精品解析：甘肃省甘南藏族自治州合作第一中学2024-2025学年高二上学期期末考试数学试题

合作一中2024-2025学年度第一学期期末考试 高二数学 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“——”和阴爻“— —”，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查利用两个计数原理与排列组合计算古典概型问题，渗透了传统文化、数学计算等数学素养，“重卦”中每一爻有两种情况，基本事件计算是住店问题，该重卦恰有3个阳爻是相同元素的排列问题，利用直接法即可计算． 【详解】由题知，每一爻有2种情况，一重卦的6爻有情况，其中6爻中恰有3个阳爻情况有，所以该重卦恰有3个阳爻的概率为=，故选A． 【点睛】对利用排列组合计算古典概型问题，首先要分析元素是否可重复，其次要分析是排列问题还是组合问题．本题是重复元素的排列问题，所以基本事件的计算是“住店”问题，满足条件事件的计算是相同元素的排列问题即为组合问题． 2. 中，，，，则边上的高所在的直线方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设边上的高所在的直线为，求出直线l的斜率，代入点斜式方程，整理即可得出答案. 【详解】设边上的高所在的直线为， 由已知可得，，所以直线l的斜率. 又过，所以的方程为， 整理可得，. 故选：A. 3. “”是“直线和直线垂直”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】因为直线和直线垂直，所以或，再根据充分必要条件的定义判断得解. 【详解】因为“直线和直线垂直， 所以或. 当时，直线和直线垂直； 当直线和直线垂直时，不一定成立. 所以是直线和直线垂直的充分不必要条件， 故选：A． 4. 直线的倾斜角范围是 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意，设直线的倾斜角为，根据直线方程，求得，即可求解. 【详解】由题意，设直线的倾斜角为 直线的斜率为， 即，又由，所以， 故选B. 【点睛】本题主要考查了直线方程的应用，以及直线的斜率与倾斜角的关系的应用，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 5. 已知为圆C:上任意一点，则的最大值为（ ） A. 2 B. C. D. 0 【答案】C 【解析】 【分析】首先确定圆的圆心和半径，然后结合斜率的几何意义求解的最大值即可. 【详解】圆的方程即：，圆心坐标为，半径为， 代数式表示圆上的点与定点连线的斜率， 设过点的直线方程为，与圆的方程联立可得： ， 考虑临界条件，令可得： ，则的最大值为. 本题选择C选项. 【点睛】本题主要考查等价转化的数学思想，直线与圆的位置关系等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 6. 已知是2与8的等比中项，则圆锥曲线的离心率等于（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】由等比中项定义求得，根据的取值确定曲线是椭圆还是双曲线，然后计算离心率． 【详解】由已知，， 当时，方程为，曲线为椭圆， ，，离心率为； 当时，方程为，曲线为双曲线，，，离心率为． 故选：C． 7. 若是等差数列，首项，，，则使前n项和成立的最大自然数n是　　 A. 46 B. 47 C. 48 D. 49 【答案】A 【解析】 【分析】首先判断出a23＞0，a24＜0，进而a1+a46=a23+a24＞0，所以可得答案． 【详解】∵{an}是等差数列，并且a1＞0，a23+a24＞0，a23•a24＜0 可知{an}中，a23＞0，a24＜0，∴a1+a46=a23+a24＞0 所以， 故使前n项和Sn＞0成立的最大自然数n是46， 故答案为：A 【点睛】等差数列的性质灵活解题时技巧性强，根据等差数列的概念和公式，可以推导出一些重要而便于使用的变形公式．“巧用性质、减少运算量”在等差、等比数列的计算中非常重要，但用“基本量法”并树立“目标意识”，“需要什么，就求什么”，既要充分合理地运用条件，又要时刻注意题的目标，往往能取得与“巧用性质”解题相同的效果． 8. 已知圆O：和点，若过点P的5条弦的长度构成一个递增的等比数列，则该数列公比的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】圆半径，，则点P在圆内， 则过点P的弦长， 故所求公比的取值范围是，即. 故选：A 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 已知数列满足，则下列结论正确的是（ ） A. 为等比数列 B. 的通项公式为 C. 为递增数列 D. 的前n项和 【答案】AB 【解析】 【分析】将给定的递推公式两边取倒数，构造等比数列，求出通项并逐项判断作答. 【详解】因数列满足，显然，， 两边取倒数得：，即有，而， 因此，数列是首项为4，公比为2的等比数列，A正确； 于是得，整理得，数列的通项公式为，B正确； 因，即数列是递减数列，C不正确； 因，则，D不正确. 故选：AB 10. 在新高考方案中，选择性考试科目有：物理、化学、生物、政治、历史、地理6门．学生根据高校的要求，结合自身特长兴趣，首先在物理、历史2门科目中选择1门，再从政治、地理、化学、生物4门科目中选择2门，考试成绩计入考生总分，作为统一高考招生录取的依据．某学生想在物理、化学、生物、政治、历史、地理这6门课程中选三门作为选考科目，下列说法正确的是（ ） A. 若任意选科，选法总数为 B. 若化学必选，选法总数为 C. 若政治和地理至少选一门，选法总数为 D. 若物理必选，化学、生物至少选一门，选法总数为 【答案】BD 【解析】 【分析】对于A，先从两科中选一科，再从4科中选2科即可，对于B，先从两科中选一科，然后从3科中选1科即可，对于C，先从两科中选一科，然后分政治和地理都选或从政治和地理中选一科即可，对于D，化学、生物都选或从化学、生物中选一科即可 【详解】若任意选科，选法总数为，A错误； 若化学必选，选法总数为，B正确； 若政治和地理至少选一门，选法总数为，C错误； 若物理必选，化学、生物至少选一门，选法总数为，D正确． 故选：BD. 11. 已知抛物线，其焦点为F，准线为l，PQ是过焦点F的一条弦，点，则下列说法正确的是（ ） A. 焦点F到准线l的距离为2 B. 焦点，准线方程 C. 的最小值是3 D. 以弦PQ为直径的圆与准线l相切 【答案】ACD 【解析】 【分析】对A：由抛物线方程及焦点F到准线l的距离为即可求解； 对B：由抛物线方程即可求解； 对C：利用抛物线的定义，将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，从而即可求解； 对D：利用抛物线的定义，及圆心到直线的距离等于圆的半径则直线与圆相切，从而即可求解. 【详解】解：对B：由抛物线，可得，准线 ，故选项B错误； 对A：由抛物线，可得，即，所以焦点F到准线l的距离为，故选项A正确； 对C：过点P作，垂足为，由抛物线的定义可得， 所以（为点到准线l的距离），当且仅当、、三点共线时等号成立， 所以的最小值是3，故选项C正确； 对D：过点P、Q分别作，，垂足分别为、， 设弦PQ的中点为M，则弦PQ为直径的圆的圆心为M，过点M作，垂足为，则为直角梯形的中位线，， 又根据抛物线的定义有，， 所以， 所以以弦PQ为直径的圆与准线l相切，故选项D正确； 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 等差数列与的前项和分别为和，且，则________ 【答案】 【解析】 【分析】根据等差数列与的前项和分别为和，有，即可求解. 【详解】等差数列与的前项和分别为和， 则有： 同理： 所以 【点睛】此题考查等差数列的性质，前项和与通项公式之间的关系，即通过，求解两个等差数列特殊项的比值关系. 13. 设椭圆的两焦点为，.若椭圆上存在点P，使，则椭圆的离心率e的取值范围为__________. 【答案】 【解析】 【分析】设，，根据椭圆性质和余弦定理得到，利用均值不等式得到，解得答案. 【详解】设，，则，， 即， ，即，当且仅当时等号成立， 故，即，. 故答案为： 14. 某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折，规格为的长方形纸，对折1次共可以得到，两种规格的图形，它们的面积之和，对折2次共可以得到，，三种规格的图形，它们的面积之和，以此类推，则对折4次共可以得到不同规格图形的种数为______；如果对折次，那么______. 【答案】 ①. 5 ②. 【解析】 【分析】（1）按对折列举即可；（2）根据规律可得，再根据错位相减法得结果. 【详解】（1）由对折2次共可以得到，，三种规格的图形，所以对着三次的结果有：，共4种不同规格（单位； 故对折4次可得到如下规格：，，，，，共5种不同规格； （2）由于每次对着后的图形的面积都减小为原来的一半，故各次对着后的图形，不论规格如何，其面积成公比为的等比数列，首项为120,第n次对折后的图形面积为，对于第n此对折后的图形的规格形状种数，根据（1）的过程和结论，猜想为种（证明从略），故得猜想， 设， 则， 两式作差得： ， 因此，. 故答案为：；. 【点睛】方法点睛：数列求和的常用方法： （1）对于等差等比数列，利用公式法可直接求解； （2）对于结构，其中是等差数列，是等比数列，用错位相减法求和； （3）对于结构，利用分组求和法； （4）对于结构，其中是等差数列，公差为，则，利用裂项相消法求和. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知圆的方程，从0，3，4，5，6，7，8，9，10这九个数中选出3个不同的数，分别作圆心的横坐标、纵坐标和圆的半径．问： （1）可以作多少个不同的圆？ （2）经过原点的圆有多少个？ （3）圆心在直线上的圆有多少个？ 【答案】(1)448；(2)4；(3)38. 【解析】 【分析】(1)由题意利用乘法原理结合排列数公式可得满足题意的圆的个数； (2)由题意首先确定满足该条件的a，b，r，然后求解满足题意的圆的个数即可； (3)首先确定圆心满足的条件，然后结合排列数公式和分步加法计数原理可得满足题意的圆的个数. 【详解】(1)可分两步完成：第一步，先选r，因r>0，则r有种选法，第二步再选a，b，在剩余8个数中任取2个，有种选法， 所以由分步计数原理可得有个不同的圆. (2)圆经过原点，a、b、r满足， 满足该条件的a，b，r共有3，4，5与6，8，10两组，考虑a、b的顺序，有种情况， 所以符合题意的圆有. (3)圆心在直线x+y−10=0上，即满足a+b=10，则满足条件的a、b有三组：0，10；3，7；4，6. 当a、b取10、0时，r有7种情况， 当a、b取3、7；4、6时，r不可取0，有6种情况， 考虑a、b的顺序，有种情况， 所以满足题意的圆共有个. 【点睛】本题主要考查圆的方程及其应用，分类加法计数原理与分步乘法计数原理，排列数公式的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 16. （1）已知. 求：①； ②； （2）在的展开式中，求： ①展示式中的第3项； ②展开式中二项式系数最大的项. 【答案】（1）①；②；（2）①；②或. 【解析】 【分析】 （1）①运用赋值法，令，求得，令，求得，由此可求得答案. ②由二项式的展开式判断、、、都大于零，而、、、都小于零，令，可求得答案； （2）先求出展开式的通项公式，①令时，求展示式中的第3项； ②令或3时，求得二项式系数最大项． 【详解】解：（1）令，则， 令，则. ①∴. ②∵展开式中，、、、都大于零，而、、、都小于零， ∴， 令，则. 所以. （2）的展开式中第项为， ①当时，所以展示式中的第3项为. ②或3时，二项式系数最大， 时，由（1）知， 时，． 【点睛】方法点睛：求最大二项式系数时：如果n是奇数，最大的就是最中间一个，如果n是偶数,最大的就是最中间两个； 求系数的最大项时：设第r+1项为系数最大项，需列出不等式组，解之求得. 17. 如图，圆，点为直线上一动点，过点引圆的两条切线，切点分别为． （1）若，求切线所在直线方程； （2）求的最小值； （3）若两条切线与轴分别交于两点，求的最小值． 【答案】（1），；（2）（3） 【解析】 【分析】（1）设切线方程，利用圆心到切线距离等于半径求得斜率即可得解； （2）连接交于，利用，结合正余弦可得最值； （3）利用（1）的方法，得到的二次方程，结合根与系数关系，用含的式子表示去表示，可得最值． 【详解】（1）由题意，切线斜率存在，可设切线方程为，即， 则圆心到切线的距离，解得或， 故所求切线方程为，； （2）连接交于点， 设，则， 在中， ， ∵，∴，∴，∴； （3）设切线方程为，即，的斜率为， 故圆心到切线的距离，得， ∴， ， 在切线方程中令可得， 故， ∴，此时，故的最小值为． 【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系的综合应用，其中解答中熟记直线与圆的位置关系的判定与应用，合理根据直线与圆的位置关系，列出相应的方程是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，试题综合性强，属于中档试题． 18. 已知数列中，． （1）证明数列是等差数列， （2）求的通项公式； （3）设，求的前项和． 【答案】（1） 证明：当时，， 所以， 又，所以， 故是以2为首项，3为公差的等差数列， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据等差数列定义证明； （2）应用等差数列通项公式计算求解； （3）应用错位相减法计算求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1） 故，所以，． 【小问3详解】 由题意， 所以， 令，① 则② ①-②得： 故， 所以． 19. 已知双曲线的左顶点，一条渐近线方程为 （1）求双曲线的标准方程； （2）设双曲线的右顶点为，为直线上的动点，连接，交双曲线于，两点异于，，记直线与轴的交点为． ①求证：为定点； ②直线交直线于点，记，求证：为定值． 【答案】（1）； （2） ①设，且， 的直线方程为，的直线方程为． 设，，联立直线与双曲线方程有， 化简得，由韦达定理知， 有，代入直线有．则 联立直线与双曲线方程，化简有， 由韦达定理知，有，代入直线有 设，，， 由得， 化简得，可得，则． ②设直线方程为，则有 联立方程组，化简得，则， 由知，由知， ． 【解析】 【分析】（1）根据顶点坐标及渐近线确定双曲线参数，即可得方程； （2）①由题设有为，为，，，联立双曲线并应用韦达定理求得、，设，结合向量共线的坐标表示列方程求参数值，即可证；②设直线为，则，联立直线与双曲线并应用韦达定理，结合向量线性关系的坐标表示有，即可证. 【小问1详解】 由题设，，则双曲线方程为． 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 合作一中2024-2025学年度第一学期期末考试 高二数学 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“——”和阴爻“— —”，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是 A. B. C. D. 2. 中，，，，则边上的高所在的直线方程是（ ） A. B. C. D. 3. “”是“直线和直线垂直”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 直线的倾斜角范围是 A. B. C. D. 5. 已知为圆C:上任意一点，则的最大值为（ ） A. 2 B. C. D. 0 6. 已知是2与8的等比中项，则圆锥曲线的离心率等于（ ） A. B. C. 或 D. 或 7. 若是等差数列，首项，，，则使前n项和成立的最大自然数n是　　 A. 46 B. 47 C. 48 D. 49 8. 已知圆O：和点，若过点P的5条弦的长度构成一个递增的等比数列，则该数列公比的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 已知数列满足，则下列结论正确的是（ ） A. 为等比数列 B. 的通项公式为 C. 为递增数列 D. 的前n项和 10. 在新高考方案中，选择性考试科目有：物理、化学、生物、政治、历史、地理6门．学生根据高校的要求，结合自身特长兴趣，首先在物理、历史2门科目中选择1门，再从政治、地理、化学、生物4门科目中选择2门，考试成绩计入考生总分，作为统一高考招生录取的依据．某学生想在物理、化学、生物、政治、历史、地理这6门课程中选三门作为选考科目，下列说法正确的是（ ） A. 若任意选科，选法总数为 B. 若化学必选，选法总数为 C. 若政治和地理至少选一门，选法总数为 D. 若物理必选，化学、生物至少选一门，选法总数为 11. 已知抛物线，其焦点为F，准线为l，PQ是过焦点F的一条弦，点，则下列说法正确的是（ ） A. 焦点F到准线l的距离为2 B. 焦点，准线方程 C. 的最小值是3 D. 以弦PQ为直径的圆与准线l相切 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 等差数列与的前项和分别为和，且，则________ 13. 设椭圆的两焦点为，.若椭圆上存在点P，使，则椭圆的离心率e的取值范围为__________. 14. 某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折，规格为的长方形纸，对折1次共可以得到，两种规格的图形，它们的面积之和，对折2次共可以得到，，三种规格的图形，它们的面积之和，以此类推，则对折4次共可以得到不同规格图形的种数为______；如果对折次，那么______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知圆的方程，从0，3，4，5，6，7，8，9，10这九个数中选出3个不同的数，分别作圆心的横坐标、纵坐标和圆的半径．问： （1）可以作多少个不同的圆？ （2）经过原点的圆有多少个？ （3）圆心在直线上的圆有多少个？ 16. （1）已知. 求：①； ②； （2）在的展开式中，求： ①展示式中的第3项； ②展开式中二项式系数最大的项. 17. 如图，圆，点为直线上一动点，过点引圆的两条切线，切点分别为． （1）若，求切线所在直线方程； （2）求的最小值； （3）若两条切线与轴分别交于两点，求的最小值． 18. 已知数列中，． （1）证明数列是等差数列， （2）求的通项公式； （3）设，求的前项和． 19. 已知双曲线的左顶点，一条渐近线方程为 （1）求双曲线的标准方程； （2）设双曲线的右顶点为，为直线上的动点，连接，交双曲线于，两点异于，，记直线与轴的交点为． ①求证：为定点； ②直线交直线于点，记，求证：为定值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $