随机变量及其分布列【11个题型】讲义-2024-2025学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册

2024-2025学年高二下学期数学常考题型归纳 【随机变量及其分布列专项练习】 总览 题型梳理 一．条件概率（共4小题） 二．求解条件概率（共3小题） 三．全概率公式（共3小题） 四．离散型随机变量及其分布列（共5小题） 五．离散型随机变量的均值（数学期望）（共9小题） 六．离散型随机变量的方差与标准差（共1小题） 七．两点分布（0-1分布）（共1小题） 八．n重伯努利试验与二项分布（共1小题） 九．n次独立重复试验中恰好发生k次的概率（共4小题） 一十．二项分布的均值（数学期望）与方差（共1小题） 一十一．正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义（共10小题） 【知识总览】 1.条件概率 【知识点的认识】 1、条件概率的定义：对于任何两个事件A和B，在已知事件A发生的条件下，事件B发生的概率叫做条件概率，用符号P（B|A）来表示． （2）条件概率公式：称为事件A与B的交（或积）． （3）条件概率的求法： ①利用条件概率公式，分别求出P（A）和P（AB），得P（B|A），其中P（A）＞0； ②借助古典概型概率公式，先求出事件A包含的基本事件数n（A），再在事件A发生的条件下求出事件B包含的基本事件数，即n（A∩B），得P（B|A） 2.求解条件概率 【知识点的认识】 ﹣条件概率：在事件B发生的条件下事件A发生的概率，记作P（A|B）． ﹣计算：其中P（B）＞0． 3.全概率公式 【知识点的认识】 全概率公式 一般地，设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P（Ai）＞0，i＝1，2，…，n，则对任意的事件B⊆Ω，有 P（B）． 4.离散型随机变量及其分布列 【知识点的认识】 1、相关概念； （1）随机变量：如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量随机变量常用希腊字母ξ、η等表示． （2）离散型随机变量：对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量．若ξ是随机变量，η＝aξ+b，其中a、b是常数，则η也是随机变量． （3）连续型随机变量：对于随机变量可能取的值，可以取某一区间内的一切值，这样的变量就叫做连续型随机变量 （4）离散型随机变量与连续型随机变量的区别与联系：离散型随机变量与连续型随机变量都是用变量表示随机试验的结果；但是离散型随机变量的结果可以按一定次序一一列出，而连续性随机变量的结果不可以一一列出． 2、离散型随机变量 （1）随机变量：在随机试验中，试验可能出现的结果可以用一个变量X来表示，并且X是随着试验结果的不同而变化的，这样的变量X叫做一个随机变量．随机变量常用大写字母X，Y，…表示，也可以用希腊字母ξ，η，…表示． （2）离散型随机变量：如果随机变量X的所有可能的取值都能一一列举出来，则称X为离散型随机变量． 3、离散型随机变量的分布列． （1）定义：一般地，设离散型随机变量X的所有可能值为x1，x2，…，xn；X取每一个对应值的概率分别为p1，p2，…，pn，则得下表： X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn 该表为随机变量X的概率分布，或称为离散型随机变量X的分布列． （2）性质：①pi≥0，i＝1，2，3，…，n；②p1+p2+…+pn＝1． 5.离散型随机变量的均值（数学期望） 【知识点的认识】 1、离散型随机变量的期望 数学期望：一般地，若离散型随机变量ξ的概率分布 则称Eξ＝x1p1+x2p2+…+xnpn+…为ξ的数学期望，简称期望． 数学期望的意义：数学期望离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平． 平均数与均值：一般地，在有限取值离散型随机变量ξ的概率分布中，令p1＝p2＝…＝pn，则有p1＝p2＝…＝pn，Eξ＝（x1+x2+…+xn），所以ξ的数学期望又称为平均数、均值． 期望的一个性质：若η＝aξ+b，则E（aξ+b）＝aEξ+b． 6.离散型随机变量的方差与标准差 【知识点的认识】 1、离散型随机变量的期望 数学期望：一般地，若离散型随机变量ξ的概率分布为 x 1 x 2 … xn … P p 1 p 2 … pn … 则称Eξ＝x1p1+x2p2+…+xnpn+…为ξ的数学期望，简称期望． 数学期望的意义：数学期望离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平． 平均数与均值：一般地，在有限取值离散型随机变量ξ的概率分布中，令p1＝p2＝…＝pn，则有p1＝p2＝…＝pn，Eξ＝（x1+x2+…+xn），所以ξ的数学期望又称为平均数、均值． 期望的一个性质：若η＝aξ+b，则E（aξ+b）＝aEξ+b． 2、离散型随机变量的方差； 方差：对于离散型随机变量ξ，如果它所有可能取的值是x1，x2，…，xn，…，且取这些值的概率分别是p1，p2，…，pn…，那么， 称为随机变量ξ的均方差，简称为方差，式中的Eξ是随机变量ξ的期望． 标准差：Dξ的算术平方根叫做随机变量ξ的标准差，记作． 方差的性质：． 方差的意义： （1）随机变量 的方差的定义与一组数据的方差的定义式是相同的； （2）随机变量 的方差、标准差也是随机变量 的特征数，它们都反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度； （3）标准差与随机变量本身有相同的单位，所以在实际问题中应用更广泛． 8.两点分布（0-1分布） 【知识点的认识】 ﹣0﹣1分布：也称为伯努利分布，只有两个可能取值（0或1），用于描述事件发生的概率 9.n重伯努利试验与二项分布 【知识点的认识】 1、二项分布： 一般地，在n次独立重复的试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次试验中事件A发生的概率为p，则 P（X＝k）pk（1﹣p）n﹣k，k＝0，1，2，…n，此时称随机变量X服从二项分布，记作X～B（n，p），并记 pk（1﹣p）n﹣k＝b（k，n，p）． 2、独立重复试验： （1）独立重复试验的意义：做n次试验，如果它们是完全同样的一个试验的重复，且它们相互独立，那么这类试验叫做独立重复试验． （2）一般地，在n次独立重复试验中，设事件A发生的次数为X，在每件试验中事件A发生的概率为p，那么在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为P（X＝k）pk（1﹣p）n﹣k，k＝0，1，2，…n，此时称随机变量X服从二项分布，记作X～B（n，p），并称p为成功概率． （3）独立重复试验：若n次重复试验中，每次试验结果的概率都不依赖于其他各次试验的结果，则称这n次试验是独立的． （4）独立重复试验概率公式的特点：Pn（k）pk（1﹣p）n﹣k，是n次独立重复试验中某 事件A恰好发生k次的概率．其中，n是重复试验的次数，p是一次试验中某事件A发生的概率，k是在n次独立重复试验中事件A恰好发生的次数，需要弄清公式中n，p，k的意义，才能正确运用公式． 10.n次独立重复试验中恰好发生k次的概率 【知识点的认识】 一般地，在n次独立重复试验中，用ξ表示事件A发生的次数，如果事件发生的概率是P，则不发生的概率q＝1﹣p，N次独立重复试验中发生K次的概率是P（ξ＝K）（K＝1，2，3，…n）那么就说ξ服从二项分布．其中P称为成功概率．记作ξ～B（n，p），期望：Eξ＝np，方差：Dξ＝npq． 11.二项分布的均值（数学期望）与方差 【知识点的认识】 二项分布： 一般地，在n次独立重复的试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次试验中事件A发生的概率为p，则 P（X＝k）pk（1﹣p）n﹣k，k＝0，1，2，…n，此时称随机变量X服从二项分布，记作X～B（n，p），并记 pk（1﹣p）n﹣k＝b（k，n，p）． ﹣均值（数学期望）：，其中n为试验次数，p为每次试验成功的概率． ﹣方差：． 12.正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义 【知识点的认识】 1．正态曲线及性质 （1）正态曲线的定义 函数φμ， σ（x），x∈（﹣∞，+∞），其中实数μ和σ（σ＞0）为参数，我们称φμ，σ（x）的图象（如图）为正态分布密度曲线，简称正态曲线． （2）正态曲线的解析式 ①指数的自变量是x定义域是R，即x∈（﹣∞，+∞）． ②解析式中含有两个常数：π和e，这是两个无理数． ③解析式中含有两个参数：μ和σ，其中μ可取任意实数，σ＞0这是正态分布的两个特征数． ④解析式前面有一个系数为，后面是一个以e为底数的指数函数的形式，幂指数为． 2．正态分布 （1）正态分布的定义及表示 如果对于任何实数a，b（a＜b），随机变量X满足P（a＜X≤b）φμ，σ（x）d x，则称X的分布为正态分布，记作N（μ，σ2）． （2）正态总体在三个特殊区间内取值的概率值 ①P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）＝0.6826； ②P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）＝0.9544； ③P（μ﹣3σ＜X≤μ+3σ）＝0.9974． 3．正态曲线的性质 正态曲线φμ， σ（x），x∈R有以下性质： （1）曲线位于x轴上方，与x轴不相交； （2）曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称； （3）曲线在x＝μ处达到峰值； （4）曲线与x轴围成的图形的面积为1； （5）当σ一定时，曲线随着μ的变化而沿x轴平移； （6）当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散． 题型分类 知识讲解与常考题型 一．条件概率（共4小题） （多选）1．（2024秋•江西校级期末）已知事件A，B，C满足P（A）＝0.6，P（B）＝0.2，则下列结论正确的是（　　） A．如果P（A∪B∪C）＝1，那么P（C）＝0.2 B．如果B⊆A，那么P（A∪B）＝0.6，P（B|A）＝0.25 C．如果A与B互斥，那么P（A∪B）＝0.8 D．如果A与B相互独立，那么P（•）＝0.32 （多选）2．（2024春•哈尔滨期末）甲、乙、丙、丁4人每人随机选取VisualBasie、VisualC++，VisualFoxpro三种编程语言之一进行学习，每种编程语言至少有1人学习，A表示事件“甲学习VisualBasic编程语言”；B表示事件“乙学习VisualBasic编程语言”；C表示事件“乙学习VisualC++编程语言”，则（　　） A．事件A与B相互独立 B．事件A与C不是互斥事件 C． D． （多选）3．（2024春•长寿区期末）一工厂将两盒产品送检，甲盒中有4个一等品，3个二等品和3个三等品，乙盒中有5个一等品，2个二等品和3个三等品．先从甲盒中随机取出一个产品放入乙盒，分别以A1，A2和A3表示由甲盒取出的产品是一等品，二等品和三等品的事件；再从乙盒中随机取出一产品，以B表示由乙盒取出的产品是一等品的事件．则下列结论中正确的是（　　） A． B． C．事件B与事件A1相互独立 D．A1，A2，A3是两两互斥的事件 4．（2022春•龙岩期中）在箱子中有大小相同，仅颜色不同的小球共6个，其中红色小球2个，白色小球4个．现从箱子中每次随机取出一个小球，若取出的是白球，放回，并继续从箱子中随机取出一个小球；若取出的是红色小球，不放回，并继续从箱子中随机取出一个小球．直到取出2个红色小球结束． （1）若在第一次取出的小球是红球的条件下，求取球4次结束的概率； （2）求取球结束时，取球次数不超过3次的概率． 二．求解条件概率（共3小题） （多选）5．（2025•沙坪坝区校级模拟）设A，B为一次随机试验中的两个事件，若，则（　　） A． B． C． D．A与B相互独立 （多选）6．（2025•温州模拟）抛掷一枚质地均匀的骰子，记试验的样本空间为Ω＝{1，2，3，4，5，6}，事件M＝{1，2}，事件N＝{2，3，4}，则（　　） A．M与N是互斥事件 B．M与N是相互独立事件 C．P（M|N）＝P（N|M） D． 7．（2025•南开区二模）甲、乙两个袋子中各有10个除颜色外完全相同的小球，其中甲袋中有7个红球，3个黄球，乙袋中有8个红球，2个黄球．若从两个袋子中各任取1个球，则都取到红球的概率为 　 　 ；若从两个袋子中各任取1个球，两球颜色不同的条件下，乙袋中取出黄球的概率为 　 　 ． 三．全概率公式（共3小题） 8．（2022春•五华区校级期中）现有8道四选一的单选题，某考生对其中6道题有思路，2道题完全没有思路，有思路的题做对的概率均为0.8，没有思路的题只好任意猜一个答案，猜对答案的概率为0.25．该考生从这8道题中随机选1题，则他答对该题的概率为 　 　 ． 9．（2025春•南岸区校级期中）某学校有C、D两个图书馆，某学生每天都会在这两个图书馆中选择一个去学习，已知该学生第一天选择C图书馆的概率是，若在前一天选择C图书馆的条件下，后一天继续选择C图书馆的概率为，而在前一天选择D图书馆的条件下，后一天继续选择D图书馆的概率为，如此往复． （1）求该学生第一天和第二天都选择C图书馆的概率； （2）求该学生第二天选择C图书馆的概率； （3）记该学生第n天选择C图书馆的概率为Qn，求数列{Qn}的通项公式． 10．（2024春•白山期末）Matlab是一种数学软件，用于数据分析、无线通信、深度学习、图象处理与计算机视觉、信号处理、量化金融与风险管理、人工智能机器人和控制系统等领域，推动了人类基础教育和基础科学的发展．某学校举行了相关Matlab专业知识考试，试卷中只有两道题目，已知甲同学答对每题的概率都为p，乙同学答对每题的概率都为q（p＞q），且在考试中每人各题答题结果互不影响．已知每题甲、乙同时答对的概率为，恰有一人答对的概率为． （1）求p和q的值； （2）试求两人共答对3道题的概率． 四．离散型随机变量及其分布列（共5小题） 11．（2020春•桥西区校级月考）已知随机变量X的分布列为，k＝1，2，…10，则P（3≤X≤4）＝（　　） A． B． C． D． （多选）12．（2024春•罗定市期中）设随机变量ξ的分布列为P（ξ）＝ak（k＝1，2，3，4，5），则（　　） A．15a＝1 B．P（0.5＜ξ＜0.8）＝0.2 C．P（0.1＜ξ＜0.5）＝0.2 D．P（ξ＝1）＝0.3 （多选）13．（2022春•乐平市校级期末）中秋节又称祭月节、仲秋节、拜月节、团圆节等，是中国民间的传统节日．中秋节自古便有祭月、赏月、吃月饼等民俗，流传至今，经久不息．在一个食盒中装有大小一样的五仁月饼6个，鲜肉月饼4个，小明同学从中一次性任取4个月饼，设取出的4个月饼中鲜肉月饼的个数为X，则下列结论正确的是（　　） A． B．随机变量X服从二项分布 C．随机变量X服从超几何分布 D． 14．（2022春•定远县校级期末）甲、乙去某公司应聘面试．该公司的面试方案为：应聘者从6道备选题中一次性随机抽取3道题，按照答对题目的个数为标准进行筛选．已知6道备选题中应聘者甲有4道题能正确完成，2道题不能完成；应聘者乙每题正确完成的概率都是，且每题正确完成与否互不影响． （1）分别求甲、乙两人正确完成面试题数的分布列； （2）请分析比较甲、乙两人谁的面试通过的可能性较大？ 15．（2021春•广陵区校级期中）电子蛙跳游戏是：青蛙第一步从如图所示的正方体ABCD﹣A1B1C1D1顶点A起跳，每步从一顶点跳到相邻的顶点． （1）直接写出跳两步跳到C的概率P； （2）求跳三步跳到C1的概率P1； （3）青蛙跳五步，用X表示跳到过C1的次数，求随机变量X的概率分布． 五．离散型随机变量的均值（数学期望）（共9小题） 16．（2025•岳阳模拟）如图，一个质点在随机外力的作用下，从原点0出发，每隔1s等可能地向左或向右移动一个单位，共移动6次，则下列正确的是（　　） A．质点回到原点的概率为 B．质点回到原点的概率为 C．质点位于4的位置的概率为 D．质点位于4的位置的概率是 17．（2025春•九龙坡区校级期中）高尔顿板是英国生物统计学家高尔顿设计用来研究随机现象的模型．在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木块，小木块之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃．每次试验时，让一个小球从高尔顿板上方的通道口落下，小球在下落过程中与层层小木块碰撞，且等可能向左或向右滚下，最后掉入高尔顿板下方的某一球槽内，在如图所示的小木块中，上面10层为高尔顿板，最下面为球槽．小球从通道口落下，第一次与第2层中间的小木块碰撞，以的概率向左或向右滚下，依次经过9次与小木块碰撞，最后掉入编号（从左至右）为1，2，3，4，5，6，7，8，9，10的球槽内．若一次试验中小球滚落至事先选定的球槽编号n即得积分an，否则不得分．若，为使所得积分的数学期望最大，每次试验前选定的球槽编号为（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 18．（2025春•辽宁月考）已知X～B（3，p）（0＜p＜1），4P（X＝3）+P（X＝2），且Y＝2X+1，则下列选项中不正确的是（　　） A． B． C． D．E（Y）﹣1＝2D（Y） （多选）19．（2024春•太原期末）已知两组样本数据x1，x2，…x10和y1，y2，…y10的均值和方差分别为，和，则下列结论正确的是（　　） A．若xi+yi＝50，且0＜xi＜yi（i＝1，2，⋯，10），则 B．若xi+yi＝50，且0＜xi＜yi（i＝1，2，⋯，10），则 C．若yi＝2xi+3（i＝1，2，⋯，10），且，则9 D．若yi＝2xi+3（i＝1，2，⋯，10），且，则 20．（2025春•丰城市校级期中）甲、乙两名运动员进行乒乓球比赛，规定每局比赛胜者得1分，负者得0分，比赛一直进行到一方比另一方多两分为止，多得两分的一方赢得比赛．已知每局比赛中，甲获胜的概率为α，乙获胜的概率为β，（α+β＝1，α＞0，β＞0），且每局比赛结果相互独立．若比赛最多进行5局，则比赛结束时比赛局数X的期望E（X）的最大值为　 　 ． 21．（2024春•海安市校级期中）某人进行一项试验，若试验成功，则停止试验，若试验失败，再重新试验一次，若试验3次均失败，则放弃试验．若此人每次试验成功的概率均为，则此人试验次数ξ的均值是 　 　 ． 22．（2025•吉林三模）DeepSeek是由中国杭州的DeepSeek公司开发的人工智能模型，其中文名“深度求索”反映了其探索深度学习的决心．DeepSeek主要功能为内容生成、数据分析与可视化、代码辅助、多模态融合、自主智能体等，在金融领域、医疗健康、智能制造、教育领域等多个领域都有广泛的应用场景．为提高DeepSeek的应用能力，某公司组织A，B两部门的50名员工参加DeepSeek培训． （Ⅰ）此次DeepSeek培训的员工中共有6名部门领导参加，恰有3人来自A部门．从这6名部门领导中随机选取2人，记X表示选取的2人中来自A部门的人数，求X的分布列和数学期望； （Ⅱ）此次DeepSeek培训分三轮进行，每位员工第一轮至第三轮培训达到“优秀”的概率分别为，，，每轮培训结果相互独立，至少两轮培训达到“优秀”的员工才能合格． （i）求每位员工经过培训合格的概率； （ii）经过预测，开展DeepSeek培训后，合格的员工每人每年平均为公司创造利润30万元，不合格的员工每人每年平均为公司创造利润20万元，且公司需每年平均为每位参加培训的员工支付3万元的其他成本和费用．试估计该公司A，B两部门培训后的年利润（公司年利润＝员工创造的利润﹣其他成本和费用）． 23．（2025•广安模拟）2024年12月，为培养适应新时代要求的创新型人才，教育部办公厅发布了关于加强中小学人工智能教育的通知．为了坚持立德树人，全面贯彻党的教育方针，紧扣新时代新征程教育使命，满足面向未来的创新型人才培养需求，提升数字素养与数字技能，某市教育局为了培养学生的科技创新素养，在甲、乙两所高中学校举办了一次人工智能科普知识竞赛，两个学校的学生人数基本相同．已知甲学校学生成绩的优秀率为0.24（优秀：竞赛成绩∈（80，100]，单位：分），现从乙学校随机抽取100名学生的竞赛成绩，制成如图所示的频率分布直方图． （1）从乙学校竞赛分数在（70，90]中的学生中，采用分层抽样的方法抽取了9人，现从这9人中随机抽取6人，记成绩优秀的学生人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望E（ξ）； （2）若从本次参赛的学生中随机抽取1人，以样本的频率估计概率，求此学生竞赛成绩优秀的概率； （3）现从参与竞赛的学生中随机抽取n（n≥8）人，若P（Y＝8）≥P（Y＝k）（Y表示n人中优秀人数，0≤k≤n，Y，k∈Z），求n的值 24．（2024•香洲区校级模拟）一只蚂蚁位于数轴x＝0处，这只蚂蚁每隔一秒钟向左或向右移动一个单位长度，设它向右移动的概率为，向左移动的概率为． （1）已知蚂蚁2秒后所在位置对应的实数为非负数，求2秒后这只蚂蚁在x＝0处的概率； （2）记蚂蚁4秒后所在位置对应的实数为X，求X的分布列与期望． 六．离散型随机变量的方差与标准差（共1小题） 25．（2024秋•河南期末）为积极响应国家医药卫生体制改革及2023年全国文化科技“三下乡”活动要求，真正让“人民至上”理念落实落地，着力推动优质医疗资源重心下移、力量下沉，不断增强医疗服务的“深度”和“温度”．我市人民医院打算从各科室推荐的6名医生中任选3名去参加“健康送下乡，义诊暖人心”的活动．这6名医生中，外科医生、内科医生、眼科医生各2名． （1）求选出的外科医生人数多于内科医生人数的概率； （2）设X表示选出的3人中外科医生的人数，求X的均值与方差． 七．两点分布（0-1分布）（共1小题） 26．（2025春•马山县期中）设随机变量X服从两点分布，若P（X＝1）﹣P（X＝0）＝0.2，则P（X＝1）＝　 　 ． 八．n重伯努利试验与二项分布（共1小题） 27．（2023春•肇庆期末）某次数学测验共有10道单选题（四个选项中只有一项是正确的），某同学全都不会做，记该同学做对的题目数为X，且X服从二项分布，则以下说法错误的是（　　） A． B． C．E（2X+1）＝6 D． 九．n次独立重复试验中恰好发生k次的概率（共4小题） 28．（2024•山西三模）如图所示，已知一质点在外力的作用下，从原点O出发，每次向左移动的概率为，向右移动的概率为，若该质点每次移动一个单位长度，设经过5次移动后，该质点位于X的位置，则P（X＞0）＝（　　） A． B． C． D． 29．（2021•合肥模拟）某校高三年级在迎新春趣味运动会上设置了一个三分线外定点投篮比赛项目，规则是：每人投球5次，投中一次得1分，没投中得0分，且连续投中2次额外加1分，连续投中3次额外加2分，连续投中4次额外加3分，全部投中额外加5分．某同学投篮命中概率为，则该同学投篮比赛得3分的概率为（　　） A． B． C． D． 30．（2024春•沧州期末）为了丰富员工的业余生活，某企业举办了有奖答题活动，参加活动的员工依次回答三个问题，不管答对或者答错，三题答完活动结束．规定每位员工只能参加一次活动，且至少答对两道题才能获奖．已知员工甲第一题答对的概率为，第二题答对的概率为，第三题答对的概率为，假设员工甲是否答对每一题相互独立，则员工甲获奖的概率为 　 　 ． 31．（2023春•金华期末）袋子A和B中均装有若干个质地均匀的红球和白球，其中A袋有20个红球和10个白球，从B袋中摸一个球，摸到红球的概率为p． （1）若B袋中的红球和白球总共有15个，将A、B两个袋子中的球全部装在一起后，从中摸出一个白球的概率是，求p的值； （2）从A袋中有放回地摸球，每次摸出一个，当有3次摸到红球即停止，求恰好摸k（k≤5）次停止的概率． 一十．二项分布的均值（数学期望）与方差（共1小题） （多选）32．（2024春•靖远县校级期末）下列说法正确的是（　　） A．设随机变量X服从二项分布，则 B．已知随机变量X服从正态分布N（μ，σ2），且P（x＜4）＝P（x＞﹣2），则μ＝2 C．设随机变量ξ服从二项分布（n，p），若n≤4，则D（ξ）≤1 D．已知随机变量ξ服从两点分布，P（ξ＝1）＝p，且，则E（ξ）随着p的增大而增大，D（ξ）随着p的增大而增大 一十一．正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义（共10小题） 33．（2025春•沈阳期中）如果X服从二项分布B（n，p），当np＞10且n（1﹣p）＞10时，可以近似的认为X服从正态分布N（μ，σ2），据统计高中学生的近视率p＝0.6，某校有600名高中学生．设X为该校高中学生近视人数，且X服从正态分布N（μ，σ2），下列说法正确的是（　　）（参考数据：P（μ﹣σ＜X＜μ+σ）≈0.682，P（μ﹣2σ＜X＜μ+2σ）≈0.9545） A．变量X服从正态分布N（360，12） B．E（2X+1）＝720 C．P（X＜384）＝P（X＞348） D．P（X＜384）≈0.9773 34．（2024秋•河南期末）已知函数f（x）＝x2﹣2ξx+3在（﹣∞，﹣1）上单调递减的概率为，且随机变量ξ～N（μ，1），则P（1≤ξ≤2）＝（附：若X～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ≤X≤μ+σ）＝0.6827，P（μ﹣2σ≤X≤μ+2σ）＝0.9545，P（μ﹣3σ≤X≤μ+3σ）＝0.9973）（　　） A．0.1359 B．0.01587 C．0.0214 D．0.01341 35．（2024•阜阳模拟）设两个正态分布N（μ1，σ12）（σ1＞0）和N（μ2，σ22）（σ2＞0）的密度曲线如图所示，则有（　　） A．μ1＜μ2，σ1＜σ2 B．μ1＜μ2，σ1＞σ2 C．μ1＞μ2，σ1＜σ2 D．μ1＞μ2，σ1＞σ2 36．（2022春•鲤城区校级期中）已知某公司生产的一种产品的质量X（单位：千克）服从正态分布N（90，64）．现从该产品的生产线上随机抽取10000件产品，其中质量在区间（82，106）内的产品估计有（　　） 附：若X～N（u，σ2），则P（μ﹣σ＜X＜μ+σ）≈0.6827，P（μ﹣2σ＜X＜μ+2σ）≈0.9545． A．8186件 B．6827件 C．4772件 D．2718件 （多选）37．（2025春•莱州市校级月考）已知正态密度函数，x∈（﹣∞，+∞），以下关于正态曲线的说法正确的是（　　） A．曲线与x轴之间的面积为1 B．曲线在x＝μ处达到峰值 C．当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移 D．当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“矮胖” （多选）38．（2022•湖北模拟）已知X～N（μ1，σ12），Y～N（μ2，σ22），μ1＞μ2，σ1＞0，σ2＞0，则下列结论中一定成立的有（　　） A．若σ1＞σ2，则P（|X﹣μ1|≤1）＜P（|Y﹣μ2|≤1） B．若σ1＞σ2，则P（|X﹣μ1|≤1）＞P（|Y﹣μ2|≤1） C．若σ1＝σ2，则P（X＞μ2）+P（Y＞μ1）＝1 D．若σ1＝σ2，则P（X＞μ2）+P（Y＞μ1）＜1 39．（2023春•台州期末）某省的高中数学学业水平考试，分为A，B，C，D，E五个等级，其中A，B等级的比例为16%，34%．假设某次数学学业水平考试成绩服从正态分布N（80，σ2），其中王同学得分88分等级为A，李同学得分85分等级为B．请写出一个符合条件的σ值 　 　 ．（参考数据：若X～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ≤X≤μ+σ）≈0.68，P（μ﹣2σ≤X≤μ+2σ）≈0.95） 40．（2023•德州三模）某校高二学生的一次数学诊断考试成绩（单位：分）服从正态分布N（100，102），从中抽取一个同学的数学成绩X，记该同学的成绩80＜X≤100为事件A，记该同学的成绩70＜X≤90为事件B，则在A事件发生的条件下B事件发生的概率P（B|A）＝　 　 ．（结果用分数表示） 附参考数据：P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）＝0.68，P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）＝0.95；P（μ﹣3σ＜X≤μ+3σ）＝0.99 41．（2021•酉阳县校级模拟）对一个物理量做n次测量，并以测量结果的平均值作为该物理量的最后结果．已知最后结果的误差εn～N（0，），为使误差εn在（﹣0.5，0.5）的概率不小于0.9545，至少要测量 　 　 次． （若X～N（μ，σ2），则P（|X﹣μ|＜2σ）＝0.9545）． 42．（2020•桥西区校级模拟）如今我们的互联网生活日益丰富，除了可以很方便地网购，网络外卖也开始成为不少人日常生活中重要的一部分，其中大学生更是频频使用网络外卖服务．A市教育主管部门为掌握网络外卖在该市各大学的发展情况，在某月从该市大学生中随机调查了100人，并将这100人在本月的网络外卖的消费金额制成如下频数分布表（已知每人每月网络外卖消费金额不超过3000元）： 消费金额（单位：百元） [0，5] （5，10] （10，15] （15，20] （20，25] （25，30] 频数 20 35 25 10 5 5 （1）由频数分布表可以认为，该市大学生网络外卖消费金额Z（单位：元）近似地服从正态分布N（μ，σ2），其中μ近似为样本平均数x（每组数据取区间的中点值，σ＝660）．现从该市任取20名大学生，记其中网络外卖消费金额恰在390元至2370元之间的人数为X，求X的数学期望； （2）A市某大学后勤部为鼓励大学生在食堂消费，特地给参与本次问卷调查的大学生每人发放价值100元的饭卡，并推出一档“勇闯关，送大奖”的活动．规则是：在某张方格图上标有第0格、第1格、第2格、…、第60格共61个方格．棋子开始在第0格，然后掷一枚均匀的硬币（已知硬币出现正、反面的概率都是，其中P0＝1），若掷出正面，将棋子向前移动一格（从k到k+1），若掷出反面，则将棋子向前移动两格（从k到k+2）．重复多次，若这枚棋子最终停在第59格，则认为“闯关成功”，并赠送500元充值饭卡；若这枚棋子最终停在第60格，则认为“闯关失败”，不再获得其他奖励，活动结束． ①设棋子移到第n格的概率为Pn，求证：当1≤n≤59时，{Pn﹣Pn﹣1}是等比数列； ②若某大学生参与这档“闯关游戏”，试比较该大学生闯关成功与闯关失败的概率大小，并说明理由． 参考数据：若随机变量ξ服从正态分布N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜ξ≤μ+σ）＝0.6827，P（μ﹣2σ＜ξ≤μ+2σ）＝0.9545，P（μ﹣3σ＜ξ≤μ+3σ）＝0.9973． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$2024-2025学年高二下学期数学常考题型归纳 【随机变量及其分布列专项练习】 总览 题型梳理 一．条件概率（共4小题） 二．求解条件概率（共3小题） 三．全概率公式（共3小题） 四．离散型随机变量及其分布列（共5小题） 五．离散型随机变量的均值（数学期望）（共9小题） 六．离散型随机变量的方差与标准差（共1小题） 七．两点分布（0-1分布）（共1小题） 八．n重伯努利试验与二项分布（共1小题） 九．n次独立重复试验中恰好发生k次的概率（共4小题） 一十．二项分布的均值（数学期望）与方差（共1小题） 一十一．正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义（共10小题） 【知识总览】 1.条件概率 【知识点的认识】 1、条件概率的定义：对于任何两个事件A和B，在已知事件A发生的条件下，事件B发生的概率叫做条件概率，用符号P（B|A）来表示． （2）条件概率公式：称为事件A与B的交（或积）． （3）条件概率的求法： ①利用条件概率公式，分别求出P（A）和P（AB），得P（B|A），其中P（A）＞0； ②借助古典概型概率公式，先求出事件A包含的基本事件数n（A），再在事件A发生的条件下求出事件B包含的基本事件数，即n（A∩B），得P（B|A） 2.求解条件概率 【知识点的认识】 ﹣条件概率：在事件B发生的条件下事件A发生的概率，记作P（A|B）． ﹣计算：其中P（B）＞0． 3.全概率公式 【知识点的认识】 全概率公式 一般地，设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P（Ai）＞0，i＝1，2，…，n，则对任意的事件B⊆Ω，有 P（B）． 4.离散型随机变量及其分布列 【知识点的认识】 1、相关概念； （1）随机变量：如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量随机变量常用希腊字母ξ、η等表示． （2）离散型随机变量：对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量．若ξ是随机变量，η＝aξ+b，其中a、b是常数，则η也是随机变量． （3）连续型随机变量：对于随机变量可能取的值，可以取某一区间内的一切值，这样的变量就叫做连续型随机变量 （4）离散型随机变量与连续型随机变量的区别与联系：离散型随机变量与连续型随机变量都是用变量表示随机试验的结果；但是离散型随机变量的结果可以按一定次序一一列出，而连续性随机变量的结果不可以一一列出． 2、离散型随机变量 （1）随机变量：在随机试验中，试验可能出现的结果可以用一个变量X来表示，并且X是随着试验结果的不同而变化的，这样的变量X叫做一个随机变量．随机变量常用大写字母X，Y，…表示，也可以用希腊字母ξ，η，…表示． （2）离散型随机变量：如果随机变量X的所有可能的取值都能一一列举出来，则称X为离散型随机变量． 3、离散型随机变量的分布列． （1）定义：一般地，设离散型随机变量X的所有可能值为x1，x2，…，xn；X取每一个对应值的概率分别为p1，p2，…，pn，则得下表： X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn 该表为随机变量X的概率分布，或称为离散型随机变量X的分布列． （2）性质：①pi≥0，i＝1，2，3，…，n；②p1+p2+…+pn＝1． 5.离散型随机变量的均值（数学期望） 【知识点的认识】 1、离散型随机变量的期望 数学期望：一般地，若离散型随机变量ξ的概率分布 则称Eξ＝x1p1+x2p2+…+xnpn+…为ξ的数学期望，简称期望． 数学期望的意义：数学期望离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平． 平均数与均值：一般地，在有限取值离散型随机变量ξ的概率分布中，令p1＝p2＝…＝pn，则有p1＝p2＝…＝pn，Eξ＝（x1+x2+…+xn），所以ξ的数学期望又称为平均数、均值． 期望的一个性质：若η＝aξ+b，则E（aξ+b）＝aEξ+b． 6.离散型随机变量的方差与标准差 【知识点的认识】 1、离散型随机变量的期望 数学期望：一般地，若离散型随机变量ξ的概率分布为 x 1 x 2 … xn … P p 1 p 2 … pn … 则称Eξ＝x1p1+x2p2+…+xnpn+…为ξ的数学期望，简称期望． 数学期望的意义：数学期望离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平． 平均数与均值：一般地，在有限取值离散型随机变量ξ的概率分布中，令p1＝p2＝…＝pn，则有p1＝p2＝…＝pn，Eξ＝（x1+x2+…+xn），所以ξ的数学期望又称为平均数、均值． 期望的一个性质：若η＝aξ+b，则E（aξ+b）＝aEξ+b． 2、离散型随机变量的方差； 方差：对于离散型随机变量ξ，如果它所有可能取的值是x1，x2，…，xn，…，且取这些值的概率分别是p1，p2，…，pn…，那么， 称为随机变量ξ的均方差，简称为方差，式中的Eξ是随机变量ξ的期望． 标准差：Dξ的算术平方根叫做随机变量ξ的标准差，记作． 方差的性质：． 方差的意义： （1）随机变量 的方差的定义与一组数据的方差的定义式是相同的； （2）随机变量 的方差、标准差也是随机变量 的特征数，它们都反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度； （3）标准差与随机变量本身有相同的单位，所以在实际问题中应用更广泛． 8.两点分布（0-1分布） 【知识点的认识】 ﹣0﹣1分布：也称为伯努利分布，只有两个可能取值（0或1），用于描述事件发生的概率 9.n重伯努利试验与二项分布 【知识点的认识】 1、二项分布： 一般地，在n次独立重复的试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次试验中事件A发生的概率为p，则 P（X＝k）pk（1﹣p）n﹣k，k＝0，1，2，…n，此时称随机变量X服从二项分布，记作X～B（n，p），并记 pk（1﹣p）n﹣k＝b（k，n，p）． 2、独立重复试验： （1）独立重复试验的意义：做n次试验，如果它们是完全同样的一个试验的重复，且它们相互独立，那么这类试验叫做独立重复试验． （2）一般地，在n次独立重复试验中，设事件A发生的次数为X，在每件试验中事件A发生的概率为p，那么在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为P（X＝k）pk（1﹣p）n﹣k，k＝0，1，2，…n，此时称随机变量X服从二项分布，记作X～B（n，p），并称p为成功概率． （3）独立重复试验：若n次重复试验中，每次试验结果的概率都不依赖于其他各次试验的结果，则称这n次试验是独立的． （4）独立重复试验概率公式的特点：Pn（k）pk（1﹣p）n﹣k，是n次独立重复试验中某 事件A恰好发生k次的概率．其中，n是重复试验的次数，p是一次试验中某事件A发生的概率，k是在n次独立重复试验中事件A恰好发生的次数，需要弄清公式中n，p，k的意义，才能正确运用公式． 10.n次独立重复试验中恰好发生k次的概率 【知识点的认识】 一般地，在n次独立重复试验中，用ξ表示事件A发生的次数，如果事件发生的概率是P，则不发生的概率q＝1﹣p，N次独立重复试验中发生K次的概率是P（ξ＝K）（K＝1，2，3，…n）那么就说ξ服从二项分布．其中P称为成功概率．记作ξ～B（n，p），期望：Eξ＝np，方差：Dξ＝npq． 11.二项分布的均值（数学期望）与方差 【知识点的认识】 二项分布： 一般地，在n次独立重复的试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次试验中事件A发生的概率为p，则 P（X＝k）pk（1﹣p）n﹣k，k＝0，1，2，…n，此时称随机变量X服从二项分布，记作X～B（n，p），并记 pk（1﹣p）n﹣k＝b（k，n，p）． ﹣均值（数学期望）：，其中n为试验次数，p为每次试验成功的概率． ﹣方差：． 12.正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义 【知识点的认识】 1．正态曲线及性质 （1）正态曲线的定义 函数φμ， σ（x），x∈（﹣∞，+∞），其中实数μ和σ（σ＞0）为参数，我们称φμ，σ（x）的图象（如图）为正态分布密度曲线，简称正态曲线． （2）正态曲线的解析式 ①指数的自变量是x定义域是R，即x∈（﹣∞，+∞）． ②解析式中含有两个常数：π和e，这是两个无理数． ③解析式中含有两个参数：μ和σ，其中μ可取任意实数，σ＞0这是正态分布的两个特征数． ④解析式前面有一个系数为，后面是一个以e为底数的指数函数的形式，幂指数为． 2．正态分布 （1）正态分布的定义及表示 如果对于任何实数a，b（a＜b），随机变量X满足P（a＜X≤b）φμ，σ（x）d x，则称X的分布为正态分布，记作N（μ，σ2）． （2）正态总体在三个特殊区间内取值的概率值 ①P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）＝0.6826； ②P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）＝0.9544； ③P（μ﹣3σ＜X≤μ+3σ）＝0.9974． 3．正态曲线的性质 正态曲线φμ， σ（x），x∈R有以下性质： （1）曲线位于x轴上方，与x轴不相交； （2）曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称； （3）曲线在x＝μ处达到峰值； （4）曲线与x轴围成的图形的面积为1； （5）当σ一定时，曲线随着μ的变化而沿x轴平移； （6）当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散． 题型分类 知识讲解与常考题型 一．条件概率（共4小题） （多选）1．（2024秋•江西校级期末）已知事件A，B，C满足P（A）＝0.6，P（B）＝0.2，则下列结论正确的是（　　） A．如果P（A∪B∪C）＝1，那么P（C）＝0.2 B．如果B⊆A，那么P（A∪B）＝0.6，P（B|A）＝0.25 C．如果A与B互斥，那么P（A∪B）＝0.8 D．如果A与B相互独立，那么P（•）＝0.32 （多选）2．（2024春•哈尔滨期末）甲、乙、丙、丁4人每人随机选取VisualBasie、VisualC++，VisualFoxpro三种编程语言之一进行学习，每种编程语言至少有1人学习，A表示事件“甲学习VisualBasic编程语言”；B表示事件“乙学习VisualBasic编程语言”；C表示事件“乙学习VisualC++编程语言”，则（　　） A．事件A与B相互独立 B．事件A与C不是互斥事件 C． D． （多选）3．（2024春•长寿区期末）一工厂将两盒产品送检，甲盒中有4个一等品，3个二等品和3个三等品，乙盒中有5个一等品，2个二等品和3个三等品．先从甲盒中随机取出一个产品放入乙盒，分别以A1，A2和A3表示由甲盒取出的产品是一等品，二等品和三等品的事件；再从乙盒中随机取出一产品，以B表示由乙盒取出的产品是一等品的事件．则下列结论中正确的是（　　） A． B． C．事件B与事件A1相互独立 D．A1，A2，A3是两两互斥的事件 4．（2022春•龙岩期中）在箱子中有大小相同，仅颜色不同的小球共6个，其中红色小球2个，白色小球4个．现从箱子中每次随机取出一个小球，若取出的是白球，放回，并继续从箱子中随机取出一个小球；若取出的是红色小球，不放回，并继续从箱子中随机取出一个小球．直到取出2个红色小球结束． （1）若在第一次取出的小球是红球的条件下，求取球4次结束的概率； （2）求取球结束时，取球次数不超过3次的概率． 二．求解条件概率（共3小题） （多选）5．（2025•沙坪坝区校级模拟）设A，B为一次随机试验中的两个事件，若，则（　　） A． B． C． D．A与B相互独立 （多选）6．（2025•温州模拟）抛掷一枚质地均匀的骰子，记试验的样本空间为Ω＝{1，2，3，4，5，6}，事件M＝{1，2}，事件N＝{2，3，4}，则（　　） A．M与N是互斥事件 B．M与N是相互独立事件 C．P（M|N）＝P（N|M） D． 7．（2025•南开区二模）甲、乙两个袋子中各有10个除颜色外完全相同的小球，其中甲袋中有7个红球，3个黄球，乙袋中有8个红球，2个黄球．若从两个袋子中各任取1个球，则都取到红球的概率为 　 　 ；若从两个袋子中各任取1个球，两球颜色不同的条件下，乙袋中取出黄球的概率为 　 　 ． 三．全概率公式（共3小题） 8．（2022春•五华区校级期中）现有8道四选一的单选题，某考生对其中6道题有思路，2道题完全没有思路，有思路的题做对的概率均为0.8，没有思路的题只好任意猜一个答案，猜对答案的概率为0.25．该考生从这8道题中随机选1题，则他答对该题的概率为 　 　 ． 9．（2025春•南岸区校级期中）某学校有C、D两个图书馆，某学生每天都会在这两个图书馆中选择一个去学习，已知该学生第一天选择C图书馆的概率是，若在前一天选择C图书馆的条件下，后一天继续选择C图书馆的概率为，而在前一天选择D图书馆的条件下，后一天继续选择D图书馆的概率为，如此往复． （1）求该学生第一天和第二天都选择C图书馆的概率； （2）求该学生第二天选择C图书馆的概率； （3）记该学生第n天选择C图书馆的概率为Qn，求数列{Qn}的通项公式． 10．（2024春•白山期末）Matlab是一种数学软件，用于数据分析、无线通信、深度学习、图象处理与计算机视觉、信号处理、量化金融与风险管理、人工智能机器人和控制系统等领域，推动了人类基础教育和基础科学的发展．某学校举行了相关Matlab专业知识考试，试卷中只有两道题目，已知甲同学答对每题的概率都为p，乙同学答对每题的概率都为q（p＞q），且在考试中每人各题答题结果互不影响．已知每题甲、乙同时答对的概率为，恰有一人答对的概率为． （1）求p和q的值； （2）试求两人共答对3道题的概率． 四．离散型随机变量及其分布列（共5小题） 11．（2020春•桥西区校级月考）已知随机变量X的分布列为，k＝1，2，…10，则P（3≤X≤4）＝（　　） A． B． C． D． （多选）12．（2024春•罗定市期中）设随机变量ξ的分布列为P（ξ）＝ak（k＝1，2，3，4，5），则（　　） A．15a＝1 B．P（0.5＜ξ＜0.8）＝0.2 C．P（0.1＜ξ＜0.5）＝0.2 D．P（ξ＝1）＝0.3 （多选）13．（2022春•乐平市校级期末）中秋节又称祭月节、仲秋节、拜月节、团圆节等，是中国民间的传统节日．中秋节自古便有祭月、赏月、吃月饼等民俗，流传至今，经久不息．在一个食盒中装有大小一样的五仁月饼6个，鲜肉月饼4个，小明同学从中一次性任取4个月饼，设取出的4个月饼中鲜肉月饼的个数为X，则下列结论正确的是（　　） A． B．随机变量X服从二项分布 C．随机变量X服从超几何分布 D． 14．（2022春•定远县校级期末）甲、乙去某公司应聘面试．该公司的面试方案为：应聘者从6道备选题中一次性随机抽取3道题，按照答对题目的个数为标准进行筛选．已知6道备选题中应聘者甲有4道题能正确完成，2道题不能完成；应聘者乙每题正确完成的概率都是，且每题正确完成与否互不影响． （1）分别求甲、乙两人正确完成面试题数的分布列； （2）请分析比较甲、乙两人谁的面试通过的可能性较大？ 15．（2021春•广陵区校级期中）电子蛙跳游戏是：青蛙第一步从如图所示的正方体ABCD﹣A1B1C1D1顶点A起跳，每步从一顶点跳到相邻的顶点． （1）直接写出跳两步跳到C的概率P； （2）求跳三步跳到C1的概率P1； （3）青蛙跳五步，用X表示跳到过C1的次数，求随机变量X的概率分布． 五．离散型随机变量的均值（数学期望）（共9小题） 16．（2025•岳阳模拟）如图，一个质点在随机外力的作用下，从原点0出发，每隔1s等可能地向左或向右移动一个单位，共移动6次，则下列正确的是（　　） A．质点回到原点的概率为 B．质点回到原点的概率为 C．质点位于4的位置的概率为 D．质点位于4的位置的概率是 17．（2025春•九龙坡区校级期中）高尔顿板是英国生物统计学家高尔顿设计用来研究随机现象的模型．在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木块，小木块之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃．每次试验时，让一个小球从高尔顿板上方的通道口落下，小球在下落过程中与层层小木块碰撞，且等可能向左或向右滚下，最后掉入高尔顿板下方的某一球槽内，在如图所示的小木块中，上面10层为高尔顿板，最下面为球槽．小球从通道口落下，第一次与第2层中间的小木块碰撞，以的概率向左或向右滚下，依次经过9次与小木块碰撞，最后掉入编号（从左至右）为1，2，3，4，5，6，7，8，9，10的球槽内．若一次试验中小球滚落至事先选定的球槽编号n即得积分an，否则不得分．若，为使所得积分的数学期望最大，每次试验前选定的球槽编号为（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 18．（2025春•辽宁月考）已知X～B（3，p）（0＜p＜1），4P（X＝3）+P（X＝2），且Y＝2X+1，则下列选项中不正确的是（　　） A． B． C． D．E（Y）﹣1＝2D（Y） （多选）19．（2024春•太原期末）已知两组样本数据x1，x2，…x10和y1，y2，…y10的均值和方差分别为，和，则下列结论正确的是（　　） A．若xi+yi＝50，且0＜xi＜yi（i＝1，2，⋯，10），则 B．若xi+yi＝50，且0＜xi＜yi（i＝1，2，⋯，10），则 C．若yi＝2xi+3（i＝1，2，⋯，10），且，则9 D．若yi＝2xi+3（i＝1，2，⋯，10），且，则 20．（2025春•丰城市校级期中）甲、乙两名运动员进行乒乓球比赛，规定每局比赛胜者得1分，负者得0分，比赛一直进行到一方比另一方多两分为止，多得两分的一方赢得比赛．已知每局比赛中，甲获胜的概率为α，乙获胜的概率为β，（α+β＝1，α＞0，β＞0），且每局比赛结果相互独立．若比赛最多进行5局，则比赛结束时比赛局数X的期望E（X）的最大值为　 　 ． 21．（2024春•海安市校级期中）某人进行一项试验，若试验成功，则停止试验，若试验失败，再重新试验一次，若试验3次均失败，则放弃试验．若此人每次试验成功的概率均为，则此人试验次数ξ的均值是 　 　 ． 22．（2025•吉林三模）DeepSeek是由中国杭州的DeepSeek公司开发的人工智能模型，其中文名“深度求索”反映了其探索深度学习的决心．DeepSeek主要功能为内容生成、数据分析与可视化、代码辅助、多模态融合、自主智能体等，在金融领域、医疗健康、智能制造、教育领域等多个领域都有广泛的应用场景．为提高DeepSeek的应用能力，某公司组织A，B两部门的50名员工参加DeepSeek培训． （Ⅰ）此次DeepSeek培训的员工中共有6名部门领导参加，恰有3人来自A部门．从这6名部门领导中随机选取2人，记X表示选取的2人中来自A部门的人数，求X的分布列和数学期望； （Ⅱ）此次DeepSeek培训分三轮进行，每位员工第一轮至第三轮培训达到“优秀”的概率分别为，，，每轮培训结果相互独立，至少两轮培训达到“优秀”的员工才能合格． （i）求每位员工经过培训合格的概率； （ii）经过预测，开展DeepSeek培训后，合格的员工每人每年平均为公司创造利润30万元，不合格的员工每人每年平均为公司创造利润20万元，且公司需每年平均为每位参加培训的员工支付3万元的其他成本和费用．试估计该公司A，B两部门培训后的年利润（公司年利润＝员工创造的利润﹣其他成本和费用）． 23．（2025•广安模拟）2024年12月，为培养适应新时代要求的创新型人才，教育部办公厅发布了关于加强中小学人工智能教育的通知．为了坚持立德树人，全面贯彻党的教育方针，紧扣新时代新征程教育使命，满足面向未来的创新型人才培养需求，提升数字素养与数字技能，某市教育局为了培养学生的科技创新素养，在甲、乙两所高中学校举办了一次人工智能科普知识竞赛，两个学校的学生人数基本相同．已知甲学校学生成绩的优秀率为0.24（优秀：竞赛成绩∈（80，100]，单位：分），现从乙学校随机抽取100名学生的竞赛成绩，制成如图所示的频率分布直方图． （1）从乙学校竞赛分数在（70，90]中的学生中，采用分层抽样的方法抽取了9人，现从这9人中随机抽取6人，记成绩优秀的学生人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望E（ξ）； （2）若从本次参赛的学生中随机抽取1人，以样本的频率估计概率，求此学生竞赛成绩优秀的概率； （3）现从参与竞赛的学生中随机抽取n（n≥8）人，若P（Y＝8）≥P（Y＝k）（Y表示n人中优秀人数，0≤k≤n，Y，k∈Z），求n的值 24．（2024•香洲区校级模拟）一只蚂蚁位于数轴x＝0处，这只蚂蚁每隔一秒钟向左或向右移动一个单位长度，设它向右移动的概率为，向左移动的概率为． （1）已知蚂蚁2秒后所在位置对应的实数为非负数，求2秒后这只蚂蚁在x＝0处的概率； （2）记蚂蚁4秒后所在位置对应的实数为X，求X的分布列与期望． 六．离散型随机变量的方差与标准差（共1小题） 25．（2024秋•河南期末）为积极响应国家医药卫生体制改革及2023年全国文化科技“三下乡”活动要求，真正让“人民至上”理念落实落地，着力推动优质医疗资源重心下移、力量下沉，不断增强医疗服务的“深度”和“温度”．我市人民医院打算从各科室推荐的6名医生中任选3名去参加“健康送下乡，义诊暖人心”的活动．这6名医生中，外科医生、内科医生、眼科医生各2名． （1）求选出的外科医生人数多于内科医生人数的概率； （2）设X表示选出的3人中外科医生的人数，求X的均值与方差． 七．两点分布（0-1分布）（共1小题） 26．（2025春•马山县期中）设随机变量X服从两点分布，若P（X＝1）﹣P（X＝0）＝0.2，则P（X＝1）＝　 　 ． 八．n重伯努利试验与二项分布（共1小题） 27．（2023春•肇庆期末）某次数学测验共有10道单选题（四个选项中只有一项是正确的），某同学全都不会做，记该同学做对的题目数为X，且X服从二项分布，则以下说法错误的是（　　） A． B． C．E（2X+1）＝6 D． 九．n次独立重复试验中恰好发生k次的概率（共4小题） 28．（2024•山西三模）如图所示，已知一质点在外力的作用下，从原点O出发，每次向左移动的概率为，向右移动的概率为，若该质点每次移动一个单位长度，设经过5次移动后，该质点位于X的位置，则P（X＞0）＝（　　） A． B． C． D． 29．（2021•合肥模拟）某校高三年级在迎新春趣味运动会上设置了一个三分线外定点投篮比赛项目，规则是：每人投球5次，投中一次得1分，没投中得0分，且连续投中2次额外加1分，连续投中3次额外加2分，连续投中4次额外加3分，全部投中额外加5分．某同学投篮命中概率为，则该同学投篮比赛得3分的概率为（　　） A． B． C． D． 30．（2024春•沧州期末）为了丰富员工的业余生活，某企业举办了有奖答题活动，参加活动的员工依次回答三个问题，不管答对或者答错，三题答完活动结束．规定每位员工只能参加一次活动，且至少答对两道题才能获奖．已知员工甲第一题答对的概率为，第二题答对的概率为，第三题答对的概率为，假设员工甲是否答对每一题相互独立，则员工甲获奖的概率为 　 　 ． 31．（2023春•金华期末）袋子A和B中均装有若干个质地均匀的红球和白球，其中A袋有20个红球和10个白球，从B袋中摸一个球，摸到红球的概率为p． （1）若B袋中的红球和白球总共有15个，将A、B两个袋子中的球全部装在一起后，从中摸出一个白球的概率是，求p的值； （2）从A袋中有放回地摸球，每次摸出一个，当有3次摸到红球即停止，求恰好摸k（k≤5）次停止的概率． 一十．二项分布的均值（数学期望）与方差（共1小题） （多选）32．（2024春•靖远县校级期末）下列说法正确的是（　　） A．设随机变量X服从二项分布，则 B．已知随机变量X服从正态分布N（μ，σ2），且P（x＜4）＝P（x＞﹣2），则μ＝2 C．设随机变量ξ服从二项分布（n，p），若n≤4，则D（ξ）≤1 D．已知随机变量ξ服从两点分布，P（ξ＝1）＝p，且，则E（ξ）随着p的增大而增大，D（ξ）随着p的增大而增大 一十一．正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义（共10小题） 33．（2025春•沈阳期中）如果X服从二项分布B（n，p），当np＞10且n（1﹣p）＞10时，可以近似的认为X服从正态分布N（μ，σ2），据统计高中学生的近视率p＝0.6，某校有600名高中学生．设X为该校高中学生近视人数，且X服从正态分布N（μ，σ2），下列说法正确的是（　　）（参考数据：P（μ﹣σ＜X＜μ+σ）≈0.682，P（μ﹣2σ＜X＜μ+2σ）≈0.9545） A．变量X服从正态分布N（360，12） B．E（2X+1）＝720 C．P（X＜384）＝P（X＞348） D．P（X＜384）≈0.9773 34．（2024秋•河南期末）已知函数f（x）＝x2﹣2ξx+3在（﹣∞，﹣1）上单调递减的概率为，且随机变量ξ～N（μ，1），则P（1≤ξ≤2）＝（附：若X～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ≤X≤μ+σ）＝0.6827，P（μ﹣2σ≤X≤μ+2σ）＝0.9545，P（μ﹣3σ≤X≤μ+3σ）＝0.9973）（　　） A．0.1359 B．0.01587 C．0.0214 D．0.01341 35．（2024•阜阳模拟）设两个正态分布N（μ1，σ12）（σ1＞0）和N（μ2，σ22）（σ2＞0）的密度曲线如图所示，则有（　　） A．μ1＜μ2，σ1＜σ2 B．μ1＜μ2，σ1＞σ2 C．μ1＞μ2，σ1＜σ2 D．μ1＞μ2，σ1＞σ2 36．（2022春•鲤城区校级期中）已知某公司生产的一种产品的质量X（单位：千克）服从正态分布N（90，64）．现从该产品的生产线上随机抽取10000件产品，其中质量在区间（82，106）内的产品估计有（　　） 附：若X～N（u，σ2），则P（μ﹣σ＜X＜μ+σ）≈0.6827，P（μ﹣2σ＜X＜μ+2σ）≈0.9545． A．8186件 B．6827件 C．4772件 D．2718件 （多选）37．（2025春•莱州市校级月考）已知正态密度函数，x∈（﹣∞，+∞），以下关于正态曲线的说法正确的是（　　） A．曲线与x轴之间的面积为1 B．曲线在x＝μ处达到峰值 C．当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移 D．当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“矮胖” （多选）38．（2022•湖北模拟）已知X～N（μ1，σ12），Y～N（μ2，σ22），μ1＞μ2，σ1＞0，σ2＞0，则下列结论中一定成立的有（　　） A．若σ1＞σ2，则P（|X﹣μ1|≤1）＜P（|Y﹣μ2|≤1） B．若σ1＞σ2，则P（|X﹣μ1|≤1）＞P（|Y﹣μ2|≤1） C．若σ1＝σ2，则P（X＞μ2）+P（Y＞μ1）＝1 D．若σ1＝σ2，则P（X＞μ2）+P（Y＞μ1）＜1 39．（2023春•台州期末）某省的高中数学学业水平考试，分为A，B，C，D，E五个等级，其中A，B等级的比例为16%，34%．假设某次数学学业水平考试成绩服从正态分布N（80，σ2），其中王同学得分88分等级为A，李同学得分85分等级为B．请写出一个符合条件的σ值 　 　 ．（参考数据：若X～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ≤X≤μ+σ）≈0.68，P（μ﹣2σ≤X≤μ+2σ）≈0.95） 40．（2023•德州三模）某校高二学生的一次数学诊断考试成绩（单位：分）服从正态分布N（100，102），从中抽取一个同学的数学成绩X，记该同学的成绩80＜X≤100为事件A，记该同学的成绩70＜X≤90为事件B，则在A事件发生的条件下B事件发生的概率P（B|A）＝　 　 ．（结果用分数表示） 附参考数据：P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）＝0.68，P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）＝0.95；P（μ﹣3σ＜X≤μ+3σ）＝0.99 41．（2021•酉阳县校级模拟）对一个物理量做n次测量，并以测量结果的平均值作为该物理量的最后结果．已知最后结果的误差εn～N（0，），为使误差εn在（﹣0.5，0.5）的概率不小于0.9545，至少要测量 　 　 次． （若X～N（μ，σ2），则P（|X﹣μ|＜2σ）＝0.9545）． 42．（2020•桥西区校级模拟）如今我们的互联网生活日益丰富，除了可以很方便地网购，网络外卖也开始成为不少人日常生活中重要的一部分，其中大学生更是频频使用网络外卖服务．A市教育主管部门为掌握网络外卖在该市各大学的发展情况，在某月从该市大学生中随机调查了100人，并将这100人在本月的网络外卖的消费金额制成如下频数分布表（已知每人每月网络外卖消费金额不超过3000元）： 消费金额（单位：百元） [0，5] （5，10] （10，15] （15，20] （20，25] （25，30] 频数 20 35 25 10 5 5 （1）由频数分布表可以认为，该市大学生网络外卖消费金额Z（单位：元）近似地服从正态分布N（μ，σ2），其中μ近似为样本平均数x（每组数据取区间的中点值，σ＝660）．现从该市任取20名大学生，记其中网络外卖消费金额恰在390元至2370元之间的人数为X，求X的数学期望； （2）A市某大学后勤部为鼓励大学生在食堂消费，特地给参与本次问卷调查的大学生每人发放价值100元的饭卡，并推出一档“勇闯关，送大奖”的活动．规则是：在某张方格图上标有第0格、第1格、第2格、…、第60格共61个方格．棋子开始在第0格，然后掷一枚均匀的硬币（已知硬币出现正、反面的概率都是，其中P0＝1），若掷出正面，将棋子向前移动一格（从k到k+1），若掷出反面，则将棋子向前移动两格（从k到k+2）．重复多次，若这枚棋子最终停在第59格，则认为“闯关成功”，并赠送500元充值饭卡；若这枚棋子最终停在第60格，则认为“闯关失败”，不再获得其他奖励，活动结束． ①设棋子移到第n格的概率为Pn，求证：当1≤n≤59时，{Pn﹣Pn﹣1}是等比数列； ②若某大学生参与这档“闯关游戏”，试比较该大学生闯关成功与闯关失败的概率大小，并说明理由． 参考数据：若随机变量ξ服从正态分布N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜ξ≤μ+σ）＝0.6827，P（μ﹣2σ＜ξ≤μ+2σ）＝0.9545，P（μ﹣3σ＜ξ≤μ+3σ）＝0.9973． 【解析】 一．条件概率（共4小题） （多选）1．（2024秋•江西校级期末）已知事件A，B，C满足P（A）＝0.6，P（B）＝0.2，则下列结论正确的是（　　） A．如果P（A∪B∪C）＝1，那么P（C）＝0.2 B．如果B⊆A，那么P（A∪B）＝0.6，P（B|A）＝0.25 C．如果A与B互斥，那么P（A∪B）＝0.8 D．如果A与B相互独立，那么P（•）＝0.32 【考点】条件概率；互斥事件与对立事件；互斥事件的概率加法公式；相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式．版权所有 【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；概率与统计；运算求解． 【答案】CD 【分析】根据题意，举出反例可得A错误，由条件概率的计算公式求出P（B|A），可得B错误，由互斥事件的概率性质可得C正确，由相互独立事件的概率性质可得D正确，综合可得答案． 【解答】解：根据题意，依次分析选项： 对于A，当B⊆A，而A与C为对立事件时，满足P（A∪B∪C）＝1，而P（C）＝0.4，A错误； 对于B，如果B⊆A，那么P（A∪B）＝P（A）＝0.6，P（B|A），B错误； 对于C，如果A与B互斥，那么P（A∪B）＝P（A）+P（B）＝0.8，C正确； 对于D，如果A与B相互独立，那么P（•）＝P（）P（）＝（1﹣0.6）（1﹣0.2）＝0.32，D正确． 故选：CD． 【点评】本题考查条件概率和互斥事件、相互独立事件的概率的计算，涉及概率的性质，属于基础题． （多选）2．（2024春•哈尔滨期末）甲、乙、丙、丁4人每人随机选取VisualBasie、VisualC++，VisualFoxpro三种编程语言之一进行学习，每种编程语言至少有1人学习，A表示事件“甲学习VisualBasic编程语言”；B表示事件“乙学习VisualBasic编程语言”；C表示事件“乙学习VisualC++编程语言”，则（　　） A．事件A与B相互独立 B．事件A与C不是互斥事件 C． D． 【考点】条件概率；互斥事件与对立事件．版权所有 【专题】转化思想；综合法；概率与统计；逻辑思维；运算求解． 【答案】BCD 【分析】先求出，，．利用相互独立事件的定义判断A；用互斥事件的定义判断B；用条件概率公式判断CD． 【解答】解：甲、乙、丙、丁4人每人随机选取VisualBasie、VisualC++，VisualFoxpro三种编程语言之一进行学习， 每种编程语言至少有1人学习，A表示事件“甲学习VisualBasic编程语言”； B表示事件“乙学习VisualBasic编程语言”；C表示事件“乙学习VisualC++编程语言”， 4人选择3种编程语言之一，每种编程语言至少有1人学习，共有种安排方案， 甲学习VisualBasic编程语言、乙学习VisualBasic编程语言、乙学习VisualC++编程语言，各有种方案， ∴； 甲、乙均学习VisualBasic编程语言，有种方案， ∴； 甲学习VisualBasic编程语言且乙学习VisualC++编程语言，有种方案，∴， 对于A，∵P（AB）≠P（A）P（B），∴事件A与B不相互独立，故A错误； 对于B，∵，∴事件A与C不是互斥事件，故B正确； 对于C，，故C正确； 对于D，，故D正确． 故选：BCD． 【点评】本题考查互斥事件、相互独立事件的定义、条件概率公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． （多选）3．（2024春•长寿区期末）一工厂将两盒产品送检，甲盒中有4个一等品，3个二等品和3个三等品，乙盒中有5个一等品，2个二等品和3个三等品．先从甲盒中随机取出一个产品放入乙盒，分别以A1，A2和A3表示由甲盒取出的产品是一等品，二等品和三等品的事件；再从乙盒中随机取出一产品，以B表示由乙盒取出的产品是一等品的事件．则下列结论中正确的是（　　） A． B． C．事件B与事件A1相互独立 D．A1，A2，A3是两两互斥的事件 【考点】条件概率；随机事件；互斥事件与对立事件；相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式．版权所有 【专题】对应思想；综合法；概率与统计；运算求解． 【答案】ABD 【分析】有条件概率的定义可得B正确；利用全概率公式进行计算，可得A正确；有相互独立事件的判定方法可得C错误；有互斥事件的定义易得D正确． 【解答】解：因为甲盒中有4个一等品，3个二等品和3个三等品， 则， 乙盒中有5个一等品，2个二等品和3个三等品， 则， 则P（B）＝P（A1）•P（B|A1）+P（A2）•P（B|A2）+P（A3）•P（B|A3），故A，B正确； 因为， 又，， 则P（A1B）≠P（A1）•P（B），则两事件不相互独立， 故C错误； 根据互斥事件的定义可知，A1，A2，A3是两两互斥的事件， 故D正确． 故选：ABD． 【点评】本题考查条件概率，考查学生的计算能力，属于基础题． 4．（2022春•龙岩期中）在箱子中有大小相同，仅颜色不同的小球共6个，其中红色小球2个，白色小球4个．现从箱子中每次随机取出一个小球，若取出的是白球，放回，并继续从箱子中随机取出一个小球；若取出的是红色小球，不放回，并继续从箱子中随机取出一个小球．直到取出2个红色小球结束． （1）若在第一次取出的小球是红球的条件下，求取球4次结束的概率； （2）求取球结束时，取球次数不超过3次的概率． 【考点】条件概率．版权所有 【专题】对应思想；转化法；概率与统计；数据分析． 【答案】（1）；（2）． 【分析】（1）利用条件概率求解； （2）取球结束时，取球不超过3次即取球刚好两次和刚好三次，利用互斥事件和独立事件的概率公式求解． 【解答】解：（1）设A＝第二次取到的是白球，B＝第三次取到的是白球，C＝第四次取到的是红球， 因为第一次取出的小球是红球，所以取球4次结束即第二次、第三次都是白球，第四次取到的是红球， 所以在第一次取出的小球是红球的条件下，取球4次结束的概率为P1＝P（ABC）＝P（A）P（B）P（C）， 所以在第一次取出的小球是红球的条件下，取球4次结束的概率为； （2）取球结束时，取球不超过3次即取球刚好两次和刚好三次： 取球结束时，取球刚好两次，即两次都是红球，概率为P2， 取球结束时，取球刚好三次，即白红红、红白红，概率为P3． 所以取球结束时，取球不超过3次的概率为P2+P3． 【点评】本题考查条件概率，考查学生的计算能力，确定基本事件的个数是关键． 二．求解条件概率（共3小题） （多选）5．（2025•沙坪坝区校级模拟）设A，B为一次随机试验中的两个事件，若，则（　　） A． B． C． D．A与B相互独立 【考点】求解条件概率．版权所有 【专题】整体思想；综合法；概率与统计；运算求解． 【答案】AC 【分析】先由P（A）求出P（），利用条件概率公式得P（AB），进而得P（AB）判断A，B；再由（P（AB）得出P（AB），算出P（B）判断C；最后根据 P（B）与P（AB）求P（AB），与P（A）P（B）比较判断D． 【解答】解：已知，则， 由可得， 因为P（A）＝P（AB）+P（AB）， 所以，所以选项A正确，B错误； 因为， 所以，即，P（B），故C正确； 因为P（B）＝P（AB）+P（AB），所以P（AB）＝P（B）﹣P（B）0≠P（A）P（B），故D错误． 故选：AC． 【点评】本题主要考查了条件概率的求解，还考查了独立性判断，属于中档题． （多选）6．（2025•温州模拟）抛掷一枚质地均匀的骰子，记试验的样本空间为Ω＝{1，2，3，4，5，6}，事件M＝{1，2}，事件N＝{2，3，4}，则（　　） A．M与N是互斥事件 B．M与N是相互独立事件 C．P（M|N）＝P（N|M） D． 【考点】求解条件概率；事件的互斥（互不相容）及互斥事件；由两事件交事件的概率判断两事件的相互独立性．版权所有 【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；概率与统计；运算求解． 【答案】BD 【分析】根据互斥事件与独立事件定义可判断A错误，B正确，由条件概率公式公式计算可得C错误，再由对立事件公式计算可得D正确． 【解答】解：根据题意，依次分析选项： 对于A，事件M＝{1，2}，事件N＝{2，3，4}，则M∩N＝{2}，事件M，N可以同时发生，不是互斥事件，故A错误； 对于B，，满足P（MN）＝P（M）P（N），故B正确； 对于C，由B可知，故C错误； 对于D，，； 所以，故D正确． 故选：BD． 【点评】本题考查条件概率的计算，涉及互斥事件、相互独立事件的判断，属于基础题． 7．（2025•南开区二模）甲、乙两个袋子中各有10个除颜色外完全相同的小球，其中甲袋中有7个红球，3个黄球，乙袋中有8个红球，2个黄球．若从两个袋子中各任取1个球，则都取到红球的概率为 　　 ；若从两个袋子中各任取1个球，两球颜色不同的条件下，乙袋中取出黄球的概率为 　　 ． 【考点】求解条件概率；古典概型及其概率计算公式．版权所有 【专题】对应思想；综合法；概率与统计；逻辑思维． 【答案】； 【分析】利用独立事件的概率乘法公式即可求解第一空；分别设事件A＝“从两个袋子中各任取1个球，两球颜色不同”，事件B＝“乙袋中取出黄球”，然后利用条件概率公式求解第二空． 【解答】解：若从两个袋子中各任取1个球，则都取到红球的概率为； 设事件A＝“从两个袋子中各任取1个球，两球颜色不同”，事件B＝“乙袋中取出黄球” 则P（A），P（AB）， 所以若从两个袋子中各任取1个球，两球颜色不同的条件下，乙袋中取出黄球的概率为P（B|A）． 故答案为：；． 【点评】本题考查独立事件的概率乘法公式以及条件概率公式，属于基础题． 三．全概率公式（共3小题） 8．（2022春•五华区校级期中）现有8道四选一的单选题，某考生对其中6道题有思路，2道题完全没有思路，有思路的题做对的概率均为0.8，没有思路的题只好任意猜一个答案，猜对答案的概率为0.25．该考生从这8道题中随机选1题，则他答对该题的概率为 　0.6625　 ． 【考点】全概率公式；相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式．版权所有 【专题】方程思想；定义法；概率与统计；运算求解． 【答案】0.6625． 【分析】根据全概率公式求解． 【解答】解：设事件A表示”考生答对“，事件B表示”考生选到有思路的题“， 则该考生从这8道题中随机选1题，则他答对该题的概率为： P（A）＝P（B）P（A|B）+P（）P（A|） ＝0.75×0.8+0.25×0.25＝0.6625． 故答案为：0.6625． 【点评】本题考查概率的求法，考查全概率乘法公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 9．（2025春•南岸区校级期中）某学校有C、D两个图书馆，某学生每天都会在这两个图书馆中选择一个去学习，已知该学生第一天选择C图书馆的概率是，若在前一天选择C图书馆的条件下，后一天继续选择C图书馆的概率为，而在前一天选择D图书馆的条件下，后一天继续选择D图书馆的概率为，如此往复． （1）求该学生第一天和第二天都选择C图书馆的概率； （2）求该学生第二天选择C图书馆的概率； （3）记该学生第n天选择C图书馆的概率为Qn，求数列{Qn}的通项公式． 【考点】全概率公式；求解条件概率．版权所有 【专题】整体思想；综合法；概率与统计；运算求解． 【答案】（1）； （2）； （3）． 【分析】（1）根据第一天选择C图书馆的概率是，后一天继续选择C图书馆的概率为求解即可； （2）分第一天选C、D两个图书馆两种情况求解即可； （3）根据题意得出递推公式，再构造求解通项公式即可． 【解答】解：（1）因为第一天选择C图书馆的概率是，若在前一天选择C图书馆的条件下，后一天继续选择C图书馆的概率为， 所以第一天和第二天都选择C图书馆的概率为； （2）第一天选C图书馆，第二天选C图书馆的概率为， 第一天选D图书馆，第二天选C图书馆的概率为， 故第二天选C图书馆的概率为； （3）由题意，当n≥2时，， 则， 所以， 又因为Q1， 所以是以为首项，为公比的等比数列， 故， 所以． 【点评】本题主要考查了全概率公式，考查了等比数列的应用，属于中档题． 10．（2024春•白山期末）Matlab是一种数学软件，用于数据分析、无线通信、深度学习、图象处理与计算机视觉、信号处理、量化金融与风险管理、人工智能机器人和控制系统等领域，推动了人类基础教育和基础科学的发展．某学校举行了相关Matlab专业知识考试，试卷中只有两道题目，已知甲同学答对每题的概率都为p，乙同学答对每题的概率都为q（p＞q），且在考试中每人各题答题结果互不影响．已知每题甲、乙同时答对的概率为，恰有一人答对的概率为． （1）求p和q的值； （2）试求两人共答对3道题的概率． 【考点】全概率公式；相互独立事件的概率乘法公式．版权所有 【专题】转化思想；综合法；概率与统计；逻辑思维；运算求解． 【答案】（1）． （2）． 【分析】（1）根据题意列出关于p，q的方程解得即可． （2）两人共答对3道题，只可能为甲答对2道题乙答对1道题或甲答对1道题乙答对2道题，列式解得即可． 【解答】解：（1）由题意可得， 即，解得或， ∵p＞q，∴． （2）设Ai＝{甲同学答对了i道题}，Bi＝{乙同学答对了i道题}，i＝0，1，2， 由题意得，， ． 设E＝{甲、乙二人共答对3道题}，则E＝A1B2+A2B1． 由于Ai和Bi相互独立，A1B2与A2B1互斥， 所以． 所以甲、乙两人共答对3道题的概率为． 【点评】本题考查相互独立事件概率乘法公式、全概率公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题． 四．离散型随机变量及其分布列（共5小题） 11．（2020春•桥西区校级月考）已知随机变量X的分布列为，k＝1，2，…10，则P（3≤X≤4）＝（　　） A． B． C． D． 【考点】离散型随机变量及其分布列．版权所有 【专题】计算题；转化思想；分析法；概率与统计；运算求解． 【答案】A 【分析】利用离散型随机变量分布列的概率之和为1，求出a的值，由此能求出P（2＜X≤4）的值． 【解答】解：∵随机变量X的分布列为，k＝1，2，…10， ∴， 解得， ∴． 故选：A． 【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意离散型随机变量分布列的概率之和为1的性质的合理运用． （多选）12．（2024春•罗定市期中）设随机变量ξ的分布列为P（ξ）＝ak（k＝1，2，3，4，5），则（　　） A．15a＝1 B．P（0.5＜ξ＜0.8）＝0.2 C．P（0.1＜ξ＜0.5）＝0.2 D．P（ξ＝1）＝0.3 【考点】离散型随机变量及其分布列．版权所有 【专题】对应思想；数学模型法；概率与统计；运算求解． 【答案】ABC 【分析】由题意可得a+2a+3a+4a+5a＝1，求得a，然后分别求出四个概率得选项． 【解答】解：由题意可得a+2a+3a+4a+5a＝1，即15a＝1，故A正确； P（0.5＜ξ＜0.8）＝P（ξ＝0.6）＝3a，故B正确； P（0.1＜ξP（ξ）+P（ξ）0.2，故C正确； P（ξ＝1）50.3，故D不正确． 故选：ABC． 【点评】本题考查概率的求法，注意离散型随机变量的分布列的性质的合理运用，是基础题． （多选）13．（2022春•乐平市校级期末）中秋节又称祭月节、仲秋节、拜月节、团圆节等，是中国民间的传统节日．中秋节自古便有祭月、赏月、吃月饼等民俗，流传至今，经久不息．在一个食盒中装有大小一样的五仁月饼6个，鲜肉月饼4个，小明同学从中一次性任取4个月饼，设取出的4个月饼中鲜肉月饼的个数为X，则下列结论正确的是（　　） A． B．随机变量X服从二项分布 C．随机变量X服从超几何分布 D． 【考点】离散型随机变量及其分布列．版权所有 【专题】方程思想；定义法；概率与统计；运算求解；新文化类． 【答案】ACD 【分析】根据题意随机变量服从超几何分布可判断BC，再由超几何分布计算X＝2和X＝3时的概率即可判断AD． 【解答】解：由题意知随机变量X服从超几何分布，故B错误，C正确； P（X＝2），故A正确； P（X＝3）， P（1＜X＜4）＝P（X＝2）+P（X＝3），故D正确． 故选：ACD． 【点评】本题考查概率的求法，考查超几何分布等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 14．（2022春•定远县校级期末）甲、乙去某公司应聘面试．该公司的面试方案为：应聘者从6道备选题中一次性随机抽取3道题，按照答对题目的个数为标准进行筛选．已知6道备选题中应聘者甲有4道题能正确完成，2道题不能完成；应聘者乙每题正确完成的概率都是，且每题正确完成与否互不影响． （1）分别求甲、乙两人正确完成面试题数的分布列； （2）请分析比较甲、乙两人谁的面试通过的可能性较大？ 【考点】离散型随机变量及其分布列．版权所有 【专题】对应思想；定义法；概率与统计；数据分析． 【答案】（1）分布列见解析；（2）甲发挥的稳定性更强，则甲通过面试的概率较大． 【分析】（1）设出甲、乙正确完成面试题的数量分别为X，Y，由于X～H（6，3，4），Y～B（3，），分别写出分布列即可； （2）由于均值相等，可通过比较各自的方差，判断即可． 【解答】解：（1）设X为甲正确完成面试题的数量，Y为乙正确完成面试题的数量，依题意可得： X～H（6，3，4）， ∴P（X＝1），P（X＝2），P（X＝3）， ∴X的分布列为： X 1 2 3 P Y～B（3，）， ∴P（Y＝0），P（Y＝1），P（Y＝2），P（Y＝3）， ∴Y的分布列为： Y 0 1 2 3 P （2）E（X）＝1232，E（Y）＝01232， D（X），D（Y），D（X）＜D（Y）， ∴甲发挥的稳定性更强，则甲通过面试的概率较大． 【点评】本题考查超几何分布和二项分布的应用、期望和方差的计算，考查数据处理能力，求解时注意概率计算的准确性． 15．（2021春•广陵区校级期中）电子蛙跳游戏是：青蛙第一步从如图所示的正方体ABCD﹣A1B1C1D1顶点A起跳，每步从一顶点跳到相邻的顶点． （1）直接写出跳两步跳到C的概率P； （2）求跳三步跳到C1的概率P1； （3）青蛙跳五步，用X表示跳到过C1的次数，求随机变量X的概率分布． 【考点】离散型随机变量及其分布列．版权所有 【专题】概率与统计． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）将A标示为0，A1、B、D标示为1，B1、C、D1标示为2，C1标示为3，从A跳到B记为01，从B跳到B1再跳到A1记为121，其余类推． （2）由已知条件从0到1与从3到2的概率为1，从1到0与从2到3的概率为，从1到2与从2到1的概率为．由此能求出跳三步跳到C1的概率． （3）由题设知X＝0，1，2．分别求出P（X＝1），P（X＝2），P（X＝0），由此能求出X的分布列． 【解答】解：将A标示为0，A1、B、D标示为1，B1、C、D1标示为2，C1标示为3，从A跳到B记为01，从B跳到B1再跳到A1记为121，其余类推．从0到1与从3到2的概率为1，从1到0与从2到3的概率为，从1到2与从2到1的概率为． （1）P； 　　　　　　　　　　　…4′ （2）P＝P（0123）＝1； …10′ （3）X＝0，1，2．P（X＝1）＝P（010123）+P（012123）+P（012321） ＝11111，P（X＝2）＝P（012323）＝1+11， P（X＝0）＝1﹣P（X＝1）﹣P（X＝2） 或P（X＝0）＝P（010101）+P（010121）+P（012101）+P（012121） ＝11+111+1， X 0 1 2 p …16′ 【点评】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是历年高考的必考题型之一，是中档题． 五．离散型随机变量的均值（数学期望）（共9小题） 16．（2025•岳阳模拟）如图，一个质点在随机外力的作用下，从原点0出发，每隔1s等可能地向左或向右移动一个单位，共移动6次，则下列正确的是（　　） A．质点回到原点的概率为 B．质点回到原点的概率为 C．质点位于4的位置的概率为 D．质点位于4的位置的概率是 【考点】离散型随机变量的均值（数学期望）．版权所有 【专题】计算题；整体思想；综合法；概率与统计；运算求解． 【答案】D 【分析】质点回到原点可知质点向左移动3次，向右移动3次，根据古典概型的概率公式即可判断AB选项；质点位于4的位置可知质点向左移动1次，向右移动5次，根据古典概型的概率公式即可判断CD选项． 【解答】解：质点移动6次，可能的结果共有2×2×2×2×2×2＝64种情况， 质点回到原点则向左移动3次，向右移动3次，共种情况， 所以质点回到原点的概率为，故AB错误； 质点移动6次，可能的结果共有2×2×2×2×2×2＝64种情况， 质点位于4的位置则质点向左移动1次，向右移动5次，共种情况， 所以质点位于4的位置的概率为，故C错误，D正确． 故选：D． 【点评】本题考查了古典概型的概率公式，属于中档题． 17．（2025春•九龙坡区校级期中）高尔顿板是英国生物统计学家高尔顿设计用来研究随机现象的模型．在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木块，小木块之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃．每次试验时，让一个小球从高尔顿板上方的通道口落下，小球在下落过程中与层层小木块碰撞，且等可能向左或向右滚下，最后掉入高尔顿板下方的某一球槽内，在如图所示的小木块中，上面10层为高尔顿板，最下面为球槽．小球从通道口落下，第一次与第2层中间的小木块碰撞，以的概率向左或向右滚下，依次经过9次与小木块碰撞，最后掉入编号（从左至右）为1，2，3，4，5，6，7，8，9，10的球槽内．若一次试验中小球滚落至事先选定的球槽编号n即得积分an，否则不得分．若，为使所得积分的数学期望最大，每次试验前选定的球槽编号为（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 【考点】离散型随机变量的均值（数学期望）．版权所有 【专题】对应思想；综合法；概率与统计；逻辑思维；运算求解． 【答案】D 【分析】根据给定条件，求出小球落入第k号格子的概率，进而求出其数学期望，再求出取得最大值的编号． 【解答】解：设选定的格子编号为k（1≤k≤10，k∈N）， 此时小球碰撞过程中有k﹣1次向右边滚落， 落到该格子的概率为， 则数学期望为， 令， 此时， 当k＞7.5时，；当k＜7.5时，， 所以当k＝8时，bk取得最大， 则每次试验前选定的球槽编号为8，故选项D正确． 故选：D． 【点评】本题考查离散型随机变量的期望，考查了逻辑推理和运算能力，属于基础题． 18．（2025春•辽宁月考）已知X～B（3，p）（0＜p＜1），4P（X＝3）+P（X＝2），且Y＝2X+1，则下列选项中不正确的是（　　） A． B． C． D．E（Y）﹣1＝2D（Y） 【考点】离散型随机变量的均值（数学期望）；二项分布的均值（数学期望）与方差．版权所有 【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；概率与统计；运算求解． 【答案】D 【分析】根据X～B（3，p）（0＜p＜1），且求得，再逐项判断． 【解答】解：根据题意，因为X～B（3，p）（0＜p＜1），且， 即，变形可得， 设f（p）＝p3+3p2， 依次分析选项： 对于A，f（p）在（0，1）上递增，且，所以，故A正确； 对于B，X～B（3，），，故B正确； 对于C，，故C正确； 对于D，E（Y）﹣1＝2E（X）+1﹣1＝3，D（Y）＝4D（X）＝3，故D错误． 故选：D． 【点评】本题考查随机变量的期望和方差，涉及二项分布的性质，属于基础题． （多选）19．（2024春•太原期末）已知两组样本数据x1，x2，…x10和y1，y2，…y10的均值和方差分别为，和，则下列结论正确的是（　　） A．若xi+yi＝50，且0＜xi＜yi（i＝1，2，⋯，10），则 B．若xi+yi＝50，且0＜xi＜yi（i＝1，2，⋯，10），则 C．若yi＝2xi+3（i＝1，2，⋯，10），且，则9 D．若yi＝2xi+3（i＝1，2，⋯，10），且，则 【考点】离散型随机变量的均值（数学期望）；方差．版权所有 【专题】对应思想；综合法；概率与统计；运算求解． 【答案】AC 【分析】根据平均数公式判断A；利用特殊值判断B；首先求出，再根据平均数的性质判断C；求出，再根据方差的性质判断D． 【解答】解：对于A，因为0＜xi＜yi（i＝1，2，⋯，10），所以， 又，所以，故A正确； 对于B，若xi＝1，yi＝49（i＝1，2，⋯，10）， 满足xi+yi＝50，且0＜xi＜yi（i＝1，2，⋯，10），但是，故B错误； 对于C，因为，所以， 又yi＝2xi+3（i＝1.2，⋯，10），所以，故C正确； 对于D，因为 ， 又 yi＝2xi+3（i＝1.2，⋯，10）， 所以，故D错误． 故选：AC． 【点评】本题考查了离散型随机变量的均值和方差，属于中档题． 20．（2025春•丰城市校级期中）甲、乙两名运动员进行乒乓球比赛，规定每局比赛胜者得1分，负者得0分，比赛一直进行到一方比另一方多两分为止，多得两分的一方赢得比赛．已知每局比赛中，甲获胜的概率为α，乙获胜的概率为β，（α+β＝1，α＞0，β＞0），且每局比赛结果相互独立．若比赛最多进行5局，则比赛结束时比赛局数X的期望E（X）的最大值为　　 ． 【考点】离散型随机变量的均值（数学期望）；相互独立事件的概率乘法公式．版权所有 【专题】计算题；对应思想；综合法；概率与统计；运算求解． 【答案】． 【分析】每局比赛结果仅有“甲获胜”和“乙获胜”，即α+β＝1，由题意得X的所有可能取值为2，4，5，分别求出对应概率，得出分布列，再求得期望，根据基本不等式及二次函数求解即可． 【解答】解：设“甲获胜”为事件A，“乙获胜”为事件B， 每局比赛结果仅有“甲获胜”和“乙获胜”，即α+β＝1， 由题意得X的所有可能取值为2，4，5，则P（X＝2）＝P（AA）+P（BB）＝α2+β2， P（X＝4）＝P（ABAA）+P（BAAA）+P（ABBB）+P（BABB）＝（αβ+βα）α2+（αβ+βα）β2＝2αβ（α2+β2）， P（X＝5）＝P（ABAB）+P（ABBA）+P（BABA）+P（BAAB）＝α2β2+α2β2+α2β2+α2β2＝4α2β2， 所以X的分布列为： X 2 4 5 P α2+β2 2αβ（α2+β2） 4α2β2 所以E（X）＝2（α2+β2）+8αβ（α2+β2）+20α2β2 ＝2（1﹣2αβ）+8αβ（1﹣2αβ）+20α2β2＝4α2β2+4αβ+2， 因为，所以，当且仅当时等号成立，所以， 所以，故E（X）的最大值为． 故答案为：． 【点评】本题主要考查离散型随机变量的期望，考查运算求解能力，属于中档题． 21．（2024春•海安市校级期中）某人进行一项试验，若试验成功，则停止试验，若试验失败，再重新试验一次，若试验3次均失败，则放弃试验．若此人每次试验成功的概率均为，则此人试验次数ξ的均值是 　　 ． 【考点】离散型随机变量的均值（数学期望）．版权所有 【专题】计算题；方程思想；综合法；概率与统计；逻辑思维；运算求解． 【答案】 【分析】根据题意试验次数ξ的可能取值为1，2，3，分别求出对应的概率，列出分布列，进而可求出随机变量的均值． 【解答】解：试验次数ξ的可能取值为1，2，3， 则P（ξ＝1）， P（ξ＝2）， P（ξ＝3）， 所以E（ξ）＝123． 故答案为：． 【点评】本题主要考查离散型随机变量及其分布列，随机变量均值的计算等知识，属于基础题． 22．（2025•吉林三模）DeepSeek是由中国杭州的DeepSeek公司开发的人工智能模型，其中文名“深度求索”反映了其探索深度学习的决心．DeepSeek主要功能为内容生成、数据分析与可视化、代码辅助、多模态融合、自主智能体等，在金融领域、医疗健康、智能制造、教育领域等多个领域都有广泛的应用场景．为提高DeepSeek的应用能力，某公司组织A，B两部门的50名员工参加DeepSeek培训． （Ⅰ）此次DeepSeek培训的员工中共有6名部门领导参加，恰有3人来自A部门．从这6名部门领导中随机选取2人，记X表示选取的2人中来自A部门的人数，求X的分布列和数学期望； （Ⅱ）此次DeepSeek培训分三轮进行，每位员工第一轮至第三轮培训达到“优秀”的概率分别为，，，每轮培训结果相互独立，至少两轮培训达到“优秀”的员工才能合格． （i）求每位员工经过培训合格的概率； （ii）经过预测，开展DeepSeek培训后，合格的员工每人每年平均为公司创造利润30万元，不合格的员工每人每年平均为公司创造利润20万元，且公司需每年平均为每位参加培训的员工支付3万元的其他成本和费用．试估计该公司A，B两部门培训后的年利润（公司年利润＝员工创造的利润﹣其他成本和费用）． 【考点】离散型随机变量的均值（数学期望）；相互独立事件的概率乘法公式．版权所有 【专题】计算题；对应思想；综合法；概率与统计；运算求解． 【答案】（Ⅰ）分布列见解析，1； （Ⅱ）；（ii）1100． 【分析】（Ⅰ）X服从超几何分布，利用，即可求解； （Ⅱ）（i）记C＝“每位员工经过培训合格”，Ai＝“每位员工第；轮培训达到优秀”（i＝1，2，3），，P（C）＝P（A1A2A3）+P（）+P（）+P（）即可求解； （ii）记A，B两部门开展DeepSeek培训后合格的人数为Y，则，E（Y）＝np，求出合格人数的数学期望，即可求解． 【解答】解：（Ⅰ）X的所有可能取值为0，1，2，且X服从超几何分布． ， ， ， X的分布列为： X 0 1 2 P X的数学期望． （Ⅱ）（i）记C＝“每位员工经过培训合格”，Ai＝“每位员工第；轮培训达到优秀”（i＝1，2，3）， ， 根据概率加法公式和事件相互独立定义得， ＝P（A1）P（A2）P（A3）+P（）P（A2）P（A3）+P（A1）P（）P（A3）+P（A1）P（A2）P（） ， 即每位员工经过培训合格的概率为． （ii）记A，B两部门开展DeepSeek培训后合格的人数为Y，则， ，则25×30+25×20﹣50×3＝1100（万元）， 即估计A，B两部门的员工参加DeepSeek培训后为公司创造的年利润为1100万元． 【点评】本题主要考查相互独立事件概率乘法公式，离散型随机变量分布列及数学期望，考查运算求解能力，属于中档题． 23．（2025•广安模拟）2024年12月，为培养适应新时代要求的创新型人才，教育部办公厅发布了关于加强中小学人工智能教育的通知．为了坚持立德树人，全面贯彻党的教育方针，紧扣新时代新征程教育使命，满足面向未来的创新型人才培养需求，提升数字素养与数字技能，某市教育局为了培养学生的科技创新素养，在甲、乙两所高中学校举办了一次人工智能科普知识竞赛，两个学校的学生人数基本相同．已知甲学校学生成绩的优秀率为0.24（优秀：竞赛成绩∈（80，100]，单位：分），现从乙学校随机抽取100名学生的竞赛成绩，制成如图所示的频率分布直方图． （1）从乙学校竞赛分数在（70，90]中的学生中，采用分层抽样的方法抽取了9人，现从这9人中随机抽取6人，记成绩优秀的学生人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望E（ξ）； （2）若从本次参赛的学生中随机抽取1人，以样本的频率估计概率，求此学生竞赛成绩优秀的概率； （3）现从参与竞赛的学生中随机抽取n（n≥8）人，若P（Y＝8）≥P（Y＝k）（Y表示n人中优秀人数，0≤k≤n，Y，k∈Z），求n的值 【考点】离散型随机变量的均值（数学期望）；离散型随机变量及其分布列．版权所有 【专题】计算题；对应思想；综合法；概率与统计；运算求解． 【答案】（1）2； （2）； （3）n＝31或n＝32． 【分析】（1）先求出抽取的9人中的优秀人数和非优秀人数，接着确定随机变量取值，并求出各取值对应的概率即可分布列，再由期望公式即可计算期望值； （2）记事件A：成绩优秀的学生，事件B：甲学校的学生，依次求出P（A|B），和P（B），再由全概率公式即可计算求解． （3）令an＝P（Y＝8），计算，由和即可计算求解． 【解答】解：（1）由直方图0.032：0.016＝2：1，∴（70，80]占6人，（80，90]占3人， 则成绩优秀的学生人数ξ可取0，1，2，3， 所以，， ，， 所以ξ的分布列为： ξ 0 1 2 3 p 则期望． （2）记事件A：成绩优秀的学生，事件B：甲学校的学生， 由已知条件可知，，， 所以． （3）记随机抽取n人中竞赛成绩优秀的人数为Y，由题意可知，， 所以，令，则， 令，则n＜31，所以n≤30时，an+1＞an， 令，则n＞31，所以n≥32时，an+1＜an， 令，则n＝31，所以a32＝a31， 所以当n＝31或n＝32时，an最大，即n＝31或n＝32时，竞赛成绩优秀的人数为8的概率最大． 【点评】本题主要考查概率的求法，离散型随机变量分布列及数学期望，考查运算求解能力，属于中档题． 24．（2024•香洲区校级模拟）一只蚂蚁位于数轴x＝0处，这只蚂蚁每隔一秒钟向左或向右移动一个单位长度，设它向右移动的概率为，向左移动的概率为． （1）已知蚂蚁2秒后所在位置对应的实数为非负数，求2秒后这只蚂蚁在x＝0处的概率； （2）记蚂蚁4秒后所在位置对应的实数为X，求X的分布列与期望． 【考点】离散型随机变量的均值（数学期望）；离散型随机变量及其分布列．版权所有 【专题】对应思想；定义法；概率与统计；运算求解． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）记蚂蚁2秒后所在位置对应的实数为非负数为事件A，记2秒后这只蚂蚁在x＝0处的概率为事件B，则由题意可知事件A包括2秒内一直向可移动和一次向右移动与一次向左移动，事件B为2秒内一次向右移动与一次向左移动，然后利用独立事件的概率公式求出P（A），P（AB），再利用条件概率公式可求得结果； （2）由题意知X可能的取值为﹣4，﹣2，0，2，4，然后求出相应的概率，从而可求出X的分布列与期望． 【解答】解：（1）记蚂蚁2秒后所在位置对应的实数为非负数为事件A，记2秒后这只蚂蚁在x＝0处的概率为事件B， 则， ， 故所求的概率为． （2）由题意知X可能的取值为﹣4，﹣2，0，2，4， 则， ， ， 则X的分布列为： X ﹣4 ﹣2 0 2 4 P ． 【点评】本题考查条件概率，考查离散型随机变量的分布列和期望，是中档题． 六．离散型随机变量的方差与标准差（共1小题） 25．（2024秋•河南期末）为积极响应国家医药卫生体制改革及2023年全国文化科技“三下乡”活动要求，真正让“人民至上”理念落实落地，着力推动优质医疗资源重心下移、力量下沉，不断增强医疗服务的“深度”和“温度”．我市人民医院打算从各科室推荐的6名医生中任选3名去参加“健康送下乡，义诊暖人心”的活动．这6名医生中，外科医生、内科医生、眼科医生各2名． （1）求选出的外科医生人数多于内科医生人数的概率； （2）设X表示选出的3人中外科医生的人数，求X的均值与方差． 【考点】离散型随机变量的方差与标准差．版权所有 【专题】对应思想；分析法；概率与统计；逻辑思维；运算求解． 【答案】（1）； （2）E（X）＝1，． 【分析】（1）由题意，先得到所有基本事件数，再分别求出“选出的外科医生人数多于内科医生人数”包含的各事件的概率，利用互斥事件的加法公式进行求解即可； （2）得到X的所有取值，求出相对应的概率，代入期望公式和方差公式进行求解即可． 【解答】解：（1）易知推荐的6名医生中任选3名去参加活动基本事件总数， 在这6名医生中，外科医生2名，内科医生2名，眼科医生2名， 记“选出的外科医生人数多于内科医生人数”为事件A， 记“恰好选出1名外科医生和2名眼科医生”为事件B， 记“恰好选出2名外科医生”为事件C， 因为B，C互斥，且A＝B∪C， 所以P（B），P（C）， 则选出外科医生人数多于内科医生人数的概率P＝P（B）+P（C）； （2）易知X的所有取值为0，1，2， 此时，，， 所以，． 【点评】本题考查离散型随机变量的期望和方差，考查了逻辑推理和运算能力． 七．两点分布（0-1分布）（共1小题） 26．（2025春•马山县期中）设随机变量X服从两点分布，若P（X＝1）﹣P（X＝0）＝0.2，则P（X＝1）＝　0.6　 ． 【考点】两点分布（0﹣1分布）．版权所有 【专题】计算题；对应思想；分析法；概率与统计；运算求解． 【答案】0.6 【分析】根据两点分布的性质即可求出答案． 【解答】解：随机变量X服从两点分布，则P（X＝1）+P（X＝0）＝1， 又P（X＝1）﹣P（X＝0）＝0.2，联立解得P（X＝1）＝0.6． 故答案为：0.6． 【点评】本题考查两点分布，考查学生的运算能力，属于基础题． 八．n重伯努利试验与二项分布（共1小题） 27．（2023春•肇庆期末）某次数学测验共有10道单选题（四个选项中只有一项是正确的），某同学全都不会做，记该同学做对的题目数为X，且X服从二项分布，则以下说法错误的是（　　） A． B． C．E（2X+1）＝6 D． 【考点】n重伯努利试验与二项分布；离散型随机变量的均值（数学期望）．版权所有 【专题】转化思想；转化法；概率与统计；运算求解． 【答案】D 【分析】根据二项分布的均值公式、方差公式、均值性质以及概率公式计算可得答案． 【解答】解：因为，所以，故A正确； ，故B正确； ，故C正确； ，故D错误． 故选：D． 【点评】本题主要考查二项分布的概率公式，属于基础题． 九．n次独立重复试验中恰好发生k次的概率（共4小题） 28．（2024•山西三模）如图所示，已知一质点在外力的作用下，从原点O出发，每次向左移动的概率为，向右移动的概率为，若该质点每次移动一个单位长度，设经过5次移动后，该质点位于X的位置，则P（X＞0）＝（　　） A． B． C． D． 【考点】n次独立重复试验中恰好发生k次的概率．版权所有 【专题】方程思想；定义法；概率与统计；运算求解． 【答案】C 【分析】由题意当X＞0时，X的可能取值为1，3，5，且X～B（5，），根据二项分布的概率计算公式能求出结果． 【解答】解：题意当X＞0时，X的可能取值为1，3，5，且X～B（5，）， ∴P（X＞0）＝P（X＝5）+P（X＝3）+P（X＝1） ＝（）5 ． 故选：C． 【点评】本题考查二项分布等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 29．（2021•合肥模拟）某校高三年级在迎新春趣味运动会上设置了一个三分线外定点投篮比赛项目，规则是：每人投球5次，投中一次得1分，没投中得0分，且连续投中2次额外加1分，连续投中3次额外加2分，连续投中4次额外加3分，全部投中额外加5分．某同学投篮命中概率为，则该同学投篮比赛得3分的概率为（　　） A． B． C． D． 【考点】n次独立重复试验中恰好发生k次的概率；相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式．版权所有 【专题】分类讨论；分类法；概率与统计；运算求解． 【答案】C 【分析】该同学投篮比赛得3分的情况有为：①第一、三、五次分别投中，第二、四次都没有投中，②第一、二次连续两次投中，其它三次都没有投中，③第二、三次连续两次投中，其它三次都没有投中，④第三、四次连续两次投中，其它三次都没有投中，⑤第四、五次连续两次投中，其它三次都没有投中，由此能求出该同学投篮比赛得3分的概率． 【解答】解：该同学投篮比赛得3分的情况有为： ①第一、三、五次分别投中，第二、四次都没有投中， 概率为P1； ②第一、二次连续两次投中，其它三次都没有投中， 概率为：P2＝（）2×（）3； ③第二、三次连续两次投中，其它三次都没有投中， 概率为：P3＝（）2×（）3； ④第三、四次连续两次投中，其它三次都没有投中， 概率为：P4＝（）2×（）3； ⑤第四、五次连续两次投中，其它三次都没有投中， 概率为：P5＝（）2×（）3． ∴该同学投篮比赛得3分的概率为： P＝P1+P2+P3+P4+P5． 故选：C． 【点评】本题考查概率的求法，考查相互独立事件概率乘法公式、互斥事件概率加法公式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题． 30．（2024春•沧州期末）为了丰富员工的业余生活，某企业举办了有奖答题活动，参加活动的员工依次回答三个问题，不管答对或者答错，三题答完活动结束．规定每位员工只能参加一次活动，且至少答对两道题才能获奖．已知员工甲第一题答对的概率为，第二题答对的概率为，第三题答对的概率为，假设员工甲是否答对每一题相互独立，则员工甲获奖的概率为 　　 ． 【考点】n次独立重复试验中恰好发生k次的概率．版权所有 【专题】方程思想；定义法；概率与统计；运算求解． 【答案】． 【分析】利用相互独立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式求解． 【解答】解：员工甲答对两题的概率为． 员工甲答对三题的概率为． 所以员工获奖的概率为． 故答案为：． 【点评】本题考查相互独立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 31．（2023春•金华期末）袋子A和B中均装有若干个质地均匀的红球和白球，其中A袋有20个红球和10个白球，从B袋中摸一个球，摸到红球的概率为p． （1）若B袋中的红球和白球总共有15个，将A、B两个袋子中的球全部装在一起后，从中摸出一个白球的概率是，求p的值； （2）从A袋中有放回地摸球，每次摸出一个，当有3次摸到红球即停止，求恰好摸k（k≤5）次停止的概率． 【考点】n次独立重复试验中恰好发生k次的概率．版权所有 【专题】对应思想；定义法；概率与统计；运算求解． 【答案】（1）； （2）． 【分析】（1）由条件，结合古典概型概率公式列方程求p的值； （2）根据独立重复试验概率公式分别求k＝3，k＝4，k＝5时的概率，相加可得结论． 【解答】解：（1）因为从B袋中摸一个球，摸到红球的概率为p， 所以从B袋中摸一个球，摸到白球的概率为1﹣p， 又B袋中的红球和白球总共有15个， 所以B袋中白球个数为15（1﹣p）， 因为将A、B两个袋子中的球全部装在一起后，从中摸出一个白球的概率是， 又A袋有20个红球和10个白球， 所以，解得． （2）由已知P（k≤5）＝P（k＝3）+P（k＝4）+P（k＝5）， 又， ， ∴． 【点评】本题考查独立重复试验的概率计算，属于中档题． 一十．二项分布的均值（数学期望）与方差（共1小题） （多选）32．（2024春•靖远县校级期末）下列说法正确的是（　　） A．设随机变量X服从二项分布，则 B．已知随机变量X服从正态分布N（μ，σ2），且P（x＜4）＝P（x＞﹣2），则μ＝2 C．设随机变量ξ服从二项分布（n，p），若n≤4，则D（ξ）≤1 D．已知随机变量ξ服从两点分布，P（ξ＝1）＝p，且，则E（ξ）随着p的增大而增大，D（ξ）随着p的增大而增大 【考点】二项分布的均值（数学期望）与方差；正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．版权所有 【专题】整体思想；综合法；概率与统计；运算求解． 【答案】ACD 【分析】根据独立试验的概率计算公式，可判定A正确；结合正态分布的性质，可判定B错误；根据二项分布的方差公式，可判定C正确；根据二点分布的期望与方差，结合函数的单调性，可判定D正确． 【解答】解：对于A中，因为随机变量X服从二项分布， 则，所以A正确； 对于B中，因为随机变量X服从正态分布N（μ，σ2），且P（x＜4）＝P（x＞﹣2）， 所以正态曲线的对称轴是，则μ＝1，所以B错误； 对于C中，由二项分布的方差公式知，所以C正确； 对于D中，由随机变量ξ服从两点分布，且P（ξ＝1）＝p，可得E（ξ）＝p，D（ξ）＝﹣p2+p， 由一次函数和二次函数的性质知，当时，则E（ξ）随着p的增大而增大，D（ξ）随着p增大而增大，所以D正确． 故选：ACD． 【点评】本题主要考查了二项分布的概率公式和方差公式，考查了正态分布曲线的对称性，属于中档题． 一十一．正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义（共10小题） 33．（2025春•沈阳期中）如果X服从二项分布B（n，p），当np＞10且n（1﹣p）＞10时，可以近似的认为X服从正态分布N（μ，σ2），据统计高中学生的近视率p＝0.6，某校有600名高中学生．设X为该校高中学生近视人数，且X服从正态分布N（μ，σ2），下列说法正确的是（　　）（参考数据：P（μ﹣σ＜X＜μ+σ）≈0.682，P（μ﹣2σ＜X＜μ+2σ）≈0.9545） A．变量X服从正态分布N（360，12） B．E（2X+1）＝720 C．P（X＜384）＝P（X＞348） D．P（X＜384）≈0.9773 【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．版权所有 【专题】整体思想；综合法；概率与统计；运算求解． 【答案】D 【分析】由题意可知，E（X）＝600×0.6＝360，D（X）＝600×0.6×（1﹣0.6）＝144，所以变量X服从正态分布N（360，144），再利用正态分布曲线的对称性求解． 【解答】解：由题意可知，E（X）＝600×0.6＝360，D（X）＝600×0.6×（1﹣0.6）＝144， 所以变量X服从正态分布N（360，144），故A错误； E（2X+1）＝2E（X）+1＝2×360+1＝721，故B错误； 因为X～N（360，144），而360， 所以P（X＜384）≠P（X＞348），故C错误； P（X＜384）＝P（X＜360+24）＝P（X＜360+2×12）≈0.50.97725≈0.9773，故D正确． 故选：D． 【点评】本题主要考查了正态分布曲线的对称性，属于基础题． 34．（2024秋•河南期末）已知函数f（x）＝x2﹣2ξx+3在（﹣∞，﹣1）上单调递减的概率为，且随机变量ξ～N（μ，1），则P（1≤ξ≤2）＝（附：若X～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ≤X≤μ+σ）＝0.6827，P（μ﹣2σ≤X≤μ+2σ）＝0.9545，P（μ﹣3σ≤X≤μ+3σ）＝0.9973）（　　） A．0.1359 B．0.01587 C．0.0214 D．0.01341 【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．版权所有 【专题】转化思想；转化法；概率与统计；运算求解． 【答案】C 【分析】根据二次函数的单调性可求得，从而可得μ＝﹣1，再根据三段区间法即可求解． 【解答】解：根据题意f（x）在（﹣∞，﹣1）上单调递减，可得ξ≥﹣1， 故， ∵ξ∼N（u，1）， ∴μ＝﹣1， ∴P（1≤ξ≤2）＝P（﹣1≤x≤2）﹣P（﹣1≤ξ≤1） ． 故选：C． 【点评】本题主要考查正态分布的对称性，属于基础题． 35．（2024•阜阳模拟）设两个正态分布N（μ1，σ12）（σ1＞0）和N（μ2，σ22）（σ2＞0）的密度曲线如图所示，则有（　　） A．μ1＜μ2，σ1＜σ2 B．μ1＜μ2，σ1＞σ2 C．μ1＞μ2，σ1＜σ2 D．μ1＞μ2，σ1＞σ2 【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．版权所有 【专题】数形结合；概率与统计． 【答案】A 【分析】从正态曲线关于直线x＝μ对称，看μ的大小，从曲线越“矮胖”，表示总体越分散；σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中，由此可得结论． 【解答】解：从正态曲线的对称轴的位置看，显然μ1＜μ2， 正态曲线越“瘦高”，表示取值越集中，σ越小， ∴σ1＜σ2 故选：A． 【点评】本题主要考查了正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，以及数形结合的思想，属于基础题． 36．（2022春•鲤城区校级期中）已知某公司生产的一种产品的质量X（单位：千克）服从正态分布N（90，64）．现从该产品的生产线上随机抽取10000件产品，其中质量在区间（82，106）内的产品估计有（　　） 附：若X～N（u，σ2），则P（μ﹣σ＜X＜μ+σ）≈0.6827，P（μ﹣2σ＜X＜μ+2σ）≈0.9545． A．8186件 B．6827件 C．4772件 D．2718件 【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．版权所有 【专题】转化思想；转化法；概率与统计；运算求解． 【答案】A 【分析】根据已知条件，结合正态分布的对称性，以及频率与频数的关系，即可求解． 【解答】解：某公司生产的一种产品的质量X（单位：千克）服从正态分布N（90，64）， 则P（82＜X＜106）， 故从该产品的生产线上随机抽取10000件产品，其中质量在区间（82，106）内的产品估计有0.8186×10000＝8186件． 故选：A． 【点评】本题主要考查正态分布的对称性，属于基础题． （多选）37．（2025春•莱州市校级月考）已知正态密度函数，x∈（﹣∞，+∞），以下关于正态曲线的说法正确的是（　　） A．曲线与x轴之间的面积为1 B．曲线在x＝μ处达到峰值 C．当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移 D．当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“矮胖” 【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义；命题的真假判断与应用．版权所有 【专题】数形结合；对应思想；定义法；概率与统计；数学抽象；运算求解． 【答案】ABC 【分析】根据正态分布的性质结合解析式依次判断即可得出． 【解答】解：对于A，由正态分布的密度函数的解析式，x∈（﹣∞，+∞），可知曲线与x轴之间的面积即为必然事件的概率，其值为1，故A正确； 对于B，0，∴φμ，σ（x），当且仅当x＝μ时取等号，∴曲线在x＝μ处达到峰值，故B正确； 对于C，其图像关于直线对称，且当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移，故C正确； 对于D，当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“高瘦”，故D错误． 故选：ABC． 【点评】本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查密度函数中两个特征数均值和标准差对曲线的位置和形状的影响，是一个基础题． （多选）38．（2022•湖北模拟）已知X～N（μ1，σ12），Y～N（μ2，σ22），μ1＞μ2，σ1＞0，σ2＞0，则下列结论中一定成立的有（　　） A．若σ1＞σ2，则P（|X﹣μ1|≤1）＜P（|Y﹣μ2|≤1） B．若σ1＞σ2，则P（|X﹣μ1|≤1）＞P（|Y﹣μ2|≤1） C．若σ1＝σ2，则P（X＞μ2）+P（Y＞μ1）＝1 D．若σ1＝σ2，则P（X＞μ2）+P（Y＞μ1）＜1 【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．版权所有 【专题】转化思想；定义法；概率与统计；逻辑思维． 【答案】AC 【分析】利用正态分布的参数σ的含义，即可判断选项AB；利用正态分布的性质，即可判断选项CD． 【解答】解：由题意可知，对于选项A，B，若σ1＞σ2，则Y分布更为集中， 则在相同的区间范围内，Y的相对概率更大， 故P（|X﹣μ1|≤1）＜P（|Y﹣μ2|≤1），故选项A正确，B错误； 由正态分布的性质可得，P（Y＞μ1）＝P（X≤μ2），又P（X≤μ2）+P（X＞μ2）＝1， 所以P（X＞μ2）+P（Y＞μ1）＝1，故选项C正确，D错误． 故选：AC． 【点评】本题考查了正态分布的参数的含义以及正态分布曲线的性质的应用，考查了逻辑推理能力，属于中档题． 39．（2023春•台州期末）某省的高中数学学业水平考试，分为A，B，C，D，E五个等级，其中A，B等级的比例为16%，34%．假设某次数学学业水平考试成绩服从正态分布N（80，σ2），其中王同学得分88分等级为A，李同学得分85分等级为B．请写出一个符合条件的σ值 　7（答案不唯一，只需要填区间[5，8]内的任意一个值）　 ．（参考数据：若X～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ≤X≤μ+σ）≈0.68，P（μ﹣2σ≤X≤μ+2σ）≈0.95） 【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．版权所有 【专题】对应思想；定义法；概率与统计；运算求解． 【答案】7（答案不唯一，只需要填区间[5，8]内的任意一个值）． 【分析】根据已知条件及正态分布的特点即可求解． 【解答】解：由题意可知，85≤80+σ≤88，解得5≤σ≤8． 故答案为：7（答案不唯一，只需要填区间[5，8]内的任意一个值）． 【点评】本题考查正态分布所表示的意义，是基础题． 40．（2023•德州三模）某校高二学生的一次数学诊断考试成绩（单位：分）服从正态分布N（100，102），从中抽取一个同学的数学成绩X，记该同学的成绩80＜X≤100为事件A，记该同学的成绩70＜X≤90为事件B，则在A事件发生的条件下B事件发生的概率P（B|A）＝　　 ．（结果用分数表示） 附参考数据：P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）＝0.68，P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）＝0.95；P（μ﹣3σ＜X≤μ+3σ）＝0.99 【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义；条件概率．版权所有 【专题】计算题；对应思想；综合法；概率与统计；运算求解． 【答案】． 【分析】利用正态分布性质和条件概率公式求解即可． 【解答】解：由题知，事件AB为“记该同学的成绩80＜X≤90”， 因为μ﹣2σ＝100﹣20＝80，μ﹣σ＝100﹣10＝90， 所以， 又， 所以． 故答案为：． 【点评】本题考查条件概率，考查正态分布，考查想的计算能力，属于中档题． 41．（2021•酉阳县校级模拟）对一个物理量做n次测量，并以测量结果的平均值作为该物理量的最后结果．已知最后结果的误差εn～N（0，），为使误差εn在（﹣0.5，0.5）的概率不小于0.9545，至少要测量 　16　 次． （若X～N（μ，σ2），则P（|X﹣μ|＜2σ）＝0.9545）． 【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．版权所有 【专题】整体思想；定义法；概率与统计；逻辑思维；运算求解． 【答案】16． 【分析】利用正态分布的对称性，得到（μ﹣2σ，μ+2σ）⊆（﹣0.5，0.5），从而得到2σ＝0.5，列出等式，求解即可． 【解答】解：根据正态曲线的对称性知：要使误差εn在（﹣0.5，0.5）的概率不小于0.9545， 则（μ﹣2σ，μ+2σ）⊆（﹣0.5，0.5）且μ＝0，则2σ＝0.5，所以σ， 又，所以，即， 所以n＝16． 故答案为：16． 【点评】本题考查了正态分布的理解和应用，解题的关键是掌握正态曲线的对称性，考查了逻辑推理与运算能力，属于基础题． 42．（2020•桥西区校级模拟）如今我们的互联网生活日益丰富，除了可以很方便地网购，网络外卖也开始成为不少人日常生活中重要的一部分，其中大学生更是频频使用网络外卖服务．A市教育主管部门为掌握网络外卖在该市各大学的发展情况，在某月从该市大学生中随机调查了100人，并将这100人在本月的网络外卖的消费金额制成如下频数分布表（已知每人每月网络外卖消费金额不超过3000元）： 消费金额（单位：百元） [0，5] （5，10] （10，15] （15，20] （20，25] （25，30] 频数 20 35 25 10 5 5 （1）由频数分布表可以认为，该市大学生网络外卖消费金额Z（单位：元）近似地服从正态分布N（μ，σ2），其中μ近似为样本平均数x（每组数据取区间的中点值，σ＝660）．现从该市任取20名大学生，记其中网络外卖消费金额恰在390元至2370元之间的人数为X，求X的数学期望； （2）A市某大学后勤部为鼓励大学生在食堂消费，特地给参与本次问卷调查的大学生每人发放价值100元的饭卡，并推出一档“勇闯关，送大奖”的活动．规则是：在某张方格图上标有第0格、第1格、第2格、…、第60格共61个方格．棋子开始在第0格，然后掷一枚均匀的硬币（已知硬币出现正、反面的概率都是，其中P0＝1），若掷出正面，将棋子向前移动一格（从k到k+1），若掷出反面，则将棋子向前移动两格（从k到k+2）．重复多次，若这枚棋子最终停在第59格，则认为“闯关成功”，并赠送500元充值饭卡；若这枚棋子最终停在第60格，则认为“闯关失败”，不再获得其他奖励，活动结束． ①设棋子移到第n格的概率为Pn，求证：当1≤n≤59时，{Pn﹣Pn﹣1}是等比数列； ②若某大学生参与这档“闯关游戏”，试比较该大学生闯关成功与闯关失败的概率大小，并说明理由． 参考数据：若随机变量ξ服从正态分布N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜ξ≤μ+σ）＝0.6827，P（μ﹣2σ＜ξ≤μ+2σ）＝0.9545，P（μ﹣3σ＜ξ≤μ+3σ）＝0.9973． 【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义；数列的应用．版权所有 【专题】综合题；分类讨论；转化思想；分析法；分类法；转化法；概率与统计． 【答案】（1）E（X）＝16.372． （2）①棋子开始在第0格为必然事件，P0＝1． 第一次掷硬币出现正面，棋子移到第1格，其概率为，即． 棋子移到第n（2≤n≤59）格的情况是下列两种，而且也只有两种： （ⅰ）棋子先到第n﹣2格，又掷出反面，其概率为； （ⅱ）棋子先到第n﹣1格，又掷出正面，其概率为， 所以， 即，且， 所以当1≤n≤59时，数列{Pn﹣Pn﹣1}是首项，公比为的等比数列． ②由①知， 以上各式相加，得， 所以． 所以闯关成功的概率为， 闯关失败的概率为．， 所以该大学生闯关成功的概率大于闯关失败的概率． 【分析】（1）先算出一名学生的消费金额落在390元至2370元之间的概率，然后根据20名大学生消费金额恰在390元至2370元之间的人数X服从二项分布，套公式求期望即可． （2）①关键是分析出从每次掷出硬币，只有两种闯关模式即向前一格或两格，据此结合概率即可得到Pn﹣2，Pn﹣1，Pn之间的递推关系，即可证明等比数列． ②累加法求和方法，分别算出P59，P60比较即可． 【解答】解：（1）， 因为Z服从正态分布N（1050，6602）， 所以． 所以X～B（20，0.8186）， 所以X的数学期望为E（X）＝20×0.8186＝16.372． （2）①棋子开始在第0格为必然事件，P0＝1． 第一次掷硬币出现正面，棋子移到第1格，其概率为，即． 棋子移到第n（2≤n≤59）格的情况是下列两种，而且也只有两种： （ⅰ）棋子先到第n﹣2格，又掷出反面，其概率为； （ⅱ）棋子先到第n﹣1格，又掷出正面，其概率为， 所以， 即，且， 所以当1≤n≤59时，数列{Pn﹣Pn﹣1}是首项，公比为的等比数列． ②由①知， 以上各式相加，得， 所以． 所以闯关成功的概率为， 闯关失败的概率为．， 所以该大学生闯关成功的概率大于闯关失败的概率． 【点评】本题是一道概率应用题，综合考查了正态分布、二项分布以及学生的逻辑推理能力、分析与解决问题的能力等．属于较难的题目． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$