第四章 一次函数 复习巩固课件 2024—2025学年北师大版（2024）数学八年级上册

第四章 一次函数 专题12 利用一次函数解决实际生活 中的问题 1 类型1 最大利润问题 1.某公司经营甲、乙两种特产,其中甲特产每吨成本价为10万 元,销售价为10.5万元;乙特产每吨成本价为1万元,销售价为 1.2万元,由于受有关条件限制,该公司每月这两种特产的销售 量之和都是，且甲特产的销售量都不超过 . 2 （1）若该公司某月销售甲、乙两种特产的总成本为235万元, 问这个月该公司分别销售甲、乙两种特产各多少吨? 【解】设这个月该公司销售甲特产 ,则销售乙特产 .根据题意,得 ,解得 ,所以.所以这个月该公司销售甲特产 ， 销售乙特产 . 3 （2）求该公司一个月销售这两种特产所能获得的最大总利润. 设总利润为万元，销售甲特产 吨，根据题意得 .因为 ,,所以当时， 取得最大值，此时 .所以该公司一个月销售这两种特产 所能获得的最大总利润是26万元. 返回 4 类型2 选择方案问题 2.［2025西安碑林区期中］某电动车保管处对于停放的电动 车，有两种收费方案：方案一：每辆电动车办卡每月15元， 每停放一天收费0.5元；方案二：无管理费，每辆电动车每停 放一天收费1.5元.设方案一中一辆电动车每月所需的总保管 费为 （元），方案二中一辆电动车每月所需的总保管费为 （元），一辆电动车每月停放的天数为 （天）. 5 （1）直接写出一辆电动车每月的总保管费（元）， （元） 与每月停放的天数 （天）之间的关系式； 【解】 ， . 6 （2）张阿姨每月骑电动车上班22天，她打算将电动车停放 在此保管处，选择哪种方案比较省钱？ 当时，， . 因为 ，所以选择方案一比较省钱. 返回 3.［2025雅安期中］为提高我校学生的身体素质，我校兴趣 课除开设篮球课和足球课外拟增加排球垫球课.现计划购买一 批排球，两家体育用品商店分别推出了自己的优惠方案： A商店：若一次性购买超过20个，超过部分按每个排球标价 的八折出售. 8 B商店：若一次性购买超过15个，超过部分按每个排球标价 的九折出售，然后每个再优惠10元. 设用字母 表示购买排球的数量，字 母 表示购买排球的价格，其函数图 象如图所示. 9 （1）求每个排球的标价是多少元； 【解】A商店排球的标价为 （元/个），B商店 排球的标价为 （元/个）， 所以两个商店排球的标价是一样的. 所以每个排球的标价是120元. 10 （2）请分别求出：当 时，A商店 的应付总价与数量 之间的函数关系式； 当时，B商店的应付总价 与数量 之间的函数关系式； 当 时， . 当 时, . 11 （3）根据图象直接写出选择哪家商 店购买排球更优惠. 由题图可知， 当或 时，在A，B 两家商店购买排球所付的钱数相同； 当 时，选择B商店更优惠； 当 时，选择A商店更优惠. 返回 12 类型3 行程问题 4. 某校与部队联合开展红 色之旅研学活动，上午 ，部队官兵 乘坐军车从营地出发，同时学校师生乘坐 大巴从学校出发，沿公路（如图①）到爱国主义教育基地进 行研学.上午，军车在离营地 的地方追上大巴并继 续前行，到达仓库后，部队官兵下车领取研学物资，然后乘 坐军车按原速前行，最后和师生同时到达基地，军车和大巴 离营地的路程与所用时间 的函数关系如图②所示. 13 （1）求大巴离营地的路程与所用时间的函数表达式及 的值； 14 【解】大巴的速度为 ，所以大巴离营地的 路程与所用时间的函数表达式为.当 时，，解得 . 15 （2）求部队官兵在仓库领取物资所用的时间. 16 由题图②可得，军车速度为 ， 设部队官兵在仓库领取物资所用的时间为 ， 根据题意，得，解得 . 所以部队官兵在仓库领取物资所用的时间为 . 返回 17 类型4 分段计费问题 5.目前，某市对市区居民用气户的燃气收费,以户为基础、年 为计算周期设定了如下表的三个气量阶梯： 18 阶梯 第一阶梯 第二阶梯 第三阶梯 年用 气量 （含400）的部分 （含 ）的部分 以 上的部分 收费 标准 2.67元/ 3.15元/ 3.63元/ 备注 若家庭人口超过4人的,每增加1人,第一、二阶梯年用 气量的上限分别增加， （1）一户家庭人口为3人,年用气量为 ,则该年此户需 缴纳燃气费用为_____元; 534 19 （2）一户家庭人口不超过4人,年用气量为 , 该年此户需缴纳燃气费用为元,求与 的函数表达式; 【解】根据题意，得 ,所以与 的函数表达式为 . 20 （3）甲户家庭人口为3人,乙户家庭人口为5人,某年甲户、乙 户缴纳的燃气费用均为3 855元,求该年乙户比甲户多用多少 立方米的燃气.（结果精确到 ） 因为 （元） 元,所以甲户该年的用气量达到了第三阶梯.由（2）知， 当时，,解得 .又因 21 为（元）元,且 （元） 元,所以乙户该年的用气量达到第二阶梯，但 未达到第三阶梯.设乙户年用气量为 ，则有 ，解得 , . 答：该年乙户比甲户多用约 的燃气. 返回 $$第四章 一次函数 2 认识一次函数 第2课时 认识一次函数 1 1. 下列关系中，属于成正比例函数关系的是( ) A. 正方形的面积与边长 B. 三角形的周长与边长 C. 圆的面积与它的半径 D. 速度一定时，路程与时间 √ 返回 2 2. 下列函数：；； ； ； .其中一次函数的个数是 ( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 √ 返回 3. 教材P81尝试·思考 已知汽车油箱内有油 ,每行 驶耗油,则汽车行驶过程中油箱内剩余的油量 （单位：）与行驶路程（单位： ）之间的函数表达式是 ( ) A. B. C. D. 4.已知函数是正比例函数,则 ____. √ 返回 4 5. 教材P81例1 写出下列各题中与 之间的函数关系式, 并判断是否为 的一次函数？是否为正比例函数？ （1）小红去商店买笔记本,每本笔记本2.5元,小红所付买笔记 本的钱（单位：元）与所买笔记本的本数 （单位：本）之 间的关系; 【解】由题意得,是 的一次函数，且是正比例函数. 5 （2）一辆汽车由北京驶往相距 的天津,它的平均速度 是,汽车距天津的路程（单位：）与行驶时间 （单位： ）的关系. 由题意得,是的一次函数，不是 的正比例 函数. 返回 6 6. 如图①，“燕几”即宴几，是世界 上最早的一套组合桌，由北宋进士黄伯思设计.全 套“燕几”一共有七张桌子，包括两张长桌、两张中 A. B. C. D. 桌和三张小桌，每张桌面的宽都相等.七张桌面分开可组合成 不同的图形.如图②给出了《燕几图》中名称为“回文”的桌面 拼合方式，若设每张桌面的宽为尺，长桌的长为尺，则 与 的关系可以表示为 ( ) √ 7 【点拨】由题图可知，“回文”的桌面的总面积为 ，其中每张长桌的桌面面积为 ，每 张中桌的桌面面积为 ，每张小桌的桌面面积 为．根据题意，得 ， 解得 ． 返回 8 7. 定义为一次函数 的特征数, 即一次函数的特征数为,若特征数为 的一次函数为正比例函数,则 的值为____. 返回 9 8.学校食堂按如图方式摆放餐桌和椅子.若用 表示餐桌的张 数，表示椅子的把数，请你写出椅子数 （单位：把）与餐 桌数 （单位：张）之间的函数关系式：___________. 【点拨】观察题图知时，；时， ； 时， ；…；可见每增加一张桌子，便增加2把椅子， 所以张餐桌共有把椅子.故函数关系式为 . 返回 11 9.［2025合肥蜀山区期中］已知函数 . （1）当， 为何值时，此函数是一次函数？ 【解】由题意，得 ， 解得 ， 因为，所以，所以 . 所以当， 为任意实数时，这个函数是一次函数. 12 （2）当， 为何值时，此函数是正比例函数？ 由题意，得， ， 解得， . 因为，所以,所以 . 所以当， 时，这个函数是正比例函数． 返回 13 10.一种计算成年人标准体重（单位： ）的方法是：以厘 米为单位量出身高值，再减去常数105，所得差就是 的值. （1）写出标准体重与身高 之间的函数关系式. 【解】根据题意得标准体重与身高 之间的函数关系式是 . （2）阿卓的身高为 ，试计算他的标准体重. 把代入，得 . 答：他的标准体重是 . 14 （3）阿牛的体重为 ，刚好为标准体重，试计算他的身 高是多少厘米？ 把代入，得 ， 解得 . 答：他的身高是 . 返回 15 11. 灯彩（洛阳宫灯）是国家级非物质 文化遗产之一.古朴典雅，款式多样，彩绘蕴蓄，是生活的真 实写照，给人以美的享受.李老师计划购进一批灯彩，已知甲、 乙两个商店的标价都是每个10元.两商店售卖方式如下：设李 老师购买灯彩的个数为 （单位：个），甲商店所需费用为 元，且；乙商店所需费用为 元. 16 甲商店 乙商店 购买一张会员卡， 享受会员价， 每个灯彩可按标价的七折卖； 不购买会员卡， 每个灯彩可按标价的九折 卖. （1）甲商店一张会员卡的价格为_____元； 100 （2）求 的函数表达式； 【解】依照乙商店的售卖方式可得 . 17 （3）若李老师准备买40个灯彩，则选哪个商店比较合算， 请说明理由. 选乙商店比较合算.理由如下： 当时， ; . 因为 ， 所以选乙商店比较合算． 返回 18 12. 如图是用棋子摆成的“上”字图案，按照 这种规律继续摆下去，通过观察、对比、总结，找出规律， 解答下列问题. （1）摆成图①需要___枚棋子，摆成图②需要____枚棋子. 6 10 19 （2）设摆成图 需要的棋子数为，请用含 的代数式表示 ，并判断关于 的函数关系是不是一次函数. 【解】,关于 的函数关系是一次函数. 20 （3）计算一下摆第50个图形需要多少枚棋子？ 因为 （枚）， 所以摆第50个图形需要202枚棋子. 21 （4）八（1）班有46名学生，把每名学生当成一枚“棋子”， 能否让这46枚“棋子”按照以上规律恰好站成一“上”字？