2025年中考数学压轴题系列：圆综合

2025年中考数学压轴题系列：圆综合

1．定义：对角线互相垂直的圆内接四边形叫做圆的“正德四边形”．

(1)①若是圆的“正德四边形”，则是 （填选项：A．矩形；B．菱形；C．正方形）；

②若四边形是的正德四边形，若，，则 ；

(2)如图1，已知的半径为，四边形是的“正德四边形”．求证：；

(3)如图2，四边形是“正德四边形”，为圆内一点，，，且，当的长度最小时，求的值．

 

 

 

 

 

 

 

 

2．如图1，和是半径为2的的两条直径，点P是延长线上的一点．连接交于点E（点E在线段上，且不与点P、点C重合）．

(1)当时，求证：；

(2)连接，交半径于点M，已知．

①连接，如图2，当点M是的重心时，求的余弦值；

②连接、，当为等腰三角形时，求线段的长．

 

 

 

 

 

 

 

 

3．已知：矩形的边长为2，点P在射线上，过点O、P的与相切于点P．

(1)如图1，若点B在对角线上，且，则的长度是______；

(2)如图2，以O为原点，为x轴建立平面直角坐标系，，设，

①求点B坐标（用含n的代数式表示）．

②连接，设且，当M取最大值时，作于E交于F，与交于G，求的值．

 

 

 

 

 

 

 

4．已知四边形内接于，平分．

(1)如图1，求证：

(2)如图2，若，求证：．

(3)如图3，在（2）的条件下，在的延长线上取一点E，连接．若，，，将直线沿翻折交于点F，连接，求的长．

 

 

 

 

 

 

 

 

5．综合与实践：小华发现这么一类四边形，它们有一组对角之和为直角，小华将这类四边形命名为对余四边形．

性质判断

(1)若四边形是对余四边形，则与是否互余？ （填“一定”或“不一定”）；

性质探究

(2)如图1， 在上有，，三点，是的直径，，相交于点．求证：