精品解析：重庆市巴蜀中学2024-2025学年高一下学期期中模拟（二）数学试题

重庆市巴蜀中学高2027届高一下半期模拟题（二） 一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的. 1. 若复数的实部与虚部互为相反数，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用复数的除法化简复数，利用已知条件可得出关于的等式，即可求得实数的值. 【详解】因为，由已知可得，解得. 故选：A. 2. 如图，已知等腰直角三角形是一个平面图形的直观图，，斜边，则这个平面图形的面积是（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据斜二测画法的定义，画出平面图形，求得原三角形的直角边，从而面积可得． 【详解】利用斜二测画法的定义，画出原图形， 由是等腰直角三角形，，斜边，得， 因此，， 所以原平面图形的面积是. 故选：A 3. 若圆锥的母线长为1，其侧面展开图的面积为，则这个圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求得圆锥的底面半径和高，从而求得圆锥的体积. 【详解】由题可知圆锥的侧面展开图扇形的半径， 设底面圆的半径为， 则有，所以， 于是圆锥的高为， 该圆锥的体积为：． 故选：A 4. 已知复数满足，当的虚部取最小值时，（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设，利用复数的模长公式可得出，求出的取值范围，可得出的最小值，进而可得出的值，由此可得出复数的值. 【详解】设，则， 所以，，即， 所以，，可得，解得， 当的虚部取最小值时，即当时，则，解得， 故， 故选：A. 5. 如图是一个正方体的展开图，如果将它还原为正方体，下列命题正确的是（ ） A. AB与HG相交 B. AB与EF平行 C. AB与CD相交 D. EF与CD异面 【答案】D 【解析】 【分析】首先还原正方体，再根据选项判断线线的位置关系. 【详解】由图可知与异面，与异面，与异面，与异面. 故选：D 6. 为了培养学生的数学建模能力，某校成立“不忘初心”学习兴趣小组.今欲测量学校附近洵江河岸的一座“使命塔”的高度，如图所示，可以选取与该塔底在同一水平面内的两个测量基点与，现测得，，，在点测得“使命塔”塔顶的仰角为60°，则“使命塔”高（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先解三角形，得，再解直角，就可以得到. 【详解】 在中，，，可得， 由正弦定理得：，则， 可得：， 再在直角中，， 故选：B. 7. 已知函数，则下列说法错误的是（ ） A. 将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则函数是偶函数 B. 是函数的一个零点 C. 函数在上单调递增 D. 在上的所有实根之和为 【答案】D 【解析】 【分析】先将函数利用两角和的余弦公式和辅助角公式整理为， A选项根据的图像变换和性质可判断A正确； B选项由可得B正确； C选项判断为函数的单调增区间的子集可得C正确； D选项求出在的所有实根可得D错误. 【详解】 A选项：将函数的图象向左平移个单位长度， 得到函数， 故函数是偶函数，A正确； B选项： ，故B正确； C选项：因， 令，， 故，， 故函数在，，上单调递增， 当时，可得函数在上单调递增， 故C正确； D选项： 令， 得， 所以或，， 故或，， 故在上的所有实根为，其和为， 故D错误， 故选：D 8. 如图，已知正六边形的边长为2，对称中心为，以为圆心作半径为1的圆，点为圆上任意一点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】解法一 连接，，设，根据向量的线性运算用，表示出，然后结合三角函数的性质即可求得结果． 解法二 以为坐标原点建立平面直角坐标系，设，根据数量积的坐标表示得到，再结合三角函数的性质即可求得结果． 解法三 借助向量投影的知识将转化，找到取得最值时点的位置，即可求得结果． 【详解】解法一 ：如图所示： 连接，设，连接，依题意得，，，， 则， ． 因为，所以，（三角函数的有界性） 所以． 故选：C． 解法二 如图， 以为坐标原点，以直线为轴，过且和垂直的直线为轴建立平面直角坐标系， 则依题意可得，，， 因为圆的半径为1，所以可设， 所以，，所以， 又，（三角函数的有界性） 所以． 故选：C． 解法三 如图所示： 设，则． 可看成是在上的投影， 当点与重合时最小，最小值为， 当点与重合时最大，最大值为0， 故． 故选：C． 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 设，为复数，则下列结论中正确的是（ ） A. B. C. 若为虚数，则也为虚数 D. 若，则的最大值为 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据复数代数形式的乘法运算及复数的模判断A；根据复数的向量表示及向量三角不等式，即可判断B；根据复数代数形式的除法运算及复数的概念判断C；根据复数模的几何意义判断D. 【详解】设， 则， ， 得， ， 所以，故A正确， 设对应的向量分别为，则由向量三角不等式得， 所以恒成立，所以B正确， 因为为虚数，为实数，所以为虚数，则也为虚数，故C正确； 设，由，则在复平面内点表示以为圆心，1为半径的圆，则，故D错误. 故选：ABC 10. 如图，是边长为2的正方形，都垂直于底面，且，点在线段上，平面交线段于点，则（ ） A. 四点不共面 B. 该几何体的体积为8 C. 若中点为为的四等分点（靠近），则三线共点 D. 截面四边形的周长的最小值为10 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，利用证明四点共面；对于B，通过补形可知，此几何体体积是底面边长为2的正方形，高为4的长方体体积的一半，进而求体积；对于C，延长，设它们交于点，延长，设它们交于点，利用三角形相似得到对应线段的比例关系，可求得，即点与点重合，即可得到三线共点；对于D，利用面面平行的性质定理证明四边形为平行四边形，则周长，进而求的最小值即可. 【详解】 对于A，取中点，取靠近的三等分点， 则四边形为平行四边形，四边形为平行四边形， 所以，则， 所以四点共面，故A错误； 对于，由对称性知，此几何体体积是底面边长为2的正方形，高为4的长方体体积的一半， 所以，故B正确； 对于C，若中点为为的四等分点（靠近）， 由已知，则， 延长，设它们交于点，则， 又，所以， 延长，设它们交于点，则， 则，即， 又，则，则， 所以点与点重合，即三线共点，故C正确. 对于D，由题意，平面平面， 平面平面，平面平面， 所以，同理可得， 所以四边形为平行四边形，则周长， 沿将右面和后面相邻两面展开， 当三点共线时，最小，最小值为， 所以截面四边形的周长的最小值为10，故D正确. 故选：BCD. 11. 已知点在所在的平面内，则下列命题正确的是（ ） A. 若为的垂心，且，则 B. 若，则的面积与的面积之比为 C. 若，则动点的轨迹经过的外心 D. 若E，F，G分别为，，的中点，且，，则的最大值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】A将转化为，然后求数量积；B将拆成，然后根据线性运算得到，然后求面积比即可；C由题意得，然后根据得到，即可得到动点的轨迹经过的外心；D根据得到点的轨迹，将转化为，然后求数量积，根据点的轨迹求最值. 【详解】A选项，，故A正确； B选项，设中点为，中点为， ，即， 所以点为中位线靠近点三等分点，所以，故B错； C选项，设中点为，则， 结合题设 所以，所以， 又的中点为，所以在的中垂线上， 所以动点的轨迹经过的外心，故C正确； D选项，设中点为， 因为，所以点的轨迹为以为直径的圆， 结合上图， , 当为直径时最大，最大为，故D正确. 故选：ACD. 【点睛】方法点睛：数量积的计算方法（1）定义法；（2）坐标法；（3）转化法；（4）几何意义法. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知点P，Q分别是四边形的对角线与的中点，，，且，是不共线的向量，则向量_________. 【答案】 【解析】 【分析】取的中点E，连接，，由平面向量的加法和数乘运算可得结果. 【详解】如图，取的中点E，连接，， 由题意，得，， 则. 故答案为：. 13. 函数（，，）的部分图象如图所示，下列结论正确的有______. ①， ②函数的图象关于直线对称 ③若，则 ④函数的最小正周期为，函数是奇函数 【答案】①③④ 【解析】 【分析】由图得，根据过点结合，求得，利用特殊点求得，判断①；根据即取不到最值判断②；结合已知根据二倍角余弦公式计算判断③；先求得，再根据奇函数的定义判断④. 【详解】由题意可得，又因为函数过点， 所以，所以，又因为，所以， 又函数的第二个关键点的坐标为，所以，解得，故①正确； 所以，由， 所以函数的图象不关于直线对称，故②错误； 若，则可得，所以， ，故③正确； 函数的最小正周期为， ， 所以，函数是奇函数，故④正确. 故答案：①③④. 14. 在中，内角的对边分别为，已知，且的外接圆直径为4，则周长的最大值为______. 【答案】 【解析】 【分析】利用正弦定理将已知条件转化为角的关系，求出角，再结合正弦定理求出边，最后根据三角函数的性质求出周长的最大值． 【详解】在中，已知，由正弦定理得：. 因为，那么， 则，得. 因为，所以，两边同时除以可得， 又因为，所以. 已知的外接圆直径为4，即， 由正弦定理可得， .且， 则的周长. 所以 ， 因为，所以， 当，即时，取得最大值1， 此时周长的最大值为. 故答案为：. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足，且． （1）求角B的大小； （2）若的面积为，求AC边上的中线长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由得，代入得到三边关系，由余弦定理求得后得到大小，从而求得大小； （2） 由条件可求得的各边与各角，在中由余弦定理求AC边上的中线长． 【小问1详解】 ∵，∴， 由正弦定理得， 由，得， 又由，得，，， 由余弦定理得， 又∵，∴， 由，，，得， ∴，； 【小问2详解】 由（1）得，，，，，，， 所以， 设AC的中点为D，则， 在中，由余弦定理得， 所以AC边上的中线长为． 16. 已知函数的最大值为3． （1）若的定义域为，求的单调递增区间； （2）若，，求值． 【答案】（1）单调递增区间为和 （2） 【解析】 【分析】（1）利用二倍角公式将化简并利用最值可得，再由三角函数单调性解不等式即可求得单调递增区间； （2）代入解析式可求得，再根据同角三角函数之间的基本关系以及二倍角等公式即可求得结果. 【小问1详解】 将化简可得， 因为，所以． 此时， 当时， 令．得； 令，得， 所以的单调递增区间为和． 【小问2详解】 由（1）知． 由，得， 所以．又因为．所以， 所以． 所以， ， 所以 . 17. 在中，，，，点，在边上且，． （1）若，用表示，并求线段的长； （2）若，，求的值． （3）若，求的值. 【答案】（1），； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）由向量线性运算，利用基底表示，再利用数量积的运算律求出长. （2）利用数量积及模求出向量的夹角的余弦值. （3）利用数量积的运算律，结合已知建立等式即可. 小问1详解】 在中，令，，则； ，，， 所以. 【小问2详解】 由，，得，， 因此， 又， ， . 【小问3详解】 ， ， 则， 即， ，化简得：， 所以. 18. 如图，在△ABC中，，，且，为线段上的两个动点（在的右侧），且 （1）若时，求的长； （2）若△的面积是△的面积的倍，求的大小； （3）当为何值时，△的面积最小，最小面积是多少？ 【答案】（1）2； （2）； （3）时，的面积取最小值为. 【解析】 【分析】（1）求出角、的大小，利用余弦定理可求出的长，推导出，可求出、的长，即可得出的周长； （2）设，根据已知条件可得出，由正弦定理得出，可得出的值，结合角的范围可得出角的值，即可得解； （3）设，由正弦定理得出，利用三角形的面积公式结合三角恒等变换、三角函数的基本性质可求出面积的最小值及其对应的值. 【小问1详解】 由，，， 得， 又，则，，所以， 在中，由余弦定理可得 ，则， 因为，所以， ∵，∴， 【小问2详解】 设， 因为的面积是的面积的倍， 所以，即， 在中，， 由，得， 从而，即，而， 由，得，所以，即. 【小问3详解】 设，由（2）知， 又在中，由，得， 所以 ， 所以当且仅当， 即时，的面积取最小值为. 19. 如图，设中角所对的边分别为为边上的中线， （1）求边的长度； （2）求的面积； （3）设点分别为边上的动点（含端点），线段交于，且的面积为面积的，求的取值范围. 【答案】（1）8 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由题意，利用正弦定理和余弦定理，转化求解，即可求出的值． （2）设，利用中线的向量表示，计算以及，利用求出，再计算的面积． （3）设，，，其中，，,，根据，得出，由、、三点共线得，计算的取值范围即可． 【小问1详解】 由已知条件可知：， 在中，由正弦定理， 得， 中，由余弦定理，得， ，又. 【小问2详解】 设为边上中线,， 则 ①， ， 或 由①，得， . 【小问3详解】 设， ， 根据三点共线，得， （，为） . 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 重庆市巴蜀中学高2027届高一下半期模拟题（二） 一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的. 1. 若复数的实部与虚部互为相反数，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 2. 如图，已知等腰直角三角形是一个平面图形直观图，，斜边，则这个平面图形的面积是（ ） A. B. 1 C. D. 3. 若圆锥母线长为1，其侧面展开图的面积为，则这个圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 4. 已知复数满足，当的虚部取最小值时，（ ） A. B. C. D. 5. 如图是一个正方体的展开图，如果将它还原为正方体，下列命题正确的是（ ） A. AB与HG相交 B. AB与EF平行 C AB与CD相交 D. EF与CD异面 6. 为了培养学生的数学建模能力，某校成立“不忘初心”学习兴趣小组.今欲测量学校附近洵江河岸的一座“使命塔”的高度，如图所示，可以选取与该塔底在同一水平面内的两个测量基点与，现测得，，，在点测得“使命塔”塔顶的仰角为60°，则“使命塔”高（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数，则下列说法错误的是（ ） A. 将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则函数是偶函数 B. 是函数的一个零点 C. 函数在上单调递增 D. 在上所有实根之和为 8. 如图，已知正六边形的边长为2，对称中心为，以为圆心作半径为1的圆，点为圆上任意一点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 设，为复数，则下列结论中正确的是（ ） A. B. C. 若为虚数，则也为虚数 D. 若，则的最大值为 10. 如图，是边长为2的正方形，都垂直于底面，且，点在线段上，平面交线段于点，则（ ） A. 四点不共面 B. 该几何体的体积为8 C. 若中点为为的四等分点（靠近），则三线共点 D. 截面四边形的周长的最小值为10 11. 已知点在所在的平面内，则下列命题正确的是（ ） A. 若为的垂心，且，则 B. 若，则的面积与的面积之比为 C. 若，则动点的轨迹经过的外心 D. 若E，F，G分别为，，的中点，且，，则的最大值为 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知点P，Q分别是四边形的对角线与的中点，，，且，是不共线的向量，则向量_________. 13. 函数（，，）的部分图象如图所示，下列结论正确的有______. ①， ②函数的图象关于直线对称 ③若，则 ④函数的最小正周期为，函数是奇函数 14. 在中，内角的对边分别为，已知，且的外接圆直径为4，则周长的最大值为______. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足，且． （1）求角B的大小； （2）若的面积为，求AC边上的中线长． 16. 已知函数的最大值为3． （1）若定义域为，求的单调递增区间； （2）若，，求的值． 17. 在中，，，，点，在边上且，． （1）若，用表示，并求线段的长； （2）若，，求的值． （3）若，求的值. 18. 如图，在△ABC中，，，且，为线段上的两个动点（在的右侧），且 （1）若时，求的长； （2）若△的面积是△的面积的倍，求的大小； （3）当为何值时，△的面积最小，最小面积是多少？ 19. 如图，设中角所对的边分别为为边上的中线， （1）求边的长度； （2）求的面积； （3）设点分别为边上的动点（含端点），线段交于，且的面积为面积的，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$