若能， 请问能站成图几？并计算最下面一“横”的学生数. 22 能.，解得 . 根据图①最下面的一“横”需要3枚棋 所以能站成图⑪,最下面一“横”有23名学生. 子，图②最下面的一“横”需要5枚棋子，图③最下面的一“横” 需要7枚棋子，图④最下面的一“横”需要9枚棋子，可以推出 图 最下面的一“横” 需要 枚棋子，所以图⑪最下面 的一“横”需要 （枚）棋子. 返回 23 $$第四章 一次函数 2 认识一次函数 第3课时 分段函数 1 1.某市为鼓励市民节约使用燃气，对燃气进行分段收费，每 月使用11立方米以内（包括11立方米）每立方米收费2元，超 过部分按每立方米2.4元收取.如果某户的燃气使用量是 立方 米（超过11），那么燃气费用与 的函数关系式是_______ ________. 2 【点拨】某户的燃气使用量是立方米（ 超过11），所以超 过部分为 立方米.因为每月使用11立方米以内 （包括11立方米）每立方米收费2元，超过部分按每立方米 2.4元收取，所以未超过部分的费用为 （元）， 超过部分的费用为元，所以燃气费用与 的函数 关系式是 . 返回 3 2. 教材P83例3 某市自来水公司为了鼓励市民节约用水， 于三月开始采用以用户为单位按月分段收费办法收取水费， 三月底以前按原收费标准收费.两种收费标准见下表： 4 原收费标准 新按月分段收费标准 每吨2元 （1）每月用水不超过10吨（包括10吨）的用 户，每吨收费1.8元； （2）每月用水超过10吨的用户，其中的10吨 按每吨1.8元收费，超过10吨的部分，按每吨 元收费 . （1）居民甲三月份、四月份各用水20吨，但四月份比三月 份多交水费8元，求上表中 的值； 【解】根据题意得 ，解得 . 6 （2）若居民甲五月份用水（单位：吨），应交水费 （单位：元），求与 之间的关系式. 当时，与之间的关系式为 ； 当时，与 之间的关系式为 . 即与之间的关系式为 返回 7 3.某商品的定价是每千克5元，元旦期间，该商品推出优惠活 动，若一次购买该商品的数量超过2千克，则超过2千克的部 分，价格打八折；若一次购买的数量不超过2千克 （含2千克），仍按原价付款. （1）根据题意，填写下表. 购买的数量/千克 1.5 2 3.5 4 … 付款金额/元 7.5 ____ 16 ____ … 10 18 8 （2）若一次购买的数量为千克，在 的条件下，付款 金额（单位：元）与 （单位：千克）之间的关系式为 ____________. （3）若某顾客一次购买该商品花费了68元，求该顾客购买 商品的数量. 【解】依题意，得，解得 ， 所以该顾客购买商品的数量为16.5千克. 返回 9 4. 如图，已知长方形 中， , , 为边的中点， 为长 方形边上的动点,动点 以每秒4个 单位的速度从点 出发,沿着运动到点停止.设点 运动的时间 为秒，的面积为 . 10 （1）当时,的值是____;当 时， 的值是_____. 96 160 【点拨】当时， ,所 以的面积 ;当 时， ，所以 .所以 的面积 . 11 （2）求出在点的运动过程中,与 之间的函数关系式. 12 【解】①当时，点在 上（如图①），此时 ,所以的面积 ; ②当时，点在 上（如图②），此时 ,则 , 所以 的面积 ; 13 ③当时，点在 上（如图③），此时 ,所以 的面积 . 综上，与 之间的函数关系式为 返回 14 $$第四章 一次函数 全章热门考点整合应用 1 考点1 函数的概念 1. 下列关系式中，不是 的函数的是( ) A. B. C. D. √ 返回 2 2. 下列选项分别给出了变量与之间的对应关系，其中 不 是 的函数的是( ) A. B. C. D. √ 返回 3 3. ［2025运城期中］下列与之间的关系中，是 的正比 例函数的是( ) A. 正方形的面积与它的边长 之间的关系 B. 用长的绳子围成一个长方形，其中一边长 与它 邻边 之间的关系 C. 小明以每分钟65米的速度步行上学，他所走的路程 与时间 之间的关系 D. 汽车油箱中有汽油，行驶过程中剩余油量 与耗油 量 之间的关系 √ 返回 4 4.当，为何值时， . （1）是一次函数； 【解】当，且 时， 是一次函数，所以 .所以当 ，为任意实数时， 是一 次函数. 5 （2）是正比例函数. 当，且 时， 是正比例函数，所以 ， .所以当，时， 是正比例函数. 返回 6 考点2 函数的图象 5. 一个温度计从一杯热茶中取出之后，立即 被放入一杯凉水中，此时温度计所显示的温度随时间的变化 而变化，下列可以近似地表示温度计所显示的温度与时间 之间的关系的图象是( ) A. B. C. D. √ 返回 7 考点3 一次函数的图象和性质 6. 一次函数和 的图象可能是 ( ) A. B. C. D. √ 返回 8 7. 已知点,,都在直线 上， 则,, 的大小关系是( ) A. B. C. D. √ 返回 9 8. ［2025深圳月考］某条公共汽车线路收支差额 与乘客量 的函数关系如图所示（收支差额 车票收入-支出费用），由于目前本条线路亏损，公司有关人员提出了 两条建议:建议（Ⅰ）不改变支出费用，提高车票价格；建议（Ⅱ）不改变 车票价格，减少支出费用,下面给出的四个图形中，实线和虚线分别表示 目前和建议后的函数关系，则下列说法正确的是( ) A. ①反映了建议（Ⅱ），③反映了建议（Ⅰ） B. ②反映了建议（Ⅰ），④反映了建议（Ⅱ） C. ①反映了建议（Ⅰ），③反映了建议（Ⅱ） D. ②反映了建议（Ⅱ），④反映了建议（Ⅰ） √ 返回 10 考点4 一次函数与一元一次方程 9. 直线过点,,则关于 的方程 的解为( ) A. B. C. D. √ 返回 11 10. 如图，一次函数和 的 图象相交于点，则方程 的解为( ) A. B. C. D. √ 12 【点拨】因为点在直线 上，所以 ，解得.所以点 的坐标为 .因为一次函数和 的 图象相交于点，所以 ， 解得.所以方程可化为 ，解得 . 返回 13 考点5 确定一次函数表达式 11.如图，点，点在 轴负半轴上， ，为线段上一点， 轴，垂足为点，轴，垂足为点 . （1）点 的坐标为_______； 14 （2）求直线 的表达式； 【解】设直线的表达式为 ， 把点和点 的坐标分别代入， 得,,解得 ，所以直 线的表达式为 . 15 （3）若点的横坐标为 ，求长方形 的面积. 把代入 ，得 ，所以 .所以 ，.所以长方形 的面积 . 返回 16 考点6 一次函数的实际应用 12.某游泳馆普通票价为20元/次，暑假为丰富学生的假期生 活，特推出两种学生优惠卡： ①畅游卡，每张售价500元，每次游泳凭卡不再收费； ②学生卡，所需费用（元）与游泳次数 （次）的关系如图 中射线 所示. 17 暑假普通票正常出售，两种学生优惠卡仅 限学生暑假期间使用，不限次数. （1）填空：____，____，点 的坐标为_________； 20 30 （2）设小明计划暑假期间游泳 次， 请根据函数图象，直接写出选择哪种消 费方式合算？ 【解】当时，选择普通票合算；当 时，普 通票和学生卡费用相同，均比畅游卡合算；当 时， 选择学生卡合算；当 时，畅游卡和学生卡费用相同， 均比普通票合算；当 时，选择畅游卡合算. 返回 19 思想 分类讨论思想 13.如图，直线与轴、 轴分 别交于点，.点的坐标为 ，点 是这条直线上的一个动点，点 的 坐标为 . （1）求 的值； 【解】将点的坐标代入，得 ， 解得 . 20 （2）若点 是第二象限内的这条直线上的一个动点.当 点运动过程中，试写出的面积与 的函数关系式； 21 由（1）得该直线的表达式为 . 因为，所以 . 又因为，且点 在第二象限， 所以 . 所以 . 22 （3）若的面积为，求所有符合条件的点 的坐标. 23 当时， ，解得 . 当时， , 解得 ， 所以点的坐标为 . 24 当时， ，解得 , 所以点的坐标为 . 综上，点的坐标为或 . 返回 $$第四章 一次函数 测素质 一次函数的图象与性质 1 ［时间：45分钟 分值：100分］ 一、选择题（每题4分，共32分） 1. 若函数是一次函数，则 的值为 ( ) A. B. C. 2 D. 0 2. 下列各点中，在一次函数 的图象上的是 ( ) A. B. C. D. √ √ 返回 2 3. 下列是关于一次函数 的结论： 随 的增大而减小. ②图象与直线 平行. ③图象与轴的交点坐标是 . ④图象经过第一、二、四象限. 其中正确的有( ) A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 √ 返回 3 4. ［2024陕西］一个正比例函数的图象经过点 和点 .若点与点 关于原点对称，则这个正比例函数的表 达式为( ) A. B. C. D. 5. 在平面直角坐标系中，若将直线 向下平移3 个单位后，恰好经过原点，则直线与 轴的交点 坐标是( ) A. B. C. D. √ √ 返回 4 6. ［2025苏州月考］一次函数与 ，它们 在同一坐标系内的图象可能为( ) A. B. C. D. √ 返回 5 （第7题） 7. ［2025成都双流区期末］如图，已知线 段端点的坐标分别为， ， 若一次函数的图象与线段 有 交点，则 的取值范围是( ) A. B. C. D. √ 返回 6 （第8题） 8. 如图，在平面直角坐 标系中，在直线和 轴之间由小 到大依次画出若干个等腰直角三角形 （图中所示的阴影部分），其中一条直 角边在轴上，另一条直角边与 轴垂直， A. B. C. D. 则第100个等腰直角三角形的面积是 ( ) √ 7 （第8题） 【点拨】当时， ,所以第1个 等腰直角三角形的直角边长为1.所以第1个等腰 直角三角形的面积为；当 时， ,所以第2个等腰直角三角形 的直角边长为2.所以第2个等腰直角三角形的面积为 ;当时， ，所以第3个等腰直 8 角三角形的直角边长为4.所以第3个等腰直角三 角形的面积为 ; 依此规律，第100 个等腰直角三角形的面积为 . （第8题） 返回 二、填空题（每题5分，共20分） 9.在平面直角坐标系中,已知一次函数 的图象经过 ,两点.若，则___.（填“ ”“ ”或“ ”） 返回 10 10.按如图所示的程序计算函数的值，若输入的 值为3，则 输出 的结果为___. 9 返回 11 11.在“探索一次函数的系数， 与图 象的关系”活动中，老师给出了平面直角坐标系 中的三个点（如图）：，， . 5 同学们画出了经过这三个点中每两个点的一次函数的图象， 并得到对应的函数表达式 ， ，，分别计算 ， ， 的值，其中最大的值等于___. 返回 12 12.直线 恒过一定点,则该点的坐标是______; 在平面直角坐标系中有三点,, ,若直线 将分成左、右面积之比为 的两部 分,则 的值是___. 3 【点拨】因为,所以当 时，.所以直线恒过点 .因为直线 将分成左、右面积之比为 的两部 分，所以易知直线过点 .所以 ,解得 . 返回 13 三、解答题（共48分） 13.（10分）已知与成正比例，当时， . （1）求与 之间的函数表达式； 【解】设与的函数表达式为.因为当 时， ，所以，解得.所以与 的函数表达式为 . 14 （2）请判断点 是否在这个函数的图象上，并说明理由. 点不在这个函数的图象上.理由：把 代入 ，得,所以点 不在这 个函数的图象上． 返回 15 14.（12分）［2025扬州月考］在 平面直角坐标系中画出一次函数 的图象. 16 【解】因为，所以当时，，当 时，可得，解得 ， 所以该直线与轴的交点坐标为，与 轴的交点坐标为 . 所以一次函数 的图象如图所示. 17 （1）求该直线与坐标轴围成的三角形 的面积； 易知该直线与坐标轴围成的三角形的面 积为 . 18 （2）若该一次函数图象上的点到轴的距离是2，求点 的 坐标. 19 因为一次函数图象上的点到 轴的距离是2， 所以点的纵坐标是2或 . 当点的纵坐标是时，可得 ， 解得，此时点的坐标为 ； 当点的纵坐标是2时，可得 ， 解得 ， 此时点的坐标为 . 综上所述，点的坐标为或 ． 返回 20 15.（12分）如图，直线与 轴相交于点，与轴相交于点 . （1）求 的面积； 【解】直线与 轴相交于点 ，与轴相交于点，所以易得点，点 .所以 ，.所以的面积 . 21 （2）若为轴上一点，且 的面 积是12，求点 的坐标； 22 设点.因为 的面积是12， 所以 ，即 ， 解得 或7. 所以点的坐标为或 . （3）若是轴上一点，且 ， 求点 的坐标. 因为， ， 所以 . 因为，所以 . 所以点,0或 ,0 ． 返回 24 16.（14分）如图,直线 与直 线相交于点 . （1）求, 的值; 【解】因为点 在直线 上, 所以.所以点 的坐标为 . 因为点在直线 上, 所以.所以 . 25 （2）垂直于轴的直线与直线, 分别交于点,,若线段的长为2,求 的 值. 由（1）知直线的表达式为 . 根据题意可知, 的坐标可分别表示为 ，.因为 ,所以 ,解得或 . 返回 26 $$第四章 一次函数 1 函数 1 1. ［2025郑州中原区月考］下列各图象中，不是 的函数的 是( ) C A. B. C. D. 返回 2 2. 如图是一支温度计的示意图,图中左边是用摄氏温度表示的温 度值,右边是用华氏温度表示的温度值,下表是这两个温度值之间 的部分对应关系: 摄氏温度值 0 10 20 30 40 50 华氏温度值 32 50 68 86 104 122 根据以上信息,可以得到与 之间的关系式为( ) A A. B. C. D. 返回 3 3. 下列关系式中，当自变量时，函数值 的是 ( ) B A. B. C. D. 4.下列式子:;; ; ，其中具有函数关系（自变量为 ）的是 ______.（填序号） ①② 5.函数的自变量 的取值范围是_____________. 且 返回 4 6. 教材P77习题 蛇的体温随外部环境温度的变化而 变化.一条蛇在两昼夜之间的体温变化情况如图所示. 5 （1）第一天,蛇体温的变化范围 是什么?它的体温从最低上升到最 高需要多少时间? 【解】由题图可知第一天即横坐 标在0到24之间，在此范围内图象的最高点坐标是 ， 最低点坐标是，故蛇体温的变化范围是 ，它 的体温从最低上升到最高需要 . 6 （2）若用表示时间（单位:）,表示蛇的体温（单位: ）, 将相应数据填入下表: 4 12 20 28 32 40 48 ____ ____ ____ ____ ____ ____ ____ 35 39 39 35 37 40 36 7 （3）是 的函数吗? 是 的函数. 返回 8 （第7题） 7. 如图，要围一个长 方形 的菜园，菜园的一边利用足 够长的墙，用35米长的篱笆围成另外三 边.为了方便进出，在 边上留了一个 2米宽的小门.设边的长为米， 边 C A. B. C. D. 的长为米，则与 之间的关系式是 ( ) 返回 9 （第8题） 8.下列关于两个变量关系的四种表述中，正确 的是________.（填序号） ②③④ ①如图，曲线表示是 的函数. ②圆的周长是半径 的函数； ③表达式中，是 的函数； ④如下表，是 的函数； 1 2 3 6 3 2 10 【点拨】①如题图，对于自变量的每一个取值，函数 不是 都有唯一确定的值与它对应，所以不是 的函数，故①不正 确;②因为，对于的每一个取值， 都有唯一确定的 值与之对应，所以圆的周长是半径 的函数，故②正确；③ 表达式中，对于的每一个取值， 都有唯一确定的值 与之对应，所以是的函数，故③正确；④如下表，对于 的每一个取值，都有唯一确定的值与之对应，所以是 的 函数，故④正确. 11 1 2 3 6 3 2 （第8题） 返回 9. 如图是一个运算程序示意图，若第一次输 入的为1，则输出的 是____. 11 返回 13 10.［2025宁德期中］如图①，长方形 的一边 向右匀速平行移动， 运动一段时间之后停留了 ，又向左匀速平行移动，直至与 边重合，图②反映了它的边的长度（单位： ）随时 间（单位： ）变化而变化的情况，图③反映了变化过程中 长方形的面积（单位：）随时间（单位： ）的 变化情况.请根据图象回答下列问题： 14 （1）初始时，边的长度是___，边的长度是___ ； 2 3 （2）在变化过程中，长方形面积的最大值为____ ； 36 15 （3）求边向左平移时，长方形的面积 （单位：）与时间（单位： ）之间的关系式. 16 【解】由题意可知向左运动的速度为 ， 此时 ， 所以 ， 所以长方形的面积与之间的关系式为 . 返回 17 11.［2024北京］小云有一个圆柱形水杯（记为1号杯）.在科 技活动中，小云用所学数学知识和人工智能软件设计了一个 新水杯，并将其制作出来.新水杯（记为2号杯）示意图如图. 当1号杯和2号杯中都有 水时，小云分别记录了1号杯的 水面高度（单位：）和2号杯的水面高度 （单位： ），部分数据如下表： 18 0 40 100 200 300 400 500 0 2.5 5.0 7.5 10.0 12.5 0 2.8 4.8 7.2 8.9 10.5 11.8 （1）补全表格（结果保留小数点后一位）. 1.0 （2）通过分析数据，发现可以用函数刻画与，与 之间 的关系.在给出的平面直角坐标系中，画出这两个函数的图象. 【解】函数图象如图所示. 20 （3）根据以上数据与函数图象，解决下列问题： ①当1号杯和2号杯中都有 水时，2号杯的水面高度与1 号杯的水面高度的差约为____ （结果保留小数点后一位）； 1.2 21 ②在①的条件下，将2号杯中的一部分水倒入1号杯中，当两 个水杯的水面高度相同时，其水面高度约为____ （结果保留小数点后一位）. 8.6 返回 22 $$第四章 一次函数 测素质 一次函数的应用 1 ［时间：45分钟 分值：100分］ 一、选择题（每题5分，共40分） （第1题） 1. 已知正比例函数的图象如图所示,则这个函 数的表达式为( ) A. B. C. D. √ 返回 2 （第2题） 2. ［2025郑州中原区期中］函数 的 图象如图所示，则方程 的解是( ) A. B. C. D. √ 返回 3 3. 小聪在画一次函数的图象时,他列表后,发现题中一次函数 中的和 看不清了,根据如下表格可知( ) 0 3 2 0 A. , B. ， C. , D. , √ 返回 4 4. 下表是声音在空气中传播的速度 （简称声速）与温度 的数量关系： 温度 … 0 10 20 30 … 声速 … 318 324 330 336 342 348 … 5 则下列说法错误的是( ) A. 自变量是温度，因变量是声速 B. 当空气温度为时，声速为 C. 声速与温度 之间的函数关系式为 D. 当空气温度为时，声速为 √ 返回 6 （第5题） 5. 如图，一次函数的图象与两坐标轴分别交 于，两点，是线段 上任意一点 （不包括端点），过点分别作 轴， 轴，垂足分别为， ，则四边形 的周长是( ) A. 5 B. 75 C. 10 D. 25 √ 返回 7 （第6题） 6. 一辆汽车油箱中剩余的油量 与已 行驶的路程 的对应关系如图所示， 如果这辆汽车每千米耗油量相同，当油 箱中剩余的油量为 时，该汽车已行驶 的路程为( ) A. B. C. D. √ 返回 8 7. 大拇指与小拇指尽量张开时，两指尖的距离称为“指距”,研 究表明，一般情况下，人的身高与指距 之间的一 次函数为.已知当时， ,当某人的身 高为 时，他的指距约为( ) A. B. C. D. √ 返回 9 8. 已知某同学家、体育场、图书馆在同一条直线上. 下面的图象反映的过程是：该同学从家跑步去体育场， 在那里锻炼了一阵后又步行回家吃早餐，饭后骑自行 车到图书馆.图中用 表示时间， 表示该同学离家的 距离.结合图象给出下列结论： ①体育场离该同学家 ； ②该同学在体育场锻炼了 ； ③该同学跑步的平均速度是步行平均速度的2倍； ④若该同学骑行的平均速度是跑步平均速度的1.5倍，则 的 值是3.75. 其中正确的结论有( ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 √ 10 【点拨】由题图可知，体育场离该同学家 ，故①正确；该同学在体育场锻炼 了 ，故②正确；该同 学的跑步速度为 ，步行速度为 ，则跑步速度是步行速度的 倍，故③错误；若该同学骑行的平均速度是跑步平 11 均速度的1.5倍，则该同学骑行的平均速 度为 ，所以 ，故④正确. 返回 二、填空题（每题6分，共24分） 9. 在一次函数中，与 的 部分对应值如下表所示，则关于的一元一次方程 的解为_______. 0 1 2 9 6 3 0 返回 13 （第10题） 10.如图，一次函数 的图象与正 比例函数 的图象互相平行，且经过 点，则一次函数 的表达式为 ___________. 返回 14 （第11题） 11.如图，在平面直角坐标系中，直线 分别与轴、轴交于点， ， 点的坐标为.若点在直线 上， 则 长的最小值为_____. 15 【点拨】如图，过点作轴交直线 于点,由垂线段最短可知，当 时， 的长有最小值.在中，当 时，;当时， ,所以 ,.因为 ， 16 所以, .所以 .当 时， ,即 ，所以 .所以长的最小值为 . 返回 12. 快递员经常 驾车往返于公司和客户之间.在 快递员完成某次投递业务时， 他与客户的距离 与行驶时 35 间 之间的函数关系如图所示（因其他业务，曾在途中有 一次折返，且快递员始终匀速行驶），那么快递员的行驶速 度是____ . 18 【点拨】因为快递员始终匀速行驶，所以快递员的行驶速度 是 . 返回 19 三、解答题（共36分） 13.（16分）如图，在平面直角坐标系中， 直线经过点， . （1）求直线 的函数表达式； 【解】设直线的函数表达式为 . 把点， 的坐标分别代入， 得,，解得 . 所以直线的函数表达式为 . 20 （2）若点在直线上，求 的值； 当时,,所以 . 21 （3）若的图象过点，交轴于点，求 的 面积. 22 因为的图象过点 ，所以 ， 所以.所以 . 所以当时，.所以 .所 以 . 因为，所以 . 所以 . 返回 23 14.（20分）已知A,B两地之间有一条长440 千米的高速公路，甲、乙两车分别从A,B两 地同时出发，沿此公路相向而行，甲车先以 （1）___, ___; 2 6 100千米/小时的速度匀速行驶200千米后与乙车相遇，再以另 一速度继续匀速行驶4小时到达B地；乙车匀速行驶至A地， 两车到达各自的目的地后停止，两车距A地的路程 （千米） 与各自的行驶时间 （小时）之间的函数关系如图所示. 24 （2）求两车相遇后，甲车距A地 的路程与 之间的函数关系式； 【解】两车相遇后，甲车的速度 是 （千米/小时），所以两车相遇后，甲车距A地的路程与 之 间的函数关系式为 . 25 （3）当乙车到达A地时，求甲车 距A地的路程. 乙车的速度为 （千米/小时）， 所以乙车到达A地所需时间为 （小时）. 当时， ，所以当乙车到达A地 时，甲车距A地的路程为300千米. 返回 26 $$第四章 一次函数 专题10 一次函数图象与字母系数的 关系 1 一次函数 , 的符号 2 一次 函数 图象 __________________ __________________ __________________ __________________ __________________ __________________ 续表 3 一次函数 与 轴交 点的位置 正半轴 负半轴 原点 正半轴 负半轴 原点 经过的象 限 第一、 二、三 象限 第一、 三、四 象限 第一、 三象限 第一、 二、四 象限 第二、 三、四 象限 第二、 四象限 性质 的值随着 值的增大而 增大 的值随着 值的增大而 减小 续表 4 类型1 由一次函数的图象判断系数的符号 1. 如图，在同一平面直角坐标系中，一次 函数与 （其中，，，，， 为常数） 的图象分别为直线， ,下列结论正确的是 ( ) A A. B. C. D. 返回 5 2. 对于某个一次函数 ，根 据两名同学的对话（如图）得出的结论，错误的是( ) C A. B. C. D. 6 【点拨】因为一次函数 的图象不经过第二 象限，且该函数图象经过点 ，所以该函数图象经过第一、 三、四象限.所以,.所以.将 代入 ,得,所以.所以 . 返回 7 类型2 由系数的符号判断一次函数的图象 3. 若实数，，满足，且 ，则函数 的图象可能是( ) D A. B. C. D. 8 【点拨】因为，且，所以 ， .因为，所以函数的图象与 轴负半轴 相交.因为，所以.所以函数 的图象经 过第二、三、四象限. 返回 9 4. 关于的一次函数 的图象可能是( ) D A. ①③ B. ①④ C. ②④ D. ②③ 10 【点拨】因为 ，所以 直线过点 ，故①④不符合题 意；，当时， ，所以 该函数图象经过第一、三、四象限，故②符合题意；当 时， ，所以该函数图象经过第一、二、四象限，故 ③符合题意. 返回 11 类型3 一次函数图象共存问题 5. 下列图形中，表示一次函数 与 正比例函数，为常数，且 的图象的是 ( ) A A. B. C. D. 返回 12 6. 直线和 的图 象可能是( ) C A. B. C. D. 13 【点拨】因为， ，所以该直线一 定与 轴正半轴相交，所以排除A，B选项；对于C选项，可 知，所以 ，故C选项可能成立；对于D选项， 可知，所以 ，另一条直线应该是下降的，故不 符合题意. 返回 14 $$第四章 一次函数 3 一次函数的图象 第2课时 一次函数的图象与性质 1 1. 在平面直角坐标系中，一次函数 的图象是 ( ) D A. B. C. D. 返回 2 2. 已知，是关于的函数 的图象上的两点，当时，，则 的取值范围是 ( ) A. B. C. D. C 返回 3. 对于一次函数 ，下列判断正确的是( ) A A. 自变量的值每增加1，函数 的值增加2 B. 该函数的图象不经过第一象限 C. 图象经过点 D. 该函数的图象与直线 平行 返回 4 4. 教材P93习题 在平面直角坐标系中，若将一次函 数 的图象向左平移3个单位后，得到一个正比 例函数的图象，则 的值为( ) A A. B. 5 C. D. 6 5. 若点和在直线上，则,, 的大小 关系是( ) C A. B. C. D. 返回 5 6.［2025淮安月考］一次函数图象与直线 平行，且 经过 ，则一次函数的表达式是____________. 7.点在函数的图象上,则代数式 的值等于____. 返回 6 8.（1） 若一次函数 的图象经过 第二、三、四象限，则 的值可以是__________________ （写出一个即可）. （答案不唯一） （2）已知直线 经过第一、二、四象限,那么直线 经过第____________象限. 二、三、四 返回 7 9. 已知一次函数 . （1）在如图所示的平面直角坐标系中， 画出该一次函数的图象； 8 【解】如图所示. 9 （2）该一次函数的图象与轴的交点为 ， 与轴的交点为，求出 的面积. 如图，因为， ，所以 ， . 所以 . 返回 10 10. 教材P94习题 用描点法画一次函数图象,某同 学在列如下表格时有一组数据是错误的,这组错误的数据是 ( ) 1 2 12 10 8 4 B A. B. C. D. 返回 11 11. 在同一平面直角坐标系中，一次函数 与 的图象可能是( ) D A. B. C. D. 返回 12 12.已知直线，则无论 取何值，该 直线必定经过第____象限. 一 【点拨】直线 ，可化为 ，当时， ，即直线过定 点.因为点 位于第一象限，所以该直线一定经过 第一象限. 返回 13 13.［2025无锡月考］函数 ，当自变量 时，这个函数的最大值为，则 的值为___. 1 14 【点拨】当 时， ,当 时， ,函数 图象如图所示. 又因为当自变量时，这个函数的最大值为 ，所 以当时，，解得；当时， ， 解得（舍去）.综上所述， 的值为1． 返回 15 14.［2025深圳罗湖区月考］如图，直线 与轴， 轴分别相交于 点和点，是上一点， 若将 沿所在直线折叠，点恰好落在 轴上 的点处，则 的面积等于___. 16 【点拨】因为直线 的表达式为 ，所以当时， ， 当时，，解得 .所 以，.所以, .所 以.由折叠可知，， ，所以.设 ，则 17 ,所以 .所 以，解得 .所 以 ． 返回 15. 定义:对于关于 的一次函数 ,我们称函数 为一次 函数的“变换函数”（其中 为常数）.例如: 对于关于的一次函数 的“5变换函数”为 19 （1）一次函数的“0变换函数”为 _ _______________. （2）画出一次函数 的“2变换函数”图象,并完成下 列问题: 【解】 的“2变换函 数”为 其 图象如图所示. 21 ①对于一次函数的 “2变换函数”,当时,求 的 值;当时,求 的值; 当时， ； 当时，或 , 解得或 . 22 ②对于一次函数 的 “2变换函数”,当 时, 的取值范围是____________. 【点拨】当 时， ,易知随 的增大 而减小.所以 ;当 时， ,易知 随 的增大而增大，所以 .综上所述， . （3）当一次函数的“变换函数”图象与直线 有一个交点时,直接写出 的取值范围. 当一次函数的“变换函数”图象与直线 有一 个交点时，或 . 返回 25 16. 如图，直线交 轴于点 ，将直线向下平移4个单位，得到的直线分别交 轴、 轴于点， . 26 （1）求的值及， 两点的坐标； 27 【解】因为直线交 轴于 点 ， 所以，解得 .所以 . 所以平移后的直线为 . 令，则，解得 . 令，则，所以， . 28 （2）点为线段上一点，连接并延长，交直线于点 ， 若是等腰三角形，求点 的坐标. 29 分情况讨论：若 ，则 . 由题易知 ，所以 .所以 .又因为 ，所以.所以 . 又因为，所以 . 30 由（1）知,所以 .所以 ； 若，则 . 因为，所以 . 所以 .又因为 ，所以 .所以 . 由（1）知， ，所以 易得 .所以 .所以 .所以 ； 若，则 . 因为 ，所以 ， . 所以.所以 . 所以 . 易知, ,所以 .所以 . 所以易知 . 综上，点的坐标为 或 或 . 返回 $$第四章 一次函数 4 一次函数的应用 第1课时 确定一次函数表达式 1 1. 若点关于轴的对称点在一次函数 的图 象上,则 的值是( ) B A. B. 2 C. D. 6 2. 一次函数的图象经过点，且随 的增大 而增大，则此函数的表达式可能是( ) B A. B. C. D. 返回 2 3. ［2025达州月考］若一次函数 与两坐标轴围成 的三角形面积为3，则 为( ) C A. B. C. D. 【点拨】当时，.当时， ，所以 .所以一次函数的图象与 轴的交点坐标为 ，与轴的交点坐标为，所以 ， 解得 . 返回 3 4. 教材P95例1 一个弹簧不挂重物时长 ，挂上重 物后伸长的长度与所挂重物的质量成正比，如果挂上 的 物体后，弹簧伸长，则弹簧总长单位： 关于所挂 重物单位： 的函数关系式为____________（不需要写出 自变量取值范围）. 返回 4 5.若与成正比例，与成正比例，且当时， ； 当时，，则与 的函数关系式为____________. 【点拨】设, ,即 .将,和, 代 入，得,,解得, ,所以 . 返回 5 6.如图，平行四边形的边 在一次函 数的图象上，若点 的坐标为 ，则直线 的函数表达式为_______ _____. 6 【点拨】因为四边形 为平行四边形， 所以.又因为直线 的函数表达式 为，所以设直线 的函数表达 式为，把 的坐标代入， 得，解得.所以直线 的函数表达式为 . 返回 7 7.已知直线与轴负半轴交于点，且，点 在 直线 上. （1）求直线 所对应的函数表达式； 【解】设直线所对应的函数表达式为 ， 根据题意，可得 . 因为点在直线 上， 所以，解得 . 所以直线所对应的函数表达式为 . 8 （2）若点在直线上，求代数式 的值. 把点的坐标代入，得 ，所以 .所以 . 返回 9 8. 将一次函数的图象沿 轴向左平移2个单位，再 向上平移3个单位后，得到的新图象对应的函数表达式为 ( ) B A. B. C. D. 10 【点拨】将一次函数的图象沿 轴向左平移2个单 位得到,再将一次函数 向上平移3个单位后，得到的新图象对应的函数表达式为 . 返回 9. 在平面直角坐标系中，已知点， ,直线 与线段有交点，则 的取值范围为 ( ) C A. B. 且 C. 或 D. 12 【点拨】因为当时， ，所以直线 过定点.因为直线 与 线段有交点，所以当直线 经过点 时，得，解得 ；当直线 经过点时，得 ，解得 ，所以当直线与线段 有交点时， 或 . 返回 13 10. 如图，一次函数 的图象交轴于点，交 轴于点 ，过点作，且 . 连接，当点在第一象限时，直线 的表达式为___________. 14 【点拨】过点作轴于点 ，则 .因为 ， ，所以， .因为 ，所以易知 .又因为 ，所以 .又因为 ，所以.所以 ， 15 .所以, .所以 .所以.设直线 的 表达式为，把点 ， 的坐标代入，得 解得 所以直线 的表达式为 . 返回 11.［2025青岛期中］为鼓励学生加强锻炼，增强体质，某校 准备购买若干套健身器材供学生使用.经调查，某公司有 ， 两种健身器材可供选择，每套 型健身器材售价为1.7万元， 每套型健身器材售价为2万元.经协商，该公司承诺：每套 型健身器材在售价的基础上减免0.3万元；每套 型健身器材 在售价的基础上打七五折.学校想购进， 两种健身器材共 80套，若型健身器材购买套，共花费 元. 17 （1）请写出与 的函数关系式. 【解】由题意知，型健身器材购买套，则 型健身器材购 买 套. 型健身器材的购进价格为（万元）， 型健 身器材的购进价格为 （万元）， 所以 . 所以与的函数关系式为 . 18 （2）若购买 型健身器材的数量不超过53套，学校应如何购 买才能使总费用最少？最少费用是多少？ 19 由（1）得总费用与的函数关系式为 ， 所以随的增大而减小.所以最大时， 最小，即总费用最少. 因为购买型健身器材的数量不超过53套，即 ， 所以当时， 最小，总费用最少为 （万元），此时 . 因此，学校应购买型健身器材53套， 型健身器材27套，总 费用最少，最少费用为114.7万元． 返回 20 12.如图，在平面直角坐标系 中，直线 分别与轴、轴交于点 ， ，过点作轴的垂线，与直线 交于点 . （1）求直线的表达式及点 的坐标； 【解】因为点,,所以直线 的表达式为 .因为轴,,所以点 的横坐标为2.将 代入,得.所以点的坐标为 . 21 （2）点是线段上一动点，直线与轴交于点 .若 的面积为8，求点 的坐标. 22 设 ,有两种情况: ①如图①,当点在点右侧时, 因为点,, , 轴,所以 , .因为, ,所以 ,所以 .所以 . 23 ②如图②,当点在点 左侧时，因为点 .因为 ,所以 ,解 得, 所以 . 综上所述,点的坐标为或 . ,,,,所以 , 返回 24 13. 【了解概念】 将平面直角坐标系中过某一定点且不与轴、 轴垂直的直线, 叫作该定点的“友好线”.若点,则点 的“友好线”可记为 . 【理解运用】 （1）已知点的“友好线”可记为,则点 的 坐标为_______; 25 （2）若点的“友好线”恰好经过点 ,求该“友好线” 的表达式; 【解】由题意可得点 的“友好线”的表达式为 ,将点的坐标代入 ,得 ,解得 ,所以该“友好线”的表达式为 . 26 【拓展提升】 （3）已知点在点的“友好线”上,点 在直 线上,若,,且当 时, ,请确定 的取值范围. 27 把代入,得,把 代入 ,得,所以直线经过点 ， .把代入,得 ,解得 ,把代入，得 ，解得 . 28 直线经过定点， 时，图象如 图①所示；时，图象如图②所示.所以由题意得 的取值 范围为或 . 返回 29 $$第四章 一次函数 3 一次函数的图象 第1课时 正比例函数的图象与性质 1 1. 下列图象中，表示正比例函数图象的是( ) B A. B. C. D. 返回 2 2. ［2025广州海珠区月考］已知函数， 为常 数的函数值随 值的增大而减小，那么这个函数图象可能 经过的点是( ) C A. B. C. D. 【点拨】因为函数，为常数）的函数值随 值的增大而减小，所以 .所以正比例函数 ， 为常数）的图象经过第二、四象限.所以这 个函数图象可能经过的点是 . 返回 3 3. 下列关于正比例函数 的说法中，正确的是( ) B A. 当时， B. 它的图象是一条过原点的直线 C. 随 的增大而减小 D. 它的图象经过第二、四象限 4 【点拨】A.当时， ，故本选项错误；B.因为 是正比例函数，所以它的图象是一条过原点的直线， 故本选项正确；C.因为，所以随 的增大而增大，故 本选项错误；D.因为是正比例函数， ，所以此函 数的图象经过第一、三象限，故本选项错误. 返回 5 4. 已知点在轴负半轴上，， 是正 比例函数的图象上的两个点，则， 的大小关系是 ( ) A A. B. C. D. 不能确定 【点拨】因为点在轴负半轴上，所以.所以 随 的增大而减小.又因为， 是正比例函数 的图象上的两个点，且，所以 . 返回 6 5. 如果正比例函数 的图象经过第二、 四象限，那么 的值可以是_________________. 1（答案不唯一） 6.如图，三个正比例函数的图象分别对 应的表达式是； ； .请用“ ”连接，， ___________. 返回 7 7.如图，正比例函数的图象经过点 . 8 （1）求出该正比例函数的表达式； 【解】由题图可知点 的坐标为 ，将其代入，得 ， 则该正比例函数的表达式为 . 9 （2）若这个函数的图象还经过点 ，求出 的值； 将点的坐标代入 ， 得，解得 . 10 （3）判断点 是否在这个函数的 图象上，并说明理由. 点 不在这个函数的图象上. 理由：当 时， ， 所以点 不在这个函数的图象上. 返回 11 8. 在平面直角坐标系中，若一个正比例函数的图象经过 ，两点，则， 一定满足的关系式为( ) D A. B. C. D. 【点拨】设正比例函数表达式为 ，把 ，的坐标代入，得， ，可得 ，代入，得，所以 . 返回 12 9. 若是关于 的正比例函数，如果点 和点在该函数的图象上，那么和 的大小 关系是( ) B A. B. C. D. 【点拨】因为是关于 的正比例函数， 所以且.所以 .所以该正比例函数 的表达式为.因为，所以随 的增大而减小. 又因为点和点 在该函数的图象上，且 ,所以 ,故选B. 返回 13 10. 如图表示光从空气进入 水中入水前与入水后的光路图，若按如图建 立平面直角坐标系，并设入水前与入水后光 线所在直线的表达式分别为 ， C A. ， B. ， C. D. ，则关于与 的关系，正确的是 ( ) 返回 14 （第11题） 11. 正比例函数 的图象如图所示，则化简 的结果是( ) D A. B. C. D. 1 返回 15 12.正比例函数，当时，函数 的最大 值和最小值之差为4，则 ____. 【点拨】因为正比例函数，所以随 的增大而 减小.当时，，当时， .因为当 时，函数 的最大值和最小值之差为4，所以 ，解得 . 返回 16 13.如图,在平面直角坐标系中，点的坐标为，点 是正 比例函数图象上一动点,点是轴上一动点,则 周 长的最小值为_____. （第13题） 17 【点拨】作点关于直线的对称点 ，关 于轴的对称点，连接交直线于点 ， 交轴于点，如图.易知, ， ，，所以 , 所以周长的最小值为 . 所以. 因为， ， ，四点共线，所以此时 周长最小，最小值为线段 的长度.由 易知 返回 18 14.如图，在平面直角坐标系中放着5个边长为1的小正方形， 经过原点的直线 恰好将这5个小正方形分成面积相等的两 部分，求直线 的表达式. 19 【解】设直线 和5个小正方形最上面的交点为 ，过点作轴于点，作 轴于点 ，如图所示. 因为小正方形的边长为1，所以 .因为经 过原点的直线 将这5个小正方形分成面积相等的两部分， 所以两部分的面积分别是2.5. 所以易知 的面积是3.5. 20 所以.所以 . 所以.所以点的坐标为 . 设直线的表达式为，将点 的坐标代入， 得，解得.所以直线 的表达式为 . 返回 15.函数问题： （1）作出函数 的图象： ①自变量 的取值范围是__________； 任意实数 22 ②列表，在如图所示的方格中建立平面直角坐标系，并画出 函数图象. … 0 1 2 … … ___ ___ ___ ___ ___ … 4 2 0 2 4 函数 的图象如图. 23 ③当自变量的值从1增加到2时，函数 的值增加了___. 2 24 （2）在一个变化的过程中，两个变量与 之间可能是函数 关系，也可能不是函数关系. 下列各式中，是 的函数的是______. ； ； ； . ①③ 25 【点拨】【解】①当取任意实数时，都有唯一的 和它对应， 所以是的函数，故①符合题意；②当时，或 ， 所以不是的函数，故②不符合题意；③当 取任意的非零 数时，都有唯一的和它对应，所以是 的函数，故③符合 题意；④当时，或，所以不是 的函数，故④ 不符合题意. 返回 26 16.如图，正方形 的各边都平行于坐标轴， 且在第一象限内，点，分别在直线 和 上. （1）如果点的横坐标为8，，求点 的坐标； 【解】将代入，得 ， 所以 . 又因为，所以点的横坐标为 . 所以 . 27 （2）如果点在直线上运动，求点 所在直线的正比 例函数表达式； 28 设，，则 . 因为，所以 ， 整理，得，所以 . 设点所在直线的正比例函数表达式是 ， 将点的坐标代入，得 ， 解得 ， 所以点所在直线的正比例函数表达式是. 29 （3）当四边形 的面积为170时，求点 的坐标. 如图，延长交轴于点，延长交 轴 于点.由（2）得， . 因为 ， 所以 ， 解得 （负值已舍去），所以易知 . 返回 30 $$第四章 一次函数 4 一次函数的应用 第2课时 单个一次函数图象的实际应用 1 1. 若一元一次方程的解是 ，则函数 的图象与 轴的交点坐标为( ) A. B. C. D. √ 返回 2 2. 已知一次函数 的图象如图所示，则方程 的解为 ( ) （第2题） A. 4 B. 2 C. 0 D. √ 返回 3 （第3题） 3. 在物理实验课上，小鹏利用滑 轮组及相关器材进行实验，他把得到的拉力 和 所悬挂物体的重力 的几组数据用电脑绘制成如 图所示的图象（不计绳重和摩擦），请你根据图象 判断以下结论正确的有 ( ) ①物体的拉力随着重力的增加而增大； ②当物体的重力时，拉力 ； ③拉力与重力 成正比例函数关系； ④当滑轮组不悬挂物体时，所用拉力为 . A. ①② B. ②④ C. ①④ D. ③④ √ 返回 4 4.已知直线与直线 交于一点，若这个交点 恰在轴上，则 ___. 0 【点拨】因为直线与轴交于,直线 与轴交于,所以,解得 . 返回 5 5.小蕾家与外婆家相距 ,她假期去看望 外婆,返回时,恰好有一辆顺路车可以带小蕾到 A服务区,于是,小蕾与爸爸约定,她先搭乘顺路 车到A服务区,爸爸驾车到A服务区接小蕾回家, 两人在A服务区见面后,休息了一会儿,然后小蕾乘坐爸爸的车 以 的速度返回家中, 返回途中小蕾与自己家的距离 与时间 之间的函数关系如图所示. 6 （1）求小蕾从外婆家到A服务区的过程 中与 之间的函数关系式; 【解】设小蕾从外婆家到A服务区的过 程中，与 之间的函数关系式为 , 将代入，得,解得 . 所以与之间的函数关系式为 . 7 （2）小蕾从外婆家回到自己家共用了 多长时间? 把代入 ,得 , 所以小蕾从外婆家回到自己家共用的 时间为 . 返回 8 （第6题） 6. 小李计划通过社会实践活动赚钱 买一本标价为43元的书，他以1.1元/千克的价格从批 发市场购进若干数量的西瓜去销售，在销售了 之后，余下的打七五折全部售完,若销售金额 （元） 与售出西瓜的数量 之间的关系如图所示，则下 列结论正确的是 ( ) A. 降价后西瓜的单价为2元/千克 B. 小李一共进了 西瓜 C. 小李这次社会实践活动赚的钱可以买到43元的书 D. 降价前的单价比降价后的单价多0.6元/千克 √ 返回 9 7. 甲、乙两名同学周末相约骑自行车去游玩、沿同一路线从 地出发前 往地,甲、乙分别以不同的速度匀速骑行,甲比乙早出发 . 甲骑行 后,乙以原速的1.5倍继续骑行,经过一段时间, 乙先到达 地,甲一 直保持原速前往地，在此过程中, 甲、乙两人相距的路程 单位: 与 甲骑行的时间 单位: 之间的关系如图所示,则下列说法中错误的是 ( ) （第7题） A. 甲的骑行速度是 B. 、两地的总路程为 C. 乙出发 后追上甲 D. 甲比乙晚到达 地 √ 10 （第7题） 【点拨】甲骑行 ,故甲的骑行速 度为 ,故选项A正确， 不符合题意.设乙的速度为 ,则有 ，解得 ,所以乙的速度为 .甲骑行 后，乙以原速的1.5倍，即 继续骑行.因为乙先到达 地，所以 由题意可得, 两地的总路程为 11 , 故B正确，不符合题意.设乙出发 后追上甲，则 ,解 得,即乙出发 后追上甲，故C错误， 符合题意. 时甲骑行的路程为 ,所以甲比乙晚 到达 地，故D正确，不 符合题意.故选C. （第7题） 返回 8. 教材P98随堂练习 某生物小 组观察一植物生长，得到植物高度 （单位：厘米）与观察时间 （单位：天） 之间的关系，并画出如图所示的图象 是线段，射线平行于轴 .从第 50 16 ____天开始植物的高度不变，该植物最高为____厘米. 13 【点拨】因为 轴，所以从第50 天开始植物的高度不变.设线段 的 表达式为 .因为 ，，所以 ， ，解得.所以线段 的表达式为 .当时， . 所以该植物最高为16厘米. 返回 14 9.某公司开发出一款新的节能产品，该产品的 成本价为6元/件，该产品在正式投放市场前通 过代销点进行了为期一个月（30天）的试销售， （1）第17天的日销售量是_____件，日销售利润是 _____元； 340 680 售价为8元/件，如图，折线表示日销售量 （件）与销售 时间（天）之间的函数关系，已知线段 表示的函数关系 中时间每增加1天，日销售量减少5件. 15 （2）求试销售期间日销售利润的最大值. 16 【解】因为直线过点 ， 所以易得直线的表达式为 . 设直线的表达式为 ， 将代入，解得. 所以直线的表达式为 . 令，解得 . 在中，当时， . 17 所以折线的最高点的坐标为 . （元）. 所以当 时，日销售利润最大，最大 利润为720元. 返回 10.［2025南昌月考］如图，四边形 是一张放在平面直角坐标系中的正方形纸 片，点与坐标原点重合，点在 轴上， 点在轴上，，点在边 上， 点的坐标为，过点且平行于轴的直线与 交于 点．现将纸片折叠，使顶点落在上，并与上的点 重合，折痕为 ． 19 （1）求点的坐标，并求直线 的表达式； 20 【解】由折叠的性质可知， ， 因为平行于轴，所以 .所以由勾 股定理得， . 所以点的坐标为 . 设直线的表达式为 ， 将的坐标代入，得 ， 所以直线的表达式为 . 21 （2）若直线平行于直线 ，且与长 方形有公共点，求 的取值范围； 22 因为直线平行于直线 ， 所以，即直线的表达式为 . 由题易得, . 当直线经过点时，解得 ， 当直线经过点时，解得 ， 所以直线与长方形 有公共点时， 且 . 23 （3）设点为 轴上的点，是否存在这样的 点，使得以，， 为顶点的三角形为等 腰三角形？若存在，请求出点 的坐标；若 不存在，请说明理由． 24 存在. ①当 时， 若点在原点左侧，点的坐标为 ， 若点在原点右侧，点的坐标为 ； ②当 时， 因为，所以 ，所以 ， 所以点的坐标为 ； 25 ③当时，可得 ， 在中， ，即 ， 26 解得，所以点的坐标为 . 综上所述，以，， 为顶点的三角形为 等腰三角形时，点的坐标为 或 或或 . 返回 27 $$第四章 一次函数 4 一次函数的应用 第3课时 两个一次函数图象的实际应用 1 1. 教材P103习题 如图，表示一艘轮船和一艘快 艇沿相同路线从甲港出发到乙港行驶路程随时间变化的图象. 则下列结论错误的是( ) D （第1题） A. 轮船的速度为20千米/时 B. 快艇的速度为40千米/时 C. 轮船比快艇先出发2小时 D. 快艇到达乙港用了6小时 返回 2 （第2题） 2. ［2025聊城月考］小王同学从家出发,步行到 离家的公园晨练, 后爸爸也从家出发沿 着同一路线骑自行车到公园晨练,爸爸到达公园 后立即以原速折返回到家中，两人离家的距离 单位:与出发时间单位: 的函数关系如 C A. B. C. D. 图所示,则两人先后两次相遇的时间间隔为 ( ) 3 （第2题） 【点拨】由题图可得小王的速度为 ,爸爸的速度为 .设小王出发 两人第一次相遇，出发 两人第二 次相遇，则 , ,解 得,.所以 . 故选C. 返回 4 3.［2025太原迎泽区月考］某快递公司每 天下午 为集中揽件和派件 时段，甲仓库用来揽收快件，乙仓库用来 派发快件，如图，线段， 分别表示 甲仓库、乙仓库的快件数量, （件）与 揽件（或派件）时间（分钟）之间的函数关系，线段 ， 相交于点 . 5 （1）求甲仓库快件数量（件）与揽件时间 （分钟）之间的函数表达式 ； 【解】设 ，由题图可知， 的图象过点, ， 所以，，解得， . 所以 . 6 （2）若已知乙仓库快件数量 （件） 与派件时间 （分钟）之间的函数表达 式是，则点 的坐标 为（____，160），点 的坐标表示的 实际意义是_______________________ ______________________________. 20 经过20分钟，甲乙两个仓库中的快件数量相等，均为160件 返回 7 4. 甲、乙两个工程队分别同时挖掘两段河渠，所 挖河渠的长度与挖掘时间 之间的函数关 系如图所示，以下信息一定正确的有( ) D ④开挖 后，甲、乙两队所挖河渠长度相等. A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 ①甲队挖掘，用了 ； ②开挖后，甲队比乙队多挖掘 ； ③乙队从开挖后到之间，每小时挖掘 ； 8 【点拨】由题图可知，开挖 ，甲队一共挖掘 ，所以甲队的速度为 .所以甲 队挖掘，用了 ，故①正确；由题图可知， 开挖后，甲队挖掘了，乙队挖掘了 ，则甲队比 乙队多挖掘，故②正确；由题图可知，乙队从开挖 后到之间挖了，则每小时挖掘 ，故③ 正确；开挖后，甲队挖了 ，乙队挖了 ，则开挖 后，甲、乙两队所挖 河渠长度相等，故④正确. 返回 9 5. 春节临近，某网商紧急备货，但目前缺少 大量礼品盒，该网商通过调研，发现这种礼品盒的来源有两 种方案： 方案一：从纸箱厂订购，购买所需费用 （单位：元）与礼 品盒的数量 （单位：盒）满足如图所示的函数关系. 方案二：从纸箱厂租赁机器，自己加工制作这种 礼品盒，所需费用（包括租赁机器的费用和生产 礼品盒的费用） （单位：元）与礼品盒的数量 （单位：盒）满足如图所示的函数关系. 10 请回答下列问题： （1）方案一中，礼品盒的单价为___元. 3 11 （2）请直接写出，关于 的函数 表达式. , . 12 【点拨】设关于的函数表达式为 . 因为该函数图象经过点 ，所以 ,解得.所以关于 的函 数表达式为.设关于 的函数表达式 为.因为该函数图象经过点 和 ，所以， ,解得 . 所以关于的函数表达式为 . 13 （3）如何选择方案，才能够更省钱?请说明 理由. 【解】令,解得 , 所以当 时，两种方案同样省钱； 当 时，选择方案一更省钱； 当 时，选择方案二更省钱. 返回 14 6.甲、乙两车先后从地出发到 地，甲车 出发后，乙车才出发，如图所示的 和 表示甲、乙两车离出发地的距离 与乙车行驶时间 之间的关系. （1）表示乙车离出发地的距离 与乙车行 驶时间之间关系的是___填或 . 15 （2）试分别确定甲、乙两车离出发地的距离 与乙车行 驶时间 之间的关系式. 16 【解】由题图可知，直线 经过点 , ， 设甲车离出发地的距离与乙车行驶时 间的函数关系式为 ， 则有， ， 解得, , 17 所以甲车离出发地的距离与乙车行驶 时间的函数关系式为 . 由题图知，直线经过点 ， ， 设乙车离出发地的距离与乙车行驶时 间的函数关系式为 ， 则有, ,解得 , . 所以乙车离出发地的距离与乙车行驶 时间的函数关系式为 . （3）乙车能在 内追上甲车吗？ 若能，说明理由；若不能，求乙车行 驶几小时才能追上甲车. 乙车不能在 内追上甲车.设乙车行 驶 可以追上甲车，由题意,得 ，解得 . 所以乙车追上甲车时，乙车行驶了 . 返回 20 7.甲船从A港出发顺流途经C港匀速驶向B港,到 B港停止,行至某处,因机械故障发动机停止工作, 甲船在排除故障的过程中顺水漂流的速度与水 流的速度相同,排除故障后继续按原速驶向B港. （1）A港距C港____,B港距C港____ . 48 32 乙船从B港出发逆流途经C港匀速驶向A港,到A港停止.甲乙两 船同时出发.甲、乙两船离C港的距离, 与乙船行驶的 时间 之间的函数图象如图所示. 21 （2）分别求甲船在顺流中行驶的速度 和乙船在逆流中行驶的速度. 【解】由题图,得甲船在顺流中行驶的 速度为 ，乙 船在逆流中行驶的速度为 . 22 （3）在图中补全甲船的函数图象,并 求甲、乙两船何时与C港的距离相等. 因为甲船由C港到B港用时为 , 所以甲船从A港到B港的时间为 . 23 补全甲船的函数图象如图. 当时，易得 ; 当时，易得 . 当时，解得 , 所以甲、乙两船在 时与C港的距离相等. 24 （4）甲、乙两船何时相距 ? 25 根据题意，得 26 当 时， ,解得 （不符合题意，舍去）； 当 时， ,解得 ; 当 时， ,解得或 （不符合题意，均舍去）; 当 时， ,解得 . 当 时，易知此时甲、乙两船 之间的距离超过 , 所以不符合题 意，舍去. 所以甲、乙两船在和 时相距 . 返回 $$第四章 一次函数 第四章综合素质评价 1 ［时间：60分钟 分值：100分］ 一、选择题（每题4分，共32分） 1. 下列各式中是一次函数的是( ) A. B. C. D. 2. 若函数是正比例函数，则 的值为( ) A. 0 B. 1 C. D. 7 √ √ 返回 2 3. 一次函数的图象与轴相交于点，则点关于 轴的对称点是( ) A. B. C. D. 4. 已知直线 经过第一、二、四象限，则直线 只能是图中的( ) A. B. C. D. √ √ 返回 3 5. 若关于的方程的解是 ，则直线 一定经过点( ) A. B. C. D. √ 返回 4 6. 化学实验小组查阅资料了解到：某种絮凝 剂溶于水后能够吸附水中悬浮物并发生沉降， 从而达到净水的目的.实验得出加入絮凝剂的 A. 加入絮凝剂的体积越大，净水率越高 B. 未加入絮凝剂时，净水率为 C. 絮凝剂的体积每增加 ，净水率的增加量相等 D. 加入絮凝剂的体积是时，净水率达到 体积与净水率之间的关系如图所示，下列说法正确的是 ( ) √ 返回 5 （第7题） 7. 如图，一次函数的图象与 轴、 轴分别交于点，，过点作直线 将 分成周长相等的两部分，则直线 的函 数表达式为( ) A. B. C. D. √ 返回 6 （第8题） 8. 正方形， ， ， 按如图所示的方式放 置.点，，， 和点， ， ， 分别在直线 和 轴上，已知点 ，，则点 的坐标是 ( ) A. B. C. D. √ 7 （第8题） 【点拨】因为点的坐标为，点 的 坐标为，所以正方形 的边长 为1，正方形的边长为2.所以点 的坐标是，点的坐标是 .又因为 点,在直线 上，所以 8 解得 所以直线 的 表达式是.因为点的坐标为 ， 所以点的坐标为.所以点 的坐标为 .所以点的横坐标是 ，纵坐标是 .所以点的坐标是 . （第8题） 返回 二、填空题（每题5分，共20分） 9.在函数中，自变量 的取值范围是_______. 10.［2024上海］若正比例函数的图象经过点 ， 则的值随 的增大而______.（选填“增大”或“减小”） 减小 返回 10 （第11题） 11.甲、乙两人同时从， 两地出发， 相向而行，甲先到达 地后原地休息， 甲、乙两人的距离 与乙步行的 时间 之间的函数关系的图象如 图，则 _____. 5.25 返回 11 12.如图，已知，，在轴上找一点 ，使得 的值最大，则此时点 的坐标为_______. （第12题） 返回 12 三、解答题（共48分） 13.（15分）［2025济南市中区月考］已知函数 . 13 （1）画出这个函数的图象； 【解】 ， 当时，；当时， ， 描点画图如图所示. （2）写出该函数图象与轴的交点坐标，与 轴的交点坐标； 由（1）可知，函数图象与轴的交点坐标为，与 轴的 交点坐标为 . （3）求此函数的图象与坐标轴围成的三角形的面积. 此函数的图象与坐标轴围成的三角形的面积为 . 返回 15 14.（15分）某市为了节约用水，采用分段收费标准.设居民 每月应交水费为（元），用水量为 （立方米）. 用水量 收费 不超过10立方米 每立方米2元 超过10立方米 超过的部分每立方米3元 16 （1）写出每月用水量不超过10立方米和超过10立方米时， 水费与用水量之间的关系式； 【解】当时， ， 当时， ， 所以 17 （2）若某户居民某月用水量为7立方米，则该户居民该月应 交水费多少元？ 当时， （元）. 答：应交水费14元. 18 （3）若某户居民某月交水费26元，则该户居民这个月用水 多少立方米？ 因为，所以 . 所以当时，，解得 . 答：该户居民这个月用水12立方米. 返回 19 15.（18分）阅读并解决下面问题：定义：把函数 中自变量作为横坐标，函数值 作为纵坐 标，我们把坐标叫作函数 的函 数坐标；反过来，把坐标中的横坐标 看 （1）坐标 是函数_________________的函数坐标； （填函数表达式） 【解】 作自变量，纵坐标看作因变量，得到函数 ， 我们把函数叫作坐标 的坐标函数. 20 （2）已知， 两点在同一平面直角 坐标系中，则线段 的最小值是_____； 21 【点拨】由题意可知，点 在直线 上，点 在直线 上.如图，直线 经过点 ，直线经过点 .连接 ,易得， ，所以 .所以， . 22 所以直线与直线的距离为线段 的长度， 即线段的最小值为线段 的长度，在 中， . 所以线段的最小值为 . （3）如图，已知直线 与两坐标轴 分别交于，两点，与直线交于点 ， 是直线上的动点，点的横坐标为 ， 过点作轴的平行线，交直线 于 点，且，求点 的坐标. 24 由题意得， ， 所以 . 因为，所以 ， 解得或 ， 当时，，当时， . 综上所述，点的坐标为或 . 返回 25 $$第四章 一次函数 专题11 一次函数与面积的综合 1 类型1 求直线与坐标轴围成的三角形的面积 1.已知一次函数的图象经过点，与 轴交于点 ，与轴交于点 . （1）一次函数的表达式为_____________； 2 （2）求该函数图象与两坐标轴围成的三角形的面积. 【解】易知该函数图象与轴的交点的坐标为 ， 所以 . 又易知 ，所以该函数图象与两坐标轴围成的三角形的 面积 . 返回 3 类型2 已知三角形的面积求直线的表达式或点的坐标 2.已知一次函数的图象经过点 ，且与两坐标轴围成的 三角形的面积为3，求一次函数的表达式. 【解】根据已知条件画出一次函数图象的示意 图，如图所示的直线或直线.设直线与 轴 的交点坐标为，则 .因为 ，所以 . 4 因为 , 所以 , 即，解得 ， 所以, . 设一次函数的表达式为 ，把点 , 的坐标分别代入 ，得 ,, 解得,,所以 ; 把点, 的坐标 分别代入，得, ,解 得, .所以 .综上，一次函 数的表达式为或 . 返回 3.如图，已知点，，点在 轴的负半轴上，若 将沿直线折叠，点恰好落在轴正半轴上的点 处 再将其展开. 7 （1）求直线 的表达式； 【解】设直线 的表达式为 . 将点， 的坐标分别代入 ，得, ,解得 , , 故直线的表达式为 . 8 （2）求， 两点的坐标； 因为，，所以 , .所以 .由折叠的性质，知 ，所以.所以 .所以 .设点的坐标为 . 因为 ， 即，解得 ，故 . 9 （3）在直线上是否存在一点，使得 ？若存在， 直接写出点 的坐标；若不存在，请说明理由. 10 存在.点的坐标为或 .【点拨】 设直线 的表达式为 ，将 ， 两点的坐标分别代入 ，得 解得 11 所以直线 的表达式为 .设点的坐标为.易知 .因为 ，所以，解得或5.当 时， ；当时，，所以点 的坐 标为或 . 返回 类型3 求平分三角形面积的直线的表达式 4.如图，两直线分别为, , 两直线交于点，直线与轴交于点 . （1）求， 的值； 【解】因为直线,相交于点 , 所以，，解得， . 14 （2）求经过点且平分 面积的直线的表达式. 15 由（1）知直线的表达式为 . 当时，，解得 . 所以点的坐标为 . 设线段的中点为，易知点的坐标为 . 所以设直线的表达式为 . 16 因为经过点且平分 面积的直线一定 经过线段的中点,把点 ， 的坐标分别代入 ，得 ，，解得 ， ，所以经过点且平分 面积的直 线的表达式为 . 返回 $$第四章 一次函数 专题9 函数图象信息归类 1 类型1 根据已知信息判断函数图象 1. 向如图所示的空容器内匀速注水，从水刚接触底部时开始 计时，直至把容器注满.在注水过程中，设容器内水的高度为 单位：，时间为单位：，则关于 的函数图象大 致为( ) B A. B. C. D. 返回 2 2.小李家距学校3千米，中午12点他从家出发到学校，途中路 过文具店买了些学习用品，12点50分到校.下列图象中能大致 表示他离家的距离（单位：千米）与离家的时间 （单位：分钟）之间的函数关系的是( ) C 返回 3 3. 折返跑是一种跑步的形式.如图， 在一定距离的两个标志物①，②之 D A. B. C. D. 间，从①开始，沿直线跑至②处，用手碰到②后立即转身沿 直线跑至①处，用手碰到①后继续转身跑至②处，循环进行， 全程无需绕过标志物.小华练习了一次 的折返跑，用 时.在整个过程中，他的速度大小单位：随时间 单位： 变化的图象可能是( ) 返回 4 4. 如图，边长分别 为1和2的两个正方形， A A. B. C. D. 其中有一条边在同一水平线上，小正方形沿该水平线自左向 右匀速穿过大正方形，设穿过的时间为 ，大正方形的面积为 ，小正方形与大正方形重叠部分的面积为， 若 ，则随 变化的函数图象大致为( ) 返回 5 类型2 根据函数图象判断图形 5. 已知点 为某个封闭图形边界上一定 点，动点从点 出发，沿其边界顺时 针匀速运动一周，设点 的运动时间为 ，线段的长度为，表示与 的函 D A. B. C. D. 数图象大致如图所示，则该封闭图形可能是( ) 6 【点拨】与 的函数图象分三个部分， 而B选项和C选项中的封闭图形都有4条 线段，其图象要分四个部分，所以B， C选项不正确；A选项中的封闭图形为 圆，开始随的增大而增大，然后随 的增大而减小，所以 A选项不正确；D选项为三角形， 点在三边上运动对应三段 图象，且点在点的对边上运动时， 的长有最小值. 返回 7 6. 从某容器口以均匀地速度注入酒精，若液面高度随时间 的变化情况如图所示，则对应容器的形状为( ) C A. B. C. D. 返回 8 7. 刘阿姨早晨从家里出发去公园锻炼，匀 速走了 后回到家（中间不休息）.如 图表示她出发后离家的距离单位： 与 C A. B. C. D. 行走时间单位： 之间的函数关系.则下列图形中可以大 致描述刘阿姨行走路线的是( ) 返回 9 8. 匀速地向一个容器内注水，最后把容 器注满.在注水过程中，水面高度 随时间 的变化规律如图所示（图中 为一折 线）.这个容器的形状可能是( ) A A. B. C. D. 返回 10 类型3 根据函数图象提取信息 9. 如图①，小亮家、报亭、羽毛球馆在一条直线上.小亮从 家跑步到羽毛球馆打羽毛球，再去报亭看报，最后散步回家. 小亮离家的距离单位：与时间单位： 之间的关 系如图②所示.下列结论错误的是( ) D A. 小亮从家到羽毛球馆用了 B. 小亮从羽毛球馆到报亭平均每分钟走 C. 报亭到小亮家的距离是 D. 小亮打羽毛球的时间是 11 【点拨】A.由图象得小亮从家到羽毛球馆用 了 ，故A选项不符合题意；B.由图象可 知小亮从羽毛球馆到报亭的平均速度为 ，故 B选项不符合题意；C.由图象知报亭到小亮家的距离是 ，即 ，故C选项不符合题意；D.由图象知小亮打 羽毛球的时间是 ，故D选项符合题意. 返回 12 10. ［2024威海］同一条公路连接，，三地，地在， 两地之间.甲、乙两车分别从地、地同时出发前往 地.甲车 速度始终保持不变，乙车中途休息一段时间，继续行驶.如图 表示甲、乙两车之间的距离单位：与时间 单位： 的 函数关系.下列结论正确的是( ) A A. 甲车行驶 与乙车相遇 B. ，两地相距 C. 甲车的速度是 D. 乙车中途休息 13 （第10题） 【点拨】根据函数图象可得， 两地之间 的距离为，两车行驶了 ，同时到 达地，如图所示，在 ，两车同向运 动，在，即点 时，两车距离发生改变， 此时乙车休息，点的意义是两车相遇， 点的意义是乙车休息后再出发，所以乙车休息了 ，故D不 正确，不符合题意；设甲车的速度为 ，乙车的速度为 14 ，根据题意，乙车休息后两车同时 到达 地，则甲车的速度比乙车的速度慢， 即.因为 ，即 ，在和 时，乙车不动，则 甲车的速度是 ，所以乙车 的速度为 ，故C不正确， 不符合题意；所以， 两地的距离为 （第10题） ，故B不正确，不符合题 意；设 时两车相遇，依题意得 ，解得，即 时， 两车相遇，故A正确，符合题意. （第10题） 返回 11. 如图①，点从等边三角形的顶点 出发，沿直线运 动到三角形内部一点，再从该点沿直线运动到顶点.设点 运动的路程为，，图②是点运动时随 变化的关系 图象，则等边三角形 的边长为( ) A A. 6 B. 3 C. D. 17 （第11题） 【点拨】如图，令点从顶点 出发，沿直线 运动到三角形内部一点，再从点 沿直线运 动到顶点 ， 结合图象可知，当点在上运动时， ， 所以，.又因为 为等边三角形，所以 ，，所以 .所以 .当点在上运动时，可知点 到达 18 点时的路程为，所以 ，即 ，所以 . 过点作，垂足为.所以 ， 易知，所以 ，即等 边三角形 的边长为6. （第11题） 返回 $$第四章 一次函数 2 认识一次函数 第1课时 均匀变化的现象 1 1. 变量， 的一些对应值如下表，根据表 格中的数据规律推测，当时， 的值是( ) … 0 1 2 3 … … 6 13 20 27 … A A. B. C. 41 D. 75 返回 2 2.观察下图,回答问题: （1）设图形的周长为,梯形的个数为,试写出与 的函数关 系式___________; （2）当 时,图形的周长是____. 35 返回 3 3. 节约用水是我们 的美德，水龙头关闭不严会造成滴水. 容器内盛水量（单位： ）与滴水时 间（单位： ）的函数关系可以用显 示水量的容器做如图①的试验，并根据试验数据绘制出如图 ②的函数图象，结合图象解答下列问题. 4 （1）容器内原有水多少升？ 【解】根据题图可知，当时， ，即容器内原有 水 . 5 （2）上午有4个小时水龙头关闭不严，请你计算容器内会显 示水量多少升？ ， ， ，故容器内会显示水量 . 返回 6 4. 弹簧挂重物后会伸长，弹簧长度最长为（单位： ） 与所挂物体质量（单位： ）的部分对应值如下表： 0 1 2 3 4 … 8 8.5 9 9.5 10 … 下列说法不正确的是( ) D A. 与都是变量，是自变量， 是因变量 B. 所挂物体为时，弹簧长度为 C. 物体每增加，弹簧长度就增加 D. 挂物体时，弹簧长度一定比原长增加 返回 7 5.已知用于爆破工程的炸药包的导火线长 ，正常情况下，导火线每秒燃烧 . （1）导火线燃烧时剩余的长度（单位：）与燃烧时间 （单位： ）之间的函数关系式是____________; （2）点燃导火线____后爆炸，自变量 的取值范围是______ _____； 25 8 （3）填表（注意首尾两点的选取）： 0 5 10 15 20 25 _____ ____ ____ ____ ____ ___ 100 80 60 40 20 0 9 （4）根据上表中的对应值在如图所示的坐标系中画出这个 函数的图象； 根据表格中的对应值画出函数图象如图. 10 （5）由图象可知：点燃导火线时，导火线还剩____ . 50 返回 11 $$