精品解析：甘肃省兰州市第四片区2024-2025学年八年级下学期期中考试数学试卷

2024-2025学年第二学期期中考试试题八年级数学学科试卷 一、选择题：本大题共11小题，每小题3分，共33分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 中国航天取得了举世瞩目的成就，为人类和平贡献了中国智慧和中国力量，下列是有关中国航天的图标，其文字上方的图案是中心对称图形的是（   ） A. 航天神舟 B. 中国行星探测 C. 中国火箭 D. 中国探月 2. 若，则下列不等式正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图是“一带一路”示意图，若记北京为A地，莫斯科为B地，雅典为C地，分别连接、形成了一个三角形，若想建立一个货物中转仓，使其到A、B、C三地的距离相等，则中转仓的位置应选在（ ） A. 三边垂直平分线的交点 B. 三边中线的交点 C. 三条角平分线的交点 D. 三边上高的交点 4. 如图，这是王彬同学设计的一个计算机程序，规定从“输入一个值x”到判断“结果是否≥13”为一次运行过程．如果程序运行两次就停止，那么x的取值范围是（　　） A. x≥4 B. 4≤x＜7 C. 4＜x≤7 D. x≤7 5. 在平面直角坐标系中，点与点关于原点对称，则的值为( ) A. B. C. 1 D. 3 6. 如图，将绕点A顺时针旋转得到，若点共线，则的度数为（　　） A. B. C. D. 7. 五星红旗是中华人民共和国国旗，旗上的五颗五角星及其相互关系象征着中国共产党领导下的革命人民大团结．五角星是由五个每个顶角为的等腰三角形组成，既美观又蕴含着数学知识，如图将五角星绕其旋转中心按顺时针旋转一定角度，线段恰好与线段重合，则该旋转角的度数是（ ） A. B. C. D. 8. 一次函数与的图象如图所示，则不等式组的解集是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，学校在校园围墙边缘开垦一块四边形菜地，测得，，，，且，则这块菜地的面积是（ ） A. B. C. D. 10. 某种商品的进价为元，出售时标价为元，由于该商品积压，商店准备打折出售，要保证利润率不低于，则至多可打几折？若设该商品打折销售，则可列不等式为（ ） A. B. C. D. 11. 如图，C为线段上一动点（不与点A，E重合），在同侧分别作等边和等边，与交于点O，交于点P，与交于点Q，连接，,有如下四个结论：①；②；③；④．其中结论正确的个数是（ ） A. ①②③ B. ②③④ C. ①②③④ D. ①②④ 二、填空题：本大题共4小题，每小题3分，共12分. 12. 若等腰三角形的一个内角为，则它的底角的度数为_____． 13. 已知关于的不等式组的解集为，则的取值范围________． 14. 如图，和重叠在一起，将沿点B到点C的方向平移到如图位置，已知．图中阴影部分的面积为15，，则平移距离为______． 15. 如图，在等边三角形ABC中，AD是BC边上的高，且AD＝4，E是AB边的中点，点P在AD上运动，则PB＋PE的最小值是________． 三、解答题：本大题共11小题，共75分．解答时写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤． 16. 解不等式（组）： （1）； （2）． 17. 已知关于x，y的方程组的解为正数．（1）求a的取值范围；（2）化简： 18. 如图，在△ABC中，已知AB＝5，AC＝9，BC＝7． （1）尺规作图：作AC的垂直平分线DE，与AC交于点D，与BC交于点E，连接AE； （2）求△ABE的周长． 19. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是，，． （1）把向左平移4个单位后得到对应的，请画出平移后的； （2）画出关于原点对称的； （3）观察图形可知，与关于点______中心对称．（写出坐标） （4）点P在y轴上且为等腰三角形，这样的P点有 个． 20. 如图，在中，，D是内一点，连接，将线段绕点C逆时针旋转到，使，连接． （1）求证：． （2）当时，求与的度数和． 21. 如图：已知在中，，D为边的中点，过点D作，垂足分别为． （1）求证：； （2）若，求的周长． 22. 为落实“五育并举”，我市某学校积极开展“阳光体育运动”．引导学生走向操场、积极参加体育锻炼．为满足学生需求，保障“阳光体育运动”的开展，学校计划购进，两种品牌的足球共50个，其中品牌足球的价格为100元/个，购买品牌足球所需费用（单位：元）与购买数量（单位：个）之间的关系如图所示． （1）购买数量个时，品牌足球的价格_____元/个； （2）求出当时，与的函数表达式： （3）若购买种品牌足球的数量不超过30个，但不少于种品牌足球的数量，请设计购买方案，使购买总费用（单位：元）最低，并求出最低费用． 23. 已知：如图所示，在平面直角坐标系中，过点的直线与直线相交于点，与y轴交于点M． （1）求直线的表达式． （2）求的面积． （3）点是x轴上一个动点，过点P垂直于x轴的直线分别与直线和交于C、D两点，当点C位于点D上方时，直接写出n的取值范围． 24. 如图，在中，，平分，于点，点在上，且． （1）求证：； （2）请你判断与之间的数量关系，并说明理由． 25. 阅读材料: 若两个正数，，则有下面不等式，当时取等号，我们把叫作正数，的算术平均数，把叫作正数，的几何平均数，于是上述不等式可以表述为：两个正数的算术平均数不小于(即大于或等于)它们的几何平均数．它在数学中有广泛的应用，是解决最大(小)值问题的有力工具．不等式可以变形为不等式，当且仅当时取到等号．(，均为正数) 例：已知x>0，求的最小值． 解：由得，当且仅当，即时，有最小值，最小值为．根据上面材料回答下列问题： （1）______；______；(用“”“”“”填空) （2）当，则的最小值为，此时_____； （3）当，则的最小值为______； （4）用篱笆围一个面积为的长方形花园，问这个长方形花园的长、宽各为多少时，所用的篱笆最短，最短篱笆是多少？ 26. 已知正方形中，绕点A顺时针旋转，它的两边分别交（或它们的延长线）于M，N． （1）当绕点A旋转到时（如图1所示），并将逆时针旋转，得到，求证； （2）当绕点A旋转到时（如图2所示），线段和之间有怎样的数量关系？写出猜想，并加以证明； （3）当绕点A旋转到（如图3所示）的位置时，线段和之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年第二学期期中考试试题八年级数学学科试卷 一、选择题：本大题共11小题，每小题3分，共33分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 中国航天取得了举世瞩目的成就，为人类和平贡献了中国智慧和中国力量，下列是有关中国航天的图标，其文字上方的图案是中心对称图形的是（   ） A. 航天神舟 B. 中国行星探测 C. 中国火箭 D. 中国探月 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形的定义，把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．根据中心对称图形的定义进行逐一判断即可． 【详解】解：选项A、B、D中的图案都不能找到一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形， 选项C中的图案能找到一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形， 故选：C． 2. 若，则下列不等式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了不等式的性质，熟练掌握性质是解题的关键．根据不等式的性质判断选择即可． 【详解】解：∵， ∴， 故A不符合题意； ∵， ∴， 故B符合题意； ∵， ∴， 故C不符合题意； ∵， ∴， 故D不符合题意； 故选：B． 3. 如图是“一带一路”示意图，若记北京为A地，莫斯科为B地，雅典为C地，分别连接、形成了一个三角形，若想建立一个货物中转仓，使其到A、B、C三地的距离相等，则中转仓的位置应选在（ ） A. 三边垂直平分线的交点 B. 三边中线的交点 C. 三条角平分线的交点 D. 三边上高的交点 【答案】A 【解析】 【分析】根据垂直平分线的性质即可进行解答． 【详解】解：∵中转仓到A、B、C三地的距离相等， ∴应建在三边垂直平分线的交点， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了三角形的垂直平分线，解题的关键是掌握垂直平分线上的点到两端的距离相等，三角形三条垂直平分线的交点到三个顶点距离相等． 4. 如图，这是王彬同学设计的一个计算机程序，规定从“输入一个值x”到判断“结果是否≥13”为一次运行过程．如果程序运行两次就停止，那么x的取值范围是（　　） A. x≥4 B. 4≤x＜7 C. 4＜x≤7 D. x≤7 【答案】B 【解析】 【分析】根据程序运行两次就停止（运行一次的结果＜13，运行两次的结果≥13），即可得出关于x的一元一次不等式组，解之即可得出x的取值范围． 【详解】解：依题意，得， 解得：4≤x＜7． 故选：B． 【点睛】本题考查了一元一次不等式组的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组是解题的关键． 5. 在平面直角坐标系中，点与点关于原点对称，则的值为( ) A. B. C. 1 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】直接利用关于原点对称点的性质得出a，b的值，进而得出答案 【详解】解：点与点关于原点对称， ，， ． 故选． 【点睛】此题主要考查了关于原点对称点的性质，正确得出a，b的值是解题关键． 6. 如图，将绕点A顺时针旋转得到，若点共线，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，理解旋转的性质是解题的关键．利用旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：∵将绕点A顺时针旋转得到，且点共线， ， ∴． 故选：． 7. 五星红旗是中华人民共和国国旗，旗上的五颗五角星及其相互关系象征着中国共产党领导下的革命人民大团结．五角星是由五个每个顶角为的等腰三角形组成，既美观又蕴含着数学知识，如图将五角星绕其旋转中心按顺时针旋转一定角度，线段恰好与线段重合，则该旋转角的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用五角星为轴对称图形得到，再利用三角形内角和计算出∠BOD=144°，然后利用旋转的性质可判断旋转角为144°． 【详解】如图， ∵五角星为轴对称图形， ∴，， ∴， ∵将五角星绕其旋转中心按顺时针旋转一定角度，线段AB恰好与线段CD重合， ∴∠BOD为旋转角， 即旋转角为144°． 故选：A． 【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等． 8. 一次函数与的图象如图所示，则不等式组的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】依据题意，由不等式组，结合图象可得其解集为满足且的部分为在轴下方部分对应的自变量取值，进而可以判断得解． 本题主要考查了一次函数与一元一次不等式，数形结合的思想是解题的关键． 【详解】解：由图象可知满足且的部分为在轴下方部分对应的自变量取值， ． 故选：． 9. 如图，学校在校园围墙边缘开垦一块四边形菜地，测得，，，，且，则这块菜地的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理和勾股定理的逆定理的实际应用，连接，利用勾股定理得到，进而利用勾股定理的逆定理证明，最后根据四边形的面积的面积的面积进行求解即可． 【详解】解：如图，连接， ∵，，， ∴． ∵，， ∴，， ∴， ∴是直角三角形， ∴， ∴四边形的面积的面积的面积 故选：B． 10. 某种商品的进价为元，出售时标价为元，由于该商品积压，商店准备打折出售，要保证利润率不低于，则至多可打几折？若设该商品打折销售，则可列不等式为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据利润等于实际售价减去进价，且利润率不低于即利润不低于进价的，列出不等式即可． 【详解】解：设该商品打折销售， 打折后的实际售价为标价乘， 列不等式得． 11. 如图，C为线段上一动点（不与点A，E重合），在同侧分别作等边和等边，与交于点O，交于点P，与交于点Q，连接，,有如下四个结论：①；②；③；④．其中结论正确的个数是（ ） A. ①②③ B. ②③④ C. ①②③④ D. ①②④ 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了全等的判定和性质，等边三角形的性质，角平分线的性质等知识，由“”可证，可得，故①正确；由“”可证，可得，可证是等边三角形，可得，可证，故②正确；由全等三角形的性质可得，，由三角形的面积公式可证，可求，则，可证，故③错误；由外角的性质可求，故④正确；即可求解． 【详解】解：∵和是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴，故①正确； ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴，故②正确； 过C作于M，于N， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴，故③错误； ∵， ∴，故④正确； 所以，正确的是①②④， 故选：D． 二、填空题：本大题共4小题，每小题3分，共12分. 12. 若等腰三角形的一个内角为，则它的底角的度数为_____． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的定义、三角形内角和定理，解题的关键是注意分情况讨论，避免漏解． 分是等腰三角形的底角或顶角两种情况，利用三角形内角和定理求解． 【详解】解：①是等腰三角形的底角， ②当是等腰三角形的顶角时， 它的底角的度数为：，符合要求； 故答案为：或． 13. 已知关于的不等式组的解集为，则的取值范围________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查不等式组的解集，不等式组的解集确定方法是：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无处找．根据不等式组的解集是同大取大，可得答案． 【详解】解：关于的不等式组的解集为，则， 故答案为：． 14. 如图，和重叠在一起，将沿点B到点C的方向平移到如图位置，已知．图中阴影部分的面积为15，，则平移距离为______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了平移的性质，对应点连线的长度等于平移距离，平移变化只改变图形的位置不改变图形的形状，熟记各性质并判断出阴影部分面积等于梯形的面积是解题的关键． 根据平移的性质可知：，由此可求出的长．由，结合梯形的面积公式即可求出． 【详解】解：根据平移可得，，， ，， ， ， ， 即平移的距离为2． 故答案为：2． 15. 如图，在等边三角形ABC中，AD是BC边上的高，且AD＝4，E是AB边的中点，点P在AD上运动，则PB＋PE的最小值是________． 【答案】4 【解析】 【分析】连接EC，交AD于点P，连接BP，此时PB＋PE的值最小，再根据等边三角形三线合一的性质求得答案即可． 【详解】如图，连接EC，交AD于点P，连接BP，此时PB＋PE的值最小，且PB＋PE＝EC．因为点E是AB的中点，所以CE是等边三角形ABC的高，所以CE＝AD＝4，即PB＋PE的最小值为4． 故答案为：4 【点睛】本题考查了等边三角形三线合一的性质，以及两点之间线段最短，根据两点之间线段最短找到最短线段就是CE是解题的关键． 三、解答题：本大题共11小题，共75分．解答时写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤． 16. 解不等式（组）： （1）； （2）． 【答案】（1） （2）不等式的解集为 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，解一元一次不等式组， 对于（1），根据去括号，移项合并同类项，系数化为1，可得解集； 对于（2），分别求出两个不等式的解集，再求出不等式组的解集即可． 【小问1详解】 解：去括号得：， 移项，合并同类项得：， 系数化为1得：； 【小问2详解】 解：， 解不等式①，得， 解不等式②，得， 所以不等式的解集为． 17. 已知关于x，y的方程组的解为正数．（1）求a的取值范围；（2）化简： 【答案】（1）-4＜a＜；（2）-5a+1. 【解析】 【分析】（1）将a看做常数解关于x、y的方程，依据方程组的解为正数得出关于a的不等式组，解之可得； （2）根据绝对值的性质去绝对值符号，合并同类项可得． 【详解】（1）， ①+②，得：x=-4a+5， ①-②，得：y=a+4， ∵方程的解为正数， ∴， 解得：-4＜a＜； （2）由（1）知-4a+5＞0且a+4＞0， ∴原式=-4a+5-a-4=-5a+1． 【点睛】本题主要考查解二元一次方程组和一元一次不等式组及绝对值的性质，根据题意列出关于a的不等式组是解题的关键． 18. 如图，在△ABC中，已知AB＝5，AC＝9，BC＝7． （1）尺规作图：作AC的垂直平分线DE，与AC交于点D，与BC交于点E，连接AE； （2）求△ABE的周长． 【答案】 （1）作图如图所示． （2）12 【解析】 【分析】（1）分别以点A、C为圆心，以大于AC长为半径画.弧，在AC的两侧两弧分别相交于一点，过这两点作直线即可; （2）根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AE= CE，从而得到△ABE的周长等于AB与BC的和，代入数据进行计算即可． 【详解】解：(1)略 (2)∵DE垂直平分AC，∴AE＝EC， ∴AB＋BE＋AE＝AB＋BE＋EC＝AB＋BC． ∵AB＝5，BC＝7， ∴AB＋BE＋AE＝5＋7＝12，即△ABE的周长为12． 【点睛】本题考查了基本作图，线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，主要是线段垂直平分线的作法，是基本作图，需熟练掌握． 19. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是，，． （1）把向左平移4个单位后得到对应的，请画出平移后的； （2）画出关于原点对称的； （3）观察图形可知，与关于点______中心对称．（写出坐标） （4）点P在y轴上且为等腰三角形，这样的P点有 个． 【答案】（1） 如图，即为所求； （2） 如图，即为所求； （3） （4）4 【解析】 【分析】此题考查了平移和中心对称的作图，写出点的坐标，等腰三角形的定义． （1）找到向左平移4个单位后得到对应点，顺次连接即可； （2）找到关于原点对称的，顺次连接即可； （3）根据中心对称的性质，结合图形得出对称中心，根据坐标系写出坐标，即可求解； （4）根据两圆一线的方法，找出等腰三角形的顶点，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：观察图形可知，与关于点中心对称． 故答案为：； 【小问4详解】 解：依题意，P在y轴上且为等腰三角形， 当时，点有2个，当时，点有1个，当时，有1个，共4个， 故答案为：． 20. 如图，在中，，D是内一点，连接，将线段绕点C逆时针旋转到，使，连接． （1）求证：． （2）当时，求与的度数和． 【答案】（1） 证明：∵旋转， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （2） 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，旋转的性质，等边三角形的判定和性质： （1）利用证明即可； （2）证明为等边三角形，进而得到，利用全等三角形的对应角相等，结合角的和差关系即可得出结果． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵，， ∴为等边三角形， ∴， ∴， 由（1）知：， ∴， ∴． 21. 如图：已知在中，，D为边的中点，过点D作，垂足分别为． （1）求证：； （2）若，求的周长． 【答案】（1） 证明：， ， D为边的中点， ， ，， ， 在与中 ， ； （2）12 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定，等边三角形的判定与性质，含的直角三角形．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． （1）由为边的中点，可得，，，证明即可； （2）由，，可得是等边三角形，则，，，，然后求的周长即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：在中，，， ， 为等边三角形， 在中，， ， ， ， 为的中点， ， 为等边三角形， ， ． 22. 为落实“五育并举”，我市某学校积极开展“阳光体育运动”．引导学生走向操场、积极参加体育锻炼．为满足学生需求，保障“阳光体育运动”的开展，学校计划购进，两种品牌的足球共50个，其中品牌足球的价格为100元/个，购买品牌足球所需费用（单位：元）与购买数量（单位：个）之间的关系如图所示． （1）购买数量个时，品牌足球的价格_____元/个； （2）求出当时，与的函数表达式： （3）若购买种品牌足球的数量不超过30个，但不少于种品牌足球的数量，请设计购买方案，使购买总费用（单位：元）最低，并求出最低费用． 【答案】（1）120 （2） （3）当购买A种品牌的足球个，B种品牌的足球个时，总费用最少，最低费用是元 【解析】 【分析】本题考查一次函数的应用、一元一次不等式组的应用，掌握待定系数法求一次函数的关系式、一次函数的增减性及一元一次不等式组的解法是解题的关键． （1）根据“所需费用÷购买数量”列式计算即可; （2）利用待定系数法解答即可； （3）设购买B种品牌的足球m个，则购买A种品牌的足球个，列关于m的一元一次不等式组并求其解集，写出W关于m的函数关系式，根据一次函数的增减性和m的取值范围，确定当m取何值时W的值最小，求出其最小值及的值即可． 【小问1详解】 解：购买数量个时，B品牌足球的价格 (元/个)， 故答案为：120； 【小问2详解】 解：设当时，y与x的函数关系式为， 得，解得 即当时，y与x的函数关系式为； 【小问3详解】 解：设购买B种品牌的足球m个，则购买A种品牌的足球个， ∵， 解得， ∵， ∵， ∴W随着m的增大而减小， ∴当时，W取得最小值，此时， ∴， 答：当购买A种品牌的足球个，B种品牌的足球个时，总费用最少，最低费用是元． 23. 已知：如图所示，在平面直角坐标系中，过点的直线与直线相交于点，与y轴交于点M． （1）求直线的表达式． （2）求的面积． （3）点是x轴上一个动点，过点P垂直于x轴的直线分别与直线和交于C、D两点，当点C位于点D上方时，直接写出n的取值范围． 【答案】（1） （2）3 （3） 【解析】 【分析】本题考查两条直线平行、相交问题，解题的关键是灵活应用待定系数法，学会利用图象，根据条件确定自变量取值范围． （1）先求出点B坐标，再利用待定系数法即可解决问题． （2）把代入解析式，求出M坐标，利用三角形面积公式解答即可； （3）由图象可知直线在直线上方即可，由此即可写出n的范围． 【小问1详解】 解：∵点在直线上， ∴， ∴， ∴点， 设直线的表达式为， 将，代入得：， 解得， ∴直线的表达式为； 【小问2详解】 将代入，得：， ∴， ∴， ∴的面积； 【小问3详解】 当点C位于点D上方时，即是直线在直线上方，如图： 由图象可知． 24. 如图，在中，，平分，于点，点在上，且． （1）求证：； （2）请你判断与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1） 证明：∵平分，， ∴，， 在中， ， ∴， ∴； （2） ， 理由如下， 由（1）得， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴． 【解析】 【分析】本题主要考查角平分线的性质定理，全等三角形的判定和性质，掌握以上知识是关键． （1）根据角平分线的性质定理得到，再运用斜边直角边证明三角形全等即可求解； （2）根据题意得到，，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 25. 阅读材料: 若两个正数，，则有下面不等式，当时取等号，我们把叫作正数，的算术平均数，把叫作正数，的几何平均数，于是上述不等式可以表述为：两个正数的算术平均数不小于(即大于或等于)它们的几何平均数．它在数学中有广泛的应用，是解决最大(小)值问题的有力工具．不等式可以变形为不等式，当且仅当时取到等号．(，均为正数) 例：已知x>0，求的最小值． 解：由得，当且仅当，即时，有最小值，最小值为．根据上面材料回答下列问题： （1）______；______；(用“”“”“”填空) （2）当，则的最小值为，此时_____； （3）当，则的最小值为______； （4）用篱笆围一个面积为的长方形花园，问这个长方形花园的长、宽各为多少时，所用的篱笆最短，最短篱笆是多少？ 【答案】（1）， （2）， （3） （4）这个长方形的长、宽为时：所用的篱笆最短，最短的篱笆是 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的性质，理解题意是解题的关键； （1）根据，当且仅当时取到等号．(，均为正数)即可求解． （2）根据例题的方法，，即可求解． （3）将看成整理，即，进而根据，代入即可求解； （4）设这个矩形的长为x米，根据宽=面积÷长，可得宽为米，则所用的篱笆长等于长加宽的和乘以2，根据阅读材料即可求解； 【小问1详解】 解：∵，， ∴； ∵ ∴ 故答案为：，． 【小问2详解】 解：∵， ∴ ∴当，即时，有最小值，最小值为 故答案为：，． 【小问3详解】 解：∵ ∴ 设 ∴ 当时，即时，有最小值，最小值为 故答案为：． 【小问4详解】 设这个矩形的长为，所用的篱笆总长为， ∵围一个面积为的长方形花园， ∴宽为， ∴ ∵， ∴， 当且仅当时，即时有最小值，最小值为40． 时，=10， ∴当这个长方形的长、宽为时：所用的篱笆最短，最短的篱笆是． 26. 已知正方形中，绕点A顺时针旋转，它的两边分别交（或它们的延长线）于M，N． （1）当绕点A旋转到时（如图1所示），并将逆时针旋转，得到，求证； （2）当绕点A旋转到时（如图2所示），线段和之间有怎样的数量关系？写出猜想，并加以证明； （3）当绕点A旋转到（如图3所示）的位置时，线段和之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想． 【答案】（1） 证明：∵四边形为正方形， ∴， ∵， ∴， 由题意得：， ∴， ∴， ∴三点共线， ∵， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （2） 解：猜想：，理由如下： 如图2，在的延长线上，截取，连接， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 同理得：， ∴， 又， ∴； （3） 【解析】 【分析】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，线段的和与差等，在（1）中证得是解题的关键，在（2）、（3）中构造三角形全等是解题的关键．本题考查知识点不多，但三角形全等的构造难度较大． （1）先证明三点共线，根据证明，则，可得出结论； （2）如图2，在的延长线上，截取，连接，则可证明，可得到，进一步可证明，可得结论； （3）如图3，在上截取，连接，可先证明，进一步可证明，可得到，从而可得到． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：，理由如下： 如图3，在上截取，连接， 在和中， ， ∴， ∴， ∴，即， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $