精品解析：江苏省如东高级中学2024-2025学年高一下学期3月阶段测试数学试题

如东高级中学高一下学期3月份阶段测试 数学 注意事项 考生在答题前请认真阅读本注意事项： 1.本试卷满分150分，考试时间为120分钟.考试结束后，请将答题卡交回. 2.答题前，请将自己的姓名，考试号用0.5毫米黑色签字笔填涂在答题卡指定的位置. 3.选择题答案用2B铅笔在答题卡上把对应题目的答案标号涂黑，非选择题用0.5mm的黑色签字笔在每题对应的答题区域内做答，在其他位置作答一律无效. 一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求. 1. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，则等于(　 　) A. －16 B. －8 C. 8 D. 16 【答案】D 【解析】 【详解】因为∠C＝90°，所以·＝0，所以·＝(＋)·＝||2＋·＝AC2＝16. 2. 若，，则等于（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【分析】结合题意利用两角差的正切公式直接求解即可. 【详解】. 故选：A 3. 平面向量，满足，，，若，则最小值为（　　） A. 1 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意计算出，由整理得，由向量的数量积公式得到，即可得到最小值. 【详解】因为，，， ， 得，即， 即， 所以，即. 设与的夹角为，则，， ∴当时，最小值为. 故选：B. 4. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】在中，用两角和的余弦公式展开，再利用辅助角公式化简得到，再利用二倍角的余弦公式展开计算即可. 【详解】由和两角和的正弦公式， 得 ， 由辅助角公式整理得，， 由二倍角的余弦公式， . 故选：C 【点睛】本题主要考查三角恒等变换的综合应用，包括了两角和的正弦公式、辅助角公式和二倍角的余弦公式，考查学生的分析转化能力和计算能力，属于中档题. 5. 已知菱形的对角线相交于点，点为的中点，若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意,以对角线交点为坐标原点，对角线所在直线为轴建立直角坐标系,利用坐标法求解. 【详解】解：如图，以点为坐标原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系， 由，， 所以，，，， 所以， 所以. 故选：B 【点睛】本题考查向量的数量积运算，解题的关键在于根据题意建立平面直角坐标系，利用坐标法求解，考查运算求解能力，是中档题. 6. 已知为锐角，且，则的值为（ ） A. 40° B. 50° C. 70° D. 80° 【答案】B 【解析】 【分析】直接利用三角函数关系式的恒等变换和角公式的应用求出结果． 【详解】由可得， 即， 所以， 又为锐角，故， 故选：B. 7. 如图，在中，，，点为边上的一动点，则的最小值为（ ） A. 0 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 作辅助线，利用向量数量积公式，可求得，，再利用向量的三角形法则，将求的最小值，转化为求得最小值，然后分类讨论与O的位置关系，可知在O右侧时，最小，再利用基本不等式求最值. 【详解】如图所示，作 ，，， 可得，即， 利用向量的三角形法则，可知 若与O重合，则 若在O左侧，即在上时, 若在O右侧，即在上时，，显然此时最小，利用基本不等式（当且仅当，即为中点时取等号） 故选：C. 【点睛】本题考查向量的三角形法则，向量的数量积公式，及利用基本不等式求最值，考查学生的转化能力，数形结合思想，属于中档题. 8. 在中，是的外心且满足，则线段的最小值为（ ） A. 2 B. 4 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由，求得，则，要求的最小值即求的最大值，即的最大值，由，利用两角和的余弦公式和同角间的关系，再利用基本不等式可得，得到的最大值为，可得线段的最小值. 【详解】 在中，设角A，B，C 所对的边分别a，b，c，设外接圆半径为， 因为是的外心，所以， 又，则， 则，即， 由正弦定理得，则， 所以，要求的最小值即求的最大值，即的最大值， 在中，因为,则, 因为， 则，即， 则， 所以， 则 ， 因为，又， 则，即为钝角，则为锐角， 所以，则， 当且仅当，即，即时，等号成立， 则的最大值为，所以的最大值为， 所以线段的最小值为. 故选：A. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 已知向量，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 向量与向量的夹角为 D. 在的投影向量是 【答案】AC 【解析】 【分析】利用平面向量垂直的坐标表示可判断A选项；利用平面向量的模长公式可判断B选项；利用平面向量夹角的坐标表示可判断C选项；利用投影向量的概念可判断D选项. 【详解】对于A选项，，则，故，A对； 对于B选项，，故，B错； 对于C选项，设向量、的夹角为，则， 因为，故，C对； 对于D选项，在方向上的投影向量为，D错. 故选：AC. 10. 下列各式中，值为的有（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】A中，利用两角和的正弦公式计算即可；B中，先通分，再利用三角恒等变换计算即可；C中，利用二倍角的正切值公式计算即可；D中，利用两角和的正切公式计算即可． 【详解】对于A， ； 对于B，； 对于C，； 对于D， ． 故选：ACD． 11. 设点M是所在平面内一点，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则点M是的重心 B. 若，则点M在线段的延长线上 C. 若，且，则的面积是面积的 D. 已知平面向量，满足，则为等腰三角形 【答案】ACD 【解析】 【分析】设的中点为，由向量的线性运算可得，由重心的性质即可判断选项；由向量的线性运算即可判断选项；结合图象，由三点共线的充要条件即线性运算可得点的位置，结合图象，及面积公式即可判断选项；由向量的线性运算及数量积运算即可判断选项． 【详解】解：对于，设的中点为，若， 则点是的重心，故正确； 对于，若，即有，即， 则点在边的延长线上，故错误； 对于，若，且， 由图可得为的中点，则的面积是面积的，故正确； 对于，因为，所以， 即， 所以， 因为，所以点在的角平分线上， 所以，所以， 所以，所以为等腰三角形，故正确． 故选：． 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是_____. 【答案】 【解析】 【分析】利用且与不共线求解. 【详解】，，则， 因与的夹角为锐角，则，得， 当时，，得，此时与同向， 则实数的取值范围是. 故答案为： 13. 函数的最大值是______. 【答案】 【解析】 【分析】利用降次公式、辅助角公式化简函数，根据三角函数最值的求法求得函数的最大值. 【详解】， 所以当时，取得最大值. 故填： 【点睛】本小题主要考查三角函数降次公式，考查二倍角公式、辅助角公式的运用，考查三角函数最值的求法，属于基础题. 14. 如图，已知直角的斜边长为4，设是以为圆心的单位圆的任意一点，为边的中线的中点，则__________，的取值范围为__________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】（1）如图所示，，计算得到答案. （2）设夹角为，，则，，得到范围. 【详解】如图所示： ； 设夹角为，，，则， ， 故. 故答案为：； 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知向量满足，，． （1）求与的夹角； （2）若，，求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用向量数量积的性质及运算规律即可求解； （2）由，再利用求模公式求解． 【小问1详解】 因为，，，设， 所以， 所以，因为， 所以，即与的夹角为； 【小问2详解】 因为， 则， 故． 16. 如图，梯形，，，，为中点，． （1）当时，用向量表示的向量； （2）若为大于零的常数），求的最小值，并指出相应的实数的值． 【答案】（1） （2）； 【解析】 【分析】（1）结合图形，先证得四边形是平行四边形，从而利用向量的线性运算即可得解. （2）结合（1）中的结论，得到关于的表达式，进而利用向量的数量积运算求模得到关于的二次表达式，从而可求得的最小值及相应的值. 【小问1详解】 过作交于，如图， 因为，所以，， 则四边形是平行四边形，故，即是的中点， 所以， 当时，， 所以． . 【小问2详解】 因为，所以， 所以， 因为，，， 所以， 所以当，即时，取得最小值． 所以的最小值为，此时． 17. 已知向量，，. （1）若，求的值； （2）记，若对于任意，恒成立，求实数的最小值. 【答案】（1） （2）. 【解析】 【分析】（1）由，得到，求得，即可得到的值； （2）根据题意，化简得到，由，得到，结合对于任意， 恒成立，即，即可求解. 【小问1详解】 解：由向量，， 因为，可得，整理得， 即，又因为，则. 【小问2详解】 解：由 ， 因为，则，所以， 因为对于任意，而恒成立， 则，所以实数的最小值为. 18. 如东大润发超市因宣传需要，在自动扶梯（米）的点的上方悬挂竖直高度为5米的广告牌.如图所示，广告牌底部点正好为的中点，电梯的坡度.福佑崇文阁赵老师在扶梯上点处（异于点）观察广告牌的视角，（为方便起见，本题中将人视为点，不考虑人的身高） （1）设的长为米，用表示； （2）若赵老师在点时，观测到视角的正切值为，求扶梯的长； （3）在（2）的条件下，当赵老师在扶梯上观察广告牌的视角最大时，求的长. 【答案】（1） （2）10米 （3）米 【解析】 【分析】（1）解直角三角形得，结合以及锐角三角函数的定义即可得解； （2）分别表示出，，，结合，由两角和的正切公式列式求解，并结合计算即可； （3）作于点，设，则，，表示出，，由两角差的正切公式得出的表达式，结合基本不等式的取等号条件即可得解. 【小问1详解】      因为在直角三角形中，，，， 所以， 因为，点是的中点， 从而， 所以. 【小问2详解】 由（1）有，其中， 而在直角三角形中，， 又因为，， 所以， 即，解得或， 又，所以，（若，则，矛盾）， 所以扶梯的长度为10米. 【小问3详解】 作于点，如图所示， 则，    设，则，， 由（2）可知， ，， 当取最大值时，即取最大值， ， 当且仅当，即时，等号成立，所以此时米. 19. 设为坐标原点，定义非零向量的“友函数”为，向量称为函数的“友向量”. （1）记的“友函数”为，求函数的单调递增区间； （2）设，其中，求的“友向量”模长的最大值； （3）已知点满足，向量的“友函数”在处取得最大值.当点运动时，求的取值范围. 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据定义直接可得函数解析式并化简，进而可得函数的单调递增区间； （2）化简函数解析式，可判断函数的“友向量”，进而可确定其模长； （3）根据三角函数性质直接可得函数取得最值时根据不等式可得，再利用齐次式可得的最值. 【小问1详解】 由已知， 则令，， 解得，， 即函数的单调递增区间为，； 【小问2详解】 ， 则的“友向量”为， 所以， 又，所以当，时，取得最大值为； 【小问3详解】 由已知点满足， 则，，且， 又，且， 且当，时，函数取得最大值， 即， 所以， 即， 又， 设，则原式， 且在上单调递减， 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 如东高级中学高一下学期3月份阶段测试 数学 注意事项 考生在答题前请认真阅读本注意事项： 1.本试卷满分150分，考试时间为120分钟.考试结束后，请将答题卡交回. 2.答题前，请将自己的姓名，考试号用0.5毫米黑色签字笔填涂在答题卡指定的位置. 3.选择题答案用2B铅笔在答题卡上把对应题目的答案标号涂黑，非选择题用0.5mm的黑色签字笔在每题对应的答题区域内做答，在其他位置作答一律无效. 一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求. 1. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，则等于(　 　) A. －16 B. －8 C. 8 D. 16 2. 若，，则等于（ ） A. B. C. 1 D. 3. 平面向量，满足，，，若，则最小值为（　　） A. 1 B. C. D. 4. 若，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知菱形的对角线相交于点，点为的中点，若，，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知为锐角，且，则的值为（ ） A. 40° B. 50° C. 70° D. 80° 7. 如图，在中，，，点为边上的一动点，则的最小值为（ ） A. 0 B. C. D. 8. 在中，是的外心且满足，则线段的最小值为（ ） A. 2 B. 4 C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 已知向量，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 向量与向量的夹角为 D. 在的投影向量是 10. 下列各式中，值为的有（ ） A. B. C. D. 11. 设点M是所在平面内一点，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则点M是的重心 B. 若，则点M在线段的延长线上 C. 若，且，则的面积是面积的 D. 已知平面向量，满足，则为等腰三角形 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是_____. 13. 函数的最大值是______. 14. 如图，已知直角的斜边长为4，设是以为圆心的单位圆的任意一点，为边的中线的中点，则__________，的取值范围为__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知向量满足，，． （1）求与的夹角； （2）若，，求． 16. 如图，梯形，，，，为中点，． （1）当时，用向量表示的向量； （2）若为大于零的常数），求的最小值，并指出相应的实数的值． 17. 已知向量，，. （1）若，求的值； （2）记，若对于任意，恒成立，求实数的最小值. 18. 如东大润发超市因宣传需要，在自动扶梯（米）的点的上方悬挂竖直高度为5米的广告牌.如图所示，广告牌底部点正好为的中点，电梯的坡度.福佑崇文阁赵老师在扶梯上点处（异于点）观察广告牌的视角，（为方便起见，本题中将人视为点，不考虑人的身高） （1）设的长为米，用表示； （2）若赵老师在点时，观测到视角的正切值为，求扶梯的长； （3）在（2）的条件下，当赵老师在扶梯上观察广告牌的视角最大时，求的长. 19. 设为坐标原点，定义非零向量的“友函数”为，向量称为函数的“友向量”. （1）记的“友函数”为，求函数的单调递增区间； （2）设，其中，求的“友向量”模长的最大值； （3）已知点满足，向量的“友函数”在处取得最大值.当点运动时，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $