第五章 二元一次方程组 复习巩固课件 　2025—2026学年北师大版（2024）数学八年级上册　

第五章 二元一次方程组 2 二元一次方程组的解法 第2课时 加减消元法 1 1. 在解二元一次方程组 时， 若可直接消去未知数，则和 满足的条件是( ) C A. B. C. D. 返回 2 2. 已知二元一次方程组： B A. ①②用代入消元法，③④用加减消元法 B. ①③用代入消元法，②④用加减消元法 C. ②③用代入消元法，①④用加减消元法 D. ②④用代入消元法，①③用加减消元法 解以上方程组比较适合选择的方法是( ) 返回 3 3.已知，都是有理数，观察下表中的运算，则 ___. ， 的运算 运算的结果 5 9 3 返回 4 4.解下列方程组： （1） 【解】方程组整理，得 ，得，解得 ， 把代入①，得，解得 ， 所以原方程组的解为 5 （2） 方程组变形为 由，得 ， 把代入②,得，解得 ， 所以原方程组的解为 返回 6 5.下面是数学课上小颖同学解方程组 的过程， 老师在旁边标注了步骤，请认真阅读并完成相应的任务. 解：由，得 ，③（第一步） 由，得 ，④（第二步） ，得 ，（第三步） 解得 .（第四步） 7 把代入①，得 .（第五步） 所以原方程组的解为 （第六步） （1）小颖用______消元法解方程组；（填“代入”或“加减”） （2）小颖的解答从第____步出现了错误； 加减 二 （3）求该方程组的解. 【解】由，得 ，③ 由 ，得，④，得 ，解得 .把代入①，得.所以原方程组的解为 返回 9 6. 对于二元一次方程组 我们把， 的系数 和方程右边的常数分离出来组成一个矩阵： ，用 加减消元法解二元一次方程组的过程，就是对方程组的各方 程中未知数的系数和常数项进行变换的过程.若将 ，则 得到矩阵，用加减消元法可以消去 ，如解二元 10 一次方程组时，我们要用加减消元法消去 ， 得到的矩阵应是 ( ) A. B. C. D. 【点拨】， ，可得矩阵 ，用加减消元法可消去 . C 返回 7. 已知一个等腰三角形的两边长, 满足方 程组 则此等腰三角形的周长为___. 5 【点拨】解方程组得 所以等腰三角形的 两边长为2，1.若腰长为1,底边长为2,由 知,这样的三 角形不存在;若腰长为2,底边长为1,则三角形的周长为5,所以 这个等腰三角形的周长为5. 返回 12 8. 如图，在一块纸板上裁 出一款底面为正方形的长方体胶带包装盒， 另外多留三处等宽接口（图中阴影部分）， 用于折叠后粘贴，若包装盒的高是底面边长 的2倍，则包装盒的底面边长为______. 13 【点拨】设包装盒的底面边长为 ,接 口的宽为,则高为 ,根据题意， 得 ，得.将 代入①,解得 .所以原方程组的解为 所以 包装盒的底面边长为 . 返回 14 9.［2025南阳月考］甲、乙两人在解方程组 时，甲因看错，解得乙将其中一个方程的 写成了其 相反数，解得 则方程组的正确解为_ _______. 15 【点拨】将代入，得 ，解 得.将代入 ，方程左右两边不相等， 故是方程的解，将 代入 16 ，解得，即方程组为 解得 返回 10. 已知方程组与 有相同的解，则 的值为____. 28 18 【点拨】因为方程组与 有相同的 解，所以方程组 与题干两个方程组有相同解.解 方程组得所以解得 所以 . 返回 11.关于，的二元一次方程组 的解是正整数， 则整数 的值的和为____. 14 20 【点拨】解二元一次方程组得 因 为关于，的二元一次方程组 的解是正整数， 所以为正整数且为正整数.所以或 .所以 整数的值的和为 . 返回 12.已知关于,的方程组 （1）当 时，该方程组的解是_ ________. （2）与的数量关系是____________不含字母 . 22 （3）是否存在有理数，使得 ？若存在，请 求出 的值，若不存在，请说明理由. 【解】不存在.理由如下：因为 ，所以 ，，解得，将, 代入方程 组，得解得且 ，矛盾，所以不存在 有理数，使得 . 返回 23 13. 阅读下列解方程组的方法，然后解决问题. 解方程组 时，我们如果直接考虑消元， 那将是比较繁杂的，而采用下面的解法则比较简便. 解：由，得 ， 所以 .③ 将，得 .④ 24 ，得，将代入③，得 ，所以原方 程组的解是 （1）请采用上面的方法解方程组 26 【解】 ，得，所以 .③ 将，得 ，④ ，得 . 把代入③，得 ， 所以原方程组的解为 （2）求关于，的方程组 的解. ，得，所以 .③ 将，得 ，④ ，得,解得 ， 28 把代入③，得 ， 所以原方程组的解为 返回 $$第五章 二元一次方程组 *5 三元一次方程组 1 1. 下列方程组中，是三元一次方程组的是( ) D A. B. C. D. 返回 2 2. 解方程组 最简便的消元方法是( ) A. 先消去 B. 先消去 C. 先消去 D. 先消去常数项 B 返回 3. 设 ， ， 分别表示三种不同的物体，如图所示，前两 架天平保持平衡，如果要使第三架天平也保持平衡，右边应 放“ ”的个数为( ) B A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4.若 是一个三元一次方程， 则___, ___. 1 0 返回 4 5. 请写出一个以 为解的三元一次方 程：____________________________. （答案不唯一） 返回 5 6. 若方程组 的解满足 ，则点 在第____象限. 四 6 【点拨】 ,得 ，整理得 ， 所以.所以.所以 .所以点 在第四象限. 返回 7.用3.50元买了面值分别为10分、20分、50分的三种邮票共 18枚，其中10分邮票的总价与20分邮票的总价相同，则50分 邮票买了___枚. 3 8 【点拨】设面值为10分、20分、50分的邮票各买了枚、 枚、枚.由题意得 由③，得 .把代入①，得.④ 把 代入②， 得.⑤ 由④，得 .⑥ 把⑥代入⑤， 得.所以 . 返回 8. 教材P136随堂练习 解方程组: 10 【解】，得 .④ ，得，解得 . 将代入④中，得，解得 . 将代入②中，得，解得 . 所以方程组的解为 返回 11 9. 已知多项式中，，， 为 常数， 的取值与多项式对应的值如下表： 1 2 7 则 的值为( ) D A. 15 B. 19 C. 21 D. 23 12 【点拨】当时，；① 当 时， .② 当时， ； ③ 当时，. ，得 ，即.，得 . 所以.所以.所以 . 返回 13 10. 一件工程，甲、乙合作2天可以完工，乙、丙合作2天， 可以完成全工程的 ；丙、甲合作2天后，剩余工程由丙单独 做1天即可完工，那么由丙单独完成全部工程需要的天数是 ( ) B A. 6 B. 9 C. 12 D. 18 14 【点拨】设工程总量为1，甲的工作效率为 ，乙的工作效率 为，丙的工作效率为，由题意得， 解得 （天）.所以由丙单独完成全部工程需要的 天数为9. 返回 15 11.信息安全保障越来越受到人们重视.已知某加密规则为： 明文,对应的密文为,.若明文, 互为 相反数，接收方收到的密文为2和，则 的值为____. 【点拨】由题意得或 且 明文,互为相反数，所以， ，即 ，所以，解得 . 返回 16 12.［2025泸州期中］已知三角形的周长为30，三边长分别是 ，，，且， ，求三角形的三边长. 【解】因为三角形的周长为30，三边长分别是，， ， 所以 . 联立，得解得 所以三角形的三边长分别为8，9，13. 返回 17 13. 小满时节，日照增，气温升，降雨多， 清热利湿很重要，中医记载：取茯苓、陈皮 、白扁豆 ，可制成一包祛湿茶，可以宁神、健脾、化湿、开胃.某 中药店购入一批茯苓、陈皮、白扁豆各若干克，按标准制成 100包袪湿茶，茯苓刚好用完，剩余的白扁豆比陈皮多 . （1）购入茯苓的质量为_______ ；这100包祛湿茶所用原料 陈皮与白扁豆的质量比为_____. 1 500 18 （2）若第二批购入茯苓若干克、陈皮、白扁豆 ， 和剩余原料一起按标准制成第二批祛湿茶，所有原料恰好用 完，则第二批能制成祛湿茶多少包？ 【解】 设第一批剩下的陈皮有，白扁豆 克， 由题意得 解得所以 . 所以第二批能制成祛湿茶151包. 19 （3）药店将第一批制成的100包祛湿茶全部售出后，获得 900元的利润（利润 祛湿茶销售额-所用原料的成本），若 第二批购入的茯苓价格上涨 ，陈皮和白扁豆的价格不变， 于是药店将祛湿茶单价上涨 ，将第二批祛湿茶也全部售 出，药店两次销售共获得2 410元的利润，则两次购买的陈 皮和白扁豆共花费多少元？ 20 设第一批祛湿茶单价为元/包，第一批购入的茯苓价格为 元 /克，第一批祛湿茶用掉的陈皮和白扁豆共花费 元， 由题意得， 解得.所以.所以 . 所以两次购买的陈皮和白扁豆共花费251元. 返回 21 14. 《九章算术》是 我国古代著名的数学专著，其 A A. 24,4 B. 17,4 C. 24,0 D. 17,0 “方程”章中给出了“遍乘直除”的算法解方程组.比如对于方程组 将其中数字排 成如图所示的形式，然后执行步骤：第一步，将第二行的数乘3，然后 不断地减第一行，直到第二行第一个数变为0；第二步，对第三行做同 样的操作，其余步骤都类似.其本质就是在消元，那么其中, 的值分别 是( ) 22 【点拨】本题的新颖之处在于运用古代 数学专著《九章算术》中的“遍乘直除” 加深对消元法的理解 由 ，得 .④由，得 .⑤由 23 ，得，所以 . 由，得 .⑥由 ，得，所以 . 返回 $$第五章 二元一次方程组 4 二元一次方程与一次函数 第1课时 二元一次方程与一次函数 1 1. 若以二元一次方程的解为坐标的点 都 在直线上，则常数 ( ) D A. B. 1 C. D. 2 返回 2 2. ［2025北京海淀区月考］若直线 与直线 的交点坐标为，则解为 的方程组是 ( ) C A. B. C. D. 返回 3 3. 若关于，的二元一次方程组 无解，则直线 与 的位置关系是( ) A A. 平行 B. 垂直 C. 相交 D. 重合 4.已知关于，的二元一次方程组 的解为 若直线，为常数，且 与直线 相交于点，则点 的坐标为______. 返回 4 5.若一次函数 的图象上有一点的坐标是 （___，2），则方程 必有一个解为_ _______. 3 返回 5 6.如图，直线 与直线 相交于点 . （1）求 的值. 【解】把点 的坐标代入 ，得 . 6 （2）不解关于，的方程组 请你直接写出它的解. 方程组 的解为 7 （3）直线是否也经过点 ？ 请说明理由. 直线也经过点 .理由如下： 因为直线经过点 ， 所以 . 所以易知直线也经过 点. 返回 8 7. 若关于,的方程组 无解，则直线 不经过( ) C A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 9 【点拨】因为方程组 无解，所以直线 与平行,所以 ，解 得 ,则直线 .直线 经过一、二、四象限，不经过第三象限.故选C. 返回 8. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数 与的图象分别与 轴交 于点，，则关于， 的二元一次 方程组 的解为( ) A A. B. C. D. 11 【点拨】因为一次函数的图象与 轴交于点，将一次函数 的图象 向下平移3个单位得到一次函数 的图象，所以一次函数 的图象 与轴交于点.而一次函数的图象与 轴也交于 点，所以一次函数与 的图象的 交点为，所以关于， 的二元一次方程组 的解为 返回 12 9.［2025成都天府新区期末］小虎同学在解方程组 的过程中，错把 看成了6，其余的解题过程没 有出错，解得此方程组的解为 又已知直线 过点，则 的值为 _____. 返回 13 10.［2025济宁月考］如图，直线 与直线 相交于点 ，直 线，与轴分别交于， 两点. 14 （1）求的值，并结合图象写出关于， 的方程组 的解； 15 【解】把点代入 ，得 ，所以 . 因为直线 与直线 相交于点 ， 所以方程组的解为 所以方程组的解为 16 （2）求 的面积； 17 对于直线，令 ，则 ， 解得，所以 . 对于直线 ， 令，则 ， 解得，所以 . 所以 . 所以 . 18 （3）垂直于轴的直线与直线， 分别交于点，，若线段 的长为4，求 出 的值. 由题意得：直线与直线的交点 的 坐标为，与直线的交点的坐标为 . 因为，所以 ， 即：，解得或 . 返回 19 11.【材料阅读】 二元一次方程 有无数组解，如： 如果我们将方程的解看成 一组有序数对，那么这些有序数对可以用平面直角坐标系中 的点表示，探究发现：以方程 的解为坐标的点落在 同一条直线上，如图①所示，同时这条直线上的点的坐标全 都是该方程的解.我们把这条直线称为该方程的图象. 20 【问题探究】 21 （1）请在图②中画出二元一次方程组 中的两个二元一次方程的 图象，该方程组的解为_______________ _________； 【解】如图①.x=1, 22 （2）已知关于， 的二元一次方程组 无解，请在图③中画出符 合题意的两条直线，设方程①的图象与 ，轴的交点分别是， ，方程②的图 象与，轴的交点分别是， ，计算 的度数. 23 因为关于， 的二元一次方程组 无解，所以 ， 如图②.因为 ，所以 .因为 ，所 以 .所以 . 24 【拓展应用】 （3）图④中包含关于， 的二 元一次方程组 的两个二元 一次方程的图象，请求出该方程 组的解. 25 易得直线为方程 的 图象.若方程 的图象过点 ，则 ，解得 .因为 ，所以 的图象不是直线 .所以 的图象为直线.由图象得， 相交于点 26 ，所以该方程组 的解为 返回 $$第五章 二元一次方程组 ☆问题解决策略:逐步确定 1 1. ［2025太原晋源区月考］若为整数， 为正整数， 则满足条件的 的值有( ) D A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 返回 2 2. 嘉嘉和淇淇一起观察下列乘方计算结果的个位数字： ， ，，，，，，， ，关于他俩的结论，判 断正确的是( ) 嘉嘉：是大于1的整数 ； 淇淇：若是正整数的个位数字是1，则 能被4整除. B A. 只有嘉嘉的正确 B. 只有淇淇的正确 C. 他俩都正确 D. 他俩都不正确 3 【点拨】是大于1的整数 ，故嘉嘉判断 不正确；因为，，， ， ，，，， ，所以 个位数字是3，9，7，1，四个数一循环，所以当指数为4的 倍数时，个位数字为1，故是正整数 的个位数字是1， 则 能被4整除，淇淇的判断正确. 返回 4 3. 对于任意一个三位自然数 ，若十位数字等 于百位数字与个位数字的和，我们称这个三位数为“中和数”. 例如：143， ，所以143是中和数；又如：276， ，所以276不是中和数.最大的“中和数”是_____，三 位数是“中和数”，若能被7整除，则满足条件的 的最大值与最小值的差是_____. 990 616 5 【点拨】根据“中和数”的定义可知，最大的“中和数”是990. 因为是中和数，所以 .所以 . 因为能被7整除，所以能被7整除.又因为 , ,,所以 的最大值为70，最 小值为14.所以满足条件的 的最大值是770，最小值是154.所 以 . 返回 6 4. 已知： ， ，用尺 规完成下列作图，并回答问题. 7 （1）求作：以点为顶点，射线为一边，在 外作 ，使 ；（不写作法，保留作图痕迹） 【解】 如图， 即为所求. 8 （2）延长至 ，用等式表示图中所有 相等的角，以及和为 的角. 如图.相等的角有： ， . 和为 的角有： ， ， ， . 返回 9 5. 如图，是的中线，是 上 一点，连接并延长交于点 .若 的面积为12， ，则 的面积是( ) C A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 10 【点拨】如图，连接.因为是 的 中线， 的面积为12，所以 ， .因为，所以 ， .所以.设 ，则 ， .由 ，得 ，解 得，所以的面积为 . 返回 11 6. 世界上第一次给出的勾股数公式，是记录 在我国古代的数学著作《九章算术》中，书中提到：当 ，， 时，其中 ，， 是互质的奇数. 12 （1）任意写出满足条件的一组勾股数：_________________ _____； 8,15,17（答案不唯一） 【点拨】当时， 时； , , .因为 所以勾股数8,15,17满足题意. 13 （2）某三角形的三边长满足上述勾股数，其中一边长为37， 且 ，该直角三角形的面积为_____. 210 【点拨】因为，所以, , .因为直角三角形的一边长为37，分三种情况 讨论：①当时， ，解得 （不合题意，舍去）；②当 时， 14 （不合题意，舍去）；③当 ，解 得.因为，，是互质的奇数.所以 . 把代入，得到 ， .综上所述，一边长为37，且 ，该直角三角 形的三条边长分别为12,35,37.所以面积为 . 返回 7.中国最早的算术教材皆称为《算经》，其中最具代表性的 著作为《孙子算经》，其中所著问题皆为经典.如原载“物不 知数问题”，原文是：“今有物不知其数，三三数之剩二；五 五数之剩三；七七数之剩二.问物几何？”答曰：二十三.当时 著名的大数学家程大位，对于这种解一般“孙子问题”的方法， 还编出了四句歌诀：三人同行七十稀，五树梅花廿一枝；七 子团圆正半月，除百零五便得知.小明阅读完这段材料之后， 16 经过研究并发现歌诀中的数据都隐含深意，并揭秘如下：70 是5和7的倍数，但被3除余1；21是3和7的倍数，但被5除余1， 15是3和5的倍数，但被7除余1；而105是3，5，7的最小公倍 数.在使用的同时，可以如下构造数据：2（被3除的余数） （构造的数）（被5除的余数）（构造的数） （被7除的余数） （构造的数），和为233，再除以105， 余数为23. 请你求出满足下列条件的最小正整数： （1）被3除余1，被5除余3，被7除余6； 【解】1（被3除的余数）（构造的数） （被5除的余 数）（构造的数）（被7除的余数） （构造的数），和为 ， ，余数为13，则 被3除余1，被5除余3，被7除余6的最小正整数是13. 18 （2）被5除余3，被7除余2，被11除余2. 3（被5除的余数）（构造的数） （被7除的余数） （构造的数）（被11除的余数） （构造的数）， 和为 ， ，余数为 233，则被5除余3，被7除余2，被11除余2的最小正整数是 233. 返回 19 8.用如图所示的甲、乙、丙三块木板做一个长、宽、高分别 为，和 的长方体木箱，其中甲块木板锯成 两块刚好能做箱底和一个长侧面，乙块木板锯成两块刚好能 做一个长侧面和一个短侧面，丙块木板锯成两块刚好能做箱 盖和剩下的一个短侧面（厚度忽略不计）. 20 （1）用含 的代数式分别表示甲、乙、丙三块木板的面积 （代数式要求化简）. 21 【解】由题意得 甲的面积为 . 乙的面积为 . 丙的面积为 . 22 （2）如果购买一块长、宽 的长方形木板做这 个箱子，那么只需用去这块木板的几分之几（用含 的代数 式表示）？如果 呢？ 23 一块长.宽 的长方形木板的面积为 ， 需要去这块木板的 . 当时，原式 . 返回 24 9.【问题提出】将一根长度是且是偶数 的细绳按 照如图所示的方法对折 次，然后从重叠的细绳的一端开始， 每隔1厘米（两端弯曲部分的绳长忽略不计）剪1刀，共剪 刀，最后得到一些长和长的细绳.如果长 的细绳 有222根，那么原来的细绳的长度 是多少厘米？ 25 （1）【总结规律】对折 次，可以看成有____根绳子重叠在 一起，如果剪刀，左端有___根长 的细绳，中间会有 ___________根长的细绳，两端会有_________根长 的细绳，所以原绳长为___________ . 2 26 【点拨】对折1次，有 根绳子重叠在一起， 剪刀，左端仍有2根长 的细绳，中间有 根长细绳，右端有 （根）长的细绳，原绳长为 ; 对折2次，有根绳子重叠在一起，剪 刀，左端仍有2根长 的细绳，中间有根长 的细绳，两端有 （根）长的细绳，原绳长为 ；对 27 折3次，有根绳子重叠在一起，剪 刀，左 端仍有2根长的细绳，中间有 根 长的细绳，两端有 （根）长 的细绳，原绳长为 则 对折次，可以看成有 根绳子重叠在一起， 如果剪刀，左端有2根长 的细绳，中间 会有根长 的细绳，两端会有 根长 的细绳，所以原绳长为 . （2）【问题解决】如果长 的细绳有222 根，根据以上探究过程可以推算出细绳可能 被对折了______次，被剪了_________刀，原 来的细绳的长度是__________ . 1或2 111或56 224或228 29 【点拨】由题意，得 ，所 以.所以.又因为, 为正整数，或 ，所 以可以为2，4.所以或4， 或55.所以或2， 或56. 所以原绳长 为 或 . （3）【拓展应用】如果长 的细绳有 2 026根，那么原来的细绳的长度 是多少厘 米？ 【解】由题意，得 .所 以.所以.又因为 为正整数， ,所以为2.所以， .所 以， .所以原绳长为 . 返回 31 $$第五章 二元一次方程组 专题13 解二元一次方程组的常用方法 1 方法1 直接代入或加减消元法 1.解下列方程组： （1） 2 【解】原方程组整理，得 把①代入②,得，解得 ， 把代入①,得 ， 所以原方程组的解为 3 （2） 4 ，得，解得 ， 将代入②,得，解得 ， 所以原方程组的解为 返回 方法2 消常数项法 2.解方程组： 【解】 ， 得，即 ，③ 把③代入①，得，解得.把 代 入③，得.所以该方程组的解是 返回 6 方法3 整体法 3. 已知关于，的二元一次方程 的解如下表： … 0 1 … … 4 2 … 7 关于，的二元一次方程 的解如下表： … 0 1 … … 4 1 … 则关于，的二元一次方程组 的 解为_ _______. 8 【点拨】由题表可知方程组的解为 所 以由二元一次方程组 可得 解得 所以方程组 9 的解为 返回 4. 先阅读，然后解方程组. 解方程组时，可由①得 ，③ 再将③代入②,得，解得 ， 从而进一步求得 这种方法被称为“整体代入法”. 请用这样的方法解方程组 11 【解】 由①得 ，③ 将③代入②，得，解得 ， 把代入③，得，解得 . 故原方程组的解为 返回 12 方法4 换元法 5.三名同学对问题“若方程组的解是 求方程组 的解”提出了各自的想法.甲说： “这个题目好像条件不够，不能求解.”乙说：“它们的系数有 一定的规律，可以试试.”丙说：“能不能把第二个方程组的两 个方程的两边都除以5，通过换元的方法来解决.”参考他们的 13 讨论，谈谈你的看法（若不能求解，请说明原因；若能够求 解，请写出求解过程）. 【解】可以求解. 因为可变形为 设， ， 所以方程组①可变为 又因为的解是 所以方程组②的解是 所以，.所以， . 所以方程组的解是 返回 $$第五章 二元一次方程组 专题15 方程、函数与方案选择 1 类型1 运用二元一次方程来确定方案 1. 某校将举办主题为“激情三月，学习 雷锋精神”的演讲比赛活动，学校计划用150元钱购买， ， 三种奖品（三种都买），种奖品每个10元， 种奖品每个 20元，种奖品每个30元，在 种奖品不超过两个且钱全部用 完的情况下，购买方案有( ) D A. 6种 B. 7种 C. 8种 D. 9种 2 【点拨】设购买个种奖品，个种奖品.当购买1个 种奖 品时，，所以.因为， 均为正整数，所以或或或 或 所以此时有5种购买方案可供选择；当购买2个 种奖 品时，，所以.因为 ， 3 均为正整数，所以或或或 所以 此时有4种购买方案可供选择.所以购买方案有 （种）.故选D. 返回 2.某物流公司计划用两种车型运输物资，用2辆型车和1辆 型车装满物资一次可运10吨；用1辆型车和2辆 型车装满物 资一次可运11吨.某物流公司现有31吨物资，计划同时租用 型车辆，型车 辆，一次运完，且恰好每辆车都装满 （两种型号的车均至少租用1辆）. 5 （1）1辆型车和1辆 型车都装满物资一次可分别运多少吨？ 【解】设1辆型车装满物资一次可运吨，1辆 型车装满物 资一次可运 吨， 依题意，得解得 所以1辆型车装满物资一次可运3吨，1辆 型车装满物资一 次可运4吨. 6 （2）请你帮该物流公司设计租车方案，并把符合要求的租 车方案都列出来. 依题意，得 ， 所以 . 又因为, 均为正整数， 所以或或 7 所以该物流公司共有3种租车方案： 方案1：租用9辆型车，1辆 型车； 方案2：租用5辆型车，4辆 型车； 方案3：租用1辆型车，7辆 型车. 8 （3）若型车每辆需租金每次100元， 型车每辆需租金每次 120元，请从（2）中的方案里选出最省钱的租车方案，并求 出最少租车费. 方案1所需租金为 （元）； 方案2所需租金为 （元）； 方案3所需租金为 （元）. 因为 ， 所以最省钱的租车方案为租用1辆型车，7辆 型车，最少租 车费为940元. 返回 9 类型2 运用二元一次方程组来确定方案 3.某电脑公司有，， 三种型号的电脑，其相应的价格如表： 型号 单价/元 6 000 4 000 2 500 已知某中学现有资金100 500元，计划全部用于从该电脑公 司购进36台两种不同型号的电脑.请设计出几种不同的购买方 案供该校选择. 10 【解】设从该电脑公司购进型电脑台，型电脑台， 型 电脑 台，则可分以下三种情况考虑： 只购进型电脑和 型电脑， 则 解得 （不符合题意，舍去）. 11 只购进型电脑和 型电脑， 则解得 只购进型电脑和 型电脑， 则解得 所以，有两种方案供该校选择：第一种方案是购进 型电脑3 台，型电脑33台；第二种方案是购进型电脑7台， 型电 脑29台. 返回 12 4.某公司有个工程对外招标，现有甲、乙两个工程队来应标. 若甲、乙两个工程队合作，需8周完成，共需工程款33.6万元； 若甲队单独做6周后，剩下的由乙队来做，还需12周才能完 成，共需工程款32.4万元.若只选一个工程队完成，该公司应 该选择哪个工程队来承接这个工程？ 13 【解】设甲工程队每周的工作效率为 ，乙工程队每周的工 作效率为 . 根据题意，得解得 所以甲工程队单独完成这一工程需要 （周）；乙 工程队单独完成这一工程需要 （周）. 所以从节省时间的角度考虑应该选择甲公司. 14 设甲工程队每周费用为万元，乙工程队每周费用为 万元. 根据题意，得解得 所以甲工程队单独做需要 （万元），乙工程队单 独做需要 （万元）. 所以从节约经费的角度考虑应该选择乙公司. 返回 15 类型3 运用一次函数来确定方案 5.如图所示，， 分别表示一种白炽灯和一 种节能灯的费用（费用灯的售价 电费， 单位：元）与照明时间单位： 的函数图 象，假设两种灯的使用寿命都是 ，照 明效果一样. （1）根据图象分别求出， 的函数表达式； 16 【解】设的表达式为， 的 表达式为，由图可知 过点 ， ， 所以解得 所以 . 由图可知过点， ， 同理可得 . 17 （2）小明房间计划照明 ，他买了一个 白炽灯和一个节能灯，请你帮他设计最省钱的 用灯方法. 18 设白炽灯使用，总费用为 元，则节能灯使 用 ，根据题意，得 因为,所以随 的增大而增大. 所以当时， ， . 所以最省钱的用灯方法是白炽灯使用 ，节能灯使用 . . 返回 19 6.［2025温州期末］【材料一】某商贸公司经销甲、乙两个 品种的葡萄，甲种葡萄进价为5元/斤：乙种葡萄的进货总金 额（单位：元）与乙种葡萄的进货量 （单位：斤）之间的 关系如图所示，经过试销，在 市销售甲、乙两个品种葡萄 的售价分别为7元/斤和14元/斤. 【材料二】在葡萄节开节当日，该商贸公司收购了甲、乙两 个品种的葡萄共2 000斤，其中乙品种的进货量不低于400斤， 且不高于1 000斤. 20 【材料三】葡萄运到 市，商场 发现顾客对甲、乙两个品种葡 萄都很喜欢，于是决定把两种 葡萄进行混合销售，并适当让 利给消费者. 根据提供的材料完成任务. 21 【任务一】 求图中直线 的函数表达 式. 【解】设直线 的函数表达式为 , 将， 代入，得 解得 所以直线 的函数表达式为 . 22 【任务二】 若从收购点运到商场的其他各种费 用还需要200元，收购的葡萄能够全部卖完，设 销售完甲、乙两个品种的葡萄所获总利润为 元 （利润销售额-成本）.求出 （单位：元）与乙种葡萄的进 货量 （单位：斤）之间的函数关系式，并为该商贸公司设 计出获得最大总利润的收购方案. 23 由题意可得：乙种葡萄的进货量为 斤，甲种葡萄的进货量为 斤， 乙种葡萄的利润 ， 甲种葡萄的利润 ， 所以 . 因为 ， 24 所以 时，总利润最大， 此时 ， 即乙种葡萄的进货量为1 000斤，甲种葡萄的进货量为 1 000斤. 【任务三】 在任务二获得的最大总利润的基础 上，商场把最大总利润的 让利给购买者，那么 混合销售葡萄的销售价应定为多少？ 当总利润最大时，甲、乙两种葡萄的进货量都为1 000斤， 总成本 （元）， 总利润 （元）， 26 让利给购买者 后的总利润 （元）， 总销售额 （元）， 销售价 （元/斤）. 所以混合销售葡萄的销售价应定为9.55元/斤. 返回 27 $$第五章 二元一次方程组 全章热门考点整合应用 1 考点1 二元一次方程（组）的有关概念 1. 下列方程组： 其中是二元一次方程组的是( ) C A. ①② B. ③④ C. ①②④ D. ①②③ 返回 2 2.已知是二元一次方程，则 ___. 0 3. 若关于,的二元一次方程组 的 解为则多项式 可以是____________________ （写出一个即可）. （答案不唯一） 返回 考点2 三元一次方程组 4. 下列方程组中是三元一次方程组的是( ) C A. B. C. D. 返回 4 考点3 方程组的解法 5. 对于任意有理数,,, ，我们规定 ，已知，同时满足 ， ，则 ____. 5 【点拨】因为， ，所以联立可得 ，得，解得 .将 代入①，得，解得 .所以 . 返回 6 6.解下列方程组： （1） 【解】，得，解得 . 将代入①，得，解得 . 所以原方程组的解为 7 （2） ，得 .④ 把④代入③，得，解得 . 8 把分别代入①②，得 解得 所以方程组的解为 返回 9 考点4 二元一次方程（组）的应用 7. 中国古代数学著作《增删算法统宗》中记载 的“绳索量竿”问题，大意是：现有一根竿子和一条绳索，用 绳索去量竿子，绳索比竿子长5尺；若将绳索对折去量竿子， 绳索就比竿子短5尺，问绳索、竿子各有多长？该问题中的 竿子长为____尺. 15 10 【点拨】设绳索长为尺，竿子长为 尺.根据题意，得 解得 所以竿子长为15尺. 返回 8. 2024年10月30日，神舟十九号载人飞船 成功发射，三名航天员被送入中国天宫空间站，开启了中国 航天事业的新篇章.二七区某中学为了培养学生科技创新意识， 开设了“蓝天梦想家”航模兴趣社团，计划购进， 两种航模. 据了解购买1件型航模和2件型航模需800元；购买2件 型 航模和3件 型航模需1300元. 12 （1）， 两种航模每件的价格分别为多少元？ 【解】设每件型航模的价格为元，每件 型航模的价格为 元， 根据题意得解得 所以每件型航模的价格为200元，每件 型航模的价格为300元. 13 （2）张老师欲同时购买两种航模，在采购时恰逢商家推出 优惠活动，两种航模均打九折出售，这次采购预计共花费 990元，请问张老师有哪几种购买方案？ 设购买件型航模，件 型航模， 根据题意得 ， 所以 . 14 又因为， 均为正整数， 所以或 所以张老师共有2种购买方案： 方案1：购买4件型航模，1件 型航模； 方案2：购买1件型航模，3件 型航模. 返回 15 考点5 二元一次方程（组）与一次函数的关系 9. 点在直线上，坐标 是二元一次方 程的解，则点 的位置在( ) D A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 返回 16 10.［2025西安碑林区月考］已知一次函数 与 的图象的交点坐标为 . （1）关于，的方程组 的解为_ ________； （2）___， ____. 2 返回 17 思想1 建模思想 11.［2025上海嘉定区期末］在课余 活动中，小杰、小明和小丽一起玩 飞镖游戏，其落点如图所示，飞镖 30 盘上区域所得分值和 区域所得分值不同，每人各投4次飞 镖，已知小杰和小明的4次飞镖总分分别是32分和34分.则小 丽的4次飞镖总分是____分. 返回 18 思想2 整体思想 12.已知关于,的二元一次方程组 的解为 则关于, 的二元一次方程组 的解为_ ________. 返回 19 思想3 数形结合思想 13.如图是用长方形厚纸片（厚度不计）做长方 体茶叶包装盒的示意图，阴影部分是裁剪掉的 部分.沿图中实线折叠做成的长方体纸盒的上下 底面是正方形，有三处长方形形状的“接口”用来折叠后粘贴 或封盖.用长为，宽为 的长方形厚纸片，恰好能做 成一个符合要求的包装盒，盒高等于盒底边长乘 ，三处 “接口” 的宽度相等，该茶叶盒的容积是多少？ 20 【解】设长方体纸盒的底面边长为 ，三 处“接口”的宽度为 ，则长方体纸盒的高 为 ， 由题意得 解得 所以 . 所以该茶叶盒的容积是 . 返回 21 $$第五章 二元一次方程组 3 二元一次方程组的应用 第2课时 增收节支 1 1. ［2025西安经开区月考］小明家种植水果，去年收支相抵后，结余 1 200元，今年因为改进了种植技术，他家水果获得丰收，收入比去年 增加，支出比去年减少 ，今年比去年多结余1 140元.设小明家 去年收入元，支出 元，则下列方程组正确的是( ) A. B. C. D. √ 返回 2 2. 2025年亚冬会期间，某工艺厂准备生产 亚冬会标志“超越”和亚冬会吉祥物“滨滨”“妮妮”.该厂主要用 甲、乙两种原料，已知生产一套亚冬会标志需要甲原料和乙 原料分别为4盒和3盒，生产一套亚冬会吉祥物需要甲原料和 乙原料分别为5盒和10盒.该厂购进甲、乙原料的量分别为 20 000盒和30 000盒，如果所进原料全部用完，则该厂能生 产亚冬会吉祥物_______套. 2 400 返回 3 3.学校为了奖励在“诗词大赛”中获奖的同学，计划购买甲、 乙两种奖品共40件，已知购买甲奖品1件和乙奖品4件需花费 240元，购买甲奖品2件和乙奖品1件需花费165元，如果学校 购买甲、乙两种奖品共花费2 130元，那么学校购买了____ 件乙奖品. 18 4 【点拨】设每件甲奖品的价格是元，每件乙奖品的价格是 元，根据题意得解得设购买 件乙奖 品，则购买 件甲奖品，根据题意得 ，解得 .所以学校购买了 18件乙奖品. 返回 5 4. 一辆汽车从地驶往 地，前三分之一路段 为普通公路，其余路段为高速公路.已知汽车在普通公路上行 驶的速度为，在高速公路上行驶的速度为 . 汽车从地到地共行驶了 .请你根据以上信息，就该汽 车行驶的“路程”或“时间”，提出一个问题：____？ 并求解. 6 【解】（答案不唯一）地到 地的路程是多少千米 设地到地的普通公路长为，高速公路长为 ， 根据题意得解得 所以 . 所以地到地的路程是 . 返回 7 5.某种合金是由， 两种金属熔炼而成，根据不同用途的需 要，两种金属原材料所选的比例也不相同.如果， 两种原 料按配料，则该合金材料价格为5 000元/吨；如果 种原 料占合金的，则该合金材料价格为4 860元/吨.则 种金 属每吨的价格是_______元 . 3 600 返回 8 6.［2025北京大兴区一模］某公园门票价格如下表，某学校 组织摄影、美术两个社团的学生游览该公园，两社团的人数 分别为和 .若两社团分别以各自社团为单位购票， 共需1 560元；若两社团作为一个团体合在一起购票，共需 1 170元，那么这两个社团的人数为____， ____. 购票人数 80以上 门票价格 20元/人 16元/人 13元/人 60 30 9 【点拨】因为1 170不能整除16和20，所以两个部门的人数 .又因为1 560不能整除16，所以每个部门的人数 不可能同时在之间.因为，所以当 , 时，有解得 返回 10 7.甲、乙两个玩具的成本共300元，商店老板为获取利润，并 快速出售玩具，决定将甲玩具按 的利润率标价出售，乙 玩具按 的利润率标价出售，在实际出售时，应顾客要求， 两个玩具均按标价的九折出售，这样，商店共获利114元. （1）若甲玩具的成本为 元，则甲玩具的标价是_____元， 甲玩具的售价是______元；若乙玩具的成本是 元，则乙玩 具的标价是_____元，乙玩具的售价是______元.（用含, 的 式子填空） 11 （2）在（1）的条件下，求甲、乙两个玩具的成本各是多少元. 【解】依题意，得 解得 所以甲玩具的成本是100元，乙玩具的成本是200元. 12 （3）在（1）的条件下，商店老板决定投入1 000元购进这 两种玩具，且为了吸引顾客，每种玩具至少购进1个，那么 可以怎样安排进货？ 13 设购进个甲玩具， 个乙玩具， 依题意，得，化简得 . 又因为， 均为正整数， 所以或或或 所以共有4种进货方案，方案1：购进8个甲玩具，1个乙玩具； 方案2：购进6个甲玩具，2个乙玩具；方案3：购进4个甲玩 具，3个乙玩具；方案4：购进2个甲玩具，4个乙玩具. 返回 8.随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐 渐成为人们喜爱的交通工具．某汽车销售公司计划购进一批 新能源汽车进行销售，已知3辆型汽车和4辆 型汽车的进价 共计120万元；4辆型汽车和3辆 型汽车的进价共计132万元. 15 （1）， 两种型号的汽车每辆的进价分别为多少万元？ 【解】设，两种型号的汽车每辆的进价分别为万元、 万元， 根据题意得 解得 所以， 两种型号的汽车每辆的进价分别为24万元、12万元. 16 （2）若该公司计划正好用96万元购进以上两种型号的新能 源汽车若干辆（两种型号的汽车均购买），请你帮助该公司 设计购买方案. 17 设购进型汽车辆，型汽车辆，则 ， 所以 . 因为， 均为正整数， 所以或或 所以共有3种购买方案，方案1：购进型汽车1辆， 型汽车6 辆；方案2：购进型汽车2辆，型汽车4辆；方案3：购进 型汽车3辆， 型汽车2辆. 18 （3）若该汽车销售公司销售1辆 型汽车可获利4 000元，销 售1辆 型汽车可获利3 000元，在（2）的购买方案中，当这 些新能源汽车全部售出时，哪种方案获利最大？最大利润是 多少元？ 19 设在（2）的条件下，这些新能源汽车全部售出时，获得利 润为 元， 根据题意得 . 因为，所以随 的增大而减小. 所以当时，最大，最大值为，此时 . 所以购进型汽车1辆， 型汽车6辆获利最大，最大利润是 22 000元. 返回 20 $$第五章 二元一次方程组 1 认识二元一次方程组 1 1. 下列式子中，属于二元一次方程的有( ) ;;; ; ；; . A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 2. ［2025太原师范学院附属中学月考］已知 是关于 ，的方程的一个解，则 的值为( ) A. B. 1 C. 2 D. 7 √ √ 返回 2 3. 若方程组 是二元一次方程组，则“…”可以是 ( ) A. B. C. D. √ 返回 3 4. 嫦娥六号成功着陆在月球背面南极- 艾特肯盆地预选着陆区，开启人类探测器首次在月球背面实施 的样品采集任务.嫦娥六号采用了钻取和表取两种方式共采集 样品1 935克，表取比钻取的4倍还多310克.若设钻取样品 克， 表取样品 克，则可列方程组为( ) A. B. C. D. √ 返回 4 5. 如果是关于， 的二元一 次方程，则 的值为____. 6. 写出二元一次方程 的一组整数 解：_ _____________________. （答案不唯一） 返回 5 （1）分别取, ,0,2,填写下表： 方程 0 2 ___ ___ ____ ____ 8 2 7. 教材P114习题 已知方程组 方程 0 2 _ _ ___ _ _ ___ 2 4 （2）根据（1）中的数据写出方程组的解. 【解】方程组的解为 返回 8 8. 如果方程组 的解为 那么被“★”“ ”遮住 的两个数分别为( ) A. 3，10 B. 4，10 C. 10，4 D. 10，3 【点拨】将 代入,得 ,解得 , 即.将代入★,得★,所以★ .所 以被“★”“ ”遮住的两个数分别为10,4. √ 返回 9 9. 我国古代《四元玉鉴》中记载“二果问价” 问题，其 内容大致如下：用九百九十九文钱，可买甜果苦果共一千个，若 ， ， 试问买甜果苦果各几个？若设买甜果个，买苦果 个，可列出符合题意的二 元一次方程组 根据已有信息，题中用“ ， ”表示的缺 失的条件应为( ) A. 甜果七个用四文钱，苦果九个用十一文钱 B. 甜果十一个用九文钱，苦果四个用七文钱 C. 甜果四个用七文钱，苦果十一个用九文钱 D. 甜果九个用十一文钱，苦果七个用四文钱 √ 返回 10 10. 国家“双减”政策实施后，某班开展了主题 为“书香满校园”的读书活动.班级决定为在活动中表现突出的 同学购买笔记本和碳素笔进行奖励（两种奖品都买）.其中笔 记本每本3元，碳素笔每支2元，共花费28元，则共有购买方 案( ) A. 5种 B. 4种 C. 3种 D. 2种 √ 11 【点拨】设购买笔记本本，碳素笔 支，根据题意，得 ,所以.又因为, 均为正整数，所以 或或或 所以共有4种购买方案. 返回 12 11. 已知方程组 的解为 则方程组 的解是 _ ________. 返回 13 12. 若方程组是关于， 的二元一次方程组，则代数式 的值是_________. 或 【点拨】由二元一次方程组的概念，得, , ,解得,,,所以 .或 ,,,解得,, ,所 以.故答案为或 . 返回 14 13. 如图，的面积为 ， ，，设， ，则根据 题意可列方程组为_ ______________. 15 【点拨】因为 ，所以 , .因为 ，所以 , .又因为的面积等于 ，所以 ， .所以 .因为， ，所以 返回 16 14.甲、乙两人共同解关于,的方程组 解 完以后有下面一段对话（如图），请认真阅读对话内容，然 后求出 的值. 17 【解】把代入②，得 , 解得 . 把代入①，得，解得 . 所以 . 返回 18 15. 定义：把（其中， 是常数， ， 是未知数）这样的方程称为“优美二元一次方程”.当 时，“优美二元一次方程”中 的值称为“优美 二元一次方程”的“优美值”.例如：当 时，“优美二元一次 方程”化为，解得 ，故其“优美值” 为4. 19 （1）求“优美二元一次方程” 的“优美值”； 【解】令，则“优美二元一次方程” 可化为 ，解得，则其“优美值”为 . （2）若“优美二元一次方程”的“优美值”是 ， 求 的值； 令，则“优美二元一次方程” 可化为 ，把代入，得 . 20 （3）是否存在，使得“优美二元一次方程” 与“优 美二元一次方程” 的“优美值”相同？若存在， 请求出 的值及此时的“优美值”；若不存在，请说明理由. 21 存在.令，则“优美二元一次方程” 可化为 ，则，所以其“优美值”为 . 令，则“优美二元一次方程” 可化为 ，则，所以其“优美值”为 .假 设“优美值”相同，则有，解得，所以 ， 即“优美值”为 . 返回 $$第五章 二元一次方程组 3 二元一次方程组的应用 第1课时 古算问题 1 1. 《孙子算经》中有这样一个问题：“今有木，不知长短，引绳度 之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？” 意思是： “用绳子去量一根木材的长，绳子还余4.5尺；将绳子对折再量木材 的长，绳子比木材的长短1尺，问木材的长为多少尺？”若设木材的 长为尺，绳子长为 尺，则根据题意列出的方程组是 ( ) C A. B. C. D. 返回 2 2. 我国古代《算法统宗》里有这样一首诗：“我问开店李三公，众 客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空”. 诗中后两句的 意思是如果每间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每间客房住9 人，那么就空出一间客房.据此求客房和客人的数量，对于甲、乙、 丙三人的解题方案，其中正确的个数是 ( ) 甲：设客房有间，则 ； 乙：设客人有人，则 ； 丙：设客房有间，客人有人，则 C A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 返回 3 3.［2025成都青羊区一模］《九章算术》中记载这样一个问 题：“今有上禾五秉，损实一斗一升，当下禾七秉；上禾七秉， 损实二斗五升，当下禾五秉.”翻译后的大致意思：5捆上等稻 子少结1斗1升稻谷，相当于7捆下等稻子结的稻谷；7捆上等 稻子少结2斗5升稻谷，相当于5捆下等稻子结的稻谷.则上等 稻子1捆能结___升稻谷（1斗 升）. 5 返回 4 4.《九章算术》被历代数学家尊为“算经之首”.下面是其卷中 记载的关于“盈不足”的一个问题：今有共买金，人出四百， 盈三千四百；人出三百，盈一百.问人数、金价各几何？这段 话的意思是：今有人合伙买金，每人出400钱，会剩余3 400 钱；每人出300钱，会剩余100钱.求合伙人数、金价各是多少？ 请解决上述问题. 5 【解】设共有人合伙买金，金价为 钱. 依题意得 解得 所以，合伙人数是33，金价为9 800钱. 返回 6 5.《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一个问 题：“今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等，交易其一， 金轻十三两，问金、银一枚各重几何？”意思是：甲袋中装有 黄金9枚（每枚黄金重量相同），乙袋中装有白银11枚 （每枚白银重量相同），称重两袋相同，两袋互相交换1枚 后，甲袋比乙袋轻了13两（袋子重量忽略不计），问黄金、 白银每枚各重多少两？设每枚黄金重两，每枚白银重 两， 根据题意可列方程组为_ _________________________. 返回 7 6.在《九章算术》中，二元一 次方程组是通过“算筹”摆放的， 如图①、图②中各行从左到右 列出的算筹数分别表示未知数， 的系数与相应的常数项. 如图①表示的方程组是 在图②所示的 算筹图中有一个图形被墨水覆盖了，如果图②所表示的方程 组中 的值为3，则被墨水所覆盖的图形为__. 返回 8 7.《九章算术》中记载，浮箭漏出现于汉武帝时期.它由供水 壶和箭壶组成，箭壶内装有箭尺，水匀速地从供水壶流到箭 壶，箭壶中的水位逐渐上升，箭尺匀速上浮，可通过读取箭 尺刻度计算时间.已知在箭尺有一定读数的情况下，供水2小 时，箭尺读数为；供水6小时，箭尺读数为 .若开 始记录时是上午，则当箭尺读数为 时的时间为 ______. 21:00 返回 9 8.［2025徐州月考］我国传统数学名著《九章算术》记载： “今有牛五、羊二，直金十九两；牛二、羊五，直金十六两. 问牛、羊各直金几何？”译文：“假设有5头牛、2只羊，值19 两银子；2头牛、5只羊，值16两银子.问每头牛、每只羊分别 值银子多少两？”根据以上译文，提出以下两个问题： 10 （1）每头牛、每只羊各值多少两银子？ 【解】设每头牛值两银子，每只羊值 两银子. 根据题意，得解得 所以每头牛值3两银子，每只羊值2两银子. 11 （2）若某商人准备用24两银子买牛和羊（要求既有牛也有 羊，且银两须全部用完），请问商人有几种购买方法？列出 所有的可能. 12 设该商人购买了头牛， 只羊，根据题意，得 ，即 . 因为，均为正整数，所以 为2的倍数. 当时， ； 当时， ； 13 当时， ； 当为大于8的正整数时， 为负数，不合题意. 所以该方程的解为或或 即共有三种购买方法： 方案一：购买2头牛，9只羊； 方案二：购买4头牛，6只羊； 方案三：购买6头牛，3只羊. 返回 15 9.阅读下列材料，解决问题. 《张丘建算经》是一部数学问题集，其内容、范围与 《九章算术》相仿.其中提出并解决了一个在数学史上非常 著名的不定方程问题，通常称为“百鸡问题”：“今有鸡母一 值钱三，鸡翁一值钱五，鸡雏三值钱一.凡百钱买鸡百只， 问鸡翁、母、雏各几何.”译文：每一只母鸡值三文钱，每一 只公鸡值五文钱，每三只小鸡值一文钱.现在用一百文钱买 一百只鸡，问这一百只鸡中，公鸡、母鸡、小鸡各有多少 只？ 16 （1）【尝试】若设母鸡有只，公鸡有 只. ①小鸡有______________只，买小鸡一共花费________文钱 （用含， 的式子表示）； ②根据题意，列出一个含有， 的方程__________________ _____________； 17 （2）【探索】小军对“百鸡问题”增加一个条件：“母鸡数量 是公鸡数量的4倍多2只”，求此时公鸡、母鸡、小鸡的只数； 【解】由题意得解得 所以 . 所以，公鸡有4只，母鸡有18只，小鸡有78只. 18 （3）【拓展】小明对“百鸡问题”增加两个条件：“若买得公 鸡和母鸡之和不超过20只，且买得公鸡数不低于母鸡数”，求 此时公鸡、母鸡、小鸡的只数. 19 根据题意得 ， 化简得 . 因为,均为正整数，所以 为4的倍数. 当时，；当时，；当 时， ；当时，；当时， （舍去）. 20 又因为，且 ， 所以仅有，符合题意，此时 . 所以，公鸡有12只，母鸡有4只，小鸡有84只. 返回 $$第五章 二元一次方程组 测素质二元一次方程组的解法及应用 1 ［时间：45分钟 分值：100分］ 一、选择题（每题5分，共35分） 1. 下列属于二元一次方程组的有( ) A A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 返回 2 2. 解方程组 的思路可用如图的框图表示，圈 中应填写的对方程①②所做的变形为( ) C A. B. C. D. 返回 3 3. 已知与是同类项，则 的值是 ( ) A A. 4 B. 1 C. D. 4. ［2025永州月考］若关于,的方程组 的解满足，则 的值为( ) C A. 2 025 B. 2 026 C. 2 027 D. 2 028 返回 4 5. 中国清代算书《御制数理精蕴》中有这样 一题：“马四匹、牛六头，共价四十八两（我国古代货币单 位）；马三匹、牛五头，共价三十八两，问马、牛各价几 何？”通过计算可得每匹马的价格为( ) C A. 4两 B. 5两 C. 6两 D. 7两 返回 5 6. 若方程组与 有相同的解，则 ， 的值为( ) A. 2， B. 2， C. 3， D. ，2 C 返回 7. 如图，在长方形 中，，，为 的中 点，若点在线段上以 的速度由点 向点运动，同时，点在线段上由点 B A. B. 6或 C. 2或6 D. 向点运动，当与全等时，则点 的运动速度是 ( ) 7 【点拨】由题意可知 ， ，.因为为 的中点，所以.设运动的时间为 ， 点的运动速度是 ，依题意有 ，则 ， .当 8 时， 解得 即点的运动速度为 时， 与全等；当 时，解得即点 的运动 速度为时，与 全等.综上 可得，点的运动速度为或 时，与 全等. 返回 二、填空题（每题5分，共20分） 8. 现有A，B，C，D， 五张卡片，卡片上分 别写有一个二元一次方程. （1）若取A，B卡片，则联立得到的二元一次方程组的解为 _ _______. 11 （2）若取两张卡片，联立得到的二元一次方程组的解为 则所取的两张卡片为______. B和C 返回 12 9. 科学家通过实验发现：一定质量的某种气 体在体积不变的情况下，压强与温度 的关系满 足：，且当温度为时，压强为 ；当 温度为时，压强为，则____， _____. 0.4 100 10. 对， 定义一种新运算“&”，规定： （其中，均为非零常数）， ， ，则 的值是___. 0 返回 13 11.甲、乙两人从两地同时出发相向而行，甲每分钟走52米， 乙每分钟走70米，在 点相遇；如果甲先走4分钟，然后甲的 速度仍为每分钟52米，乙的速度变为每分钟90米，恰好还在 点相遇，则两地相距_______米. 2 196 返回 14 三、解答题（共45分） 12.（14分）解下列方程组： （1） 【解】 ，得，解得 . 把代入②，得.所以 15 （2） 16 方程组可化为 ，得，，得 ，解得 .把代入②，得 . 所以 返回 13.（15分）阅读以下内容：已知，满足 ，且满 足求 的值. 三名同学分别提出了自己的解题思路： 甲同学：先解关于，的方程组再求 的值； 18 乙同学：先将方程组中的两个方程相加，再求 的值； 丙同学：先解方程组再求 的值. （1）以上三名同学的解题思路中，正确的有___个，你最欣 赏__________________（填写“甲”或“乙”或“丙”）的思路； 3 乙（答案不唯一） 19 （2）根据你所选的思路解答此题. 【解】 并整理，得 .将代入 ， 得，解得 . 返回 20 14.（16分） 朱仙镇木版年画是中国古老的传 统工艺品之一，某文创商店购进“马上鞭”和“对花枪”两种木 板年画作品，其进价和销售价如表所示： 马上鞭 对花枪 进价/（元/张） 23 34 售价/（元/张） 25 35 21 （1）若文创商店购进两种木板年画作品共130张，正好用去 3 760元，则两种木板年画作品分别购进多少张？ 【解】设购进“马上鞭”年画作品张，“对花枪”年画作品 张， 根据题意，得解得 所以，购进“马上鞭”年画作品60张，“对花枪”年画作品70张. 22 （2）该文创商店某次出售两种木板年画作品（两种作品出 售张数不为0），正好盈利6元，列出所有的销售方案. 设出售“马上鞭”年画作品张，“对花枪”年画作品 张， 根据题意，得 ， 即 ， 23 这个方程的正整数解有 所以，销售方案有两种：①出售“马上鞭”年画作品1张，“对 花枪”年画作品4张；②出售“马上鞭”年画作品2张，“对花枪” 年画作品2张. 返回 24 $$第五章 二元一次方程组 专题14 含字母系数的二元一次方程 组的常考题型 1 题型1 利用解相同求字母系数的值 1.已知关于，的二元一次方程组 和 有相同的解，求 的值. 2 【解】因为关于，的二元一次方程组 和 有相同的解，所以得方程组 解得 将 代入方程组 得 解得 所以 . 返回 3 题型2 利用解出错求字母系数的值 2.在解方程组 时，哥哥正确地解得 弟 弟因把写错而解得 求： 4 （1） 的值. 【解】因为哥哥正确地解得 弟弟因把 写错而解得 所以 由②得 . ，得.把代入①，得 ，解得 ，所以 . 5 （2）弟弟把 写错成了什么数？ 因为弟弟因把写错而解得 所以，解得 . 故弟弟把写错成了 . 返回 6 题型3 利用解满足的条件求字母系数的值 3.已知关于,的二元一次方程组 有正整数解， 则正整数 的值是___. 4 7 【点拨】原方程组为 ,得 ,所以.把 代入①,得 .因为是正整数，所以 或2或17或34.所 以或或4或12.5.又因为为正整数，所以 . 因为是正整数，当时， ，符合题意，所以正整 数 的值是4. 返回 8 4. 对于有理数， ，定义新运算： ，，其中， 是常数.已知 ， . （1）求， 的值； 【解】由题意得解得 9 （2）若关于，的方程组 的解满足 ，求 的值. 由题意得 解得 因为，所以，解得 . 返回 10 题型4 利用解的个数求字母系数的值或取值范围 5.请问，满足什么条件时，方程组 【解】由①,得 ,将其代入②，整 理得 .③ 11 （1）有无数解； 若方程③有无数解,则所以 所以当 , 时，原方程组有无数解. （2）无解； 若方程③无解,则所以所以当 ， 时，原方程组无解. （3）有唯一的解. 若方程③有唯一解,则,即.所以当 ， 为任意实数时，原方程组有唯一解. 返回 13 $$第五章 二元一次方程组 4 二元一次方程与一次函数 第2课时 用二元一次方程组确定一次函 数表达式 1 1. 一次函数 的图象如图所示， 这个函数的函数表达式为( ) C A. B. C. D. 2. 一次函数的图象经过点，每当 增加1个 单位时， 增加3个单位，则此函数的表达式是( ) B A. B. C. D. 返回 2 3. 教材P132习题 秤是我国传统的计重工具，称重时， 若秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为 （厘米）时，秤钩所挂 物重为（斤），则是 的一次函数，下表中为若干次称重 时所记录的一些数据.则当秤钩所挂物重是6.9斤时，秤杆上 秤砣到秤纽的水平距离为____厘米. 厘米 1 2 3 4 5 6 斤 0.6 1.3 2 2.7 3.4 4.1 10 返回 3 4.［2025苏州月考］直线与直线平行，且与 轴的交 点和直线与轴的交点为同一点，则 的表达式为 ____________. 4 【点拨】因为直线与直线 平行，所以设 直线的函数表达式为.对于，当 时，，所以直线与轴的交点为 .所以直 线过点.把点代入,得.所以直线 的函数表达式为 . 返回 5.小张加工某种机器零件，工作一段时间后，提高了工作效 率.小张加工的零件总数（单位：个）与工作时间 单位： 之间的函数关系如图所示，则小张提高工作效率前每小时加工零件的个数为_____. 4个 6 【点拨】当 时，设小张加工的零件总 数与工作时间 之间的函数关系式为 ,将和 代入， 得解得所以当 时，小张加工的零件总数与工作时间 之间的函数关系式为 当时， .所以小张提高工作效率前每 小时加工零件 （个）. 返回 7 6.［2025西安碑林区期中］已知一次函数 的图象 经过，两点，坐标原点为 . （1）求， 的值； 【解】把，两点的坐标代入 ， 得解得 8 （2）若一次函数的图象与轴的交点为 ，求一 次函数的图象与坐标轴围成的三角形的面积. 9 由（1）得，，则 . 把代入，得；把 代入 ，得 ； 所以一次函数 的图象与坐标轴的交点坐标是 和 ， 所以一次函数的图象与坐标轴围成的三角形的面积为 . 返回 7. 对于一次函数 ，当 时，，则 的值为( ) D A. 2 B. C. 2或5 D. 2或 【点拨】由一次函数的性质知，当时，随 的增大而 增大，所以解得；当时，随 的 增大而减小，所以解得.所以 的值为2 或 . 返回 11 8. 如图，从光 源发出的一束光，遇到平面镜轴 上 的点后，反射光线交 轴于点 ，若光线 满足的函数关系式 为，则 的值是( ) A A. B. C. D. 12 【点拨】延长交轴于点 ，如图.根据光的 反射可得.因为 , 所以.又因为 ， 因为点在光线 上，所以 ，解得 . ，所以 .所以 .因为，所以.所以 .所以 . 返回 13 9. 已知直线与轴交于点，与 轴交于正半轴，且 直线与两坐标轴围成的三角形的面积为4.将直线 向下平移 个单位得到直线，直线交轴于点，若点 与 点关于轴对称，则 的值为( ) A A. 8 B. 7 C. 6 D. 5 14 【点拨】根据题意,画出示意图如图.设直线 与轴交于点,点的坐标为 . 因为点与点关于轴对称，点 ,所 以点的坐标为.因为直线 与两坐标 轴围成的三角形的面积为4，所以 ,解得.所以点的坐标为.设直线 的表达式为 . 15 把,代入,得 解 得所以.因为直线 由直 线平移得到,所以设直线 的表达式为 .把代入,得 , 解得,所以直线 的表达式为 .所以点的坐标为 .所以 . 返回 10. 如图，在直角坐标系中， ， ，，， 当四边形 周长最小时， 的值是____. 17 【点拨】如图，分别作点关于 轴的对称点为，点 关 于轴的对称点为，连接 ，交 轴于点,交轴于点,此时四边形 周长最小.设直线 的表达式为 18 ，则 解得 所以.当 时， ，解得;当 时， ，所以， .所以 ，.所以 . 返回 11.在一条笔直的道路上依次有，， 三 地，快快同学从地跑步到 地，同时乐乐 同学从地跑步到地，休息 后接到通 知，要求乐乐比快快早到达 地，两 （1）___，乐乐去地的速度为_____ ； 2 200 人均匀速运动，如图所示为两人距地路程 与快快跑步 时间 之间的函数图象. 20 （2）结合图象，求出乐乐从地到 地对应的函数表达式 （写出自变量的取值范围）； 21 【解】设乐乐从地到 地对应的函数表 达式为 . 因为， 在该函数图象上， 所以解得 所以乐乐从地到 地对应的函数表达式 为 . 22 （3）请直接写出两人与 地的距离相等的时间. 23 或或或设线段 对应的 函数表达式为.因为 在 函数图象上，所以，解得 . 所以线段对应的函数表达式为 .①当 时，，解得 ；②当 时，，解得 （不合题意， 24 舍去）;③当 时， 或 ，解得或 ;④当 时，两人距 地的路程相等.综上所述，两 人与地的距离相等的时间为或 或 或 . 返回 12.［2025眉山期末］如图，在平面直角坐标系中，直线 与轴交于点且经过点，直线与 轴 交于点 . （1）求直线 的函数表达式； 26 【解】因为直线经过点 ， 所以.所以 . 设直线的函数表达式为 ， 将，的坐标代入，得 解得 所以直线的函数表达式为 . 27 （2）在线段上找一点，使得与 的面积相 等，求出点 的坐标； 28 ① 如图①，过点作交于 ，由平 行线间距离相等可知，与 的面 积相等. 因为直线的表达式为 ， 所以直线的表达式为 . 29 联立，得解得 所以 . ① （3）轴上有一动点，直线 上有一 动点，若是以线段 为斜边的 等腰直角三角形，请直接写出点 的坐标. 点的坐标为或 . 31 ② 【点拨】易得,所以 .①当点 在上方时，过点作 轴的平行线分别 与过,的轴平行线交于点, ，如图②， 则 . 设点的坐标为，点 的坐标为 . 32 因为 ， ， 所以 . 又因为， ， 所以 . 所以， . ② 所以解得 所以点的坐标为 ； ② ③ ②当点在下方时，过点作 轴的平行线 分别与过,的轴平行线交于点, ，如图 ③，则 . 设点的坐标为，点 的坐标为 . 因为 ， ， 35 所以 . 又因为， ， 所以 . 所以， . 所以解得 所以点的坐标为 . 综上，点的坐标为或 . ③ 返回 $$第五章 二元一次方程组 3 二元一次方程组的应用 第3课时 几何问题与行程问题 1 1. 在长方形 中，放入六个形状、大 小相同的长方形，所标尺寸如图所示，设 小长方形长、宽分别为， ，则下 列方程组正确的是( ) A A. B. C. D. 返回 2 2. 滨德高速是连通滨州德州的重要路线，全长约 .一辆小汽车、一 辆货车分别从滨州、德州两地同时相向开出，经过45分钟相遇， 设 小汽车和货车的速度分别为 ，.可以列出方程组为 则 “……”处省略的条件为( ) C A. 相遇时货车比小汽车多行 B. 相遇45分钟后货车比小汽车多行 C. 相遇时小汽车比货车多行 D. 相遇45分钟后小汽车比货车多行 返回 3 3. 我国古典文学名著《西游记》讲述了孙悟 空、猪八戒、沙和尚保护唐僧西天取经，沿途降妖除魔，历 经九九八十一难，到达西天取得真经修成正果的故事.现请你 欣赏下面描述孙悟空追妖精的数学诗：悟空顺风探妖踪，千 里只用四分钟；归时四分行六百，试问风速是多少？题目的 意思是：孙悟空追寻妖精的行踪，去时顺风， 里只用了 4分钟；回来时逆风，4分钟只走了600里，则风的速度为___ 里/分钟. 50 返回 4 4. 古代中国是世界中心， 诸多技艺均领先世界水平，榫卯 结构就是其中最为 华丽的一点.榫卯是在两个木构件上所采用的一种凹凸结合的 连接方式.已知有若干个相同的木构件，其形状如图①所示. 当3个木构件紧密拼成一列时，总长度为 ，当9个木构 件紧密拼成一列时，总长度为 ，如图②所示，则图① 中的木构件长度为______. 5 【点拨】设题图①中，去掉凸起部分的木构件长度为 ， 凸起部分的长度为，由题意得 解得 所以题图①中的木构件长度为 . 返回 6 5.一列动车组与一列普通列车同向而行，动车组在普通列车 的后面，动车组从追上普通列车到完全超出需16秒；若它们 相向而行，则两车从相遇到完全分开只需 秒.若动车组长度 为180米，普通列车长度为220米，则普通列车的速度是 ____________，动车组的速度是___________. 90千米/时 180千米/时 返回 7 6.甲、乙两地相距74千米，途中有上坡路、平路和下坡路.一 汽车从甲地下午1点出发到乙地是下午3点30分，停留30分钟 后从乙地出发，6点48分返回甲地.已知汽车在上坡路每小时 行驶20千米，平路每小时行驶30千米，下坡路每小时行驶40 千米，则甲地到乙地的行驶过程中平路、上坡路、下坡路分 别是________________________. 30千米、16千米、28千米 8 【点拨】从下午1点到下午3点30分共2.5小时，从下午4点到 下午6点48分共2.8小时.设甲地到乙地的行驶过程中平路是 千米，上坡路是千米，则下坡路是 千米，根据 题意，得整理，得 解 得所以 .所以甲地到 9 乙地的行驶过程中平路是30千米，上坡路是16千米，下坡路 是28千米. 返回 7.［2025武汉江岸区期中］如图，从 至 ，步行走粗线道 需要35分钟， 坐车走曲细线道 需要 22.5分钟，车行驶的路程是 25 至步行路程的3倍，车行驶的路程是至 步行路 程的5倍，已知车速是步行速度的6倍，那么先从至 步行， 再从 坐车所需要的总时间是____分钟. 11 【点拨】设步行速度为，则车速为 ， 设，，则 的路 程为，的路程为 ，根据 题意，得 解得 12 则从步行至，再从 坐车所需 总时间为 （分钟）. 返回 8.现有8个大小相同的小长方形，可拼成如图 ①②所示的图形，在拼图②时，中间留下了一 个边长为2的小正方形，求小长方形的面积. 小明设小长方形的长为，宽为，观察图形得出关于， 的 二元一次方程组，解出， 的值，再根据长方形的面积公式 得出每个小长方形的面积. 14 （1）请按照小明的思路求出每个 小长方形的面积； 【解】根据题意得 解 得 所以 . 所以每个小长方形的面积为60. 15 （2）某周末上午，小明在超市帮妈妈买回 一袋纸杯，他把纸杯整齐地叠放在一起， 如图③所示.当小明把13个纸杯整齐叠放在 一起时，它的高度约是____ ； 20 16 【点拨】设每两个纸杯叠放在一起比单独的 一个纸杯增高 ，单独一个纸杯的高度为 ，则 解得 .所以当 小明把13个纸杯整齐叠放在一起时，它的高度约是 . 17 （3）拓展学习：如图④是由7个正方形组成的长方形，已知 中间小正方形A的边长为1，求这个长方形的面积. 18 如图，设1，2，3号正方形的边长为 ， 则4号正方形的边长为 ，5号正方形 的边长为 ，6号正方形的边长为 ，所以该长方形的长为 或 ，宽为 . 所以，解得 . 所以该长方形的长为9，宽为7. 所以这个长方形的面积为 . 返回 19 9.在数轴上，点表示数，点表示数，点表示数 ， 与的和是 . （1）_____，_____， ____. 10 20 （2）点为数轴上一点，且满足，请求出点 所表示的数. 21 【解】设点所表示的数为 ，根据题意，需要分两种情况： ①当点在线段上时，， ， 所以，解得 ； ②当点在点的右侧时，， ， 所以，解得 . 所以点所表示的数是或 . （3）点为数轴上点右侧一点，甲、乙两点分别从， 出发，相向而行，2分钟后在途中相遇，相遇后，两点的速 度都提高了1个单位长度/分，当甲到达点后立刻按原路向 返行，当乙到达点后也立刻按原路向 点返行.甲、乙两点 在第一次相遇后3分36秒又再次相遇，则, 两点间的距离是 多少个单位长度？ 23 设提速前甲、乙的速度分别为个单位长度/分、 个单位长 度/分，，两点间的距离为 个单位长度， 则提速后甲、乙的速度分别为 个单位长度/分、 个单位长度/分， 根据题意可知， 解得 . 则， 两点间的距离是36个单位长度. 返回 24 $$第五章 二元一次方程组 2 二元一次方程组的解法 第1课时 代入消元法 1 1. 用代入消元法解方程组 时，消去 ，得到关 于 的方程是( ) A A. B. C. D. 返回 2 2. 已知，满足方程组则， 恒有关系式是 ( ) A. B. C. D. C 返回 3. 剪纸艺术是最古老 的中国民间艺术之一，很多剪纸作品体 现了数学中的对称美.如图，蝴蝶剪纸是 一幅轴对称图形，将其放在平面直角坐 7 标系中，若点的坐标为，其关于轴对称的点 的 坐标为，则 ___. 返回 4 4. 下面是小颖同学解方程组 的过程： 解：由①，得 ，③第一步 把③代入①，得 ，第二步 即 ，第三步 所以此方程组无解.第四步 其中，开始出现错误的是第____步. 二 返回 5 5. 下面是小明同学解方程组 的过程的框图表示，请你帮他补充完整： 其中，①为______，②为_______，③为_______. 代入 消去 解得 返回 6 6. 教材P117随堂练习 用代入消元法解下列方程组： （1） 【解】由①得 ,③ 将③代入②，得，解得 . 把代入①，得，解得 . 所以原方程组的解是 7 （2） 8 整理，得 由①得 ，③ 把③代入②，得，解得 . 把代入③，得.所以原方程组的解是 返回 7. ，那么与 的值分别 为( ) D A. B. C. D. 【点拨】因为 ，所以 解得 返回 10 8. 定义一种新运算“ ”，规定 ，其中，为常数，且 ， ，则 ( ) B A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【点拨】因为，且， ， 所以解得所以 .所以 . 返回 11 9. 符号 ，●各代表一个数字，且满足以下两个等 式： ， ，则满足等式 的 的值为( ) D A. 50.4 B. 40.4 C. 30.4 D. 20.4 12 【点拨】设 ，●，则 解得 则 ,●.把 ,●代入 ， 得 ，解得 . 返回 13 10. 若与 是同类项，则 的立方根是____. 【点拨】因为与 是同类项，所以 解得 所以 .因为的立方根是 ，所以 的立方根是 . 返回 14 11.方程组 的解是_ ________________. 或 返回 15 12.若方程组无解，则 的图象不 经过第____象限. 二 16 【点拨】 由①得 . 将③代入②，得 ，所以 .因为方程组 无解，所以 ，所以.当时， ，因 为的图象经过第一、三、四象限，所以 的 图象不经过第二象限. 返回 17 13.嘉淇准备解二元一次方程组时，发现系数“ ” 印刷不清楚. （1）嘉淇把“ ”猜成3，则二元一次方程组的解为_ ________； （2）妈妈说：“你猜错了，我看到该题标准答案中与 是一 对相反数.”则原题中“ ”是___. 5 返回 18 14. 我国古代数学著 作《九章算术》的“方程”一章里， 二元一次方程组是由算筹布置而成 的.如图①，图中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数 ， 的系数与相应的常数项，把图①所示的算筹图用我们现 在所熟悉的方程组的形式表述出来，就是 请你根据图②所示 的算筹图，列出方程组，并求解. 19 【解】依题意，得 由①，得 .③ 把③代入②，得 ，解 得 . 把代入③，得 . 所以方程组的解为 返回 20 15.已知关于，的方程组和 有 相同的解. 21 （1）求出它们的相同解； 【解】由题意得 由②得 .③ 将③代入①，得，解得 . 把代入③，得.所以方程组的解为 （2）求 的值. 把分别代入和 ，得 由①得 .③ 把③代入②，得，解得 . 把代入③，得 . 所以 . 返回 23 16. 阅读材料：小强同学在解方程组 时发现，可将第一个方程通过移项变形为 ，然后把第二个方程中的 换成7，可以很轻松 地解出这个方程组.小强同学发现的这种方法叫作“整体代入 法”，是中学数学里很常用的一种解题方法. 24 （1）请按照小强的解法解出这个方程组； 【解】 由①得 ，③ 把③代入②，得，解得 . 把代入③，得 ， 所以原方程组的解为 25 （2）用整体代入法解方程组 26 由①得 ，③ 把③代入②，得 ， 整理，得，解得 ， 把代入①，得 ， 解得 ， 所以原方程组的解为 （3）已知，满足方程组求 的值. 由①，得 ，③ 把②代入③，得，解得 . 返回 28 $$第五章 二元一次方程组 测素质 二元一次方程与一次函数 1 ［时间：45分钟 分值：100分］ 一、选择题（每题5分，共40分） 1. 若二元一次方程所对应的直线是 ，则下列各 点不在直线 上的是( ) B A. B. C. D. 2. 若以关于,的二元一次方程 的解为坐标的 点都在直线上，则常数 的值为( ) C A. 0 B. C. 2 D. 1 返回 2 3. 已知关于，的二元一次方程组 无 解，则一次函数 的图象经过( ) A A. 第一、二、四象限 B. 第二、三、四象限 C. 第一、三、四象限 D. 第一、二、三象限 返回 3 4. 生物学研究表明，某种蛇在一定生长阶 段，其体长是尾长 的一次函数，部分数据如下表 所示，则与 之间的关系式为( ) 尾长 6 8 10 体长 45.5 60.5 75.5 A A. B. C. D. 返回 4 5. 已知方程的解是，则函数 的图 象可能是( ) D A. B. C. D. 返回 5 6. 已知直线与直线关于轴对称，则直线 的 表达式是( ) A. B. C. D. D 返回 7. 如图，佳佳设计了一种 挖宝游戏，屏幕上正方形 内是宝藏区 （含正方形边界），其中， ， 沿直线 行走，则游戏者能够挖到 宝藏时 的取值范围为( ) C A. B. C. D. 返回 7 8. 如图表示的是某公司一种产品30天的销售情况，其中图① 是该产品日销售量（件）与时间 （天）的函数图象，图② 是该产品单件的销售利润（元）与时间 （天）的函数图象. 下列结论错误的是( ) C A. 第25天的销售量为200件 B. 第6天销售一件产品的利润是19元 C. 第20天和第30天的日销售利润相等 D. 第18天的日销售利润高于第25天的日销 售利润 8 【点拨】A、根据题图①可得第25天的 销售量为200件，故此选项正确，不符 合题意；B、设当 时，单件 产品的销售利润（元）与时间 （天）的函数关系式为 ,把 ， 代入，得 解得 9 所以.当 时， ,故此选项正确，不 符合题意；C、当 时，设产 品日销售量（件）与时间 （天）的函 数关系式为，把 ， 代入得 解得 所以.当 时，日销售利润为 （元）； 当 时，日销售利润为 （元），所以第20 天和第30天的日销售利润不相等，故此 选项错误，符合题意；D、当 时， 日销售利润为 （元）;当 时，日销售利润为 （元）.所以第18 天的日销售利润高于第25天的日销售利 润，故此选项正确，不符合题意.故选C. 返回 二、填空题（每题6分，共24分） 9.已知直线与直线的交点的坐标为 ， 那么方程组 的解为_________. 10.若一次函数，且,为常数，当自变量 满足时，对应的函数值满足，则 的值是______. 1或 返回 13 （第11题） 11. 如图，小强和小红一起 搭积木，小强所搭的“小塔”的高度为 ，小红所搭的“小树”的高度为 ，设每块型积木的高为 ，每 块型积木的高为，则___， ___. 4 返回 14 （第12题） 12.如图①,在某个盛水容器内,有一个 小水杯,小水杯内有部分水.现在匀速持 续地向小水杯内注水,注满小水杯后,继 续注水,小水杯内水面的高度 和 注水时间 之间的关系如图②所示, 则至少需要___ 才能把小水杯注满. 5 返回 15 三、解答题（共36分） 13.（15分）在平面直角坐标 系中，一次函数 的 图象如图所示. 16 （1）在同一平面直角坐标系中，作出一次函数 的 图象； 【解】如图所示. 17 （2）利用图象解方程组： 由（1）中的图象可以看出两直线的交点坐 标为，所以方程组 的解为 18 （3）求一次函数与 的 图象与 轴围成的三角形的面积. 易得一次函数的图象与 轴的交点 坐标为，一次函数的图象与 轴的交点坐标为 ，所以一次函数与的图象与 轴 围成的三角形的面积为 . 返回 19 14.（21分）区间测速是指在某一路段前后设置两 个监控点，根据车辆通过两个监控点的时间来计算 车辆在该路段上的平均行驶速度.小春驾驶一辆小 型汽车在高速公路上行驶，其间经过一段长度为 的区 间测速路段，从该路段起点开始，他先匀速行驶 ，再 立即减速以另一速度匀速行驶（减速时间忽略不计），当他 到达该路段终点时，测速装置测得该辆汽车在整个路段行驶 的平均速度为 .汽车在区间测速路段行驶的路程 与在此路段行驶的时间 之间的函数图象如图所示. 20 （1） 的值为__； 21 （2）当时，求与 之间的函数关 系式； 【解】设当时，与 之间的函数关 系式为 ，则 解得 所以 . 22 （3）通过计算说明在此区间测速路段内， 该辆汽车减速前是否超速. 此路段要求小型 汽车行驶速度不得超过 当时， ， 所以减速前的速度为 . 因为 ，所以该辆汽车减速前没有 超速. 返回 23 $$第五章 二元一次方程组 第五章综合素质评价 1 ［时间：60分钟 分值：100分］ 一、选择题（每题4分，共32分） 1. 在下列方程组： 中，是二元一次方程组的是( ) B A. ①③ B. ①④ C. ①② D. 只有① 返回 2 2. 已知方程组 下列消元过程不正确的是 ( ) C A. 代入法消去，由②得 代入① B. 代入法消去，由①得 代入② C. 加减法消去， D. 加减法消去， 返回 3 3. ［2025北京海淀区月考］下表是一次函数和 图象上部 分点的坐标： … 0 1 2 3 … … 2 5 … … 0 … 则方程组 的解为( ) B A. B. C. D. 返回 4 4. ［2025晋中期末］若 ，则 的倒数是( ) C A. 2 B. C. D. 5. 解方程组时，甲同学正确解得 乙同 学因把写错而得到 则 ( ) C A. B. C. 22 D. 29 返回 5 6. 如图，利用两块相 同的长方体木块（阴影部分）测量一 件长方体物品的高度，首先按图①方 式放置，再按图②方式放置，测量的 数据如图所示，则长方体物品的高度 是( ) C A. B. C. D. 返回 6 7. 在大禹治水的 时代，有一种神龟背负着一张神 秘的图浮出洛水，吉祥献瑞，后 世称之为“洛书”.当后人将“洛书” C A. 7 B. 9 C. 13 D. 15 上的数填在图①的表中时发现：每行、每列、每条对角线上 的三个数字之和相等，像这样的数字方阵，称为“幻方”，如 果图②也是一个“幻方”.则 的值为 ( ) 返回 7 8. 已知关于,的二元一次方程组 下列结论 中正确的是( ) D ①当这个方程组的解,的值互为相反数时， ； ②当时，方程组的解也是方程 的解； ③无论取什么实数， 的值始终不变； ④若用表示，则 . A. ①② B. ②③ C. ②③④ D. ①③④ 8 【点拨】关于, 的二元一次方程组 ，得 ,即 .当这个方程组的解, 的值互为相反数，即 时，，所以 ，故①正确；原方程 组的解满足,当时， ，而方程 的解满足 ，故②不正确；由方程组 9 得 所以 ，故③正确；由 ,得 ,所以④正确.故选D. 返回 二、填空题（每题5分，共20分） 9.如果方程组 与方程组 有相同 的解，则 ___. 1 返回 11 10.将四个完全相同的直角三角形分别拼成正方形 （如图①②），边长分别为6和2.若以一个直角三角形的两条 直角边为边向外作正方形（如图③），其面积分别为， ， 则 ____. 12 返回 12 11. 对于实数，，定义关于“ ”的一种运 算：，例如： .若 ，，则 的值是___. 1 返回 13 12.某货运公司临时接到一个任务，从工厂同时运送， 两 种货物各20箱到展馆.货运公司调派甲货车运送 种货物，乙 货车运送种货物，种货物每箱，种货物每箱 . 因为两种货物包装箱完全一样，装运工人一时疏忽，使得两 车虽然所装货物数量正确，但部分货物却装混了.运送途中安 检时，两车过地秤，发现甲车比乙车的货物重 ，则甲 车有___箱货物装错. 2 14 【点拨】设甲车装了种货物箱，种货物 箱，则乙车装 了种货物箱，种货物 箱，根据题意得 解得，所以甲车装了18箱种货物和2箱 种货物，乙 车装了2箱种货物和18箱 种货物，所以，甲车有2箱货物装错. 返回 15 三、解答题（共48分） 13.（10分）解方程组： （1） 【解】,得，解得 . 将代入①，得，解得 . 所以原方程组的解是 16 （2） 把③分别代入①②，得解得 把代入③，得 . 所以原方程组的解是 返回 17 14.（12分）已知关于,的方程组 （1）请直接写出方程 的所有正整数解； 【解】因为，且, 均为正整数， 所以或 18 （2）无论数取何值，方程 总有一个固 定的解，请直接写出这个解； 这个解为 （3）若方程组的解满足，求 的值； 联立解得 把代入 ，得 ，解得 . 20 （4）若方程组的解中恰为整数，也为整数，求 的值. ，得，所以 . 因为,均为整数，所以或 ， 所以或 . 返回 21 15.（12分） 根据素材，探索完成任务. 【背景】深圳某学校在组织开展知识竞赛活动，王老师现准 备去奶茶店购买A，B两种款式的奶茶作为奖品. 【素材1】若买10杯A款奶茶，5杯B款奶茶，共需160元：若 买15杯A款奶茶，10杯B款奶茶，共需270元. 22 【素材2】为了满足市场的需求，奶茶店推出每杯2元的加料 服务，顾客在选完款式后可以自主选择加料一份或者不加料. 【素材3】王老师用了380元购买，两款奶茶，其中 款不 加料的杯数是总杯数的 . 23 【任务1】 问：A款奶茶和B款奶茶的销售单价各是多少元？ 【解】设A款奶茶的销售单价是 元，B款奶茶的销售单价是 元， 由题意得解得 所以A款奶茶的销售单价是10元，B款奶茶的销售单价是12元. 24 【任务2】 在不加料的情况下，购买A，B两种款式的奶茶 （两种都要），刚好花220元，请问有几种购买方案？ 设购买A款奶茶杯，B款奶茶 杯， 由题意得，整理得 . 因为， 均为正整数， 所以或或 所以有3种购买方案. 25 【任务3】 求王老师购买的奶茶中，B款加料的奶茶买了多少杯. 设购买的奶茶中，A款不加料的奶茶买了 杯，A款加料的奶 茶和B款不加料的奶茶共买了 杯，则B款加料的奶茶买了 （杯）， 26 由题意得 ， 整理得 . 因为，， 均为正整数， 所以所以 . 所以B款加料的奶茶买了3杯. 返回 27 16.（14分）如图，在平面直角坐标系 中，点，均在轴上，点 在第一象 限，直线与轴交于点 ，且直线 上所有点的坐标 都是二元一次 方程的解，直线 上所有 点的坐标都是二元一次方程 的解. 28 （1）点的坐标为_______，点 的坐标为 ______.求点 的坐标时，小聪是这样想的： 先设点的坐标为.因为点在直线 上，所以是方程 的解.又因 为点在直线上，所以是方程 的解.从而 ， 满足 据此可求出点 的坐标为_____. 29 （2）求四边形 的面积. 30 【解】因为直线与轴交于点 ，所以 . 如图①，连接 ， 则 . 31 （3）点是线段上一点，若点的纵坐标 ，则 点的横坐标 的取值范围是__________. 32 （4）在轴上是否存在点，使的面积等于 面 积的？若存在，请求出点 的坐标；若不存在，请说明理由. 33 存在. 易得 . 设点 ，如图②， 当点在直线上方时， ，易得 ，解得,所以 ； 当点在直线下方时， ，易得 ，解得,所以 . 所以符合条件的点存在，其坐标为或 . 返回 34 $$