∴直线BA′与CC′所成角的大小为45°. 典例精研 例1 如右图，已知正方体ABCD-A′B′C′D′. (1)哪些棱所在的直线与直线AA′垂直？ (2)求直线BA′与CC′所成角的大小. (3)求直线BA′与AC所成角的大小. (3) 连接A′C′, BC′，易知CC′∥AA′且CC′=AA′ ∴四边形CC′A′A是平行四边形，故A′C′∥AC ∴∠BA′C′为直线BA′与AC所成的角. 在正方体ABCD-A′B′C′D′中，△A′BC′是等边三角形， ∴∠BA′C′ =60°， ∴直线BA′与AC所成的角等于60°. 典例精研 B D C A' B' C' D' A 变式1 如图，在长方体ABCD-A'B'C'D'中，AB＝AD＝ ，AA'＝2，求: (1) 直线BC和A'C'所成的角的大小； (2) 直线AA'和BC'所成的角的大小. 解：(1) 在长方体ABCD-A′B′C′D′中, ∵BC∥B′C′, ∴∠B′C′A′为直线BC与A′C′所成的角. 在Rt△A′B′C′中， A′B′=B′C′， ∴∠B′C′A′=45°. ∴直线BC与A′C′所成的角的大小为45°. 变式训练 B D C A' B' C' D' A 变式1 如图，在长方体ABCD-A'B'C'D'中，AB＝AD＝ ，AA'＝2，求: (1) 直线BC和A'C'所成的角的大小； (2) 直线AA'和BC'所成的角的大小. (2) ∵AA′∥BB′, ∴∠B′BC′为直线AA′与BC′所成的角. 在Rt△B′BC′中， BB′=2，B′C′=， ∴tan∠B′BC′=， ∴∠B′BC′=60°， ∴直线AA′与BC′所成的角的大小为60°. 变式训练 总结提升 求两条异面直线所成的角的一般步骤 1作：恰当地选择一个点（经常在其中一条线上取一点），作出（常用平移法)异面直线所成的角(或其补角)； 2证：证明所作出的角(或其补角)就是所求异面直线所成的角；（证明线线平行） 3求：通过解三角形或其他方法，求出所构造的角的大小. （若0°<α≤90°,则α即为所求异面直线所成角的大小； 若90°<α<180°,则180°－α即为所求） 例2 如右图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，O1为底面A1B1C1D1的中心，求证：AO1⊥BD. B D C A1 B1 C1 D1 A O1 • 证明：如图示，连接B1D1, AB1，AD1 ∵ABCD-A1B1C1D1是正方体， ∴ BB1//DD1且BB1//DD1，AB1=AD1 ∴四边形BB1D1D是平行四边形. ∴B1D1//BD . ∴直线AO1与B1D1所成的角即为AO1与BD所成的角. 又O1为底面A1B1C1D1的中心， ∴ O1是B1D1的中点， ∴ AO1⊥B1D1， ∴ AO1⊥BD. 典例精研 变式2 在正方体中，是的中点，求证：EF⊥ 变式训练 证明两直线垂直的常用方法 (1)利用平面几何的结论,如：矩形,等腰三角形的三线合一，勾股定理，直径所对的圆周角; (2)定义法:即证明两条直线夹角是90°; (3)利用一些事实:两条平行直线，若其中一条直线垂直另一条直线,则其平行线也垂直此直线. 总结提升 1.长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=AA1=2 cm，AD=1cm，求异面直线A1C1与BD1所成的角的余弦值. 解法一（中位线平移法）： 解法二（补形平移法）： A B C D A1 B1 C1 D1 O M A B C D A1 B1 C1 D1 E F E1 F1 1 2 2 ∠A1C1E(或补角)是直线A1C1与BD1所成的角 ∴直线A1C1与BD1所成的角的余弦值为 ∠AOM(或补角)是直线A1C1与BD1所成的角 ∴直线A1C1与BD1所成的角的余弦值为 当堂巩固 补形平移法 2.如图，已知边长为2正方体中，若是的中点，求直线与所成角的正弦值. 当堂巩固 3.在棱长为4的正四面体A-BCD中，求异面直线AB和CD所成的角. 解：取BC中点E,AC中点M,AD中点F,连接EM,MF,FE,FB,FC.MF//CD,EM//AB ∴∠EMF即为异面直线AB和CD所成的角或其补角 MF=ME=2，EF= ∴MF²+ME²=EF² ∴∠EMF=90° ∴异面直线AB和CD的夹角是90° 当堂巩固 4.如图所示，四面体A－BCD中，E，F分别是AB，CD的中点.若BD，AC所成的角为60°，且BD＝AC＝2.求EF的长度. 当堂巩固 5. 在正方体中，为的中点，求异面直与所成角的余弦值. 解： 连接 在正方体中，， 所以四边形 为平行四边形， 所以 ， 则 （或其补角）为异面直线与所成的角， 设正方体的棱长为2，则 ，， ， 由余弦定理的推论得 ， 即异面直线与所成角的余弦值为 . 当堂巩固 课堂小结 异面直线所成的角 异面直线 互相垂直 类比 特殊 定义 范围 步骤 相交直线所成的角 转化 将空间问题转化为平面问题的转化思想 $$