2025年四川省成都市中考数学二轮专题复习：B卷25题-二次函数压轴预测

2025年四川省成都市中考数学B卷25题-二次函数题压轴预测 一、中考真题再现 1、（成都2022年中考真题25题10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝kx﹣3（k≠0）与抛物线y＝﹣x2相交于A，B两点（点A在点B的左侧），点B关于y轴的对称点为B'． （1）当k＝2时，求A，B两点的坐标； （2）连接OA，OB，AB'，BB'，若△B'AB的面积与△OAB的面积相等，求k的值； （3）试探究直线AB'是否经过某一定点．若是，请求出该定点的坐标；若不是，请说明理由． 2、（成都2023年中考真题25题10分）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点，与y轴交于点，直线与抛物线交于B，C两点． （1）求抛物线的函数表达式； （2）若是以为腰的等腰三角形，求点B的坐标； （3）过点作y轴的垂线，交直线AB于点D，交直线AC于点E．试探究：是否存在常数m，使得始终成立？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由． 3、（成都2024年中考真题25题10分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线：与轴交于A，B两点（点在点的左侧），其顶点为，是抛物线第四象限上一点． (1)求线段的长； (2)当时，若的面积与的面积相等，求的值； (3)延长交轴于点，当时，将沿方向平移得到．将抛物线平移得到抛物线，使得点，都落在抛物线上．试判断抛物线与是否交于某个定点．若是，求出该定点坐标；若不是，请说明理由． (1) (2) (3)抛物线与交于定点 二、中考压轴预测 预测分析：成都中考B卷25题固定题型考察“二次函数综合”，二次函数是初中数学的重点内容，二次函数更是初高衔接的桥梁，如果初中二次函数不过关，高中数学多半会很吃力。所以二次函数是各地中考的必考点和重点；成都中考二次函数综合解答题一共有3个小问，常考的点有一次函数与二次函数结合，各种多边形的存在性问题，各种定值定点问题，还有一些与几何结合的最值问题。要想拿高分，二次函数必须要学好，二次函数的基础知识要扎实，顶点式，交点式，要熟练，还有二次函数图像具有对称性，二次函数的单调性等都是热门考点。 1、如图1，已知抛物线与轴交于，两点（在左侧），与轴交于点，连接、，若，． (1)求抛物线的解析式； (2)点为直线上方抛物线上的一个动点，连接、，、为上的两个动点且满足（在左侧），为上一个动点，连接、，当最大时，求的最小值； (3)如图2，将抛物线沿着射线平移得到新抛物线，上找一点，连接，当与互补时，请写出所有符合条件的的坐标，并写出其中一个点的求解过程． 2、如图，在平面直角坐标系中，抛物线（）经过点，与轴变于点，与轴交于，两点（点在点的左侧），点是点关于轴的对称点，连接，，． (1)求抛物线的表达式； (2)如图，点是直线下方抛物线上的一动点，连接交于点，点为线段的中点，点为轴上的一动点，连接，，当有最大值时，求周长的最小值； (3)如图，将该抛物线沿射线方向平移，使得平移后的新抛物线经过点，点是新抛物线上对称轴右侧的一动点，过点作平行于轴的直线，过点作轴交于点，将绕点顺时针旋转角度，得到（点和点分别对应点和点），当时，点恰好落在坐标轴上，写出所有符合条件的点的横坐标，并写出求解点横坐标的其中一种情况的过程． 3、如图，的顶点，，直角顶点C在y轴的正半轴上，抛物线经过A、B、C三点． （1）求抛物线的解析式； （2）动点P从点A出发以2个单位的速度沿AB向点B运动，动点Q从点C出发以个单位的速度沿向点B运动，当其中一点到达终点时，另一点也停止运动，连接、，当△CPQ的面积最大时，求点P的坐标及最大面积； （3）如图2，过原点的直线与抛物线交于点E、F（点E在点F的左侧），点，若设直线的解析式为，直线的解析式为，试探究：是否为定值？若是，请求出定值；若不是，请说明理由． 4、已知如图，抛物线与轴交于点，点，与轴交于点，点，以为边作等边，点在第二象限． (1)求点、的坐标；（点的坐标用表示） (2)连接，，若平分，求的值； (3)抛物线与直线交于点、，若，求的值． 5、2025年元旦，希望中学开展“冬日情暖，喜迎元旦”活动，小亮同学对会场进行装饰．如图1所示，他在会场的两墙、之间悬挂一条近似抛物线的彩带，如图2所示，已知墙，且、之间的水平距离为8米． (1)求抛物线的顶点坐标； (2)为了彩带造型美观，小亮把彩带从点处用一根细线吊在天花板上，如图3所示，使得点到墙距离为3米，使抛物线的最低点距墙的距离为2米，离地面2米，求点到地面的距离； (3)为了避免人的头部触到彩带，小亮将点到地面的距离提升为3米，并调整点的位置，使抛物线对应的二次函数的二次项系数始终为，若设点距墙的距离为米，抛物线的最低点到地面的距离为米． ①试探究与的关系式； ②当时，求的取值范围． 6、如图，抛物线与x轴交于，两点． (1)求该抛物线的解析式； (2)若抛物线交y轴于C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由． (3)在抛物线的第二象限图像上是否存在一点P，使得的面积最大？若存在，求出点P的坐标及的面积最大值；若不存在，请说明理由． 7、已知抛物线（是常数）的顶点为，抛物线． (1)求证：点在抛物线上； (2)当时，的图象与轴交于、两点，点在点的左侧． ①若抛物线与的图象除顶点以外的另一个交点为，过点作直线轴，过点作，垂足为点，连接，．当时，求的值； ②在①的条件下，过点作轴的垂线，分别交和于点，；过点作轴的垂线，分别交和于点，；当时，求的值． 8、如图，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线经过点A，B，与x轴的另一个交点为点C，连接． (1)求抛物线的解析式； (2)如图①，M是抛物线的对称轴上一点，连接， 若，求点M的坐标； (3)如图②，P是直线上方抛物线上一动点，过点P作，交于点Q，求线段的最大值及此时点P的坐标． 9、如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点，点． （1）求此二次函数的解析式； （2）当时，求二次函数的最大值和最小值； （3）点为此函数图象上任意一点，其横坐标为，过点作轴，点的横坐标为．已知点与点不重合，且线段的长度随的增大而减小． ①求的取值范围； ②当时，直接写出线段与二次函数的图象交点个数及对应的的取值范围． 10、已知拋物线． (1)若拋物线的对称轴是直线，拋物线与x轴的交点坐标为． ①求抛物线的表达式； ②若点A的坐标为，动点P在直线OA下方的抛物线上，连接PA，PO，试判断的面积是否存在最大值？若存在，求出最大值； (2)若，拋物线过点，与y轴交于点C，将点B绕点顺时针旋转（旋转角小于）得到点，当点恰好落在抛物线上，且满足时，求n的值． 11、如图，平面直角坐标系中，O是坐标原点，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），点B坐标是．抛物线与y轴交于点，点P是抛物线的顶点，连接． (1)求抛物线的顶点P的坐标； (2)直线与抛物线对称轴交于点D，点Q为直线上一动点； ①当的面积等于面积的4倍时，求点Q的坐标； ②在①的条件下，当点Q在x轴上方时，过点Q作直线l垂直于，直线交直线l于点F，点G在直线上，且时，请求出的长． 12、在平面直角坐标系中，抛物线经过点和，其顶点的横坐标为．    (1)求抛物线的表达式． (2)若直线与轴交于点，在第一象限内与抛物线交于点，当取何值时，使得有最大值，并求出最大值． (3)若点为抛物线的对称轴上一动点，将抛物线向左平移个单位长度后，为平移后抛物线上一动点．在（）的条件下求得的点，是否能与、、构成平行四边形？若能构成，求出点坐标；若不能构成，请说明理由． 13、如图，直线与x轴交于点B，与y轴交于点C，经过B，C两点的抛物线与x轴的另一个交点为点A，连接． (1)求抛物线的解析式以及点A的坐标； (2)若点P是直线上方抛物线上的一个动点，过点P作交直线于点Q，求线段的最大值； (3)若点M在直线上运动，在坐标平面内是否存在另一个点N，使得以A，C，M，N为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 14、如图，在平面直角坐标系中，抛物线的表达式与x轴交于点和点B（A在B的右侧）与y轴交于点C，． (1)求抛物线的表达式； (2)点P是直线上方抛物线上的一动点，连接交于点D，连接，点M是直线上一动点，轴，垂足为N，连接．当取最大值时，求的最小值； (3)在（2）的条件下，过点P作轴，垂足为Q，交直线于点E，将抛物线沿射线方向平移，使新抛物线经过点E，点F为新抛物线上一动点，连接，当时，请直接写出所有符合条件的点F的横坐标，并写出其中一个点求解过程． 15、如图，抛物线与轴交于两点，且与轴交于点，作直线，点为抛物线的顶点 (1)求此抛物线的解析式； (2)点为直线下方抛物线上的动点，过点作于点，交直线于点，作于点求的最大值及此时点的坐标； (3)在（2）中条件下，将抛物线沿射线方向平移个单位长度，点为点的对应点，新抛物线与轴交于点为新抛物线对称轴上的一点，在平面直角坐标系中确定点，使得以点为顶点的四边形是菱形，请写出所有符合条件的点的坐标，并写出求解点的坐标的其中一种情况的过程． 2025年四川省成都市中考数学B卷25题-二次函数压轴预测38 / 40 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年四川省成都市中考数学B卷25题-二次函数题压轴预测 一、中考真题再现 1、（成都2022年中考真题25题10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝kx﹣3（k≠0）与抛物线y＝﹣x2相交于A，B两点（点A在点B的左侧），点B关于y轴的对称点为B'． （1）当k＝2时，求A，B两点的坐标； （2）连接OA，OB，AB'，BB'，若△B'AB的面积与△OAB的面积相等，求k的值； （3）试探究直线AB'是否经过某一定点．若是，请求出该定点的坐标；若不是，请说明理由． 【分析】（1）当k＝2时，直线为y＝2x﹣3，联立解析式解方程组即得A（﹣3，﹣9），B（1，﹣1）； （2）分两种情况：当k＞0时，根据△B'AB的面积与△OAB的面积相等，知OB'∥AB，可证明△BOD≌△BCD（ASA），得OD＝OC＝，D（0，﹣），可求B（，﹣），即可得k＝； 当k＜0时，过B'作B'F∥AB交y轴于F，由△B'AB的面积与△OAB的面积相等，可得OE＝EF＝3，证明△BGF≌△BGE（ASA），可得OG＝OE+GE＝，G（0，﹣），从而B（，﹣），即可得k＝﹣； （3）设x2+kx﹣3＝0二根为a，b，可得a+b＝﹣k，ab＝﹣3，A（a，﹣a2），B（b，﹣b2），B'（﹣b，﹣b2），设直线AB'解析式为y＝mx+n，可得，即可得m＝﹣（a﹣b）＝b﹣a＝＝，n＝﹣ab＝﹣（﹣3）＝3，从而直线AB'解析式为y＝•x+3，故直线AB'经过定点（0，3）． 【解答】解：（1）当k＝2时，直线为y＝2x﹣3， 由得：或， ∴A（﹣3，﹣9），B（1，﹣1）； （2）当k＞0时，如图： ∵△B'AB的面积与△OAB的面积相等， ∴OB'∥AB，∴∠OB'B＝∠B'BC，∵B、B'关于y轴对称， ∴OB＝OB'，∠ODB＝∠ODB'＝90°，∴∠OB'B＝∠OBB'，∴∠OBB'＝∠B'BC， ∵∠ODB＝90°＝∠CDB，BD＝BD，∴△BOD≌△BCD（ASA）， ∴OD＝CD，在y＝kx﹣3中，令x＝0得y＝﹣3，∴C（0，﹣3），OC＝3， ∴OD＝OC＝，D（0，﹣），在y＝﹣x2中，令y＝﹣得﹣＝﹣x2， 解得x＝或x＝﹣，∴B（，﹣）， 把B（，﹣）代入y＝kx﹣3得：﹣＝k﹣3，解得k＝； 当k＜0时，过B'作B'F∥AB交y轴于F，如图： 在y＝kx﹣3中，令x＝0得y＝﹣3， ∴E（0，﹣3），OE＝3， ∵△B'AB的面积与△OAB的面积相等， ∴OE＝EF＝3，∵B、B'关于y轴对称， ∴FB＝FB'，∠FGB＝∠FGB'＝90°， ∴∠FB'B＝∠FBB'，∵B'F∥AB， ∴∠EBB'＝∠FB'B，∴∠EBB'＝∠FBB'， ∵∠BGE＝90°＝∠BGF，BG＝BG，∴△BGF≌△BGE（ASA），∴GE＝GF＝EF＝， ∴OG＝OE+GE＝，G（0，﹣），在y＝﹣x2中，令y＝﹣得﹣＝﹣x2， 解得x＝或x＝﹣，∴B（，﹣）， 把B（，﹣）代入y＝kx﹣3得：﹣＝k﹣3，解得k＝﹣， 综上所述，k的值为或﹣； （3）直线AB'经过定点（0，3），理由如下：由得：x2+kx﹣3＝0，设x2+kx﹣3＝0二根为a，b， ∴a+b＝﹣k，ab＝﹣3，A（a，﹣a2），B（b，﹣b2），∵B、B'关于y轴对称，∴B'（﹣b，﹣b2）， 设直线AB'解析式为y＝mx+n，将A（a，﹣a2），B'（﹣b，﹣b2）代入得： ，解得：，∵a+b＝﹣k，ab＝﹣3， ∴m＝﹣（a﹣b）＝b﹣a＝＝，n＝﹣ab＝﹣（﹣3）＝3， ∴直线AB'解析式为y＝•x+3，令x＝0得y＝3，∴直线AB'经过定点（0，3）． 【点评】本题考查二次函数综合应用，涉及待定系数法，对称变换，三角形全等的判定与性质等知识，解题的关键是根据已知求出B点的坐标． 2、（成都2023年中考真题25题10分）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点，与y轴交于点，直线与抛物线交于B，C两点． （1）求抛物线的函数表达式； （2）若是以为腰的等腰三角形，求点B的坐标； （3）过点作y轴的垂线，交直线AB于点D，交直线AC于点E．试探究：是否存在常数m，使得始终成立？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）点B的坐标为或或 ；（3）存在，m的值为2或 【解析】【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）设，分和两种情况，分别根据等腰三角形性质和两点坐标距离公式列方程求解即可； （3）先根据题意画出图形，设抛物线与直线交点坐标为，，联立抛物线和直线解析式，根据根与系数关系得到，，利用待定系数法分别求得直线、的表达式为得到， ，过E作轴于Q，过D作轴于N，证明得到，整理可得到，进而求解即可． 【小问1详解】 解：∵抛物线经过点，与y轴交于点， ∴，解得， ∴抛物线的函数表达式为； 【小问2详解】 解：设， 根据题意，是以为腰的等腰三角形，有两种情况： 当时，点B和点P关于y轴对称， ∵，∴； 当时，则， ∴， 整理，得， 解得，， 当时，，则， 当时，，则， 综上，满足题意的点B的坐标为或或； 【小问3详解】 解：存在常数m，使得．根据题意，画出图形如下图， 设抛物线与直线的交点坐标为，， 由得， ∴，； 设直线的表达式为， 则，解得， ∴直线的表达式为，令，由得， ∴，同理，可得直线的表达式为，则， 过E作轴于Q，过D作轴于N， 则，，，， 若，则，∴， ∴，∴，∴，则， 整理，得，即， 将，代入，得， 即，则或，解得，， 综上，存在常数m，使得，m的值为2或． 【点睛】本题是二次函数的综合题，主要考查了待定系数法求函数的解析式、等腰三角形的性质、一元二次方程根与系数关系、相似三角形的判定与性质、解一元二次方程、坐标与图形等知识，综合性强，难度较大，熟练掌握相关知识的联系与运用，添加辅助线构造相似三角形，并利用数形结合和分类讨论思想解决问题是解答的关键． 3、（成都2024年中考真题25题10分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线：与轴交于A，B两点（点在点的左侧），其顶点为，是抛物线第四象限上一点． (1)求线段的长； (2)当时，若的面积与的面积相等，求的值； (3)延长交轴于点，当时，将沿方向平移得到．将抛物线平移得到抛物线，使得点，都落在抛物线上．试判断抛物线与是否交于某个定点．若是，求出该定点坐标；若不是，请说明理由． (1) (2) (3)抛物线与交于定点 解析：（1）解：∵抛物线：与轴交于A，B两点， ∴，整理得，解得∴则； （2）当时，抛物线：，则 设，则， 设直线解析式为，∵点D在直线上， ∴，解得， 则直线解析式为， 设直线与抛物线对称轴交于点E，则， ∴， ∵的面积与的面积相等， ∴，解得， ∴点， 过点D作于点H，则， 则； （3）设直线解析式为， 则，解得， 那么直线解析式为， 过点D作，如图， 则， ∵， ∴， ∵将沿方向平移得到， ∴ 由题意知抛物线平移得到抛物线，设抛物线解析式为， ∵点，都落在抛物线上   ∴， 解得， 则抛物线解析式为 ∵ 整理得，解得， ∴抛物线与交于定点． 二、中考压轴预测 预测分析：成都中考B卷25题固定题型考察“二次函数综合”，二次函数是初中数学的重点内容，二次函数更是初高衔接的桥梁，如果初中二次函数不过关，高中数学多半会很吃力。所以二次函数是各地中考的必考点和重点；成都中考二次函数综合解答题一共有3个小问，常考的点有一次函数与二次函数结合，各种多边形的存在性问题，各种定值定点问题，还有一些与几何结合的最值问题。要想拿高分，二次函数必须要学好，二次函数的基础知识要扎实，顶点式，交点式，要熟练，还有二次函数图像具有对称性，二次函数的单调性等都是热门考点。 1、如图1，已知抛物线与轴交于，两点（在左侧），与轴交于点，连接、，若，． (1)求抛物线的解析式； (2)点为直线上方抛物线上的一个动点，连接、，、为上的两个动点且满足（在左侧），为上一个动点，连接、，当最大时，求的最小值； (3)如图2，将抛物线沿着射线平移得到新抛物线，上找一点，连接，当与互补时，请写出所有符合条件的的坐标，并写出其中一个点的求解过程． 答案：(1)；(2)；(3)或． 解析：（1）解：令，则，即，∴，∵， ∴，∵，∴，，∵抛物线与轴交于，两点（在左侧）， ∴，，把，代入得，解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：过作轴，交于点，交轴于点，在上方找一点，使，，过作轴，交轴于点，连接， ∵，，∴设直线解析式为， 把代入得，解得， ∴直线解析式为， ∵轴，交于点，交轴于点， ∴设，则， ∴， ∴， ∴当时，最大，此时， ∵，，， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形，点沿射线方向移动个单位长度得到点， ∴，点先向右移动1个单位长度，再向上移动个单位长度得到点，则 ∴， ∴当、、三点共线时最小，由垂线段最短可得最小值为， ∴的最小值为； （3）解：∵将抛物线沿着射线平移得到新抛物线，，，， ∴将抛物线先向右移动2个单位长度，再向上移动1个单位长度得到新抛物线， ∴平移后解析式为， 当在直线下方时，如图，取点，则， ∴，，∵， ∴，∵与互补， ∴，∴， ∴是直线与新抛物线的交点， ∵，， ∴设直线解析式为，把代入得，解得， ∴直线解析式为， 联立，解得或（不在下方，舍去）， ∴；当在直线上方时，如图，取一点，使，， ∴，∴，∴是直线与新抛物线的交点，设， ∴，，两方程相减整理得， 代入得，解得 当时，，此时与重合，∴，，∴， ∵，，∴设直线解析式为，把代入得，解得， ∴直线解析式为，联立，得， 解得，∵在和之间， ∴，此时；∴； 综上所述，当与互补时，或． 2、如图，在平面直角坐标系中，抛物线（）经过点，与轴变于点，与轴交于，两点（点在点的左侧），点是点关于轴的对称点，连接，，． (1)求抛物线的表达式； (2)如图，点是直线下方抛物线上的一动点，连接交于点，点为线段的中点，点为轴上的一动点，连接，，当有最大值时，求周长的最小值； (3)如图，将该抛物线沿射线方向平移，使得平移后的新抛物线经过点，点是新抛物线上对称轴右侧的一动点，过点作平行于轴的直线，过点作轴交于点，将绕点顺时针旋转角度，得到（点和点分别对应点和点），当时，点恰好落在坐标轴上，写出所有符合条件的点的横坐标，并写出求解点横坐标的其中一种情况的过程． 答案：(1)；(2)；(3)或 解析：（1）解：当时，， ∴点的坐标为，则， ∵，， ∴，则，∴点的坐标为， ∵抛物线经过点和， ∴将和代入解析式， 得，解得， ∴抛物线的表达式为； （2）解：设直线解析式为，将，代入，得， 解得：，∴直线解析式为， ∵点是点关于轴的对称点， ∴，， ∵为线段的中点，， ∴，即， 过点作轴交于点， ∴， ∴， 设，则， ∴，∵，二次函数的对称轴为直线， ∴当时，有最大值，当时，， 此时有最大值，， ∴， 作点关于轴的对称点， 连接， ∴， ∴， 由两点之间线段最短，得，且当、、共线时，取最小值， ∵， 所以周长的最小值； （3）解：∵该抛物线沿射线方向平移，使得平移后的新抛物线经过点，且， ， ∴平移为该抛物线水平向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度， ∴新抛物线为， 对称轴为直线， ①当点在轴负半轴上时， 如图，过点作于点，设交轴于点， ∵，，， ∴， ∴， 即，解得：， ∴， ∵轴，轴， ∴四边形是平行四边形， 又∵，∴四边形是矩形， ∴，， ∵轴，∴， ∵，∴， ∴    ， 设， 则，， ∴， 化简得：， 解得：（舍），， 则的横坐标为； ②当点在轴正半轴上时，设交轴于点， 由旋转得，， 设， 则，， 由旋转得， ∵， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∴， ∴，∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 化简得：，解得：， ∵，， ∴， 即的横坐标为； 综上所述，的横坐标为或． 3、如图，的顶点，，直角顶点C在y轴的正半轴上，抛物线经过A、B、C三点． （1）求抛物线的解析式； （2）动点P从点A出发以2个单位的速度沿AB向点B运动，动点Q从点C出发以个单位的速度沿向点B运动，当其中一点到达终点时，另一点也停止运动，连接、，当△CPQ的面积最大时，求点P的坐标及最大面积； （3）如图2，过原点的直线与抛物线交于点E、F（点E在点F的左侧），点，若设直线的解析式为，直线的解析式为，试探究：是否为定值？若是，请求出定值；若不是，请说明理由． 解析（1）解：如图，连接， ， ， ，， ， ，，， ，，，，， 点C在y轴的正半轴上，，即， 抛物线经过A、B、C三点 设抛物线的解析式， 将代入，解得， ，即； （2）解：、，， 设运动时间为，由题意可知，，， ，， 如图，过点Q作轴于点G， ，，， ， 点P从点A运动到点B需要，点Q从点C运动到点B需要， ， 当时，面积最大，此时，； （3）解：设过原点的直线的解析式为，点E、F坐标为，， 联立化简得：， ，， 点代入直线，解得：， 点代入直线，解得：， 将，代入，解得:， 将，，代入，解得：， 即为定值，定值为3． 4、已知如图，抛物线与轴交于点，点，与轴交于点，点，以为边作等边，点在第二象限． (1)求点、的坐标；（点的坐标用表示） (2)连接，，若平分，求的值； (3)抛物线与直线交于点、，若，求的值． 答案：(1)点，点 (2)；(3)或 解析： （1）解：将点带入得， ，该解析式为令时，；令时， ，，解得，；点，点 （2）解：连接交于点，，， ，，点为中点，是等边三角形， ，，， ，， ，， 平分，；， ，， ， 整理得：， 解得：， 的值为． （3）解：，且，， ， ． ，点， 直线解析式为， 直线与抛物线交于点，， 方程的解为， 即， ， 整理得：， 解得：，， 的值为或． 5、2025年元旦，希望中学开展“冬日情暖，喜迎元旦”活动，小亮同学对会场进行装饰．如图1所示，他在会场的两墙、之间悬挂一条近似抛物线的彩带，如图2所示，已知墙，且、之间的水平距离为8米． (1)求抛物线的顶点坐标； (2)为了彩带造型美观，小亮把彩带从点处用一根细线吊在天花板上，如图3所示，使得点到墙距离为3米，使抛物线的最低点距墙的距离为2米，离地面2米，求点到地面的距离； (3)为了避免人的头部触到彩带，小亮将点到地面的距离提升为3米，并调整点的位置，使抛物线对应的二次函数的二次项系数始终为，若设点距墙的距离为米，抛物线的最低点到地面的距离为米． ①试探究与的关系式； ②当时，求的取值范围． 答案：(1) (2)点到地面的距离为米 (3)①；② （1）解：由题意得，抛物线的对称轴为直线，则， 解得：； 又∵， ∴，则抛物线的表达式为：， 当时，， 即顶点坐标为：； （2）设抛物线的表达式为：， 将点的坐标代入上式得：， 解得：， 则抛物线的表达式为：， 当时，（米）， 即点到地面的距离为2.25米； （3）①由题意知，点、纵坐标均为3， ∴抛物线中、对称， ∴抛物线的顶点的横坐标为：， ∴抛物线的表达式为：， 将点的坐标代入上式得：， 整理得：； ②当时，即， 解得：（不合题意的值已舍去）； 当时，同理可得：， 故的取值范围为：． 6、如图，抛物线与x轴交于，两点． (1)求该抛物线的解析式； (2)若抛物线交y轴于C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由． (3)在抛物线的第二象限图像上是否存在一点P，使得的面积最大？若存在，求出点P的坐标及的面积最大值；若不存在，请说明理由． 答案：(1)；；(2)存在，；(3)存在，点P的坐标为，8 （1）∵抛物线与x轴交于，两点， ∴，解得， ∴该抛物线的解析式为． （2）存在，点．理由如下： ∵抛物线与x轴交于，两点， ∴，是对称点，且，设直线的解析式为， ∴，解得， ∴直线的解析式为， 当时，，故点． （3）如图，设，过点P作于点E， ∵抛物线与x轴交于，两点，且， ∴，，，， ∴， ， 故当时，取得最大值，且为8，此时． 7、已知抛物线（是常数）的顶点为，抛物线． (1)求证：点在抛物线上； (2)当时，的图象与轴交于、两点，点在点的左侧． ①若抛物线与的图象除顶点以外的另一个交点为，过点作直线轴，过点作，垂足为点，连接，．当时，求的值； ②在①的条件下，过点作轴的垂线，分别交和于点，；过点作轴的垂线，分别交和于点，；当时，求的值． 答案：(1)见解析；(2)①；②的值为或 （1）证明：对于，顶点坐标为， 又中，当时，， 点在抛物线上． （2）解：①当时，的对称轴为直线， 联立和得或， 由（1）知：， ∴， 于点，， 又， ，， ，， ， 将代入，得：，解得：， ， ； ②由①得， ，对称轴为直线， 对于，当时，， ， 当时，， ， 对于，当时，， ， 当时，， ， （ⅰ）当时，即时， ， ， 解得，（舍去），； （ⅱ）当且时，即时， 则， 解得，（舍去），； （ⅲ）当时，则， 解得，（舍去），（舍去）； （ⅳ）当时，， 解得，（舍去），（舍去）， 故的值为或． 8、如图，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线经过点A，B，与x轴的另一个交点为点C，连接． (1)求抛物线的解析式； (2)如图①，M是抛物线的对称轴上一点，连接， 若，求点M的坐标； (3)如图②，P是直线上方抛物线上一动点，过点P作，交于点Q，求线段的最大值及此时点P的坐标． 答案：(1)抛物线的解析式为 (2)点M的坐标为 (3)线段的最大值为，点P的坐标为 （1）解：将代入，则， 令，解得：， ∴，， 把、的坐标代入得： ，解得：， ∴抛物线的解析式为：； （2）解：如图，以为圆心，为半径作圆， ∵两点关于抛物线对称轴对称，即抛物线对称轴垂直平分， ∴， 当点过上时，则， ∴， ∵抛物线的对称轴为，，， 设，∴， 解得：，∴点M的坐标为； （3）解：令，则， 解得：，∴，∴， ∵，， ∴， ∴是等腰直角三角形，即， 延长交y轴于点F，过点作y轴的平行线交于点H，过点Q作于点G， ∵轴， ∴， ∴，是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 当求最大值时，则取得最大值， 设直线的解析式为， 将代入，则，解得：， ∴直线的解析式为， 设，则， ∴， ∵， ∴当时，有最大值， 此时，，， ∴线段的最大值为，点P的坐标为． 9、如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点，点． （1）求此二次函数的解析式； （2）当时，求二次函数的最大值和最小值； （3）点为此函数图象上任意一点，其横坐标为，过点作轴，点的横坐标为．已知点与点不重合，且线段的长度随的增大而减小． ①求的取值范围； ②当时，直接写出线段与二次函数的图象交点个数及对应的的取值范围． 解：（1）将，点代入得：，解得， ∴． （2）∵， ∵抛物线开口向上，对称轴为直线． ∴当时，取最小值为－2，∵， ∴当时，取最大值． （3）①， 当时，，的长度随的增大而减小， 当时，，的长度随增大而增大， ∴满足题意，解得． ②∵，∴，解得， 如图，当时，点在最低点，与图象有1交点， 增大过程中，，点与点在对称轴右侧，与图象只有1个交点， 直线关于抛物线对称轴直线对称后直线为， ∴时，与图象有2个交点， 当时，与图象有1个交点， 综上所述，或时，与图象交点个数为1，时，与图象有2个交点． 10、已知拋物线． (1)若拋物线的对称轴是直线，拋物线与x轴的交点坐标为． ①求抛物线的表达式； ②若点A的坐标为，动点P在直线OA下方的抛物线上，连接PA，PO，试判断的面积是否存在最大值？若存在，求出最大值； (2)若，拋物线过点，与y轴交于点C，将点B绕点顺时针旋转（旋转角小于）得到点，当点恰好落在抛物线上，且满足时，求n的值． 答案：(1)①；②存在，最大值为；(2) 解析：（1）解：①由题意，得，解得 抛物线的表达式为． ②存在，的面积的最大值为． 如图1，作直线，过点P作轴交于点Q． 设． ，， 直线的表达式为， ， ， ， 当时，的面积有最大值． （2）解：将点代入，得． 把代入，解得，， 抛物线的表达式为， ． 如图2，过点N作于点F，过点N作交的延长线于点G， 则， 设与x轴的交点为K，由旋转可得． ， ， ． ， ， ， 平分． ， ， ． ， 直线的表达式为， 当时，解得，， ． ，， ， 解得， 即n的值为． 11、如图，平面直角坐标系中，O是坐标原点，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），点B坐标是．抛物线与y轴交于点，点P是抛物线的顶点，连接． (1)求抛物线的顶点P的坐标； (2)直线与抛物线对称轴交于点D，点Q为直线上一动点； ①当的面积等于面积的4倍时，求点Q的坐标； ②在①的条件下，当点Q在x轴上方时，过点Q作直线l垂直于，直线交直线l于点F，点G在直线上，且时，请求出的长． 答案：(1)；(2)①或；②的长为或 解析：（1）解：由题意得，，，，． （2）①如图1，作于，，， 设直线， ∴，解得：， 直线， ，可设， ， ， ，或． 或． ②如图2，对于，当， 则，解得：或， ∴ 设， 由得，， 化简，得， ，， ，， ∵， ∴， ∴， ∴，即与直线l重合， 联立得：， 解得：， ∴， ∴， ， 综上，的长为或． 12、在平面直角坐标系中，抛物线经过点和，其顶点的横坐标为．    (1)求抛物线的表达式． (2)若直线与轴交于点，在第一象限内与抛物线交于点，当取何值时，使得有最大值，并求出最大值． (3)若点为抛物线的对称轴上一动点，将抛物线向左平移个单位长度后，为平移后抛物线上一动点．在（）的条件下求得的点，是否能与、、构成平行四边形？若能构成，求出点坐标；若不能构成，请说明理由． 答案：(1) (2)当时，有最大值为 (3)能， 解析（1）解： 抛物线的顶点横坐标为；对称轴为； ；与x轴另一交点为（3,0）；∴设抛物线为 ∴抛物线的表达式为 （2）在抛物线上；∴设 在第一象限； ∴当时，有最大值为 （3）由（1）知，向左平移后的抛物线为 由（2）知 设，假设存在以、、、为顶点的平行四边形．    ①当以为对角线时， 平行四边形对角线互相平分 ，即 在抛物线上 的坐标为                                ②当以为对角线时 同理可得，即 则 的坐标为                                  ③当以为对角线时 ，即 则 的坐标为 综上所述：存在以、、、为顶点的平行四边形． 的坐标为 13、如图，直线与x轴交于点B，与y轴交于点C，经过B，C两点的抛物线与x轴的另一个交点为点A，连接． (1)求抛物线的解析式以及点A的坐标； (2)若点P是直线上方抛物线上的一个动点，过点P作交直线于点Q，求线段的最大值； (3)若点M在直线上运动，在坐标平面内是否存在另一个点N，使得以A，C，M，N为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 解析：（1）解：在中，令，则， 令，则，解得， ∴， 把代入， 得，解得， ∴抛物线的解析式为，令，则，解得或，∴； （2）解：过A作交y轴于点F，过点P作轴于点E，交于点D， ∵，∴， 设直线的解析式为，则，解得， ∴直线的解析式为，令，则， ∴，∴，∵，， ∴，∵，  ∴， ∵，∴，∴， ∴，   ∴，当取得最大值时，也取得最大值； 设，则，则， ∵，∴当时，有最大值为2， ∴的最大值为； （3）解：当点N在第二象限时，作轴于点G， ∵四边形是菱形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 同理，当点N在第四象限时，； 当点N在第一象限时，作轴于点Ｈ， 同理可得， ∴，， ∴， 当是对角线时，设， 由菱形的性质知，则， 解得，则， ∴，   同理，， ∴， 综上，点N的坐标为或或或． 14、如图，在平面直角坐标系中，抛物线的表达式与x轴交于点和点B（A在B的右侧）与y轴交于点C，． (1)求抛物线的表达式； (2)点P是直线上方抛物线上的一动点，连接交于点D，连接，点M是直线上一动点，轴，垂足为N，连接．当取最大值时，求的最小值； (3)在（2）的条件下，过点P作轴，垂足为Q，交直线于点E，将抛物线沿射线方向平移，使新抛物线经过点E，点F为新抛物线上一动点，连接，当时，请直接写出所有符合条件的点F的横坐标，并写出其中一个点求解过程． 答案：(1)；(2)；(3) 解析：（1）解：由得， ∵， ∴，则， 将，代入中， 得，解得， ∴该抛物线的表达式为； （2）解：令，则， ∴，， 设直线的函数表达式为， 则，解得， ∴直线的函数表达式为， 如图，过P作轴交直线于H， 则， ∴，则当最大时，取得最大值， 设，则， ∴， ∵，， ∴当时，取得最大值，即取得最大值，此时， 连接，则轴， ∵M是直线PC上一动点，轴，∴， 如图，过D作，且，连接，， ∴四边形是平行四边形，∴， ∴，当、N、C共线时取等号， ∴的最小值为， 设直线的函数解析式为，则， ∴直线的函数解析式为， 联立方程组，解得， ∴，则， ∴， 故的最小值为； （3）解：如图，连接， 由（2）知，，直线的函数表达式为， ∵轴交直线于点E，， ∴，，， ∵将抛物线沿射线方向平移，使新抛物线经过点E， ∴将抛物线先向右平移2个单位，再向上平移3个单位可得新抛物线的解析式为， ∵， ∴， 设直线与直线交点为M，，则， ∴， 解得，则， 设直线的函数表达式为， 将，代入，得， 解得， ∴直线的函数表达式为， 联立方程组，整理得， 解得， ∴满足条件的点F横坐标为． 15、如图，抛物线与轴交于两点，且与轴交于点，作直线，点为抛物线的顶点 (1)求此抛物线的解析式； (2)点为直线下方抛物线上的动点，过点作于点，交直线于点，作于点求的最大值及此时点的坐标； (3)在（2）中条件下，将抛物线沿射线方向平移个单位长度，点为点的对应点，新抛物线与轴交于点为新抛物线对称轴上的一点，在平面直角坐标系中确定点，使得以点为顶点的四边形是菱形，请写出所有符合条件的点的坐标，并写出求解点的坐标的其中一种情况的过程． 答案：(1)； (2)的最大值为，时点的坐标为； (3)或或或，见解析 解析：（1）解：∵抛物线与x轴交于，， ∴ ∴ ∴抛物线的解析式为； （2）， 令，则， 令，则， 解得： ∴， 又 ∴， 设，则， ∵， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴当取得最大值时，取得最大值， 设直线的解析式为：， 把，代入，得： ，解得，， ∴直线的解析式为：； 设，则， ， ∴当时，的最大值为2， 的最大值为，此时点的坐标为； （3）∵将抛物线沿射线方向平移个单位长度，，， ∴抛物线向上平移单位，向右平移2单位， ∴新抛物线的解析式为，顶点为 当时，，则点的坐标为，设， ，，， ①当时，，解得，或（与点重合，故舍去） 此时，、为对角线，，∴， 解得：，；； ②当时，，解得，，此时，、为对角线， ，∴，；解得：， ， ③当时，，解得，或；此时，、为对角线， 或， ∴或 解得：，；或， 当、为对角线时，综上所述，点的坐标为或或或． 2025年四川省成都市中考数学B卷25题-二次函数压轴预测38 / 40 学科网（北京）股份有限公司 $$