精品解析：内蒙古自治区巴彦淖尔市第一中学2024-2025学年高一下学期期中考试数学试题

2024-2025学年高一下学期数学期中考试试卷 考试范围：必修一，必修二（考到第八章8.4） 分值:150分 时间：120分钟 命题人：王海龙 一、单选题（共40分，每题5分） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】应用集合的并运算求集合即可. 【详解】由题设. 故选：B 2. 设i是虚数单位，若，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出，再根据模长公式计算即可. 【详解】由，则，即， 所以. 故选：B. 3. 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用函数的解析式由内到外逐层计算可得的值. 【详解】因为，则， 则. 故选：C. 4. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由诱导公式以及余弦函数的二倍角公式，可得答案. 【详解】 . 故选：A. 5. 已知平面向量是两个单位向量，在上的投影向量为，则（    ） A. 1 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用投影向量的定义及数量积的运算律求解. 【详解】由在上的投影向量为，得，则，而是单位向量， 因此，又是单位向量，所以. 故选：B 6. 已知圆台上下底面圆的半径分别为1，3，母线长为4，则该圆台的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据圆台表面积的计算公式，结合已知条件，直接求解即可. 【详解】设上下底面圆半径分别为，母线长为， 则圆台表面积. 故选：B 7. 在中，，则（ ） A. B. C. 或 D. 【答案】C 【解析】 【分析】由正弦定理得到方程结合题设数据即可求解. 【详解】由正弦定理得，即， 所以，又因为， 所以角，所以，故或， 当时，，当时，， 故选：C 8. 如图所示，在中，，，点是的中点，点在上，且.若，则（ ） A. 6 B. 8 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用基底表示向量，再利用数量积的运算律求解. 【详解】由，得，由点是的中点，， 得，， 则 ，解得. 故选：B. 二、多选题（共18分，每题6分，在每小题中有多项符合题目要求，全部选对6分，部分选对得部分分，有选错的得0分） 9. 已知，是两条直线，是两个平面，下列结论不正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据题意，由空间中的线面位置关系，对选项逐一判断，即可求解. 【详解】若，则平行或相交或异面，故A错误； 若，则，故B正确； 若，则平行或相交，故C错误； 若，则平行或相交，故D错误； 故选：ACD 10. 对于有如下命题，其中正确的是（ ） A. 若，则为钝角三角形 B. 在中，若，则必是等腰三角形 C. 在锐角中，不等式恒成立 D. 若，且有两解，则的取值范围是 【答案】AC 【解析】 【分析】A将化为，再利用正弦定理和余弦定理化简；B利用角的范围以及正弦函数图象即可；C利用以及正弦函数的单调性；D画出图形，数形结合. 【详解】，则，利用正弦定理可得，再由余弦定理可得，故角为钝角，故A正确； ，则，由可得或，即或，故B错误； 锐角有，因，则，由于在上单调递增，则，故C正确； 由图可知，欲使有两解，则，故D错误. 故选：AC 11. 半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体.半正多面体体现了数学的对称美.按照以下方式可构造一个半正多面体：如图，在一个棱长为4的正方体中，，，过三点可做一截面，类似地，可做8个形状完全相同的截面.关于该几何体，下列说法正确的是（ ） A. 当时，该几何体是一个半正多面体 B. 若该几何体是由正八边形与正三角形围成的半正多面体，则边长为 C. 若该几何体是由正方形与正三角形围成的半正多面体，则体积为 D. 该几何体可能是由正方形与正六边形围成的半正多面体 【答案】CD 【解析】 【分析】根据半正多面体的定义，结合棱柱和棱锥的体积公式逐一判断即可. 【详解】选项A：当时，，但，不满足正多边形条件，故A错误； 选项B：如图1，因为棱长为4的正方体中，，，…，，所以，， 当此半正多面体是由正八边形与正三角形围成时，，，解得， 则边长为，故B错误； 选项C，如图2，当此半正多面体是由正方形与正三角形围成时，， 所以，体积为，故C正确； 选项D，当时，如图3所示，此半正多面体是由正方形与正六边形围成， 此时几何体也是半正多面体，故D正确， 故选：CD. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是理解半正多面体的定义. 三、填空题（共15分，每题5分） 12. 已知向量满足，，且，则________. 【答案】 【解析】 【分析】 根据复数模长公式计算即可. 【详解】. 故答案为：. 13. 如图，在四边形中 ，．，， 则_______． 【答案】3 【解析】 【分析】根据给定条件，由正弦定理直接求解即可. 【详解】在中，，，，， ， 由正弦定理得，得到，所以. 故答案为： 14. 已知圆锥SO的底面半径为2，体积为，ABCDE是底面圆O的内接五边形，则五棱锥的外接球的表面积为______. 【答案】 【解析】 【分析】设圆锥的高为，由圆锥的体积得到的大小，再根据棱锥的外接球与圆锥SO的外接球相同，求出外接球半径，进而得到外接球的表面积. 【详解】设圆锥的高为，则由得， 棱锥的外接球与圆锥的外接球相同，设球半径为, 则有，得， 因此，棱锥的外接球的表面积为. 故答案为：. 四、解答题（共77分） 15. 已知复数 （1）若z为纯虚数，求实数m的值； （2）若z在复平面内的对应点位于第二象限，求实数m的取值范围及的最小值 【答案】（1）1；（2），. 【解析】 【分析】 （1）利用纯虚数的定义，实部为零，虚部不等于零即可得出． （2）利用复数模的计算公式、几何意义即可得出． 【详解】解：（1）为纯虚数， 且 （2）在复平面内的对应点为 由题意：，． 即实数的取值范围是． 而， 当时，． 16. 设A，，，为平面内的四点，且. （1）若，求点的坐标； （2）设向量，若与夹角为钝角，求实数的范围. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用向量的坐标表示，列式求解. （2）利用向量夹角公式及向量共线的坐标表示，列式求出范围. 【小问1详解】 设点，则,, 由，得，即，解得， 所以点的坐标为. 【小问2详解】 依题意，，， 则，， 由与夹角为钝角，得，且与不共线， 所以，解得且， 所以实数的范围是. 17. 如图一个半球，挖掉一个内接直三棱柱（棱柱各顶点均在半球面上），棱柱侧面是一个长为的正方形. （1）求挖掉的直三棱柱的体积； （2）求剩余几何体的表面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 记球心为O，BC中点为E，连接AO，OE，AE， 由球的性质知是所在小圆直径，又是一个长为的正方形， 因此，球半径为， 挖掉的直三棱柱的体积； 【小问2详解】 由（1）知，，，，半球表面积＝， 所以剩余几何体表面积为 半球表面积－＝． 18. 在中，内角所对的边分别为，且满足． （1）求角； （2）若角的角平分线交于点，点在线段上，，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理将已知等式统一成角的形式，化简可求出角； （2）由及角的角平分线交于点，可得，再由余弦定理得，则求出，所以，由可得，从而可求得的面积． 【小问1详解】 因为， 所以由正弦定理得， 所以， 所以， 所以， 所以， 因为，所以， 所以， 因为，所以； 【小问2详解】 因为角的角平分线交于点， 所以， 因为，所以由，得 ， 所以， 由余弦定理得，所以， 所以，解得或（舍去）， 所以，解得， 所以， 因为角的角平分线交于点，所以， 因为，所以， 所以. 19. 已知定义域为的函数是奇函数 （1）求的值； （2）判断的单调性，并用定义证明； （3）若存在，使成立，求的取值范围. 【答案】（1），； （2）函数在上是减函数，证明如下： 由（1）知：函数， 函数在上是减函数，证明如下： 任取，且， ， 因为，所以，所以， 即，所以函数在上是减函数. （3） 【解析】 【分析】(1)根据函数奇偶性的性质建立方程进行求解； (2)利用函数单调性的定义进行证明即可； (3)根据函数单调性和奇偶性的性质将不等式进行转化求解即可. 【小问1详解】 因为函数是定义在上的奇函数，所以， 即，所以， 又因为，所以，将代入，解得， 经检验符合题意，所以，，. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 因为存在，使成立， 又因为函数是定义在上的奇函数， 所以不等式可转化为， 又因为函数在上是减函数，所以， 所以，令， 由题意可知：问题等价转化为， 又因为，所以. 故的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年高一下学期数学期中考试试卷 考试范围：必修一，必修二（考到第八章8.4） 分值:150分 时间：120分钟 命题人：王海龙 一、单选题（共40分，每题5分） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 设i是虚数单位，若，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 3. 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 4. 若，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知平面向量是两个单位向量，在上的投影向量为，则（    ） A. 1 B. C. D. 6. 已知圆台上下底面圆的半径分别为1，3，母线长为4，则该圆台的表面积为（ ） A. B. C. D. 7. 在中，，则（ ） A. B. C. 或 D. 8. 如图所示，在中，，，点是的中点，点在上，且.若，则（ ） A. 6 B. 8 C. D. 二、多选题（共18分，每题6分，在每小题中有多项符合题目要求，全部选对6分，部分选对得部分分，有选错的得0分） 9. 已知，是两条直线，是两个平面，下列结论不正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 对于有如下命题，其中正确的是（ ） A. 若，则为钝角三角形 B. 在中，若，则必是等腰三角形 C. 在锐角中，不等式恒成立 D. 若，且有两解，则的取值范围是 11. 半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体.半正多面体体现了数学的对称美.按照以下方式可构造一个半正多面体：如图，在一个棱长为4的正方体中，，，过三点可做一截面，类似地，可做8个形状完全相同的截面.关于该几何体，下列说法正确的是（ ） A. 当时，该几何体是一个半正多面体 B. 若该几何体是由正八边形与正三角形围成的半正多面体，则边长为 C. 若该几何体是由正方形与正三角形围成的半正多面体，则体积为 D. 该几何体可能是由正方形与正六边形围成的半正多面体 三、填空题（共15分，每题5分） 12. 已知向量满足，，且，则________. 13. 如图，在四边形中 ，．，， 则_______． 14. 已知圆锥SO的底面半径为2，体积为，ABCDE是底面圆O的内接五边形，则五棱锥的外接球的表面积为______. 四、解答题（共77分） 15. 已知复数 （1）若z为纯虚数，求实数m的值； （2）若z在复平面内的对应点位于第二象限，求实数m的取值范围及的最小值 16. 设A，，，为平面内的四点，且. （1）若，求点的坐标； （2）设向量，若与夹角为钝角，求实数的范围. 17. 如图一个半球，挖掉一个内接直三棱柱（棱柱各顶点均在半球面上），棱柱侧面是一个长为的正方形. （1）求挖掉的直三棱柱的体积； （2）求剩余几何体的表面积. 18. 在中，内角所对的边分别为，且满足． （1）求角； （2）若角的角平分线交于点，点在线段上，，求的面积． 19. 已知定义域为的函数是奇函数 （1）求的值； （2）判断的单调性，并用定义证明； （3）若存在，使成立，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $