精品解析：山东省烟台市2024-2025学年高二下学期期中学业水平诊断数学试题

2024~2025学年度第二学期期中学业水平诊断 高二数学 注意事项： 1．本试题满分150分，考试时间为120分钟． 2．答卷前，务必将姓名和准考证号填涂在答题纸上． 3．使用答题纸时，必须使用0.5毫米的黑色签字笔书写，要字迹工整，笔迹清晰，超出答题区书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． 1. 要将4辆汽车并排停放在5个车位上，其中甲、乙两辆汽车车体较宽需要放在一起并占用3个车位，其他两辆汽车各占1个车位，则不同的停车方法种数为（ ） A. 6 B. 10 C. 12 D. 20 【答案】C 【解析】 【分析】根据捆绑法和排列数的计算，可得答案 【详解】. 故选：C. 2. 根据吸烟与患肺癌这两个分类变量的样本数据，计算得出，经查阅独立性检验的小概率值和相应的临界值，则下列说法正确的是（ ） A. 在100个吸烟的人中就会有99人患肺癌 B. 若某人吸烟，那么他有99%的可能患肺癌 C. 若某人患肺癌，那么他有99%的可能为吸烟者 D. 吸烟与患肺癌有关联，此推断犯错误的概率不大于1% 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用独立性检验的意义逐项判断即得. 【详解】由，得吸烟与患肺癌有关联，此推断犯错误的概率不大于1%，D正确； 卡方检验仅说明吸烟与患肺癌两个变量间的关联性，无法量化个体情况，这两个变量间也无因果关系，ABC错误. 故选：D 3. 在一次数学考试中，某校学生的成绩，且．若从该校的考生中随机抽取一名学生，则其成绩在区间内的概率为（ ） A. 0.1 B. 0.2 C. 0.3 D. 0.4 【答案】A 【解析】 【分析】根据正态分布的对称性结合已知条件求解即可. 【详解】因为，且， 所以. 故选：A 4. 1800的正约数的个数为（ ） A. 18 B. 28 C. 36 D. 46 【答案】C 【解析】 【分析】首先将1800进行质因数分解，对于不同的质因数，有不同的正约数个数，再利用分步乘法计数原理即得答案. 【详解】首先将1800进行质因数分解可得， 对于，正约数有，共4个正约数； 对于，正约数有，共3个正约数； 对于，正约数有，共3个正约数， 根据分步乘法计数原理可知1800正约数的个数为. 故选：C. 5. 若随机变量X的分布列如表所示，且，则（ ） X 0 1 3 a P 0.2 0.3 b 0.2 A. 0.6 B. 1.2 C. 1.5 D. 1.8 【答案】B 【解析】 【分析】由对应的概率之和为1，可求得，再由数学期望的定义可求得，由此可得的值. 【详解】由随机变量的分布列的性质可知，， 由数学期望的定义可得， 所以. 故选：B. 6. 的展开式中的系数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先将看成一个整体，再结合的形式，利用二项式定理的通项公式求解. 【详解】的通项公式为， 当时，， 中，含项的系数为， 所以展开式中的系数为. 故选：A. 7. 某公司有甲，乙两个部门，每个部门各有7名员工，其中甲部门有5名经验丰富的员工和2名新员工，乙部门有4名经验丰富的员工和3名新员工，现从甲部门和乙部门各随机选出一名员工进行交换，交换完成后，再从甲部门随机选出一名员工，则该员工是经验丰富的员工的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先分类求出甲部分员工情况及对应概率，再根据题意求解即可. 【详解】从甲部门和乙部门各随机选出一名员工进行交换，有以下四种情况： 第一种，甲部门经验丰富的员工与乙部门经验丰富的员工交换，则概率为， 第二种，甲部门新员工与乙部门新员工交换，则概率为， 第三种，甲部门经验丰富的员工与乙部门新员工交换，则概率为， 第四种，甲部门新员工与乙部门经验丰富的员工交换，则概率为， 第一种与第二种甲部门有5名经验丰富的员工和2名新员工，则随机选出一名员工，为经验丰富的员工的概率为， 第三种甲部门有4名经验丰富的员工和3名新员工，则随机选出一名员工，为经验丰富的员工的概率为， 第四种甲部门有6名经验丰富的员工和1名新员工，则随机选出一名员工，为经验丰富的员工的概率为， 故甲部门随机选出一名员工，则该员工是经验丰富的员工的概率为. 故选：C. 8. 一个不透明的袋子中装有除颜色外，大小，质地完全相同的5个黑球，个白球，已知一次从中任意取出3个球，取出的球是2个黑球，1个白球的概率为．现一次从中任取4个球，若取出一个黑球得1分，取出一个白球得2分，设随机变量为取出4个球的总得分，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据一次从中任意取出3个球，取出的球是2个黑球，1个白球的概率为，列方程求出，然后根据题意确定的可能取值范围，再分析满足的得分对应黑球数量的取值，计算对应组合数之和，从而可求出概率. 【详解】由题意得球的总数为，取3个球的总数为，取2黑1白的组合数为， 因为一次从中任意取出3个球，取出的球是2个黑球，1个白球的概率为， 所以，所以， 化简得， ， ， ， 得或， 由，得， 所以， 设从袋子中取出个黑球，则白球为个，所以， 由，得，则，得， 即的取值为0，1，2， 当时，不合题意， 当时，即取出1个黑球3个白球，则有种方法， 当时，即取出2个黑球2个白球，则有种方法， 所以. 故选：B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 关于离散型随机变量，下列说法正确有（ ） A. 的期望一定等于其可能取值之一 B. 是可能取值关于取值概率的加权平均数 C. 的方差一定是个非负常数 D. 越小，取值越集中在附近 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，举例分析判断，对于B，根据加权平均数的定义分析判断，对于C，根据方差的定义分析判断，对于D，根据方差的意义分析判断. 【详解】对于A，设离散型随机变量的取值为1和3，相应的概率均为， 则，而2并而的可能取值，所以A错误， 对于B，因为期的定义是所有可能取值与其对应概率的加权和，即加权平均数，所以B正确， 对于C，因为方差是各取值与期望差的平方的加权平均数，且平方项非负，所以，所以C正确， 对于D，方差是衡量数据的波动程度，越小，表示出取值越集中在附近，所以D正确. 故选：BCD 10. 若A，B是一次随机试验中的两个事件，，，，则下列结论正确的有（ ） A. A与B相互独立 B. C D. 【答案】BC 【解析】 【分析】先根据已知条件结合求出，，然后根据独立事件的定义，条件概率公式逐个分析判断即可. 【详解】因为，所以， 因为，，， 所以，，得， 则， 对于A，因为，所以A与B不相互独立，所以A错误， 对于B，因为，所以，所以B正确， 对于C，因为，所以C正确， 对于D，因为，所以D错误. 故选：BC 11. “石头，剪刀，布”游戏起源于中国汉朝，称为“手势令”．游戏规则为：（1）参加游戏的人随机出一种手势，且石头赢剪刀，剪刀赢布，布赢石头；（2）两人游戏时，出相同的手势为平局；多人游戏时，都出相同的手势或三种手势都出现为平局．现有个人共举行了局游戏，且各局游戏互不影响，则下列说法正确的有（ ） A. 若，，则只有一人获胜的概率为 B. 若，，则平局的概率为 C. 若，且规定其中一人连续两局获胜，比赛结束，则恰经过5局比赛结束的概率为 D. 若，且规定每局比赛输者淘汰，则恰经过5局比赛决出最终胜利者的概率为 【答案】ABD 【解析】 【详解】对于A，若，，则每个人出的手势都有种可能， 所以个人出手势的总情况数为种，只有一人获胜的情况有种情况， 因为三个人都有可能获胜，所以只有一人获胜的概率为，故A正确； 对于B，若，，个人出手势的总情况数为种， 计算平局的情况： 所有人出相同手势的情况有种（都出石头、都出剪刀、都出布）. 三种手势都出现的情况：用间接法，先计算不满足三种手势都出现的情况， 即只有一种手势的3种情况和只有两种手势的情况. 计算只有两种手势的情况：从3种手势中选2种，有种选法， 设选的两种手势为A和B，把5个人分配到这两种手势中， 排除5个人都出A和5个人都出B的情况， 有种情况，所以只有两种手势的情况有种. 那么三种手势都出现情况有种. 综上平局的情况共有种，所以平局的概率，故选项B正确； 对于C，当时，两人每次出手势都有3种情况，所以每局的情况数为种， 恰经过5局比赛结束，说明前3局没有一人连续两局获胜，第4局和第5局是同一人获胜， 设两人为甲和乙，若恰经过5局比赛甲获胜，则 ①第二局甲输，第四五局甲胜，第三局平局，第一局甲胜或者平局， 其概率为； ②第二局平局，第四五局甲胜，第三局平局或甲输，第一局均可， 其概率为； ③第二局甲胜，第四五局甲胜，第三局平局或甲输，第一局甲输或平局， 其概率为； 所以恰经过5局比赛甲获胜的概率为； 同理，恰经过5局比赛乙获胜的概率也为； 所以恰经过5局比赛结束的概率，故选项C错误； 对于D，若，每局比赛打平，则3个人出的手势一样，有3种情况，或者各不相同， 有种情况，所以三人打平的概率为； 若3人中两个人出的手势一样，与另外一个不一样，则一次淘汰两人的概率为， ①三局是平局，一局淘汰一人，一局淘汰两人， 概率为； ②前四局是平局，第五局淘汰两人， 概率为； 所以恰经过5局比赛决出最终胜利者的概率，故选项D正确. 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 现有8名同学分别去A，B两个小区做志愿服务工作，每人选择其中的一个小区，且每个小区至少去3名同学，则不同的安排方法种数为__________．（用数字作答） 【答案】182 【解析】 【分析】根据题意可知将8名同学分成两组，其中一组有3人，另一组有5人，或每组4人，然后分配到A，B两个小区即可. 【详解】根据题意可知将8名同学分成两组，其中一组有3人，另一组有5人，然后分配到A，B两个小区，则有种不同的安排方法， 或每组4人，然后分配到A，B两个小区，则有种不同的安排方法， 由分类加法原理可知共有种不同的安排方法. 故答案为：182 13. 若，则的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】由二项式定理，写出展开式的通项，结合题意，可得答案. 【详解】由，则展开式的通项， 可得，，， 所以. 故答案为：. 14. 定义：若一个两位数的十位数字和个位数字分别为a，b，且满足，，指a，b中较小的一个，则称这个两位数为“倍差数”．若从所有的两位数中随机取一个数，则其是“倍差数”的概率为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意分和两种情况，分别分析的变形，结合，确定的可能取值，从而可枚举出所有符合条件的两位，进而可求出概率. 【详解】（1）当时，由，得， 即，需满足（）， 所以， 当时，，不符合题意； 当时，，则取1到8的正整数，所以取2到9的正整数， 所以满足的数有21，31，41，51，61，71，81，91，共8个， 当时，，则取1到3的正整数，所以取4，6，8，所以满足条件的数有42，62，82，共3个， 当时，，则只能取1，2，所以取6，9，所以满足条件的数有63，93，共2个， 当时，，则只能取1，所以取8，所以满足条件的数为84，只有1个， 当时，无解， 所以共有个数， （2）当时，由，得， 即，需满足（）， 所以， 当时，，则取1到8的正整数，所以取2到9的正整数， 所以满足条件的数有12，13，14，15，16，17，18，19，共8个数， 当时，，则取1，2，3，所以取4，6，8，所以满足条件的数有24，26，28，共3个， 当时，，则取1，2，所以取6，9，所以满足条件的数有36，39，共2个， 当时，，则只能取1，所以取8，所以满足条件的数为48，只有1个， 当时，，不符合题意， 所以共有个数， 综上符合条件的数共有个， 因为所有的两位数有90个， 所以所求概率为. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 为保障公众健康、提升监管效能，某市监管部门开展了食品安全专项治理行动，行动中，监管部门对某品牌饼干随机抽取了100件产品，检测其防腐剂含量x（单位：mg/kg），并统计绘制了如图频率分布直方图， （1）求频率分布直方图中a的值； （2）若从样本中防腐剂含量不低于100mg/kg的产品中按照等比例随机抽样的方法抽取7件产品，再从这7件产品中随机抽取4件产品进行检测，求这4件产品中防腐剂含量在区间内的件数Y的期望和方差． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）由各组的频率和为1列方程可求出a的值； （2）根据比例抽样的方法结合频率分布直方图求出在区间和内抽取的数量，则可得随机变量Y的所有可能取值为0，1，2，3，然后求出相应的概率，从而可求出Y的期望和方差． 【小问1详解】 由题知，，解得． 【小问2详解】 由题知，样本中防腐剂含量在区间与内的比例为4：3， 所以按照等比例抽样的方法抽取的7件产品中，在区间内的应抽取4件，在区间内的应抽取3件． 所以随机变量Y的所有可能取值为0，1，2，3， 则，， ，， 所以， ． 16. 某种产品销售价格x（万元/吨）和销售量y（吨）的变化情况如表： x 5 5.5 6 6.5 7 y 13 11 10 9 7 （1）计算y与x的相关系数r，并说明y与x的关系是否可用线性回归模型拟合；（一般地，若，则可认为线性相关程度较高，可用线性回归模型拟合．） （2）若该产品每吨成本为4万元，请利用y与x的回归．关系预测：销售价格定为多少时该产品的销售利润最大？（结果精确到0.01） 参考公式：对于一组数据， 其相关系数；其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：，． 参考数据：，． 【答案】（1）答案见解析 （2）预测销售价格为6.79万元/吨 【解析】 【分析】（1）由相关系数的公式，根据表中数据，求得相关系数，结合其性质，可得答案； （2）由回归直线方程公式求得回归直线方程，代入数据，可得答案. 【小问1详解】 由题意，，， ， ， ． 所以， 所以，故与的线性相关程度较高，可以用线性回归模型拟合与的关系． 【小问2详解】 ， 所以关于的经验回归方程为． 由题意，销售利润为， 当时，取得最大值， 所以预测销售价格为6.79万元/吨时，该产品销售利润最大． 17. 某快递配送中心处理包裹的两个关键流程为第一步的分拣任务和第二步的装车任务，由于设备效率波动，两流程的独自耗时分别为随机变量X和Y（单位：小时），假设两个流程互不影响，且，，，． （1）在分拣时间大于装车时间（即）的条件下，求两项任务完成时间的概率； （2）若按照流程，允许分拣和装车任务并行处理，但需要额外的等待时间，此时完成时间为，求并行处理两项任务的完成时间的期望．（指a，b中较大的一个） 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）由题意列举所有结果，计算对应概率，再根据条件概率计算即可； （2）由题意列举所有结果，计算对应概率即可得到分布列，计算即可得到期望. 【小问1详解】 由题知，的所有组合有，，， ，，， 所以， 所以； 【小问2详解】 并行处理任务，则任务的完成时间的可能情况有： ，此时，； ，此时，； ，此时，； ，此时，； 所以并行处理任务的完成时间的分布列为： 2.3 3.5 4.5 4.7 P 所以． 18. 近期，我国国产AI大模型深度求索（DeepSeek）在人工智能领域取得了重大技术突破，并且通过开源策略和高性价比的模式，为AI行业的发展提供了新的可能性．为了评估DeepSeek的使用频率与用户满意度之间是否存在关联，一研究团队在某大学随机抽取了200名用户进行调查，收集整理得到了如表的数据： 高满意度 低满意度 频繁使用DeepSeek 70 30 不频繁使用DeepSeek 50 50 （1）依据小概率值的独立性检验，能否认为DeepSeek的使用频率与用户满意度之间有关联； （2）若已知样本中学生人数为120人，其中高满意度用户数为80人，教师人数为80人，其中高满意度用户数为40人．以样本频率估计总体的概率． ①若从全校使用DeepSeek的用户中每次抽取1名用户，直到抽出2名高满意度用户即停止抽取．求恰好第4次抽取后停止抽取的概率． ②若从全校使用DeepSeek的学生用户和教师用户中各随机抽取2名，设这4人中学生和教师的高满意度用户数分别为和，令，求的分布列． 参考公式：，其中，． 【答案】（1）认为DeepSeek的使用频率与用户满意度之间有关联 （2）① ；②答案见解析 【解析】 【分析】（1）根据计算公式计算即可得出结论； （2）①由题意转化为前3次抽取中恰有1次抽取的是高满意度用户，第4次恰好抽取的是高满意度用户，利用独立事件同时发生的乘法公式求解；②分别求出对应取值的概率，据此计算对应取值的概率，列出分布列即可. 【小问1详解】 零假设为：DeepSeek的使用频率与用户满意度之间无关联． 根据表中数据，， 根据小概率值的独立性检验，推断不成立， 即认为DeepSeek的使用频率与用户满意度之间有关联． 【小问2详解】 （1）由题知，样本中DeepSeek高满意度用户的频率为， 设事件“恰好第4次抽取后停止抽取”， 需在前3次抽取中恰有1次抽取的是高满意度用户，第4次恰好抽取的是高满意度用户， 则． 即恰好第4次抽取后停止的概率为． （2）由题知，样本中学生的高满意度用户频率为，教师的高满意度用户频率为． 又，，， ，，， 的所有可能取值为0，1，2， 则 ， ． 所以随机变量的分布列为： 0 1 2 P 19. 分布式计算是一种计算模式，是通过将计算任务分散到多个计算节点上进行处理，这些节点通过网络协同工作，实现大规模计算任务的高效执行．某公司使用分布式计算系统处理任务，每个任务由一个节点或多个节点独立完成，各个节点处理每个任务成功与否互不影响． （1）若某任务由3个节点各自独立完成，每个节点处理该任务成功的概率均为0.5，求恰好有2个节点处理该任务成功的概率； （2）若某任务由60个节点各自独立完成，且每个节点处理该任务成功的概率均为0.6，若处理该任务成功的节点数为k（）的概率最大，求k的值； （3）若公司现有n个任务，为提高效益，考虑两种优化方案： 方案A：每个任务由两个节点同时处理，且每个节点处理各个任务成功概率均为0.6，每个节点处理各个任务的成本均为10元，每个任务至少有一个节点处理成功则可获得收益35元，否则收益为0元； 方案B：每个任务由一个节点处理，且每个节点处理各个任务成功的概率均提升至0.7，每个节点处理各个任务的成本均由原来的10元提升到16元，每个任务处理成功则可获得收益35元，否则收益为0元 根据这两个方案利润的期望值判断哪个方案更优？（利润＝收益－成本） 【答案】（1） （2） （3）方案A更优 【解析】 【分析】（1）由题意可得随机变量服从二项分布，利用其概率公式建立方程，可得答案； （2）由题意可得随机变量服从二项分布，利用其概率公式建立不等式组，可得答案； （3）根据二项分布的数学期望计算，可得答案. 【小问1详解】 设3个节点中处理任务成功的节点个数为，则， 所以．即恰好有2个节点成功处理任务的概率为． 【小问2详解】 由（1）知，60个节点中处理任务成功的节点个数， 若每次处理任务成功的节点数为时概率最大，则， 解得，因为，所以． 【小问3详解】 若采用方案A，则每个任务至少有一个节点处理成功的概率， 所以处理任务成功数， 则处理任务成功的节点数的期望． 所以利润的期望． 若采用方案B：则处理任务成功数，则处理任务成功的节点数的期望， 所以利润的期望． 因为，所以方案A更优． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024~2025学年度第二学期期中学业水平诊断 高二数学 注意事项： 1．本试题满分150分，考试时间为120分钟． 2．答卷前，务必将姓名和准考证号填涂在答题纸上． 3．使用答题纸时，必须使用0.5毫米的黑色签字笔书写，要字迹工整，笔迹清晰，超出答题区书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． 1. 要将4辆汽车并排停放在5个车位上，其中甲、乙两辆汽车车体较宽需要放在一起并占用3个车位，其他两辆汽车各占1个车位，则不同的停车方法种数为（ ） A 6 B. 10 C. 12 D. 20 2. 根据吸烟与患肺癌这两个分类变量的样本数据，计算得出，经查阅独立性检验的小概率值和相应的临界值，则下列说法正确的是（ ） A. 在100个吸烟的人中就会有99人患肺癌 B. 若某人吸烟，那么他有99%可能患肺癌 C. 若某人患肺癌，那么他有99%的可能为吸烟者 D. 吸烟与患肺癌有关联，此推断犯错误的概率不大于1% 3. 在一次数学考试中，某校学生的成绩，且．若从该校的考生中随机抽取一名学生，则其成绩在区间内的概率为（ ） A. 0.1 B. 0.2 C. 0.3 D. 0.4 4. 1800的正约数的个数为（ ） A. 18 B. 28 C. 36 D. 46 5. 若随机变量X的分布列如表所示，且，则（ ） X 0 1 3 a P 0.2 0.3 b 0.2 A. 0.6 B. 1.2 C. 1.5 D. 1.8 6. 的展开式中的系数为（ ） A. B. C. D. 7. 某公司有甲，乙两个部门，每个部门各有7名员工，其中甲部门有5名经验丰富的员工和2名新员工，乙部门有4名经验丰富的员工和3名新员工，现从甲部门和乙部门各随机选出一名员工进行交换，交换完成后，再从甲部门随机选出一名员工，则该员工是经验丰富的员工的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 一个不透明袋子中装有除颜色外，大小，质地完全相同的5个黑球，个白球，已知一次从中任意取出3个球，取出的球是2个黑球，1个白球的概率为．现一次从中任取4个球，若取出一个黑球得1分，取出一个白球得2分，设随机变量为取出4个球的总得分，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 关于离散型随机变量，下列说法正确的有（ ） A. 的期望一定等于其可能取值之一 B. 是可能取值关于取值概率的加权平均数 C. 的方差一定是个非负常数 D. 越小，取值越集中在附近 10. 若A，B是一次随机试验中的两个事件，，，，则下列结论正确的有（ ） A. A与B相互独立 B. C. D. 11. “石头，剪刀，布”游戏起源于中国汉朝，称为“手势令”．游戏规则为：（1）参加游戏的人随机出一种手势，且石头赢剪刀，剪刀赢布，布赢石头；（2）两人游戏时，出相同的手势为平局；多人游戏时，都出相同的手势或三种手势都出现为平局．现有个人共举行了局游戏，且各局游戏互不影响，则下列说法正确的有（ ） A. 若，，则只有一人获胜的概率为 B. 若，，则平局的概率为 C. 若，且规定其中一人连续两局获胜，比赛结束，则恰经过5局比赛结束的概率为 D. 若，且规定每局比赛输者淘汰，则恰经过5局比赛决出最终胜利者的概率为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 现有8名同学分别去A，B两个小区做志愿服务工作，每人选择其中的一个小区，且每个小区至少去3名同学，则不同的安排方法种数为__________．（用数字作答） 13. 若，则的值为__________． 14. 定义：若一个两位数的十位数字和个位数字分别为a，b，且满足，，指a，b中较小的一个，则称这个两位数为“倍差数”．若从所有的两位数中随机取一个数，则其是“倍差数”的概率为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 为保障公众健康、提升监管效能，某市监管部门开展了食品安全专项治理行动，行动中，监管部门对某品牌饼干随机抽取了100件产品，检测其防腐剂含量x（单位：mg/kg），并统计绘制了如图频率分布直方图， （1）求频率分布直方图中a的值； （2）若从样本中防腐剂含量不低于100mg/kg产品中按照等比例随机抽样的方法抽取7件产品，再从这7件产品中随机抽取4件产品进行检测，求这4件产品中防腐剂含量在区间内的件数Y的期望和方差． 16. 某种产品销售价格x（万元/吨）和销售量y（吨）的变化情况如表： x 5 5.5 6 6.5 7 y 13 11 10 9 7 （1）计算y与x的相关系数r，并说明y与x的关系是否可用线性回归模型拟合；（一般地，若，则可认为线性相关程度较高，可用线性回归模型拟合．） （2）若该产品每吨成本为4万元，请利用y与x的回归．关系预测：销售价格定为多少时该产品的销售利润最大？（结果精确到0.01） 参考公式：对于一组数据， 其相关系数；其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：，． 参考数据：，． 17. 某快递配送中心处理包裹的两个关键流程为第一步的分拣任务和第二步的装车任务，由于设备效率波动，两流程的独自耗时分别为随机变量X和Y（单位：小时），假设两个流程互不影响，且，，，． （1）在分拣时间大于装车时间（即）的条件下，求两项任务完成时间的概率； （2）若按照流程，允许分拣和装车任务并行处理，但需要额外的等待时间，此时完成时间为，求并行处理两项任务的完成时间的期望．（指a，b中较大的一个） 18. 近期，我国国产AI大模型深度求索（DeepSeek）在人工智能领域取得了重大技术突破，并且通过开源策略和高性价比的模式，为AI行业的发展提供了新的可能性．为了评估DeepSeek的使用频率与用户满意度之间是否存在关联，一研究团队在某大学随机抽取了200名用户进行调查，收集整理得到了如表的数据： 高满意度 低满意度 频繁使用DeepSeek 70 30 不频繁使用DeepSeek 50 50 （1）依据小概率值的独立性检验，能否认为DeepSeek的使用频率与用户满意度之间有关联； （2）若已知样本中学生人数为120人，其中高满意度用户数为80人，教师人数为80人，其中高满意度用户数为40人．以样本频率估计总体概率． ①若从全校使用DeepSeek的用户中每次抽取1名用户，直到抽出2名高满意度用户即停止抽取．求恰好第4次抽取后停止抽取的概率． ②若从全校使用DeepSeek的学生用户和教师用户中各随机抽取2名，设这4人中学生和教师的高满意度用户数分别为和，令，求的分布列． 参考公式：，其中，． 19. 分布式计算是一种计算模式，是通过将计算任务分散到多个计算节点上进行处理，这些节点通过网络协同工作，实现大规模计算任务的高效执行．某公司使用分布式计算系统处理任务，每个任务由一个节点或多个节点独立完成，各个节点处理每个任务成功与否互不影响． （1）若某任务由3个节点各自独立完成，每个节点处理该任务成功的概率均为0.5，求恰好有2个节点处理该任务成功的概率； （2）若某任务由60个节点各自独立完成，且每个节点处理该任务成功的概率均为0.6，若处理该任务成功的节点数为k（）的概率最大，求k的值； （3）若公司现有n个任务，为提高效益，考虑两种优化方案： 方案A：每个任务由两个节点同时处理，且每个节点处理各个任务成功的概率均为0.6，每个节点处理各个任务的成本均为10元，每个任务至少有一个节点处理成功则可获得收益35元，否则收益为0元； 方案B：每个任务由一个节点处理，且每个节点处理各个任务成功的概率均提升至0.7，每个节点处理各个任务的成本均由原来的10元提升到16元，每个任务处理成功则可获得收益35元，否则收益为0元 根据这两个方案利润的期望值判断哪个方案更优？（利润＝收益－成本） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $